课时作业10 幂函数-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

第二章 函数的概念与基本初等函数 3 课时作业10 幂函数 - 一、单项选择题 1.若幂函数的图象经过点 2,14 ,则它的单调递 增区间是 ( ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,0) 2.若幂函数f(x)=(m2-4m+4)·xm 2-6m+8 在 (0,+∞)上为增函数,则m 的值为 ( ) A.1或3 B.1 C.3 D.2 3.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn 2-3n(n∈ Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减 函数,则n的值为 ( ) A.-3 B.1 C.2 D.1或2 4.若(2m+1) 1 2 >(m2+m-1) 1 2,则实数m 的取 值范围是 ( ) A.-∞,- 5-1 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 B. 5-1 2 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 C.(-1,2) D. 5-1 2 ,2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 5.放假期间,小明一家准备去某地旅游,已知他 家汽 车 行 驶 速 度v(km/h)与 每 千 米 油 费 w(元)的关系式为w= 1 300 · v 2 v-40 (60≤v≤ 120),当每千米油费最低时,v= ( ) A.60 km/h B.80 km/h C.100 km/h D.120 km/h 6.已知函数f(x)=x+ 4 x ,g(x)=2x+a,若 ∀x1∈ 1 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,∃x2∈[2,3],使得f(x1)≥ g(x2),则实数a的取值范围是 ( ) A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥2 二、多项选择题 7.已知幂函数f(x)=(m-2)xm 2-2m,则 ( ) A.m=1 B.f(x)的定义域为R C.f(-x)=-f(x) D.将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度 得到函数g(x)=(x-1)3 的图象 8.设函数f(x)= x2+1 |x| ,则 ( ) A.f(x)是奇函数 B.当x ∈ (0,+∞)时,f(x)有最小值2 C.f(x-1)在区间(1,2)上单调递减 D.f(x)有两个极值点 9.形如f(x)=x+ a x (a>0)的函数,我们称之 为双勾函数.双勾函数具有如下性质:该函数 在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调 递增.已知函数f(x)=x+ a x (a>0)在[2,4] 上的最大值比最小值大1,则a的值可以是 ( ) A.4 B.12 C.6-22 D.6+42 三、填空题 10.已知函数f(x)= x2+4 x ,则该函数在区间[1, 2]上的值域是 . 11.若p:∃x∈(2,4),x+ 2 x≤a 是假命题,则实 数a的取值范围是 . 12.如图,正方形OABC 的边长为 a(a>1),函数y=3x2 的图象 交AB于点Q,函数y=x- 1 2 的图 象交BC 于点P,则当|AQ|+ |CP|最小时,a的值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -307- hh 四、解答题 13.已知f(x)=2x+ 4 2x-1- 5,x∈[1,3],求 函数f(x)的单调区间和值域. 14.已知函数f(x)= x2+1 ax+b 是定义域上的奇函 数,且f(-1)=-2. (1)求a,b的值; (2)若方程f(x)=m 在(0,+∞)上有两个不 同的根,求实数m 的取值范围; (3)令h(x)=x2+ 1 x2- 2tf(x)(t<0),若对 ∀x1,x2∈ 1 2 ,2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 都有|h(x1)-h(x2)|≤ 15 4 ,求实数t的取值范围. 2 15.