课时作业4 基本不等式-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 3 课时作业4 基本不等式 - 一、单项选择题 1.下列不等式恒成立的是 ( ) A.ba + a b ≥2 B.ab≥ a+b 2 2 C.a+b≥2 |ab| D.a2+b2≥-2ab 2.已知0<x< 1 2 ,则函数y=x(1-2x)的最大 值是 ( ) A.12 B. 1 4 C.18 D. 1 9 3.(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是 ( ) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ 4 |sin x| C.y=2x +22-x D.y=ln x+ 4 ln x 4.(2023·福建泉州模拟)若正实数x,y满足 1 x+ y=2,则x+ 4 y 的最小值是 ( ) A.4 B.92 C.5 D.9 5.已知实数a,b满足a+b=ab(a>1,b>1), 则(a-1)2+(b-1)2 的最小值为 ( ) A.2 B.1 C.4 D.5 6.(2024·湖北恩施高三月考)若关于x的不等式 4x a + 1 x-2≥ 4对任意x >2恒成立,则正实 数a的取值范围为 ( ) A.[1,4] B.(0,4) C.(0,4] D.(1,4] 二、多项选择题 7.已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( ) A.a2+b2≥ 1 2 B.2a-b > 1 2 C.log2a+log2b≥-2 D.a + b ≤ 2 8.(2023·广东肇庆二模)已知x2+y2=1,x ∈ R,y∈R,且xy≠0,则 ( ) A.|x+y|≤ 2 B.|xy|> 1 2 C.log2|x|+log2|y|≤-1 D.1 |x|+ 1 |y|< 2 9.已知实数a,b∈R+,且2a+b=1,则下列结论 正确的是 ( ) A.ab的最小值为18 B.a2+b2 的最小值为 1 5 C.1a+ 1 b 的最小值为6 D.b-1a-1∈ (0,2) 三、填空题 10.(2023·山东青岛模拟)已知a>0,b>0,则 b a + 4a a+b 的最小值为 . 11.规定:“􀱋”表示一种运算,即a􀱋b= ab+ a+b(a,b为正实数).若1􀱋k=3,则k的值 为 ,此时函数f(x)= k􀱋x x 的最小 值为 . 12.已知正数x,y满足x+4y=4,则 x+28y+4 xy 的最小值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -295- hh 四、解答题 13.(1)已知x >2,求f(x)= 9 x-2+ x 的最 小值. (2)已知x,y 是正实数,且x+y=9,求 1 x + 3 y 的最小值. 14.一艘轮船在航行中每小时的燃料费p 和它的 速度x 的立方成正比.已知当速度为每小时 10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速 度无关的费用是每小时96元,现轮船航行1 海里. (1)将该轮船所需的总费用y 元表示为轮船 的速度x 海里/小时的函数; (2)轮船的速度为多少时,所需的费用总和 最小? 2 15.(2023·河北保定二模)已知a,b∈(0,+∞), 且a2+3ab+4b2=7,则a+2b 的最大值 为 . 16.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的 最小值是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -296- hh m+n=4, m-n=2, 解得 m =3,n=1, 所 以4a- 2b=3(a-b)+(a+b),又a-b∈[0, 1],a+b∈[2,4],所以4a-2b∈[2, 7].故选B. 6.D 对于A,如果a<b,c<d,那么 a-c<b-d 不一定成立,如5<6, 4<9,但5-4>6-9;对于B,如果 a<b,c<d,那么ac<bd 不一定成 立,如 -2<-1,1<4,此时ac>bd; 对于C,如果a<b,c<d,且cd≠0, 那么 a c < b d 不一定成立,如1<2, 1<8,此时 a c > b d ;易知D成立. 7.AC 由1a < 1 b <0 ,可知b<a<0. 对于A,因为a+b<0,ab>0,所以 1 a+b< 0,1ab>0. 