精品解析：河南省信阳市淮滨县2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024年数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，对角线， 相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，对角线， 相交于点O，点E为的中点， 交 于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将四边形各点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ ） A. 向左平移了2个单位 B. 向右平移了2个单位 C. 向上平移了2个单 D. 向下平移了2个单位 9. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（ ） A. 60 B. 75 C. 30 D. 78 10. 如图1，矩形中，点为 的中点，点沿 从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则 的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________． 12. 2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为___________分． 13. 一元二次方程的根的情况是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 15. 如图，平面直角坐标系中，点A(0，3)和B(4，0)，点M(8，m)为坐标平面内一动点，且ΔABM为等腰三角形，则点M的坐标为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： ①； ②． 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 18. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点，，且与y轴交于点A． （1）求该函数的解析式及点A的坐标； （2）函数 与x轴交于点B，求； （3）当时，直接写出x的取值范围． 19. 如图，点，分别在的边， 上， ，连接，．请从以下三个条件：①；② ；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形． （1）你添加的条件是______（填序号）； （2）添加了条件后，请证明为菱形． 20. 如图，在 中，点F是 的中点，点E是线段延长线上一动点，连接，过点C作的平行线，与线段的延长线交于点D，连接 ． （1）求证：四边形 是平行四边形． （2）若 ， ，则在点E的运动过程中： ①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形． 21. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 22. 如图，在矩形中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接．设点P、Q运动的时间为ts． （1）当t为何值时，四边形 是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积． 23. 如图，在正方形中，E是射线上一点，F是正方形外角平分线 上一点，且，连接，． （1）如图1，当E是线段的中点时，直接写出与的数量关系． （2）当E不是线段的中点，其他条件不变时，请在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论． （3）当 时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 2. 据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定a和n的值是解题的关键． 用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：5784亿． 故选：C． 3. 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 4. 如图，在中，对角线 ，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，该选项符合题意； D、因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以平行四边形是菱形，该选项不符合题意． 5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意，可得 ， A、此不等式组无解，符合题意； B、此不等式组解集为 ，不符合题意； C、此不等式组解集为，不符合题意； D、此不等式组解集为，不符合题意； 故选：A 6. 如图，在中，对角线 ，相交于点O，点E为的中点， 交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B 8. 在平面直角坐标系中，将四边形各点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ ） A. 向左平移了2个单位 B. 向右平移了2个单位 C. 向上平移了2个单 D. 向下平移了2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解题． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将四边形格点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比向左平移了2个单位． 故选：A． 9. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（ ） A. 60 B. 75 C. 30 D. 78 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明这块沙田是直角三角形，从而得出直角边为5，12，斜边为13，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为5，12，13， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形， 直角边为5，12，斜边为13， ∴这块沙田的面积为 故选：C． 10. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案：为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 12. 2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为___________分． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数叫做众数． 根据众数的概念求解即可． 【详解】解：根据得分情况图可知：9分的班级数最多，即得分的众数为9． 故答案为：9． 13. 一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到答案，此题考查了根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，准确求出一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于一元二次方程来说， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出， ，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴， ， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 15. 如图，平面直角坐标系中，点A(0，3)和B(4，0)，点M(8，m)为坐标平面内一动点，且ΔABM为等腰三角形，则点M的坐标为___________． 