已知代数式x+ a x (a>0). (1)若a=1,则当x >0时,x+ a x 的最小值 为 ; (2)当x>2时,x+ a x 存在最小值,则满足条 件的一个a的值为 . 16.已知函数f(x)= x2+4x+ 1 a x (a>0). (1)当a=2时,试判断f(x)在x∈[1,+∞) 上的单调性,并证明; (2)若x ∈ (0,1]时,f(x)是减函数,x ∈ [1,+∞)时,f(x)是增函数,试求a 的值及 x ∈ [1,+∞)上f(x)的最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -308- hh 确.由已知得 a+b+c=0, - b 2a =2 , 解得b= -4a,c=3a,所 以 二 次 函 数 为y = a(x2-4x+3),其顶点的横坐标为2, 所以顶点一定不是(-2,-2),当a=1 时,与y 轴 交 于 点(0,3),故 B正 确, C错误.故选ABD. 8.AD 由题意得,当x ≥0时,f(x)= x-x2 = - x- 1 2 2 + 1 4 ;当x < 0时,f(x)= -x2 -x = - x + 1 2 2 + 1 4 ,f(x)的最大值为 1 4 ,A正 确;f(x)在 - 1 2 ,0 上 是 减 函 数, B错误;f(x)>0的解集为(-1,0)∪ (0,1),C错 误;当 x ≥0时,f(x)+ 2x =3x-x2 ≥0的解集为[0,3],当 x <0时,f(x)+2x =x-x2≥0无 解,故D正确. 9.AC 当a≤0时,f(x)在[0,2]上单 调递增,f(x)max =f(2)=2|2-a|= 2,解得a=1(舍去)或a=3(舍去). 当a>0时, f(x)= -x (x-a),x ≤a, x(x-a),x >a, 当 a 2 >2 ,即a>4时,f(x)max=f(2)= -2(2-a)=2,解得a=3(舍去). 当x>a时,令f(x)=f a 2 ,解得 x = (2+1)a 2 (负 值 舍 去).当a2 ≤ 2≤ (2+1)a 2 ,即4(2-1)≤a≤4 时,f(x)max =f a 2 =a 2 4 =2 ,解得 a=2 2.当2> (2+1)a 2 即a < 4(2-1)时,f(x)max=f(2)=2(2- a)=2,解得a=1. 10.-1, 1 2 11.9或25 解析:y=8x- m-1 16 2 +m-7- 8 m-116 2 ,因为值域为[0,+∞),所 以m-7-8 m-1 16 2 =0,解得m = 9或m =25. 12.(-∞,-1) 解析:f(x)>2x +m 等 价 于x2 - x+1>2x +m,即x2-3x +1- m >0,令g(x)=x2-3x+1-m, 要使g(x)=x2-3x+1-m>0在 [-1,1]上 恒 成 立,只 需 使 函 数 g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上 的最小值大于0即可.因为g(x)= x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递 减,所以g(x)min =g(1)= -m -1. 由-m-1>0,得m<-1.因此满足条 件的实数m 的取值范围是(-∞,-1). 13.解:(1)如图所示,根据偶函数的图象 关于y 轴对称,可作出f(x)的图象, 当x ≤0时,设函数f(x)=ax2+ bx+c,由图象可得 f(0)=c=0, f(-1)=a-b+c= -1, f(-2)=4a-2b+c=0, 解得 a=1, b=2, c=0. 所以f(x)=x2+2x, 当x>0时,则-x<0,因为函数f(x) 为偶函数,所以f(x)=f(-x)= x2-2x, 所以函数f(x)的解析式为f(x)= x2+2x,x ≤0, x2-2x,x >0, 可得f(x)的单调递减区间为[0,1] 和(-∞,-1]. (2)当x∈[1,2]时,g(x)=f(x)- 2ax+1=x2-2(a+1)x+1, 可得其对称轴方程为x =a+1且开 口向上, ① 当a+1≤ 3 2 时,即a≤ 1 2 时, g(x)max =g(2)=1-4a; ② 当a+1> 3 2 时,即a> 1 2 时, g(x)max =g(1)= -2a, 综上可得, g(x)max = 1-4a,a≤ 1 2 , -2a,a> 1 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 14.