9.8 随机抽样、用样本估计总体-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

参 考 答 案 则P(B|A)= P(AB) P(A)= 21 40 7 10 = 3 4. 所以抽测3份 试 卷 有2份 来 自 区 间 [80,90)的概率为34. 对点训练5:解:(1)由题意得:12+2m+ 20+32=100,解得m =18. 故平均数为 1 100× (150×12+250× 18+350×20+450×32+550×18)= 376(盒). (2)由题意,μ =376,σ=110, 且266=376-110=μ -σ,596= 376+220=μ+2σ, 故P(X >596)=P(X >μ+2σ)≈ 1 2 × (1-0.954)=0.023, 所以“优质群”约有1 000×0.023= 23(个), 故P(266≤X ≤596)=P(μ-σ≤ X ≤μ+2σ)≈ 1 2 ×0.683+ 1 2 × 0.954=0.818 5, 所以“一级群”约有1 000×0.818 5= 818.5≈819(个); 所以需要资金为23×1 000+819× 200=186 800(元), 故至少需要准备186 800元. 9.8 随机抽样、 用样本估计总体 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)相等 (2)抽签法 随机数法 2.(1)简单随机抽样 分层随机抽样 (3)各层平均数 3.(2)①极差 ②组距 组数 ③数据 4.(2)② 中间 平均数 ③ 最多 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.39 3.54 4.20 5.BCD 对 于 A,由 题 图 知10× (x + 0.015+0.02+0.03+0.025)=1,解 得x=0.01,故A错误;对于B,成绩在 [50,80)内对应的频率为0.1+0.15+ 0.2=0.45<0.6,成绩在[50,90)内 对应 的 频 率 为 0.1+0.15+0.2+ 0.3=0.75>0.6,因此第60百分位数 m 位 于 区 间 [80,90)内,m = 80+ 0.6-0.45 0.3 × (90-80)=85,所以估 计样本数据的第60百分位数约为85, 故B正 确;对 于 C,平 均 数 约 为x = 55×0.1+65×0.15+75×0.2+85× 0.3+95×0.25=79.5(分),故C正 确;对于D,成绩低于80分的三组学生 的人数之比为0.1∶0.15∶0.2=2∶3∶ 4,则应选取成绩在[60,70)内的学生 人数为30× 3 2+3+4= 10,故D正确. 故选BCD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)D 对于A,错在“一次性”抽取; 对于B,老师表扬的是发言积极的,对 每一个个体而言,不具备“等可能性”; 对于C,错在总体容量是无限的.故选D. (2)D 从随机数表第1行第2个数字 开始由左向右依次选取两个 数 字,去 掉超过50和重复的号码,选取的号码依 次为31,32,43,25,12,26,04,01,14,41, 所以选出来的第5个号码所对应的学 生编号为12.故选D. 对点训练1:110 1 10 解析:在抽样过程中,个体a 每一次被 抽中的可能性是相等的,因 为 总 体 容 量为10,故个体a“第一次被抽到”的 可能性与“第二次被抽到”的可能性均 为 1 10. 例2:(1)D 根据比例分配的分层随机抽 样的定义知初中部共抽取60× 400 600= 40(人),高 中 部 共 抽 取60× 200 600 = 20(人),根 据 组 合 公 式 和 分 步 乘 法 计 数原理得不同的抽样结果 共 有C40400· C20200 种.故选D. (2)24 解析:由于用前n 个区间的平均长度 xn n 估计所有(n+1)个区间的平均长 度 N n+1 ,而缴获坦克的编号是3,5,12, 18,20,即n =5,x5 =20,故 20 5 = N 5+1 ,∴N =24,即 则 统 计 学 家 利 用 上述方法估计德军每月生产的坦克数 为24. 对点训练2:BCD 1 500家商店的每日零 售额情况是总体,A错误;从中随机抽 取60家商店,则 样 本 容 量 为60,B正 确;因为三种类型的商店的数量 之 比 为1∶5∶9,所以大、中、小型商店分别 抽取4,20,36家,C正确;被抽取的60 家商店每日的零售额情况是所抽取的 一个样本,D正确.故选BCD. 例3:(1)CD 对 于 A,E(y)= E(x + c)=E(x)+c,且c≠0,故平均数不 相同,故A错误;对于B,若第一组中位 数为xi,则第二组中位数为yi =xi+ c,显 然 不 相 同,故 B错 误;对 于 C, D(y)=D(x+c)=D(x),故方差相 同,即标准差相同,故C正确;对于D, 由极差的定义知,若第一组的极 差 为 xmax-xmin,则第二组的极差为ymax- ymin = (xmax +c)- (xmin +c)= xmax-xmin,故极差相同,故D正确.故 选CD. (2)D 对于甲同学,平均数为3,众数 为2,则3次考试的名次为2,2,5,满足 要求;对于乙同学,中位数为3,众数为 3,可举反例:3,3,6,不满足要求;对于 丙同学,众数为3,方差小于3,可举特 例:3,3,6,则 平 均 数 为4,方 差s2 = 1 3 × [2×(3-4)2+(6-4)2]=2< 3,不满足要求;对于丁同学,平均数为 3,方差小于3,设丁同学3次考试的名 次分别为x1,x2,x3,若x1,x2,x3 中 至少有一个大于或等于6,则方差s2= 1 3 [(x1-3)2 + (x2 -3)2 + (x3 - 3)2]>3,与已知条件矛盾,所以x1, x2,x3 均不大于5,满足要求. 