课时作业6 函数的概念及其表示-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

第二章 函数的概念与基本初等函数 课时作业6函数的概念及其表示 /基础巩固 二、多项选择题 7.(2023·山东济宁调研)下列四组函数中，f(x) 一、单项选择题 与g(x)是同一个函数的是 () 1.f(x)=√1-x+lg(3x-1)的定义域为 A.f(x)=In r',g(x)=2In x B.f(x)=x,g(x)=(x)2 A传1 B.(0,1] C.f(x）=x,g(x)=x D.f(x)=x,g(x)=log.a'(a>0且a≠1) c.() .(. x+2,x≤-1， 8.已知函数f(x)= 关于 2.(2023·安微安庆高三期中)已知函数f(2x x2+1,-1<x<2, 函数(x)的结论正确的是 () 1)=x2一3，则f(3)= A.f(r)的定义域是R A.1 B.2 B.f(x)的值域是(-oo,5) C.4 D.6 C.若f(x)=3,则x的值为2 2x-3,x≥1， 3.设函数f(x)= 若f(x)= D.f(x)的图象与直线y=2有两个交点 x2-2x-2,x<1, 9.(2023·广东深圳模拟)在平面直角坐标系中， 1,则x。= 横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函 A.-1或2 B.2或3 数f(x)的图象恰好经过n(n∈N”)个整点， C.-1或3 D.-1或2或3 则称函数f(x)为n阶整点函数.下列函数是 4.若函数f(x)的定义域为[0,4]，则函数 一阶整点函数的是 () g(x)=f(x+2)的定义域为 () A.f(x)=sin 2r B.g(r)=x A.[-2,2] B.[0,2] C.A)=(得) D.(x =In r C.[-2,0] D.[0,4] 5.已知f(E+1)=x+3,则f(x+1)的解析 三、填空题 式为 10.已知函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且 A.f(x+1)=x+4(x≥0) fx)=3·f()月 +1,则f(x)= B.f(x+1)=x+3(x≥0) C.f(x+1)-x-2.x+4(x≥1) 2-x|,x≤2， D.f(x+1)=x2+3(x≥1) 11.已知函数f(x)= 若 x2-4x+4,x>2, 6.定义在R上的函数f(x)满足f(x十y)= f(f(m)≥0，则实数m的取值范围是 f(x)+f(y)十2.xy(x,y∈R),f(1)=3,则 f(-3)= (1-2a)x+3a,x<1, 12.已知函数f(x)= 的 A.3 B.8 lnx,x≥1 C.9 D.24 值域为R,则实数a的取值范围是 -299- 第二章函数的概念与基本初等函数 练 四、解答题 13.已知函数y=√4-x的定义域为A,x2+ 14已知fx)-+∈R且x卡D 6.x+8>0的解集为B,C={x∈R|3 g(x)=x8-1(x∈R). 2≤x≤2十m,m∈R},函数y (1)求f(2),g(3): (2)求f(g(3),f(g(x): 6x-17(x>2且x≠3)的值域为D. 3-x (3)求f(x),g(x)的值域. (1)若“x∈A∩B”是“x∈C”的充分条件， 求m的取值范围： (2)若BUC=R,且C二D,求m的取值 范围. ,素养提升 15.定义：[x]表示不超过x的最大整数，如 [-1.6]=-2,[1.1]=1.已知函数f(x)= x+x∈(-∞，-4)U(2,+∞)，则 1-2x 函数f(x)的值域为 3x+1,x≤1， 16.已知函数f(x)= 若n>m, x2-1,x>1, 且f(n)=f(m),设t=n一m,则t的取值范 围为 红勾·讲与练·高三数学 -300-hh 空集,则 实 数a 的 取 值 范 围 是[-4, +∞).故选B. 7.BC 因为不等式[x]2+[x]-12≤0, 所以([x]-3)([x]+4)≤0,即-4≤ [x]≤3,又因为[x]表示不小于实数 x 的 最 小 整 数,所 以 不 等 式 [x]2 + [x]-12≤0的解可以为3,-4.5.故 选BC. 8.ACD 不等式ax2-(a+2)x+2≥ 0(a>0)即(ax-2)(x-1)≥0,当 2 a >1 ,即0<a<2时,不等式解集为 (-∞,1]∪ 2a ,+∞ ;当2a =1,即 a=2时,不等式解集为 R;当 2 a <1 , 即a >2时,不 等 式 解 集 为 - ∞, 2 a ∪ [1,+∞).故选ACD. 