解:(1)依题意,利用利润等于收入减 去成本,可得 当0<x≤40时,W(x)=xR(x)- (80x+200)= x(2 000-30x)- 80x-200= -30x2+1 920x-200; 当x>40时,W(x)=xR(x)-(80x+ 200)=x 37 000 x - 200 000 x2 -80x- 200= - 200 000 x -80x+36 800. 所以W(x)= -30x2+1 920x-200,0<x≤40, - 200 000 x -80x+36 800,x>40. (2)当 0 < x ≤ 40 时,W(x)= -30x2+1 920x-200= -30(x- 32)2+30 520, 所以当x =32时,W(x)max =30 520; 当x >40时,W(x)= - 200 000 x - 80x+36 800= -80 2 500 x +x + 36 800 ≤-80×2 2 500 x ·x + 36 800=28 800, 当且仅当2 500 x =x ,即x =50时,等 号成立,此时W(x)max =28 800. 因为30 520>28 800, 所以当年产量为32万个时,利润最 大,最大利润为30 520万元. 15.- 1 4 ,+∞ 12,1 解析:当c=0,即x ∈ [-2,0]时, f(x)∈ - 1 4 ,2 ,当x∈(0,3]时, f(x)∈ 1 3 ,+∞ ,所以f(x)的 值域为 - 1 4 ,+∞ .作出y=x2+ x 和y= 1 x 的图象如图所示,当x2+ x = - 1 4 时,x= - 1 2 ;当x2+x= 2时,x =1或x = -2;当 1 x =2 时, x = 1 2 ,由图象可知当f(x)的值域 为 - 1 4 ,2 时,需满足12 ≤c≤1. 16.a> 1 2 解析:由题意得a> 2 x - 2 x2 对1< x<4恒成立.又 2 x - 2 x2 = -2 1x - 1 2 2 + 1 2 ,1 4 < 1 x < 1 ,所 以 2 x - 2 x2 max = 12,所以a> 12. 课时作业10 幂函数 1.D 2.B 3.B 4.D 5.B 6.A 由f(x)=x+ 4 x 得,f'(x)= x2-4 x2 ,当x∈ 1 2 ,1 时,f'(x)<0, ∴f(x)在 1 2 ,1 上单调递减,∴f(1)= 5是函数f(x)的最小值,当x∈[2,3] 时,g(x)= 2x + a 为 增 函 数, ∴g(2)=a+4是函数g(x)的最小 值,又 ∵∀x1∈ 1 2 ,1 ,∃x2∈[2, 3],使得f(x1)≥g(x2),可得f(x) 在x1 ∈ 1 2 ,1 的 最 小 值 不 小 于 g(x)在x2∈[2,3]的最小值,即5≥ a+4,解得a≤1.故选A. 7.BC 由幂函数的定义可知m-2=1, 所以m =3,所以f(x)=x3,故A错 误;由f(x)=x3 可知其定义域为 R, 故B正确;f(x)=x3 为奇函数,所以 f(-x)= -f(x),故 C 正 确;将 f(x)=x3 的图象向左平移1个单位 长度得到函数g(x)= (x+1)3 的图 象,故D错误.故选BC. 8.BCD f(x)= x2+1 |x| =| x|+ 1 |x| , 对于 A,定 义 域 为 {x|x ≠0},且 f(-x)=|x|+ 1 |x| =f (x),故 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -570- 参 考 答 案 f(x)是偶函数,故A错误;对于B,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x+ 1 x ≥2 , 当x =1时,取得最小值,故B正确;对 于C,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x+ 1 x ,f'(x)=1- 1 x2 = x2-1 x2 ,当x∈ (0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1) 上为减函数,而f(x-1)可以由f(x) 向右平移1个单位长度得到,故f(x- 1)在区间(1,2)上单调递减,故C正确; 对于D,当x∈(0,+∞)时,f'(x)= x2-1 x2 ,当x ∈ (0,1)时,f'(x)<0, 故f(x)在(0,1)上为减函数,当x ∈ (1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在 (1,+∞)上为增函数,故x=1为极小 值点,且当x ∈ (0,+∞)时只有一个 极小值点,因为f(x)是偶函数,所以 f(x)有 两 个 极 值 点,故 D 正 确.