对点训练3:解:(1)x = 1 10× (9.8+ 10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+ 10.1+10.2+9.7)=10,y = 1 10× (10.1+10.4+10.1+10+10.1+ 10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)= 10.3,s21 = 1 10× (0.22 +0.32 +0+ 0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+ 0.32)= 0.036,s22 = 1 10× (0.22 + 0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+ 0.22+0.12+0.22)=0.04. (2)依题意,y-x=0.3=2×0.15= 2× 0.152 =2 0.022 5, 2× 0.036+0.04 10 =2 0.007 6,所 以y-x>2 s21+s22 10 ,所以新设备生 产产品的该项指标的均值较旧设备有 显著提高. 例4:0.004 4 175 解析:根 据 频 率 分 布 直 方 图 可 知, (0.001 2+0.002 4×2+0.003 6+x+ 0.006 0)×50=1,得x =0.004 4,设 小区居民6月份用电量的45% 分位数 为y,0.002 4×50+0.003 6×50+ (y-150)×0.006 0=0.45,y=175. 对点训练4:C 因为100×75% =75为 整数,所以第75个数据和第76个数据 的平均数为第75百分位数,是9.3,则 C正确.故选C. 例5:AD 对于 A,根据频率和等于1得 10a = 1-10× (0.005+0.030+ 0.035+0.010)= 0.20,解 得 a = 0.020,故A正确;对于B,成绩在区间 [80,100]内 的 学 生 人 数 约 为 200× 10×(0.035+0.010)=90,故B错误; 对于C,学生体能测试成绩的平均数约 为(55×0.005+65×0.020+75× 0.030+85×0.035+95×0.010)× 10=77.5,故C错误;对于D,0.005× 10+0.020×10+0.030×10=0.55< 0.69,0.005× 10 + 0.020 × 10 + 0.030×10+0.035×10=0.9>0.69, 所以这组数据的69% 分位数的估计值 落在 区 间 [80,90)内,又 因 为 80+ 0.69-0.55 0.9-0.55× 10=84,故估计全校学 生体能测试成绩的69% 分位数为84, 故D正确.故选AD. 对点训练5:ABD 对于 A,质量的平均 数为(96×0.025+98×0.15+100× 0.225+102×0.075+104×0.025)× 2=99.7(克),故A正确;对于B,优等 品 有0.225×2×100=45(件),故B正 确;对于C,由频率分布直方图可得,质 量的众数为 99+101 2 =100 ,故质量的 众数不落在区间[98,100)内,故C错 误;对于D,质量在[99,101)内的有45 件,质量在[101,103)内的有15件,质 量在[103,105]内的有5件,所以质量 的中位 数 一 定 落 在 区 间[99,101)内, 故D正确.故选ABD. 例6:解:(1)依题可知,题图1第一个小矩 形的面积为5×0.002>0.5%,所以 95<c<100, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -557- hh 所以(c-95)×0.002=0.5%,解得 c=97.5, q(c)=0.01× (100-97.5)+5× 0.002=0.035=3.5%. (2)由题可知,100个未患病者中,该项 医 学 指 标 在[95,105]中 的 有100× (0.010+0.002)×5=6(人),其中被 误诊者有100×(100-99)×0.01+ 100×5×0.002=2(人), 记随机抽取的2人恰有一人为被误诊 者为事件A,分别用a,b,c,d,E,F 表 示这6人,E,F 代表被误诊的2人,样 本空 间 Ω = {ab,ac,ad,aE,aF,bc, bd,bE,bF,cd,cE,cF,dE,dF,EF}, 事 件 A = {aE,aF,bE,bF,cE,cF, dE,dF},故n(Ω)=15,n(A)=8, P(A)= n(A) n(Ω)= 8 15. 故2人中恰有一 人为被误诊者的概率是8 15. 对点训练6:解:(1)当0≤x ≤200时, y =0.5x; 当200<x≤400时,y=0.5×200+ 0.8×(x-200)=0.8x-60; 当x >400时,y=0.5×200+0.8× 200+1.0×(x-400)=x-140. 所以 y 与x 之 间 的 函 数 解 析 式 为 y = 0.5x,0≤x ≤200, 0.8x-60,200<x ≤400, x-140,x >400. (2)由(1)可知,当y =260时,x = 400,即用电量小于400千 瓦 时 的 占 80%,结合频率分布直方图可知, 0.001 0×100+2×100b+0.003 0×100=0.8, 100a+0.000 5×100=0.2, 解得a=0.001 5,b=0.002 0. (3)设75% 分位数为m, 由题图知,用电量低于300千瓦时的频 率为(0.001 0+0.002 0+0.003 0)× 100=0.6, 用电量低于400千瓦时的频率为0.8, 所以75%分位数在[300,400)内,所以 0.6+(m-300)×0.002 0=0.75,解 得m =375,即用电量的75% 分位数 为375千瓦时. 