故有 1 a+b< 1 ab , 故A正确;对于B,因为b<a<0,所 以-b>-a >0.故 -b>|a|,即 |a|+b<0,故B错误;对于C,因为 b<a<0,又 1 a < 1 b <0 ,则- 1 a > - 1 b >0 ,所以a- 1 a >b- 1 b ,故C 正确;对于 D,因为b<a <0,根 据 y =x2 在(-∞,0)上单调递减,可得 b2 >a2 >0,而y =ln x 在定义 域 (0,+∞)上 单 调 递 增,所 以ln b2 > ln a2,故D错误.故选AC. 8.ACD 对于A,由a<b, 1 a < 1 b ,可 得 1 a - 1 b = b-a ab <0 ,所以ab<0, 故A正确;对于B,若a>b>0,c< d < 0,e > 0,则 e a-c - e b-d = e(b-d)-e(a-c) (a-c)(b-d) = e(b-a+c-d) (a-c)(b-d) < 0,所 以 ea-c < e b-d ,故B不正确;对于C,若c>a> b>0,则 a c-a- b c-b= a(c-b)-b(c-a) (c-a)(c-b) = c(a-b) (c-a)(c-b)> 0,故C正 确;对 于 D,若a>b>c>0,则 a b - a+c b+c = a(b+c)-b(a+c) b(b+c) = c(a-b) b(b+c)> 0, 故D正确.故选ACD. 9.AB 因为6<a<60,15<b<18,所 以 1 18< 1 b < 1 15 ,-18<-b<-15, 所以 6 18< a b < 60 15 ,6+15<a+b< 60+18,6-18<a-b<60-15,即 1 3 < a b <4 ,21<a+b<78,-12< a-b<45.于 是 a+b b = a b +1∈ 4 3 ,5 .故A,B正确,C,D错误. 10.[-1,5] 11.③ 解析:∵m>n>0,令②-①得m2+ 4n2-4mn= (m-2n)2≥0,∴② ≥ ①,令 ③ - ② 得4m2 +n2 -m2 - 4n2 =3m2-3n2 >0,∴③ > ②,令 ③- ④ 得4m2 +n2 -m2 -n2 = 3m2>0,∴③>④,∴代数式的值最 大的是 ③. 12.3 解析:若ab>0,bc-ad>0成立,不 等式bc-ad>0两边同除以ab可得 c a - d b >0 ,即ab>0,bc-ad>0⇒ c a - d b >0 ;若ab>0, c a - d b >0 成立,不等式c a - d b >0 两边同乘 ab,可得bc-ad>0,即ab>0, c a - d b >0⇒bc-ad>0 ;若c a - d b >0 , bc-ad > 0成 立,则 c a - d b = bc-ad ab >0 ,又bc-ad>0,则ab> 0,即ca - d b >0 ,bc-ad>0⇒ab> 0.综上可知,以三个不等式中任意两 个为条 件 都 可 推 出 第 三 个 不 等 式 成 立,故可组成的正确命题有3个. 13.解:(1)由题意知公寓窗户面积与地 板面积分别为a m2,b m2,则 a b ≥10% , a+b=220, 所以b≤ a10% =10a, 所以a+b=220≤a+10a,所以a≥ 20,所以这所公寓的窗户面积至少为 20 m2. (2)变好了.理由:由题意知a 和b分 别表示公寓原来窗户面积和地板面 积,n表示窗户和地板所增加的面积 (面积单位都相同),由题意得0<a< b,n>0, 则a+n b+n- a b = ab+bn-ab-an b(b+n) = n(b-a) b(b+n) , 因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0, 又因为a<b,所以n(b-a)>0. 因此a+n b+n- a b >0 ,即a+n b+n > a b , 所以窗户和地板同时增加相等的面 积,公寓的采光效果变好了. 14.解:(1)∵a>b>0,∴ a2-b2 a2+b2 >0, a-b a+b> 0, ∴ a2-b2 a2+b2 a-b a+b = (a+b)2 a2+b2 = 1 + 2ab a2+b2 >1,∴ a2-b2 a2+b2 > a-b a+b . (2)证 明:∵c < d < 0,∴ -c > -d>0,又a>b>0, ∴a-c>b-d>0,b-a<0,c- d<0,又e<0, ∴ ea-c- e b-d = e(b-d)-e(a-c) (a-c)(b-d) = e(b-d-a+c) (a-c)(b-d)= e(b-a+c-d) (a-c)(b-d)> 0, ∴ ea-c> e b-d . 