故 选BCD. 9.AD 由 双 勾 函 数 的 性 质 可 得,f(x) 在(0,a)上单调递减,在(a,+∞) 上单调递增.① 当0< a ≤2,即0< a≤4时,f(x)在[2,4]上单调递增, f(x)max-f(x)min =f(4)-f(2)= 4+ a 4-2- a 2 =2- a 4 =1 ,解得a= 4,满足题意;② 当 a ≥4,即a≥16 时,f(x)在[2,4]上单调递减,f(x)max- f(x)min =f(2)-f(4)=2+ a 2-4- a 4 = a 4-2=1 ,解得a=12,不满足 题意,舍去;③ 当2< a <4,即4< a<16时,f(x)在[2,a]上单调递 减,在(a,4]上单调递增,f(x)min = f(a)=2a,a.当f(4)=4+ a 4 ≥ f(2)=2+ a 2 时,即4<a≤8时, f(x)max =f(4)=4+ a 4 ,故f(x)max- f(x)min =f(4)-f(a)=4+ a 4- 2a =1,解得a=4或a=36,均不满 足题意,舍去,b.当f(4)=4+ a 4 < f(2)=2+ a 2 ,即8<a <16时, f(x)max = f(2)= 2+ a 2 ,从 而 f(x)max-f(x)min =f(2)-f(a)= 2+ a 2-2a =1 ,解得a=6-42(舍 去)或a=6+42,满足题意.综上所 述,a的值所组成的集合为{4,6+42}. 故选AD. 10.[4,5] 11.(-∞,3] 解析:由题意可得 ∀x ∈ (2,4),x+ 2 x >a 是真命题,因为f(x)=x+ 2 x 在(2,4)上单调递增,则f(x)>f(2)= 3,可得a≤3,所以实数a 的取值范围 是(-∞,3]. 12.3 解析:依 题 意 得 Q a3 ,a ,P a, 1 a ,则 |AQ|+|CP|= a3 + 1 a = a 3 + 1 a ,记 a =t(t>1), f(t)=|AQ|+|CP|,则f(t)= t 3 + 1 t ,所以f(t)= t 3 + 1 t ≥2 1 3 , 当且仅当 t 3 = 1 t ,即t2 = 3时取等 号,此时a= 3. 13.解:f(x)=2x-1+ 4 2x-1- 4, 令2x-1=m,∵1≤x ≤3,∴1≤ m ≤5. 则f(x)=h(m)=m+ 4 m -4. 由双勾函数的性质,可得h(m)在[1, 2]上单调递减,在(2,5]上单调递增, 所以f(x)在 1, 3 2 上是减函数,在 3 2 ,3 上是增函数. f(1)=1,f 3 2 =0,f(3)= 95, 综上可得,f(x)的单调递减区间为 1,32 ,单调递增区间为 32,3 , 值域为 0,95 . 14.解:(1)∵f(-1)= -2,又f(x)是奇 函数,∴f(1)=2, 2 -a+b= - 2, 2 a+b= 2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=0, ∴f(x)=x+ 1 x . 经验证,函数f(x)的定义域为{x|x≠ 0},f(-x)= -x+ - 1 x = -f(x) 成立,满足要求, ∴a=1,b=0. (2)由(1)知,f(x)=x+ 1 x . 方程f(x)=m 在(0,+∞)上有两个 不同的根, 即x2-mx+1=0在(0,+∞)上有 两个不相等的实数根, 需满足 Δ =m 2-4>0, m >0, 解得m >2. (3)由 题 意 知 h(x)= x2 + 1 x2 - 2t x+ 1x , 令z=x+ 1 x ,y =z2-2tz-2, ∵ 函数z=x+ 1 x 在 1 2 ,1 上单调 递减,在[1,2]上单调递增, ∴z∈ 2, 5 2 , ∵ 函数y=z2-2tz-2的对称轴为 z=t<0, ∴ 函数y=z2-2tz-2在 2, 5 2 上 单调递增. 当z=2时,ymin = -4t+2;当z= 5 2 时,ymax = -5t+ 17 4. 即h(x)min = -4t+2,h(x)max = -5t+ 17 4. 又 ∵ 对 ∀x1,x2 ∈ 1 2 ,2 都 有 |h(x1)-h(x2)|≤ 15 4 恒成立, ∴h(x)max-h(x)min ≤ 15 4 , 即-5t+ 17 4 - (-4t+2)≤ 15 4 , 解得t≥- 3 2 ,又 ∵t<0, ∴t的取值范围是 - 3 2 ,0 . 15.(1)2 (2)5(答案不唯一) 解析:(1)若a=1,则x+ a x =x+ 1 x ,当x >0时,x+ 1 x ≥ 2 x·1x =2 ,当且仅当x = 1 x ,即 x =1时取等号,所以x+ 1 x 的最小 值为2. (2)因为函数y=x+ a x (a>0)在 (0,a)上单调递减,在(a,+∞)上 单调递增,要使x>2时,x+ a x 存在 最小值,则 a >2,解得a>4,不妨 取a=5(答案不唯一). 