平均数 =50×0.001 0×100+150× 0.002 0×100+250×0.003 0×100+ 350×0.002 0×100+450×0.001 5× 100+550×0.000 5×100=275(千 瓦时). 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现1:D 对于 A,由图可知,2015 年至2022年,知识付费用户数量逐年 增加,故A正确;对于B,D,知识付费用 户数量的逐年增加量分别为:2016年, 0.96-0.48=0.48;2017年,1.88- 0.96=0.92;2018年,2.95-1.88= 1.07;2019年,3.56-2.95 = 0.61; 2020年,4.15-3.56=0.59;2021年, 4.77-4.15=0.62;2022年,5.27- 4.77=0.5.可知知识付费用户数量逐 年增加量2018年最多,故B正确,D错 误;对 于 C,由5.27>0.48×10,即 2022年知识付费用户数量超过2015年 知识付费用户数量的10倍,故C正确; 故选D. 题目呈现2:AB 根据雷达图可知甲同 学物理、化学、地理成绩领先年级平均 分,其中,物理、化学、地理成绩领先年 级平均分分别约为1.5分、1分、1分, 所以甲同学物理成绩领先年级平均分 最多,故A正确,C错误;根据雷达图可 知,甲同学的历史、政治成绩低于年级 平均分,故B正确;对甲而言,物理、化 学、地理是比较理想的一种选科结果, 故D错误.故选AB. 题目呈现3:D 对于A,班级乙该周每天 的人 均 体 育 锻 炼 时 间 的 极 差 为90- 30=60,班级甲该周每天的人均体育 锻炼时间的极差为72-30=42,所以 班级乙该周每天的人均体育锻炼时间 的极差比班级甲的大,故A错误;对于 B,由折线图可知,班级甲的数据从小 到 大 依 次 为 30,35,55,65,70,70,72, 所以班级甲该周每天的人均体育锻炼 时间的中位数为65,故B错误;对于C, 班级乙的数据从小到大依次为30,30, 35,65,83,88,90,班级乙该周每天的人 均体育锻炼时间的众数为30,故C错 误;对于D,班级甲该周每天的人均体 育锻炼时间的平均数为 397 7 ,班级乙该 周每天的人均体育锻炼时间的平均数 为 421 7 ,班级甲该周每天的人均体育锻 炼时间的平均数比班级乙的小,故D正 确.故选D. 题目呈现4:AB 对于A,根据条形图可 知,2017年至2021年全国居民人均可 支配收入逐年增加,A正确.对于B,根 据扇形图可知,2021年 全 国 居 民 人 均 消费支出为5 641+1 419+7 178+ 569+2 115+2 599+3 156+1 423= 24 100(元),B正确.对于C,根据条形 图可知,2020年全国 居 民 人 均 可 支 配 收入较 前 一 年 上 升,C错 误.对 于 D, 2021年全国居民人均消费支出构成中 食品烟酒和居住占比:7 178+5 641 24 100 × 100% ≈53.2% <60%,D错误. 题目呈现5:B 对于A,甲种水稻产量的 平均数: 2 890+2 960+2 950+2 850+2 860+2 890 6 =2 900,乙种水稻产量的平均数: 2 900+2 920+2 900+2 850+2 910+2 920 6 =2 900.所以甲种水稻产量的平均数 和乙种水稻产量的平均数相等,故 A 不正确;对于B,甲种水稻产量按从小 到大 排 列 依 次 为2 850,2 860,2 890, 2 890,2 950,2 960,中位数为2 890,乙 种水稻 产 量 按 从 小 到 大 排 列 依 次 为 2 850,2 900,2 900,2 910,2 920,2 920, 中位数为 2 900+2 910 2 =2 905,所以甲 种水稻产量的中位数比乙种水稻产量 的中位数小,故B正确;对于C,甲种水 稻产量的极差为:2 960-2 850=110, 乙种水稻产量的极差为:2 920-2 850= 70,甲种水稻产量的极差与乙 种 水 稻 产量的极差不相等,故C不正确;对于 D,甲种水稻的产量的方差为 1 6 [(2 850-2 900)2+(2 860-2 900)2+ (2 890-2 900)2+ (2 890-2 900)2 + (2 950-2 900)2+(2 960-2 900)2]= 5 200 3 ,乙种水稻的产量的方差为 1 6 [(2 850-2 900)2+(2 900-2 900)2+ (2 900-2 900)2+(2 910-2 900)2+ (2 920-2 900)2+(2 920-2 900)2]= 1 700 3 ,甲种水 稻 产 量 的 平 均 数 和 乙 种 水稻产量的平均数相等,乙种 水 稻 的 产量的方差小于甲种水稻的产量的方 差,所以乙种水稻的产量比甲 种 水 稻 的产量稳定,故D不正确.故选B. 9.9 成对数据的统计分析 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)有关系 (2)正相关 负相关 (3)某条直线 2.(2)正相关 负相关 (3)强 弱 3.(2)预测值 4.(2)是否独立 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.y =c·dx(c,d>0) 3.97.5 4.12 5.BC 对于A,样本相关系数|r|越大, 则成对 样 本 数 据 的 线 性 相 关 程 度 越 强,故A错误;对于B,由样本相关系数 r= -0.05,|r|<0.4,则变量x,y线性 相关程度较弱,故B正确;对于C,决定 系数R2 的值越接近1,则经验回归方 程拟合效果越好,故C正确;对于D,残 差平方和越小,表示经验 回 归 方 程 拟 合效果越好,故D错误.