9.ACD 原不等式等价于 (ax+b)(x-c)≥0, x-c≠0, 因 为 其 解 集 为(-∞,-2]∪ (1,+∞),所以a> 0且c=1,-2a+b=0,故A正确;因 为a>0,b=2a>0,则点(a,b)在第 一象限,故B错误;由b=2a>0可得, 2a+ 1 b =2a+ 1 2a≥2 2a ·1 2a =2 , 当且仅当 2a= 1 2a , a>0, 即a = 12 时,等 号成立,所以2a+ 1 b 的最小值为2,故 C正确;由b =2a >0可得,不 等 式 ax2+ax -b≥0即 为ax2 +ax - 2a ≥ 0,化 简 可 得 x2 +x -2 ≥ 0⇒(x+2)(x-1)≥0,则其解集为 (-∞,-2]∪[1,+∞),故D正确.故 选ACD. 10.(-2,2] 11.-3 12.0,13 解析:∵f(x)=x2-4x-4且f(x) <1,∴x2-4x-4<1,解得-1< x <5,即x ∈ (-1,5).∵f(x)<1 在区间(m-1,-2m)上恒成立, ∴(m-1,-2m)⊆ (-1,5). ∴ -1≤m-1, m-1<-2m, -2m ≤5, 解得0≤m< 13, 即m ∈ 0, 1 3 . 13.解:(1)若方程ax2+2x+1=0(a≠ 0)有一个正根和一个负根, 则 Δ=4-4a>0, 1 a <0 , 即 a<1,a<0, ∴a<0. ∴ 方程ax2+2x+1=0(a≠0)有 一个正根和一个负根的充要条件是 a<0. (2)方程ax2+2x+1=0(a≠0)有 一个正根和一个负根的一个必要不 充分条件是a<1, 证明:若方程ax2+2x+1=0(a≠ 0)有一个正根和一个负根, 则由(1)知其充要条件为a<0, 从而a<1,故必要性成立. 若0<a<1,则方程ax2+2x+1= 0中,Δ=4-4a>0,x1·x2= 1 a >0 , ∴ 方程ax2+2x+1=0有两个同号 根,∴ 充分性不成立, 故a <1是 方 程ax2 +2x +1= 0(a≠0)有一个正根和一个负根的一 个必要不充分条件. 14.解:(1)当m+1=0时,即m = -1, 则由f(x)=x-2<0,得x<2,不 合题意, 当m+1≠0,即m≠-1时,由不等式 f(x)<0的解集为 ⌀ 得 m+1>0, Δ =m2-4(m+1)(m-1)≤0, 解得m ≥ 23 3 , 所以m 的取值范围为 23 3 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 . (2)因 为 f(x)≥ m,所 以 (m + 1)x2-mx-1≥0,即[(m+1)x+ 1](x-1)≥0, 当m+1=0,即 m = -1时,解得 x ≥ 1, 所 以 不 等 式 的 解 集 为 [1,+∞); 当m+1>0,即 m >-1时, x + 1 m+1 (x-1)≥0, 因为- 1 m+1< 0,所以不等式的解集 为 -∞,- 1m+1 ∪ [1,+∞); 当m+1<0,即-2<m <-1时, x+ 1m+1 (x-1)≤0, 因为-2<m <-1,所以-1<m+ 1<0,所以- 1 m+1> 1, 所以不等式的解集为 1,- 1m+1 , 综上,当m = -1时,不等式的解集为 [1,+∞),当m >-1时,不等式的解 集为 -∞,- 1m+1 ∪ [1,+∞), 当-2<m<-1时,不等式的解集为 1,- 1m+1 . (3)因为不等式f(x)≥0的解集为 D,且[-1,1]⊆D, 所以对任意的x ∈ [-1,1],不等式 (m+1)x2-mx+m-1≥0恒成立. 即m(x2-x+1)≥-x2+1, 因为x2-x+1= x-12 2 + 3 4 >0 , 所 以 m ≥ - x2+1 x2-x+1 = -1 + 2-x x2-x+1 恒成立, 令t=2-x,则t∈[1,3],x=2-t, 所以 2-x x2-x+1 = t (2-t)2-(2-t)+1 = t t2-3t+3 = 1 t+ 3 t -3 , 由基本 不 等 式 可 得 y =t+ 3 t ≥ 2 t·3t =23 ,当且仅当t= 3 t , 即t= 3时取等号, 所以当x =2- 3时, 2-x x2-x+1 取 最大值,所以 -x 2+1 x2-x+1 的最大值为 -1+ 1 23-3 = 23 3 , 所以m 的取值范围为 23 3 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 . 15.CD 因为f(x)=4ax2+4x-1,所 以f(0)= -1<0成立.