课时作业15 函数模型的应用-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

第二章 函数的概念与基本初等函数 3 课时作业15 函数模型的应用 - 一、单项选择题 1.某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次 (由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成 4 096个需经过的时间是 ( ) A.12 h B.4 h C.3 h D.2 h 2.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:兔子和乌龟赛 跑,领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起 来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点 了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到 达了终点.S1,S2 分别表示乌龟和兔子所行的 路程,t为时间,则下列图象中与故事情节相吻 合的是 ( ) A B C D 3.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间 内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨 10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则 该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费 用)为 ( ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况 4.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流 通过圆柱形的电线时,其电流强度I 与电线半 径r的三次方成正比,若已知电流通过半径为 4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通 过半径为3毫米的电线时,电流强度为 ( ) A.60安 B.240安 C.75安 D.135安 5.(2023·福建师大附中高三模拟)视力检测结果 有两种记录方式,分别是小数记录与五分记 录,其部分数据如表所示. 小数记录x 0.1 0.120.15 … 1 1.21.52.0 五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.15.25.3 现有如下函数模型:①y=5+lg x,②y=5+ 1 10lg 1 x ,x 表示小数记录数据,y 表示五分记录 数据,请选择最合适的模型解决如下问题:某 同学检测视力时,医生说他的视力五分记录数据 为4.7,则该同学的小数记录数据为(参考数据: 100.3≈2,5-0.22≈0.7,10-0.1≈0.8) ( ) A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8 6.(2024·四川成都联考)单位时间内通过道路上 指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路 设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关. 假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关 系N(v)= 1 000v 0.7v+0.3v2+d0 ,其中d0 为安全 距离,v为车速(单位:m/s).当安全距离d0 取 30 m时,该道路一小时“道路容量”的最大值 约为 ( ) A.135 B.149 C.165 D.195 二、多项选择题 7.为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求 排放未达标的企业限期整改,加强污水治理. 设企业的污水排放量W 与时间t的关系为W= f(t),已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放 量与时间的关系如图所示.给出下列四个结 论,其中正确的结论为 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -317- hh A.在[t1,t2]这段时间内,甲、乙两企业的污水 排放量均达标 B.在t2 时刻,甲、乙两企业的污水排放量相等 C.甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业 的污水排放量的最大值 D.在[0,t1]这段时间内,甲企业的污水排放量 高于乙企业的污水排放量 8.预测人口的变化趋势有多种方法,“直接推算 法”使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k>-1), 其中Pn 为预测期人口数,P0 为初期人口数,k 为预测期内人口年增长率,n 为预测期间隔年 数(n∈N),则 ( ) A.若k ∈ (-1,0),则这期间人口数呈下降 趋势 B.若k ∈ (-1,0),则这期间人口数呈摆动 变化 C.当k= 1 3 ,Pn ≥2P0 时,n的最小值为3 D.当k=- 1 3 ,Pn ≤ 1 2P0 时,n的最小值为3 9.某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型: 若物体原来的温度为θ0(单位:℃),环境温度 为θ1(θ1 <θ0,单位:℃),物体的温度冷却到 θ(θ>θ1,单位:℃)需用时t(单位:分钟),推 导出函数关系为t=f(θ)= 1 k [ln(θ0-θ1)- ln(θ-θ1)],k为正的常数.现有一壶开水(100 ℃) 放在室温为20 ℃ 的房间里,根据该同学推出 的函数关系研究这壶开水冷却的情况,则(参 考数据:ln 2≈0.7) ( ) A.函数关系θ=θ1+(θ0-θ1)ekt也可作为这壶 开水的冷却模型 B.当k= 1 20 时,这壶开水冷却到40 ℃ 大约需 要28分钟 C.若f(60)=10,则f(30)=30 D.这壶水从100 ℃冷却到70 ℃所需时间比从 70 ℃ 冷却到40 ℃ 所需时间短 三、填空题 10.某购物网站在2023年11月开展“全部6折”促 销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张 订单金额(6折后)满300元时可减免100元”. 某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的 商品共42件,为使花钱总数最少(不考虑购买 商品数多于42件的情况),他最少需要下的订 单张数为 . 11.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一 个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余 的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发 现 容 器 内 还 有 一 半 的 沙 子,则 再 经 过 min,容器中的沙子只有开始时的八 分之一. 12.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了 保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血 液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶 汽车,酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即 为酒后驾车,80 mg及以上认定为醉酒驾车. 某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒 精含量上升到100 mg/100 mL.如果在停止 喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时20% 的速度减少,那么他至少经过 个小时才能驾驶汽车(结果取整数).(参考数 据:lg 0.2 ≈- 0.699,lg 0.3 ≈- 0.523, lg 0.7≈-0.155,lg 0.8≈-0.097) 四、解答题 13.(2023·河北秦皇岛高三月考)我国西部某省 4A级风景区内住着一个少数民族村,该村投 资了800万元修复和加强民俗文化基础设施, 据调查,修复好民俗文化基础设施后任何一 个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数 f(x)与第x天近似地满足f(x)=8+ 8 x (千人), 且参观民俗文化村的游客人均消费g(x)近 似地满足g(x)=143-|x-22|(元). (1)求该村的第x 天的旅游收入p(x)(单位: 千元,1≤x ≤30,x ∈N*); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -318- 第二章 函数的概念与基本初等函数 3 (2)若以最低日收入的20% 作为每一天纯收 入的计量依据,并以纯收入的5%的税率收回 投资成本,试问该村在两年内能否收回全部 投资成本? (一年以365天计算) 14.