故选BC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:B 对于A,y=a+bx对应的“直线 型”的拟合函数,散点图中的点应在某 直线附近,故A错误;对于B,根据散点 图可以看 出 散 点 大 致 分 布 在 一 条“指 数型”函数曲线附近,则y=a+bex 的 图象符合题意,故B正确;对于C,y = a+b x 对应的“幂函数型”的拟合函 数,则其对应图象应上凸下凹,故C错 误;对于D,y=a+bln x 对应的“对数 型”的拟合函数,则其对应图象应上凸 下凹,故D错误.故选B. 对点训练1:A 由题中给出的四组数据 的散点图可以看出,题图1和题图3是 正相关,样本相关系数大于0,题图2和 题图4是负相关,样本相关系数小于0, 题图1和题图2的点相对更加集中,所 以线性相关性更强,所以r1 接近于1, r2 接近于-1,由此可得r2<r4<0< r3 <r1.故选A. 例2:BC 对于B,由表格数据得x = 6+8+10+12 4 =9 ,y = 6+m+3+2 4 = 11+m 4 ,将样本中心 点 9,11+m4 代入经验回归方程ŷ= 7.6-0.4x 得 11+m 4 =7.6-0.4×9 , 解得 m =5,故 B正 确;对 于 C,又 11+m 4 =4 ,即样本中心点为(9,4),故 C正确;对于A,当变量x 增加,变量y 相应值减少,两个变量之 间 呈 负 相 关 关系,故 A错误;对于D,由残差定义 知,观测值减去预测值为残差,由经验 回归方程ŷ=7.6-0.4x,令x =10, 得预测值ŷ=3.6,则相应于(10,3)的 残差为3-3.6= -0.6,故D错误.故 选BC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -558- hh 9.8 随机抽样、用样本估计总体 5A>! 1.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本,了解分层随机抽样. 2.理解统计图表的含义. 3.会用统计图表对总体进行估计,会求n 个数据的第p 百分位数. 4.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度. AMc
-  -@) 1.简单随机抽样 (1)特点:逐个抽取,且每个个体被抽取的概 率 . (2)常用方法: 和 . (3)适用范围:个体性质相似,无明显层次,且 个体数量较少,尤其是样本容量较少. 2.分层随机抽样 (1)定义:一般地,按一个或多个变量把总体 划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属 于一个子总体,在每个子总体中独立地进行 ,再把所有子总体中抽取的样本合 在一起作为总样本,这样的抽样方法称为 ,每一个子总体称为层. (2)适用范围:总体可以分层,且层与层之间 有明显区别,而层内个体差异较小. (3)平均数的计算:各层抽样比乘以 的和. 3.统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线 图、频率分布直方图等. (2)作频率分布直方图的步骤 ① 求 ; ② 决定 与 ; ③ 将 分组; ④ 列频率分布表; ⑤ 画频率分布直方图. 4.用样本估计总体 (1)百分位数 一般地,一组数据的第p 百分位数是这样一 个值,它使得这组数据中至少有p% 的数据 小于或等于这个值,且至少有(100-p)% 的 数据大于或等于这个值. (2)平均数、中位数和众数 ① 平均数:x= 1 n (x1+x2+…+xn). ② 中位数:将一组数据按从小到大或从大到 小的顺序排列,处在最 的一个数据 (当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的 (当数据个数是偶数时). ③ 众数:一组数据中出现次数 的数 据(即频数最大值所对应的样本数据). (3)方差或标准差 ①方差:s2= 1 n∑ n i=1 (xi-x)2或 1 n∑ n i=1 x2i-x2. ② 标准差:s= 1 n∑ n i=1 (xi-x)2. (4)总体(样本)方差和总体(样本)标准差 ① 一般式:如果总体中所有个体的变量值分 别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为Y,则总体 方差S2= 1 N∑ N i=1 (Yi-Y)2. ②加权式:如果总体的N 个变量值中,不同的 值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk, 其中Yi 出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总 体方差为S2= 1 N∑ k i=1 fi(Yi-Y)2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 268 @第九章 概率与统计 常用结论与知识拓展 1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率 分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边 中点的横坐标之和. 2.