16.解:(1)当a=2时,函数f(x)=x+ 1 2x+4 ,f(x)在区间[1,+∞)上单调 递增,证明如下: 任取x1,x2,设1≤x1<x2,则x1- x2 < 0,0 < 1 2x1x2 < 1 2 ,1 - 1 2x1x2 >0, 则f(x1)-f(x2)= (x1 -x2)+ 1 2x1 - 1 2x2 = (x1 - x2) 1 - 1 2x1x2 <0, 所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在 区间[1,+∞)上单调递增. (2)由x ∈ (0,1]时,f(x)是减函数 知,0 < x1 < x2 ≤ 1,f(x1)- f(x2)=(x1-x2)· ax1x2-1 ax1x2 >0 恒成立, 而a>0,则ax1x2-1<0恒成立,显 然ax1x2 <ax22 ≤a,因此a≤1, 由x ∈ [1,+∞)时,f(x)是增函数 知,1≤x1 <x2,f(x1)-f(x2)= (x1-x2)· ax1x2-1 ax1x2 <0恒成立, 则ax1x2 -1 > 0 恒 成 立,显 然 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -571- hh ax1x2 >ax21 ≥a,因此a≥1,则有 a=1, 当x ∈ [1,+∞)时,函数f(x)= x+ 1 x +4 在[1,+∞)上单调递增, f(x)min =f(1)=6, 所以a=1,x∈[1,+∞)上f(x)的 最小值为6. 课时作业11 指数与指数函数 1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 因为f(x)=ax-2+3,令x-2= 0得x=2,所以f(2)=a0+3=4,所 以f(x)的图象恒过定点 P(2,4).设 g(x)=xα(α ∈R),把 P(2,4)代入 g(x)=xα 得2α =4,所以α=2,所以 g(x)=x2,所以g(3)=32=9.故选C. 6.A 因为f(-x)= (-x)2 4x -4-x =-f(x), 又函 数 的 定 义 域 为 {x|x ≠0},故 f(x)为奇函数,排除C,D;根据指数函 数的性质,y =4x 在R上单调递增,当 x >0时,x >-x,故4-x <4x,则 f(x)<0,排除B.故选A. 7.AD 由指数幂的运算公式可得am · an =am+n,(an)m =amn,( na)n =a, 所以A,D正确,B错误;当n为奇数时, n an =a,当n为偶数时, n an =|a|, 所以C错误.故选AD. 8.BD 根 据 指 数 函 数 的 性 质 可 知, g(t)= 1 2 t 在(-∞,+∞)上单调 递减,而t(x)=x2+1在(-∞,0)上 单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故 f(x)= 1 2 x2+1 的单调递增区间为 (-∞,0).t(x)=x2 +1的 值 域 为[1, +∞),而g(t)= 1 2 t 在(-∞,+∞) 上单调递减,故f(x)= 1 2 x2+1 的 值域为 0,12 .故选BD. 9.AC 当x∈[-2,2]时,ax <2(a> 0,且a≠1),若a>1,y=ax 是增函 数,则有a2<2,可得a< 2,故有1< a< 2;若0<a<1,y=ax 是减函 数,则有a-2 <2,可得a > 2 2 ,故有 2 2 <a<1 ,综上所述,实数a 的取值 范围是(1,2)∪ 2 2 ,1 .故选AC. 10.102 11.32 或1 2 解析:当a>1时,函数f(x)在区间 [1,2]上 单 调 递 增,由 题 意 可 得, f(2)-f(1)=a2-a= a 2 ,解得a= 3 2 或a=0(舍去);当0<a<1时, 函数f(x)在区间[1,2]上单调递减, 由题意可得,f(1)-f(2)=a-a2= a 2 ,解得a= 1 2 或a=0(舍去).综上 所述,a= 3 2 或a= 1 2. 12.22 解析:∵x>0,y>0,且x+4y=1, ∴2x +16y =2x +24y ≥2 2x·24y = 2 2x+4y =22,当且仅当2x =24y, 即x = 1 2 ,y = 1 8 时,等号成立, 即2x +16y 的最小值是22. 13.解:(1)(-2x 1 4y -13)(3x -12y 2 3)· (-4x 1 4y 2 3)= (-2)×3×(-4)· x 1 4- 1 2+ 1 4y -13+ 2 3+ 2 3 =24y. (2)278 -23 - 49 9 0.5 +0.008 -23 × 2 25= 3 2 3 -23 - 49 9 + 1 5 3 -23 × 2 25= 4 9- 7 3+2= 1 9. 14.解:(1)f(x)= 1 4x - λ 2x-1 +4 = 1 2 2x -2λ· 1 2 x +4(-1≤x≤ 2).设t= 1 2 x ,得g(t)=t2 - 2λt+4 1 4 ≤t≤2 . 当λ = 3 2 时,g(t)=t2-3t+4= t- 3 2 2 + 7 4 1 4 ≤t≤2 .所以 g(t)max = g 1 4 = 5316,g(t)min = g 3 2 = 74.所 以 f(x)max = 5316, f(x)min = 7 4. 故函数f(x)的值域为 7 4 ,53 16 . (2)方程f(x)=0可转化为λ=2· 2x + 1 2 ·1 2x (-1≤x ≤2). 设φ(x)=2·2x+ 1 2·2x 12 ≤2x ≤ 4 ,当 2x = 12,即 x = -1 时, φ(x)min =2;当2x =4,即x =2时, φ(x)max = 65 8. 所以函数φ(x)的值域为 2, 65 8 . 故实数λ 的取值范围是 2,658 . 15.35 解析:∵g(x)为偶函数,h(x)为奇函 数,且g(x)-h(x)=2x①, ∴g(-x)-h(-x)=g(x)+h(x)= 2-x②,①② 两 式 联 立 可 得 g(x)= 2x +2-x 2 ,h(x)= 2-x -2x 2 . 由 m· g(x)+h(x)≤0得m≤ 2x -2-x 2x +2-x = 4x -1 4x +1 =1- 2 4x +1 ,∵y=1- 2 4x +1 在 [- 1,1] 上 为 增 函 数,∴ 1 - 2 4x +1 max = 35. 16.[-22,+∞) 解析:由函数f(x)为R上的奇函数, 得f(0)=ae0+be-0,即有a+b=0, 从而得f(x)=aex -ae-x,由e2x + e-2x +f(x)=e2x +e-2x +aex - ae-x ≥ 0 得,e2x +e-2x +a(ex - e-x)≥0,即(ex -e-x)2+2+a(ex - e-x)≥0恒成立,令ex-e-x =t,易得 t>0,于是有t2+2+at≥0在t∈ (0,+ ∞)上恒成立,∴a ≥- t2+2 t 恒成立,∵t 2+2 t =t+ 2 t ≥22 , ∴- t2+2 t = - t+ 2t ≤-22, ∴a≥ - t2+2 t max = -22. 课时作业12 对数与对数函数 1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.A 令t=log1 2 x,因为x∈ 1 4 ,1 , 所以t∈ (0,2],则问题可转化为对任 意的t∈(0,2],t2+at+4≤6恒成立, 即a≤ 2-t2 t = 2 t -t 对任意的t∈ (0,2]恒成立.因为y = 2 t -t 在t∈ (0,2]上 单 调 递 减,所 以ymin =1- 2= -1,所以a≤-1,即实数a的最大 值为 -1.故选A. 7.CD 解不等 式log5(3-2x)<1得 0<3-2x <5,解得 -1<x < 3 2 , 即原不等式的解集为 -1, 3 2 ,(-1, 0)⫋ -1, 3 2 ,(-1,1)⫋ -1,32 , 因此A,B都不是;而 -1, 3 2 ⫋ (-1, 2),-1, 3 2 ⫋(-1,+∞),因此C,D 都是.故选CD. 8.ABD 对于A,注意到y= -logax = log1 a x,则其与函数y= 1 a x 互为反 函数,故 A 正 确;对 于 B,函 数y = log1 a x 定义域为(0,+∞),值域为 R. 函数y = 1 a x 定义域为 R,值域为 (0,+∞),故B正确;对于C,当a>1 时,两函数均在定义域内单调递减.当 0<a<1时,两函数均在定义域内单 调递增,故C错误;对于D,两函数互为 反函数,则函数图象关于直线y=x对 称,故D正确.故选ABD. 9.AD 对于A,B,因为f(x)= lg 1 |x-2|+ 1 ,故f(x+2)= lg 1 |x|+ 1 ,又f(-x+2)= lg 1 |-x|+ 1 =lg 1|x|+1 ,故 f(x+2)为偶函数,故A正确,B错误;对 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -572-