(2024·福建莆田第二中学月考)莆田市,古称 “兴化”,又称“荔城”“莆阳”“兴安”“莆仙”,建 制至今已有一千五百多年,素 有“海 滨 邹 鲁”“文献名邦”之美称,全市辖4个区、1个 县,总面积4 200平方千米,至2021年末,全市 常住总人口322万人,在全省9个地级市中排 名第5名,2021年全市GDP总量2 883亿元, 位列全省第8名. (1)假设2021年后莆田市GDP的年平均增长 率能保持8%,那么按此增长速度,约经过几 年后,莆田市GDP能实现比2021年翻一番? (2)习近平总书记在党的二十大报告中指出, 到2035年我国要基本实现社会主义现代化, 人均国内生产总值达到中等发达国家水平. 对标国家目标,莆田市未来发展任重道远,需 立大格局、树进取心、施非常策、兴落实风,奋 力开创高质量超越发展,力争实现2035年 GDP比2021年翻两番.要实现这一宏伟目标, 从2021年后GDP的年平均增长率至少要保 持在多少以上? (参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48, 7 2≈1.104) 2 15.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强 国,扎实推动乡村振兴”的目标,银行拟在乡 村开展小额贷款业务.根据调查的数据,建立 了实际还款比例P 关于还款人的年收入x(单 位:万元)的Logistic模型:P(x)= e-0.9+kx 1+e-0.9+kx . 已知当贷款人的年收入为9万元时,其实际还 款比例为50%.若银行希望实际还款比例为 40%,则贷款人的年收入约为(参考数据: ln 3≈1.1,ln 2≈0.7) ( ) A.4万元 B.8万元 C.6万元 D.5万元 16.某厂商计划临时租用总面积为3 000平方米 的生产厂区,其中涵盖临时搭建牛奶类和酸 奶类共计60间生产车间及绿化改造.每间牛 奶类车间的面积为50平方米,租金为每月x 万元;每间酸奶类车间的面积为30平方米,租 金为每月0.5万元.现要求所有车间的面积之 和不低于总面积的80%,又不能超过总面积 的90%,则牛奶类生产车间的搭建方案有 种,为保证任何搭建方案平均每个 车间租用费用不低于每间牛奶类车间月租费 的90%,则x 的最大值为 万元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -319- hh 当x∈ (-4,-1)时,f(x)∈ (-2, 0),f(-1)=0; 当x ∈ (-1,0)时,f(x)∈ (-∞, 0),f(0)=0; 当x∈(0,1)时,f(x)∈(0,+∞), f(1)=0; 当x ∈ (1,4)时,f(x)∈ (0,2); 故m ∈ (-2,0)∪ (0,2). 15.2 [-3,-1) 解析:f(-1)=2×(-1)+4=2;令 f(x)+m =t,则f(t)=0,所 以 2t+4=0, t≤0 或 2 t -2=0, t>0, 所 以 t= -2或t=1,即f(x)+m = -2 和f(x)+m =1各有2个零点,即 f(x)= -m-2和f(x)=1-m 各 有2个零点.作出函数f(x)的图象, 如图所示. 由图 象 可 得 -1<-m-2≤4, -1<1-m ≤4, 所 以 -3≤m <-1. 16. 15 15 ,3 3 解析:因为直线kx-y+k=0(k> 0),即k(x+1)-y=0(k>0)过定 点(-1,0).因 为 函 数 f(x)满 足 f(1-x)= f(1+x),所 以 函 数 f(x)的图象关于直线x=1对称,又 因为函数f(x)为偶函数,所以函数 f(x)的图象关于y轴对称.在平面直 角坐标 系 内 画 出 函 数 f(x)及 直 线 k(x+1)-y=0(k>0)的图象如图所 示,则由图易得AB = 22-1= 3, AC = 42-1= 15,tan∠BAx = 1 3 = 3 3 ,tan∠CAx= 1 15 = 15 15 , 则要使直线kx-y+k=0(k>0)与 函数f(x)的 图 象 有 且 仅 有 三 个 交 点,所以k的取值范围是 15 15 ,3 3 . 课时作业15 函数模型的应用 1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 由表格中的数据可知,函数单调递 增,故合适的函数模型为y=5+lg x, 令y =5+lg x =4.7,解 得 x = 10-0.3 ≈0.5.故选B. 6.B 由题意可知,N(v)= 1 000v 0.7v+0.3v2+d0 = 1 000 0.7+0.3v+ 30 v ≤ 1 000 0.7+2 0.3×30 ≈149.