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1,x2,…,xn 的平均数为x,那么mx1+ a,mx2+a,mx3+a,…,mxn +a的平均数是mx+a. (2)若数据x1,x2,…,xn 的方差为s2,那么 ① 数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也为s2; ② 数据ax1,ax2,…,axn 的方差为a2s2. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会一 样,与先后无关. ( ) (2)在比例分配的分层随机抽样中,每个个体 被抽到的可能性与层数及分层有关. ( ) (3)若样本量n=100,则第75百分位数是从 小到大排列的第75个数. ( ) (4) 如果一组数中每个数减去同一个非零常 数,则这组数的平均数改变,方差不变. ( ) (5)频率分布直方图中,小长方形的面积越大, 表示样本数据落在该区间的频率越大.( ) 2.(教材改编题)在一次篮球比赛中,某支球队 共进行了8场比赛,得分分别为29,30,38,25, 37,40,42,32,那么这组数据的第75百分位数 为 . 3.(教材改编题)为了了解某校高三学生的视力 情况,随机抽查了该校100名高三学生的视力 情况,得到频率分布直方图如图所示,由于不 慎将部分数据丢失,但知道后5组的频数和为 64,最大频率为0.34,设视力在4.6到4.8之 间的学生人数为a,则a的值为 . 4.(教材改编题)已知数据x1,x2,x3,x4,x5 的 方差为5,则数据2x1-3,2x2-3,2x3-3, 2x4-3,2x5-3的方差为 . 5.(多选题)(教材改编题)某校组织“校园安全” 知识测试,随机调查600名学生,将他们的测 试成 绩(满 分100分)按 照[50,60),[60, 70),…,[90,100]分成五组,得到如图所示的 频率分布直方图,则下列说法正确的是 ( ) A.图中x=0.1 B.估计样本数据的第60百分位数约为85 C.若每组数据以所在区间的中点值为代表, 则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D.若按各组人数比例用分层随机抽样的方法 抽取30名成绩低于80分的学生,则成绩在 [60,70)内的学生应抽取10人 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 简单随机抽样与分层随机抽样 命题角度1 简单随机抽样 【例1】 (1)下列抽样方法是简单随机抽样的是 ( ) A.质检员从50个零件中一次性抽取5个做 质量检验 B.“隔空不隔爱,停课不停学”,网课上,李老 师对全班45名学生中发言积极的3名学 生进行了表扬 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 269 hh C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个 分析奇偶性 D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑 道试跑 (2)(2024·四川成都高三期中)学校举行舞蹈 比赛,现从报名的50位学生中利用下面的 随机数表抽取10位同学参加,将这50位学 生按01,02,…,50进行编号,假设从随机数 表第1行第2个数字开始由左向右依次选取 两个数字,重复的跳过,读到行末则从下一 行行首继续,则选出来的第5个号码所对应 的学生编号为 ( ) 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617 A.43 B.25 C.32 D.12 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.简单随机抽样需满足:(1)被抽取的样本总体 中的个体数有限;(2)逐个抽取;(3)等可能抽取. 2.简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个 体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的 情况). 【对点训练1】 用简单随机抽样的方法从含有 10个个体的总体中,抽取一个样本量为3的 样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可 能性与“第二次被抽到”的可能性分别是 , . 命题角度2 分层随机抽样 【例2】 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解 学生参加体育运动的情况,用比例分配的分 层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和 高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中 部和高中部分别有400名和200名学生,则 不同的抽样结果共有 ( ) A.C45400·C15200 种 B.C20400·C40200 种 C.C30400·C30200 种 D.C40400·C20200 种 (2)二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的 德军坦克序列号作为样本,用样本估计总体 的方法得出德军某月生产的坦克总数.假设 德军某月生产的坦克总数是N,缴获的该月 生产的n辆坦克编号从小到大为x1,x2,…, xn,即最大编号为xn,且缴获的坦克是从所 生产的坦克中随机获取的,因为生产坦克是 连续 编 号 的,所 以 缴 获 坦 克 的 编 号 x1, x2,…,xn,相当于从[0,N]中随机抽取的n 个整数,这n个数将区间[0,N]分成(n+1) 个小区间,由于N 是未知的,除了最右边的 区间外,其他n个区间都是已知的.