15.[0,4) (0,8) 解析:∵-4<y<2,由绝对值的几 何意义可得0≤|y|<4,∴-4< -|y|≤0,又4<x<8,由同向不等 式可加原则得0<x-|y|<8. 16.(1)6 (2)12 解析:设男学生人数为x,女学生人数 为 y,教 师 人 数 为 z,由 已 知 得 x >y, y>z, 2z>x, 且x,y,z 均为正整数. (1)当z=4时,8>x>y>4,∴x 的最大值为7,y 的最大值为6,故女 学生人数的最大值为6. (2)x >y>z> x 2 ,当x =3时,条 件不成立,当x =4时,条件不成立, 当x =5时,5>y >z> 5 2 ,此时 z=3,y=4.∴该小组人数的最小值 为12. 课时作业4 基本不等式 1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C 由题意可得4 (x-2) a + 1 x-2≥ 4- 8 a 对任意x>2恒成立,由a>0, x-2>0,可得 4(x-2) a + 1 x-2≥ 2 4 (x-2) a · 1 x-2= 4 a ,当且仅当 4(x-2) a = 1 x-2 ,即x =2+ a 2 时 取等号,则4- 8 a ≤ 4 a ,解得0<a≤ 4.故选C. 7.ABD 对于 A,a2+b2 =a2 + (1- a)2 =2a2-2a+1=2a- 1 2 2 + 1 2 ≥ 1 2 ,当且仅当a=b= 1 2 时,等 号成立,故 A正 确;对 于 B,a-b = 2a-1>-1,所以2a-b >2-1= 1 2 ,故 B 正 确; 对 于 C,log2a +log2b = log2(ab)≤log2 a+b 2 2 =log2 1 4 = -2,当且仅当a=b= 1 2 时,等号成 立,故C不正确;对于 D,因 为(a + b)2 =1+2 ab≤1+a+b=2,所 以 a+ b≤ 2,当且仅当a=b= 1 2 时,等号成立,故D正确.故选ABD. 8.AC ∵1=x2 +y2 ≥2xy,∴2≥ x2+y2+2xy≥0,∴|x+y|2 = |x2+y2+2xy|≤2,∴|x+y|≤ 2,当且仅当x =y= 2 2 或x =y= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -564- 参 考 答 案 - 2 2 时取等号,故A正确;∵1=x2+ y2=|x|2+|y|2≥2|xy|,∴|xy|≤ 1 2 ,当且仅当x =y= 2 2 或x =y= - 2 2 时取等号,故B错误;∵log2|x|+ log2|y|=log2|xy|≤log2 1 2 = -1 , 当且仅当x =y = 2 2 或x =y = - 2 2 时取等号,故C正确;由B可知 |xy|≤ 1 2 ,∴ |xy| ≤ 2 2 , ∴ 1 |xy| ≥ 2,∴ 1 |x|+ 1 |y|≥ 2 1 |xy| ≥22,当且仅当x =y= 2 2 或x=y= - 2 2 时取等号,故D错 误.故选AC. 9.BD 对于A,a,b∈R+,由2a+b= 1≥2 2ab,则ab ≤ 1 8 ,当 且 仅 当 2a=b= 1 2 时等号成立,故A错误;对 于B,因为a,b∈R+,2a+b=1,所以 0<a< 1 2 ,由a2+b2 =a2+ (1- 2a)2 =5a- 2 5 2 + 1 5 ,所以当a= 2 5 时,a2+b2 有最小值 1 5 ,故B正确; 对于C,由1a + 1 b = 1 a + 1 b (2a+ b)=3+ b a + 2a b ≥3+2 b a ·2a b = 3+2 2,当 且 仅 当 b a = 2a b 即a = 2- 2 2 ,b= 2-1时,等号成立,故C 错误;对 于 D,由b-1a-1 = -2a a-1 = -2- 2 a-1 ,因为0<a< 1 2 ,所以 -1<a-1<- 1 2 ,-2< 1 a-1< -1,可得0<-2- 2 a-1< 2,所 以 b-1 a-1∈ (0,2),故D正确.故选BD. 10.3 解析:当a>0,b>0时, b a + 4a a+b= a+b a + 4a a+b- 1≥2 a+b a · 4a a+b- 1=3,当 且 仅 当 a+b a = 4a a+b ,即 a=b时等号成立. 11.1 3 解析:由题意得1􀱋k= k+1+k=3, 即k+ k-2=0,解得 k =1或 k = -2(舍去),所以k=1,故k的值为1. 