故选B. 7.BD 由题图可知在[t1,t2]这段时间 内,甲、乙 两 企 业 的 污 水 排 放 量 均 超 标,故A错误;在t2 时刻,甲、乙两企业 的污水排放量相等,故B正确;甲企业 的污水排放量的最小值不大于乙企业 的污水排放量的最大值,故C错误;在 [0,t1]这段时间内,甲企业的污水排放 量高于乙企业的污水排放量,故 D正 确.故选BD. 8.AC P0>0,0<1+k<1,由指数函 数的性质可知Pn =P0(1+k)n(k> -1)是关于n 的单调递减函数,即人 口数呈下降趋势,故A正确,B不正确; k= 1 3 ,Pn =P0 4 3 n ≥2P0,所以 4 3 n ≥2,所以n≥log4 3 2(n∈N), log4 3 2∈ (2,3),所以n 的最小值为3, 故C正确;k=- 1 3 ,Pn =P0 2 3 n ≤ 1 2P0 ,所 以 2 3 n ≤ 1 2 ,所 以n ≥ log2 3 1 2 (n∈N),log2 3 1 2 =log32 2∈ (1,2),所以n 的最小值为2,故D不正 确.故选AC. 9.BCD 对于A,由t=f(θ)= 1 k [ln(θ0- θ1)-ln(θ-θ1)],得kt=ln θ0-θ1 θ-θ1 , 所以 θ0-θ1 θ-θ1 =ekt,整 理 得θ =θ1 + (θ0-θ1) 1 ekt .故A错误;对于B,由题意 可知t=f(θ)= 1 k [ln(100-20)-ln(θ- 20)]= 1 kln 80 θ-20 .t=20ln 80 40-20= 20ln 4=40ln 2≈28,故B正确;对于 C,由f(60)=10,得 1 kln 80 40=10 ,得 k= ln 2 10 ,则t= 10 ln 2 ·ln 8030-20= 10 ln 2ln 8=30,故C正确;对于D,设这 壶水从100 ℃ 冷却到70 ℃ 所需时间 为t1 分钟,则t1= 1 kln 80 70-20= 1 k (ln 8-ln 5),设这壶水从70 ℃冷却到40 ℃ 所 需 时 间 为t2 分 钟,则t2 = 1 kln 70-20 40-20= 1 k (ln 5-ln 2),因为t1-t2= 1 k (ln 8+ln 2-2ln 5)= 1 kln 16 25<0 , 所以t1 <t2,故D正确.故选BCD. 10.3 11.16 解析:当t=0时,y=a;当t=8时, y =ae-8b = 1 2a ,故e-8b = 1 2. 当容 器中的 沙 子 只 有 开 始 时 的 八 分 之 一 时,即y =ae-bt = 1 8a ,e-bt = 1 8 = (e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过 16 min容器中 的 沙 子 只 有 开 始 时 的 八分之一. 12.8 解析:因为1小时后血液中酒精含量 为(1-20%) mg/mL,所以x 小时后 血液中酒精含量为(1-20%)x mg/mL, 由题意可知100 mL血液中酒精含量 低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车, 所以(1-20%)x <0.2,0.8x <0.2, 两边取对数lg 0.8x <lg 0.2,即x > lg 0.2 lg 0.8≈7.2 ,所以他至少经过8个小 时才能驾驶汽车. 13.解:(1)依据题意,有p(x)=f(x)· g(x)= 8+ 8 x ·(143-|x-22|) (1≤x ≤30,x ∈N*)= 8x+ 968 x +976 (1≤x ≤22,x ∈N*), -8x+ 1 320 x +1 312(22<x ≤30,x ∈N*). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)① 当1≤x ≤22,x ∈ N* 时, p(x)=8x+ 968 x +976≥ 2 8x·968x +976=1 152(当且仅 当x = 11时,等 号 成 立),因 此, p(x)min =p(11)=1 152千元. ② 当22<x ≤30,x ∈N* 时, p(x)= -8x+ 1 320 x +1 312. 求导可得p'(x)= -8- 1 320 x2 <0, 所以p(x)= -8x+ 1 320 x +1 312在 (22,30]上单调递减,于是p(x)min= p(30)=1 116千元. 又1 152>1 116,所以日最低收入为 1 116千元. 该村两年可收回的投资资金为 1 116×20%×5%×365×2= 8 146.8(千元)=814.68(万元), 因为814.68万元 >800万元,所以, 该村在两年内能收回全部投资成本. 14.