由于这n 个数是随机抽取的,所以可以用前n 个区间 的平均长度 xn n 估计所有(n+1)个区间的平 均长度 N n+1 ,进而得到N 的估计值.例如, 缴获坦克的编号是3,5,12,18,20,则统计学 家利用上述方法估计德军每月生产的坦克 数为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 在 比 例 分 配 的 分 层 随 机 抽 样 中,抽 样 比 = 样本容量 总体容量 = 各层样本容量 各层个体总量 ;在比例分配的分层随机 抽样中,如果第一层的样本量为m,平均值为x;第 二层的样本量为n,平均值为y,则样本的平均值为 mx+ny m+n . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 270 @第九章 概率与统计 【对点训练2】 (多选题)某市有大、中、小型商 店共1 500家,且这三种类型的商店的数量 之比为1∶5∶9,现在要调查该市商店的每日 零售额情况,用比例分配的分层随机抽样的 方法从中随机抽取60家商店,则下列选项正 确的有 ( ) A.1 500家商店是总体 B.样本容量为60 C.大、中、小型商店分别抽取4,20,36家 D.被抽取的60家商店每日的零售额情况是 所抽取的一个样本 考点2 样本的数字特征 命题角度1 平均数、中位数、众数、方差、标准 差、极差 【例3】 (1)(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)有一 组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到 新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi =xi + c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 ( ) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 (2)某高校分配给某中学一个保送名额,该中学 进行校内举荐评选,评选条件除了要求该生 获得该校“三好学生”称号,还要求学生在近 期连续3次大型考试中,每次考试的名次都 在全校前5名(每次考试无并列名次).现有 甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生” 称号,四位同学在近期连续3次大型考试名 次的数据分别为 甲同学:平均数为3,众数为2;乙同学:中位 数为3,众数为3; 丙同学:众数为3,方差小于3;丁同学:平均 数为3,方差小于3. 则一定符合推荐要求的同学有 ( ) A.甲和乙 B.乙和丁 C.丙和丁 D.甲和丁 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 用样本估计总体时,样本的平均数、标准差只是 总体的平均数、标准差的近似值. 实际应用时,需先 计算样本数据的平均数,分析平均水平,再计算方差 (标准差)分析稳定情况. 【对点训练3】 (2021·全国乙卷)某厂研制了 一种生产高精产品的设备,为检验新设备生 产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备 和一台新设备各生产了10件产品,得到各件 产品该项指标数据如下: 旧设备 9.810.310.010.29.9 9.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样 本平均数分别记为x 和y,样本方差分别记 为s21 和s22. (1)求x,y,s21,s22; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值 较旧设备是否有显著提高 如果y-x ≥ 2 s21+s22 10 ,则认为新设备生产产品的该项 指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认 为有显著提高 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 271 hh 命题角度2 总体百分位数 【例4】 为了解某小区6月份的用电量情况,经 过随机抽样获得其中300户居民的月用电量 (单位:度),发现都在[50,350]之间,将所有 数据 按 照[50,100),[100,150),…,[300, 350]分成六组,制成了如图所示的频率分布 直方图.则x= ;该小区居民6月份 用电量的45% 分位数大约是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 计算一组n个数据第p 百分位数的步骤 【对点训练4】 已知100个数据的第75百分位 数是9.3,则下列说法正确的是 ( ) A.这100个数据中一定有75个数小于或等 于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是 第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是 第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是 第75个数据和第74个数据的平均数 考点3 频率分布直方图 命题角度1 频率分布直方图中的数字特征 【例5】 (多 选 题) 近年来,加强青 少年体育锻炼, 重视体质健康 已经在社会形 成高度共识,某 校为了了解学生的身体素质状况,举行了一 场身体素质体能测试,以便对体能不达标的 学生进行有效训练,促进他们体能的提升, 现从全部测试成绩中随机抽取200名学生 的测试成绩,进行适当分组后,画出如图所 示的频率分布直方图,则 ( ) A.a=0.020 B.