又f(x)= 1􀱋x x = x +x+1 x =1+ x + 1 x ≥1+2=3,当 且 仅 当 x = 1 x ,即x =1时取等号,故函 数f(x)的最小值为3. 12.18 解析:因为x>0,y>0,x+4y=4, 所以 x 4+y=1 ,所以x+28y+4 xy = x+28y+x+4y xy = 2x+32y xy = 2 y + 32 x = 2 y + 32 x · x4 +y = 10+ x 2y+ 32y x ≥10+2 x 2y ·32y x = 18,当且仅当x2y = 32y x 即x = 8 3 , y = 1 3 时取等号,所以x+28y+4 xy 的最小值为18. 13.解:(1)因为x-2>0, 所以f(x)= 9 x-2+ (x-2)+2≥ 2 9x-2 ·(x-2)+2=8, 当且仅当x-2= 9 x-2 时,即当x= 5时等号成立, 因此,函数f(x)= 9 x-2+ x(x > 2)的最小值为8. (2)因为x,y是正实数,且x+y=9, 所以x+y 9 =1 , 则1 x + 3 y = 1 9 (x+y) 1x +3y = 1 9 y x + 3x y + 4 ≥ 1 9 · 2 yx ·3xy +4 =4+239 , 当且仅当y x = 3x y 且x+y=9时取 等号,此时1 x + 3 y 取得最小值,为 4+23 9 . 14.解:(1)设每小时的燃料费用 p = kx3,则6=k×103,k=6×10-3,由 题意得 航 行1海 里 的 时 间 为 1x 小 时,∴y =6×10-3x3· 1 x +96 · 1 x = 3x2 500+ 96 x (x >0). (2)由(1)得y= 3x2 500+ 96 x = 3x2 500+ 48 x + 48 x ≥ 3 3 3x2 500 ·48 x ·48 x = 3 3 3×482 500 = 36 5 ,当且仅当3x 2 500 = 48 x ,即x =20时等号成立,即当x = 20时,y 取得最小值.综上,当轮船的 速度为20海里/小时时,所需的费用 总和最小. 15.22 解析:7= (a +2b)2 -ab = (a + 2b)2 - 1 2a ·2b ≥ (a +2b)2 - 1 2 a+2b 2 2 = 7(a+2b)2 8 ,则(a+ 2b)2≤8,当且仅当a=2b= 2时等 号成立,又a,b∈(0,+∞),所以0< a+2b≤22,当且仅当a=2b= 2 时等号成立,所以a+2b的最大值为 22. 16.45 解析:由 题 意 知y ≠0,由5x2y2 + y4 =1得x2 = 1 5y2 -y 2 5 ,则x2+ y2= 1 5y2 + 4y2 5 ≥2 1 5y2 ·4y 2 5 = 4 5 , 当且 仅 当 1 5y2 = 4y2 5 ,即y2 = 1 2 , x2= 3 10 时取等号,则x2+y2 的最小 值是 4 5. 课时作业5 一元 二次方程、不等式 1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 由(ax-1)2 <x2 恰有2个整数 解,即[(a+1)x-1][(a-1)x-1]< 0恰有2个整数解,所以(a+1)(a- 1)>0,解得a >1或a <-1,① 当 a > 1 时,不 等 式 解 集 为 1a+1, 1 a-1 ,因为 1a+1∈ 0,12 ,故2个 整数解为1和2,则2< 1 a-1≤ 3,即 2a-2<1≤3a-3,解得 4 3 ≤a< 3 2 ;② 当a <-1时,不 等 式 解 集 为 1a+1, 1a-1 ,因为 1a-1∈ - 12, 0 ,故2个整数解为-1,-2,则-3≤ 1 a+1<- 2,即 -2(a+1)<1≤ -3(a+1),解得- 3 2 <a≤- 4 3. 综 上所述,实数a 的取值范围为 - 32, - 4 3 ∪ 43,32 .故选B. 6.B 由x2-2x-3≤0⇒-1≤x ≤ 3,若不等式组 x2-2x-3≤0, x2+4x-(1+a)≤0 的 解 集 是 空 集,∴x2+4x-(1+a)>0在[-1,3] 上恒成立,令f(x)=x2+4x-(1+ a),则二次函数f(x)开口向上,且对 称轴为直线x = -2,∴f(x)在[-1, 3]上单调递增,∴ 要使f(x)>0在 [-1,3]上恒成立,则f(-1)= -4- a>0,解 得a <-4.故 若 不 等 式 组 x2-2x-3≤0, x2+4x-(1+a)≤0 的 解 集 不 是 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -565-