解:(1)由题意,x 年后莆田市GDP为 2 883×(1+8%)x, 令2 883×(1+8%)x =2×2 883,则 1.08x =2, 即x =log1.082= lg 2 lg 108-lg 100= lg 2 3lg 3+2lg 2-2≈ 0.3 1.44+0.6-2= 7.5, 所以约经过8年后,莆田市GDP能实 现比2021年翻一番. (2)设从2021年后GDP的年平均增 长率至少要保持在a以上,且a>0, 由题 意,2 883× (1+a)2 035-2 021 ≥ 22×2 883,即(1+a)14 ≥4,而a+ 1>1, 所以1+a≥ 14 4 = 7 2 ≈1.104,故 a≥0.104=10.4%, 从2021年后GDP的年平均增长率至 少要保持在10.4% 以上. 15.D 由题意得当x =9时,P =50%, 则 e-0.9+9k 1+e-0.9+9k =50%,得e-0.9+9k =1, 所以9k-0.9=0,得k=0.1,所以 P(x)= e-0.9+0.1x 1+e-0.9+0.1x ,当 P =40% 时,e -0.9+0.1x 1+e-0.9+0.1x =40%,得3e-0.9+0.1x = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -576- 参 考 答 案 2,所以e-0.9+0.1x = 2 3 ,所以 -0.9+ 0.1x =ln 2 3 =ln 2-ln 3≈0.7- 1.1,解得x =5,所以若银行希望实 际还款比例为40%,则贷款人的年收 入约为5万元.故选D. 16.16 58 解析:设搭建牛奶类车间 m 间,酸奶 类车间(60-m)间,则有 50m+30(60-m)≤3 000×90%, 50m+30(60-m)≥3 000×80%, 解得30≤m ≤45, 又m ∈N+,故方案有16种; 由 mx+(60-m)×0.5 60 ≥0.9x ,得 (m-54)x + (30-0.5m)≥0,又 30≤m ≤45, 故x ≤ 0.5m-30 m-54 = 30-0.5m 54-m = 1 2 · 30- 1 2m 27- 1 2m = 1 2 1+ 3 27- 1 2m 在m ∈ [30,45]上恒成立, 根据复合函数的单调性易得y =1+ 3 27- 1 2m 在m ∈ [30,45]上单调递 增,所以1 2 1+ 3 27- 1 2m min = 1 2 1+ 3 27-15 = 58, 所以x ≤ 5 8 ,即x 的最大值为58. 第三章 一元函数的导数 及其应用 课时作业16 导数的概念 及其意义、导数的运算 1.C 2.B 3.A 4.C 设 切 线 的 切 点 坐 标 为 (x0,y0), y=ln x+x2,y'= 1 x +2x ,x0>0, y'|x=x0 = 1 x0 +2x0 =3,所以 x0 = 1 2 , y0 = -ln 2+ 1 4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 x0 =1, y0 =1, 所以切 点坐标为(1,1)或 12 ,-ln 2+ 1 4 ,所 求的切线方程为3x -y-2=0或 3x-y- 5 4 -ln 2=0.故选C. 5.C 因为y'= 1-ln x-a x2 ,所以曲线 y = ln x+a x 在点(1,a)处的切线的 斜率为k1=y'|x=1=1-a,直线l的 斜率k2 =2,由切线与直线l 垂直知 k1k2 = -1,即2(1-a)= -1,解得 a= 3 2. 6.C ∵f(x)=ex,∴f'(x)=ex, f(0)=1,∴f'(0)=1,∴f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为y =x+ 1.设y=x+1与g(x)相切于点(x0, ln(ax0)),则g'(x0)= 1 x0 =1,解得 x0 =1,又 ln(ax0)-1 x0-0 =1,∴ln a- 1=1,解得a=e2.故选C. 7.AC 由已知得y'= (2+x)ex,则切 线斜率k = (2+x0)e x0,切线方程为 y-(1+x0)e x0 = (2+x0)e x0(x - x0),直 线 过 点 A(a,0),则 - (1+ x0)e x0 = (2+x0)e x0(a-x0),化简 得x20+(1-a)x0-2a-1=0,切线 有且仅 有1条,即 Δ = (a -1)2 + 4(2a+1)=0,化简得a2+6a+5=0, 即(a+1)(a+5)=0,解得a= -1或 a= -5.故选AC. 8.BD 设 产 量 与 时 间 的 关 系 为 y = f(x),由 题 图 可 知 f(x)在 点 (1, f(1)), (2,f(2)), (3,f(3)), (4, f(4))处的切线的斜率越来越小,根据 导数的几何意义可知,前四年该产品 年产量增长速度越来越慢,故A错误, B正确;由题图可知从第四年开始产品 年产量不发生变化,且f(4)≠0,故C 错误,D正确.