在被抽取的学生中,成绩在区间[80,100] 内的学生有70人 C.估计全校学生体能测试成绩的平均数 为77 D.估计全校学生体能测试成绩的69%分位 数为84 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 272 @第九章 概率与统计 1.在频率分布直方图中,每个小矩形的面积就 是相应的频率或概率,所有小矩形的面积之和为1, 这是解题的关键,也是识图的基础. 2.准确理解频率分布直方图的特点,频率分布 直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距,不 要误以为纵轴上的数据是各组的频率,不要和条形 图混淆. 3.频率分布直方图中的计算:其中众数取最高 的小矩形底边中点的横坐标;求中位数,可将频率分 布直方图划分为左右两个面积相等的部分,分界线 与横轴交点的横坐标即是(如先确定中位数所在区 间,利用“0.5-较低累积频率=(x-区间左端点)× 区间纵坐标”,求得的x 便是). 【对点训练5】 (多选题)(2024·广东深圳立人 高级中学高三月考)为了向社会输送优秀毕 业生,中等职业学校越来越重视学生的实际 操作(简称实操)能力的培养,中职生小王在 对口工厂完成实操产品100件,质检人员测 量其质量(单位:克),将所得数据分成5组: [95,97),[97,99),[99,101),[101,103), [103,105].根据所得数据制成如图所示的 频率分布直方图,其中质量在[99,101)内的 为优等品.对于这100件产品,下列说法正确 的是 ( ) A.质量的平均数为99.7克(同一区间的平 均数用区间中点值代替) B.优等品有45件 C.质量的众数在区间[98,100)内 D.质量的中位数在区间[99,101)内 命题角度2 频率分布直方图的应用 【例6】 (2024·湖南长沙长郡中学入学考试)某 研究小组经过研究发现某种疾病的患病者 与未患病者的某项医学指标有明显差异,经 过大量调查,得到如下的患病者和未患病者 该指标的频率分布直方图. 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临 界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小 于或等于c的人判定为阴性,此检测标准的 漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为 p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概 率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和 误诊率q(c); (2)已知一次调查抽取的未患病者样本容量 为100,且该项医学指标检查完全符合上面 频率分布直方图(图2),临界值c=99,从样 本中该医学指标在[95,105]上的未患病者 中随机抽取2人,则2人中恰有一人为被误 诊者的概率是多少? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 273 hh 充分利用频率分布直方图中每个小矩形的面积 就是相应的频率或概率,所有小矩形的面积之和为1 这一性质解题. 【对点训练6】 某市为了鼓励市民节约用电,实 行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电 量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时 的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦 时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千 瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/ 千瓦时收费. (1)求某户居民的用电费用y(单位:元)关 于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获 得了今年1月份100户居民每户的用电量, 统计分析后得到如图所示的频率分布直方 图.若这100户居民中今年1月份用电费用 小于260元的占80%,求a,b的值; (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的 75% 分位数和平均数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋  >Fe2 以科技进步、社会发展、传统文化、 生活实践为背景的图表数据分析问题 【题目呈现1】 南丁格尔玫瑰图是由近代 护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的,图 中每个扇形圆心角都相等,半径长短表示数量 大小.