当x∈(-1, 0)∪ (0,1)时,由 f(x)<0可 得 4ax2 <- 4x + 1, 所 以 4a < 1 x2 - 4 x min,当x∈(-1,0)∪(0, 1)时,1x ∈ (-∞,-1)∪(1,+∞), 所 以 1 x2 - 4 x = 1 x -2 2 -4≥-4, 当且仅当x = 1 2 时,等号成立,所以 4a<-4,解得a<-1. 16.- 8 3 ,+∞ 解析:对任意x ∈N*,f(x)≥3, 即 x2+ax+11 x+1 ≥ 3恒成立, 即a≥- x+ 8 x +3. 设g(x)=x+ 8 x ,x ∈N*, 则g(x)=x+ 8 x ≥42 , 当且仅当x =2 2 时等号成 立,又 g(2)=6,g(3)= 17 3 , ∵g(2)>g(3),∴g(x)min = 17 3 , ∴- x+ 8 x +3≤- 83, ∴a ≥- 8 3 ,故 a 的 取 值 范 围 是 - 8 3 ,+∞ . 第二章 函数的概念 与基本初等函数 课时作业6 函数的概念及其表示 1.A 2.A 3.A 4.A 5.B 6.A 由题意,令x =y=0,得f(0)= f(0)+f(0)+2×0×0,所以f(0)= 0;令x =y =1,得f(2)=f(1)+ f(1)+2×1×1=8;令x=2,y=1, 得f(3)=f(2)+f(1)+2×2×1= 15;令 x =3,y = -3,得 f(0)= f(3)+f(-3)+2×3×(-3),即0= 15+f(-3)-18,所以f(-3)=3. 7.CD 对 于 A,f(x)的 定 义 域 为{x| x≠0},g(x)的定义域为{x|x>0}, 两个函数的定义域不相 同,不 是 同 一 个函数;对于B,f(x)的定义域为 R, g(x)的定义域为{x|x ≥0},两个函 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -566- 参 考 答 案 数的定义域不相同,不是同一个函数; 对于C,g(x)= 3 x3 =x(x∈R),两 函数的定义域和对应关系 相 同,是 同 一个函数;对 于 D,g(x)=loga x = x,x∈R,两个函数的定义域和对应关 系相同,是同一个函数.故选CD. 8.BC 由函数f(x)= x+2,x ≤-1, x2+1,-1<x <2 知,定 义 域 为 (-∞,-1]∪(-1,2),即(-∞,2),故 A错误;当x≤-1时,f(x)=x+2∈ (-∞,1],当-1<x<2时,x2∈[0, 4),故f(x)=x2+1∈[1,5),故值域 为(- ∞,5),故 B正 确;由 B可 知 当 f(x)=3时,x∈(-1,2),即f(x)= x2+1=3,解 得 x = 2 或 x = - 2(舍去),故C正 确;由B可 知 当 f(x)=2时,x∈(-1,2),即f(x)= x2+1=2,解得x =1或x = -1(舍 去),故f(x)的图象与直线y=2有一 个交点,故D错误.故选BC. 9.AD 对于函数f(x)=sin 2x,它的图 象(图略)只经过一个整点(0,0),所以 它是一阶整点函数;对于函数g(x)= x3,它的图象(图略)经过整点(0,0), (1,1),…,所以它不是一阶整点函数; 对于函 数h(x)= 1 3 x ,它 的 图 象 (图略)经过整点(0,1),(-1,3),…,所 以 它 不 是 一 阶 整 点 函 数;对 于 函 数 φ(x)=ln x,它的图象(图略)只经过 一个整点(1,0),所以它是一阶整点函 数.故选AD. 10.- 3 8 x - 1 8 (x >0) 11.[-4,+∞) 解析:作 出 函 数f(x)的 图 象,如 图 所示, 若f(f(m))≥0,则f(m)≥-2,因 为f(-4)=2-|-4|= -2,结合图 象可知m ≥-4,所以实数 m 的取值 范围是[-4,+∞). 12.-1, 1 2 解析:由题意知f(x)=ln x(x≥1) 的值域为[0,+∞),故要使f(x)的 值 域 为 R,则 必 有 f(x)= (1- 2a)x+3a(x <1)为增函数,且1- 2a+3a≥0,所以1-2a>0且a≥ -1,解得 -1≤a< 1 2 ,所以实数a 的取值范围是 -1, 1 2 . 13.