故选BD. 9.AD 设直线y=3x+m 与曲线y= x3(x >0)相切于点(a,a3),与曲线 y= -x2+nx-6(x >0)相切于点 (b,3b+m),对 于 函 数y =x3(x > 0),y'=3x2,则3a2=3(a>0),解得 a=1,所以13=3+m,即m = -2.对 于函数y = -x2+nx -6(x >0), y'= -2x+n,则 -2b+n=3(b> 0),又 -b2 +nb-6=3b-2,所 以 -b2+b(3+2b)-6=3b-2,又b> 0,所以b=2,n=7.故选AD. 10.18 11.1 -2 12.1 [-1,+∞) 解析:由题意可得f'(x)= 2 x -1 ,令 f'(x)=1,则x =1,故切点为(1, -1),代 入 切 线 方 程 有 -1=1- 2t,∴t=1.若g(x)=x2-x+a,且 y=f(x)与y=g(x)总存在相同的切 线,设f(x)切点为(x1,f(x1))(x1 > 0),则切线方程为y= 2x1-1 (x- x1)+f(x1)= 2 x1 -1 x+2ln x1- 2,g'(x)=2x-1,设g(x)切点为 (x2,g(x2)), 切 线 方 程 为 y = (2x2-1)(x-x2)+g(x2)= (2x2 -1)x-x22+a,若y=f(x)与y= g(x)存在相同的切线,则 2 x1 -1= 2x2-1,即 x2 = 1 x1 ,且2ln x1 - 2= -x22+a,a=x22+2ln x1-2= 1 x1 2 +2ln x1 -2(x1 >0),令 h(x)= 1 x2 +2ln x -2,x > 0, h'(x)= - 2 x3 + 2 x = 2x2-2 x3 = 2(x+1)(x-1) x3 ,当x=1时,h'(x)= 0,当0<x <1时,h'(x)<0,h(x) 单调递减,当x >1时,h'(x)>0, h(x)单 调 递 增, 当 x = 1 时, h(x)min=h(1)= -1,且x→+∞时, h(x)→+∞,∴a≥-1,即实数a 的 取值范围为[-1,+∞). 13.解:(1)因 为y =e-x(x ≥0),则 y'= -e-x,可得在点M(t,e-t)处的 切线斜率为k= -e-t,则切线方程为 y-e-t = -e-t(x-t),即x+ety- (t+1)=0. (2)令y=0,则x=t+1,令x=0, 则y = e-t(t+1),所 以 S(t)= 1 2 (t+1)·e-t(t+1)= 1 2 (t+ 1)2e-t,t≥0. 14.解:因为f(x)=ln x +mx -m, f'(x)= 1 x +m ,设 切 点 为(x0, ln x0+mx0-m),所以切线方程为 y- (ln x0 +mx0 -m)= 1x0 + m (x-x0),又因为切线过P(1,0), 所 以 - ln x0 - mx0 + m = 1 x0 +m (1-x0)= 1x0+m-1- mx0,所以-ln x0 = 1 x0 -1,即 1 x0 + ln x0-1=0,令m(x)= 1 x +ln x- 1,则m'(x)= - 1 x2 + 1 x = x-1 x2 , 当x ∈ (0,1)时,m'(x)<0,m(x) 单调 递 减;当 x ∈ (1,+ ∞)时, m'(x)>0,m(x)单 调 递 增,所 以 m(x)min =m(1)=0,所以m(x)= 0只 有 一 个 解 为 x = 1,即 1 x0 + ln x0-1=0只有一个解为x0 =1, 所以切点为(1,0),所以k切 =f'(1)= 1+m,故只有一条切线. 15.(-2,0) 解析:f'(x)=6x2-3,设过点M(1,m- 1)的直线与曲线y =f(x)相切于点 (x0,2x30-3x0),则 2x30-3x0-m+1 x0-1 = 6x20-3,化简得4x30-6x20 = -m- 2,令 g(x)=4x3 -6x2,则 过 点 M(1,m -1)存 在 三 条 直 线 与 曲 线 y =f(x)相切等价于y =g(x)与 y = - m -2 的 图 象 有 三 个 交 点.∵g'(x)=12x(x-1),故当x< 0或x>1时,g'(x)>0,g(x)单调 递增;当0<x <1时,g'(x)<0, g(x)单调递减,又g(0)=0,g(1)= -2,∴g(x)的图象 如 图,∴ -2< -m-2<0,即m ∈ (-2,0). 16.3,72 解析:∵f(x)= 2 3x 3-x2+ax - 1,∴ f'(x)=2x2-2x+a,可令切 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -577-