某机构统计了近些年中国知识付费用户 数量(单位:亿人次),并绘制成南丁格尔玫瑰图 如下,根据此图,下列说法错误的是 ( ) A.2015年到2022年,知识付费用户数量逐 年增加 B.2017年至2018年,知识付费用户数量增 加量为近些年来最多 C.2022年知识付费用户数量超过2015年 知识付费用户数量的10倍 D.2016年至2022年,知识付费用户数量的 年增加量逐年递增 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【题目呈现2】 (多选题)(2023·重庆育才 中学模拟)2021年开始,部分地区实行“3+1+ 2”的普通高考新模式,即除语文、数学、外语3门 必选科目外,考生再从物理、历史中选1门,从化 学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为 了帮助学生合理选科,某中学将高一每个学生 的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制,绘 制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示,下 面叙述一定正确的是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 274 @第九章 概率与统计 A.甲的物理成绩相对他其余科目领先年级 平均分最多 B.甲有2个科目的成绩低于年级平均分 C.甲的成绩从高到低的前3个科目依次是 物理、化学、地理 D.对甲而言,物理、化学、生物是最理想的 一种选科结果 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【题目呈现3】 为了解学生体育锻炼情况, 某学校随机抽取甲、乙两个班级,对这两个班级 某一周内每天的人均体育锻炼时间(单位:分 钟)进行了数据统计,得到如下折线图,下列说 法正确的是 ( ) A.班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的 极差比班级甲的小 B.班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的 中位数为72 C.班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的 众数为65 D.班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的 平均数比班级乙的小 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【题目呈现4】 (多选题)2022年2月28日, 国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会 发展统计公报,在以习近平同志为核心的党中 央坚强领导下,各地区各部门沉着应对百年变 局和世纪疫情,构建新发展格局,实现了“十四 五”良好开局,2021年,全国居民人均可支配收 入和消费支出均较上一年有所增长,结合如下 统计图表,下列说法中正确的是 ( ) A.2017年至2021年全国居民人均可支配 收入逐年递增 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 275 hh B.2021年全国居民人均消费支出24 100元 C.2020年全国居民人均可支配收入较前一 年下降 D.2021年全国居民人均消费支出构成中食 品烟酒和居住占比超过60% 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【题目呈现5】 水稻是世界上最重要的粮 食作物之一,也是我国60%以上人口的主粮,以 袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻 制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发 明”. 育种技术的突破,杂交水稻的推广,不仅让 中国人端稳饭碗,也为解决世界粮食短缺问题 作出了巨大贡献,在应用该技术的两块面积相 等的试验田中,分别种植了甲、乙两种水稻,观 测它们连续6年的产量(单位:kg),如表所示: 甲、乙两种水稻连续6年产量 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 2 890 2 960 2 950 2 850 2 860 2 890 乙 2 900 2 920 2 900 2 850 2 910 2 920 根据以上数据,下列说法正确的是 ( ) A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量 的平均数小 B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量 的中位数小 C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的 极差相等 D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 学习至此,请完成课时作业69 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9.9 成对数据的统计分析 5A>! 1.了解样本相关系数的统计含义. 2.理解一元线性回归模型和2×2列联表,会运用这些方法解决简单的实际问题. 3.会利用统计软件进行数据分析. AMc
-  -@) 1.变量的相关关系 (1)相关关系:两个变量 ,但又没有 确切到可由其中的一个去精确地决定另一个 的程度,这种关系称为相关关系. (2)相关关系的分类: 和 . (3)线性相关:一般地,如果两个变量的取值 呈现 正 相 关 或 负 相 关,而 且 散 点 落 在 附近,我们称这两个变量线性相关. 2.样本相关系数 (1)r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 ∑ n i=1 (yi-y)2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 276