解:(1)因为A ={x|4-x2≥0}= [-2,2], B = {x |x2 +6x +8 > 0}= (-∞,-4)∪ (-2,+∞), 所以A ∩B = (-2,2], 又因为“x∈A∩B”是“x∈C”的充 分条件,可得(A ∩B)⊆C, 则 3-2m ≤2+m, 3-2m ≤-2, 2+m ≥2, 解得m ≥ 52, 所以m 的取值范围为 52 ,+∞ . (2)因为B ∪C =R, 则 3-2m ≤2+m, 3-2m ≤-4, 2+m ≥-2, 解得m ≥ 72, 可得2+m ≥ 11 2 ,3-2m ≤-4, 因为y = 6x-17 3-x , 可得x = 3y+17 y+6 , 由x>2且x≠3可得 3y+17 y+6 > 2, 解得y<-6或y>-5, 所以D =(-∞,-6)∪(-5,+∞), 又因为C⊆D,则3-2m >-5,解得 m <4, 综上可知m 的取值范围为 72 ,4 . 14.解:(1)因为f(x)= 1-x 1+x (x∈R且 x ≠-1),g(x)=x2-1(x ∈R), 所以f(2)= 1-2 1+2= - 1 3 ,g(3)= 32-1=8. (2)由 (1)得 f(g(3))= f(8)= 1-8 1+8= - 7 9 , f(g(x))=f(x2-1)= 1-x2+1 1+x2-1 = 2-x2 x2 = 2 x2 -1(x ∈R且x ≠0). (3)因为f(x)= 1-x 1+x = 2-(1+x) 1+x = 2 1+x- 1≠-1, 所以f(x)的值域为{y|y ∈ R 且 y≠-1}, 因为g(x)=x2-1≥-1, 所以g(x)的值域为[-1,+∞). 15.{-2,-3} 解析:因为y = 1-2x x+1 = 3-2(x+1) x+1 = - 2+ 3 x+1 , 当x∈(-∞,-4)时,函数y= 1-2x x+1 为减函数,所以y∈ (-3,-2), 所以f(x)= 1-2x x+1 = -3; 当x∈(2,+∞)时,函数y= 1-2x x+1 为减函数,所以y∈ (-2,-1), 所以f(x)= 1-2x x+1 = -2; 综上所述,f(x)的值域为{-2,-3}. 16. 5-1, 17 12 解析:画出f(x)的大致图象如图所 示,3×1+1=4,令x2-1=4(x> 1),解得x = 5,由n>m,f(n)= f(m)得 3m +1 = n2 -1,m = n2-2 3 ,且1<n≤ 5,所以t=n- m =n - n2-2 3 = - 1 3n 2 +n + 2 3 (1<n≤ 5),结合二次函数的性 质可知,当n = - 1 2× - 1 3 = 3 2 时,t取得 最 大 值,最 大 值 为 - 1 3 × 3 2 2 + 3 2+ 2 3 = 17 12 ,当n= 5时, t取 得 最 小 值,最 小 值 为 - 1 3 × (5)2+ 5+ 2 3 = 5-1. 所以t的 取值范围是 5-1, 17 12 . 课时作业7 函数的单调性与最值 1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B 因为y=f(x)= 1 2 x +a , 则f(-x)= 1 2 -x +a =|2x + a|,由题意得f(x)= 1 2 x +a 与 f(-x)=|2x +a|在区间[1,2 023] 上同 增 或 同 减.若 两 函 数 同 增,则 1 2 x +a≤0, 2x +a≥0 在区间[1,2 023]上 恒 成 立,即 a≤- 1 2 , a≥-2, 所 以 -2 ≤ a≤- 1 2. 若两函数同减,则 1 2 x +a≥0, 2x +a≤0 在区间[1,2 023]上 恒成 立,即 a≥- 1 2 2 023 , a≤-22 023, 无 解.综 上,实数a的取值范围是 -2,-12 ,对 照选项中的a值,所以只有B符合题意. 7.BD 由 ∀x1,x2 ∈ (0,+∞),都有 f(x1)-f(x2) x1-x2 <0,可知函数f(x) 在(0,+∞)上为减函数.由于f(x)= |x-1|= x-1 ,x≥1, 1-x,x<1, 则f(x)在 [1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上 单调递减,故f(x)在(0,+∞)上不单 调,故 A 不 符 合 题 意;函 数 f(x)= -5x+1在(0,+∞)上为减函数,故 B符合题意;函数f(x)=x2+4x+3 图象的对称轴 为 直 线x = -2,故 在 (0,+∞)上f(x)=x2+4x+3为增 函数,故C不符合题意;函数f(x)= 4 x 在(0,+∞)上为减函数,故D符合 题意.故选BD. 8.AC f(x)=loga|x-1|的定义域 为(-∞,1)∪ (1,+∞).设z=|x- 1|,可得函数z 在(-∞,1)上单调递 减,在(1,+∞)上单调递增,当a>1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -567-