【答案】（8，3）或（8，） 【解析】 【分析】根据勾股定理得出AB，设M（8，m），表示出AM，BM，分三种情况讨论，利用两边相等建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：∵点A（0，3）和B（4，0）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB==5， 设点M（8，m）， ∵△ABM为等腰三角形， ∴可分三种情况， ①当BM=AB时， ∴=5， ∴m=3或m=-3（A、B、M三点共线舍去）， ∴M（8，3）； ②当AM=BM时， ∴， ∴m=， ∴M（8，）； ③当AM=AB时，M点不在y=8上， 即：点M（8，3）或（8，）． 故答案为：（8，3）或（8，）． 【点睛】此题考查勾股定理，等腰三角形的性质，关键是根据勾股定理得出AB解答． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： ①； ②． 【答案】（1）9 ；（2）①；②， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程． （1）先计算二次根式乘法，零指数幂，然后再进行减法运算． （2）分别用公式法以及因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） （2）① ， ∴， ∴； ② ， ∴， 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 18. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点，，且与y轴交于点A． （1）求该函数的解析式及点A的坐标； （2）函数 与x轴交于点B，求； （3）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1），点A的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求出函数的解析式，一次函数与坐标轴交点情况，一次函数与不等式综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用待定系数法求出函数的解析式，再令根据解析式求解即可得到点A的坐标； （2）根据题意得到点B，再利用三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据函数 与x轴的交点情况，可直接得到当时，x的取值范围． 【小问1详解】 解：函数的图象过点，， ， 解得， 函数的解析式为， 当时，， 点A的坐标为； 【小问2详解】 解：函数 与x轴交于点B， 点B， ； 【小问3详解】 解：当时，x的取值范围为． 19. 如图，点，分别在的边，上， ，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形． （1）你添加的条件是______（填序号）； （2）添加了条件后，请证明为菱形． 【答案】（1）① （2） 证明：（添加的条件是） ∵四边形是平行四边形， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为菱形． （添加条件 ） ∵四边形是平行四边形， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为菱形． 【解析】 【分析】（1）添加合适的条件即可； （2）证，得，再由菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：添加的条件是（或 ）． 故答案为：①（或③）． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 20. 如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接，过点C作的平行线，与线段的延长线交于点D，连接 ． （1）求证：四边形 是平行四边形． （2）若 ， ，则在点E的运动过程中： ①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ， ∵点F是的中点， ∴， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形、矩形和菱形的判定与性质是解决问题的关键． （1）证 ，得 ，再由，即可得出结论； （2）①由矩形的性质得，再求出 ，则 ；②由菱形的性质得，再证 是等边三角形，即可得出 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即当时，四边形是矩形； ②． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，即当时，四边形是菱形． 21. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包 （2）选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴ ． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 22. 如图，在矩形中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接．设点P、Q运动的时间为ts． （1）当t为何值时，四边形 是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】（1） （2） （3）周长为40cm；面积为80 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定可得：当时，四边形 为矩形，进而可得关于t的方程，即可求解； （2）当时，四边形为菱形，进而可得关于t的方程，即可求解； （3）求出菱形的边长，再计算周长和面积即可． 【小问1详解】 ∵在矩形中，， ∴， 由已知可得，， 在矩形中，， 当时，四边形 为矩形， ∴，得， 故当时，四边形 为矩形； 【小问2详解】 ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当，即时，四边形为菱形 即时，四边形为菱形，解得， 故当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 当时，， 则周长为cm； 面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图，在正方形中，E是射线上一点，F是正方形外角平分线 上一点，且，连接，． （1）如图1，当E是线段的中点时，直接写出与的数量关系． （2）当E不是线段的中点，其他条件不变时，请在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论． （3）当 时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）成立，证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质求出，结合是线段 的中点时，得到，利用外角平分线的性质证得 是等腰直角三角形，得到，求出，即可得到结论； （2）连接，，根据正方形的性质及外角平分线证明，推出， ，求出，由此证明结论正确； （3）连接、，则，进一步得到，利用等腰三角形的性质可得 ． 【小问1详解】 解：∵在正方形中， ∴，，， ∵是线段 的中点， ∴， ∵点是正方形外角平分线 上一点， ∴， ∴， ∵， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：成立，即． 连接和，如图， 由正方形的对称性可知，，， ∵正方形， ，， ∵点是正方形外角平分线 上一点， ， ， 又， ， ，， ， 又， ， 即， ∴是等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 解：连接、，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； 则． 【点睛】此题考查正方形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定及性质，综合掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $