4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象、性质及应用-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

hh 4.5 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象、性质及应用 5A>! 1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A 的意义,了解参数的变 化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题,可以利用三角函数构建事物周期变化的数学模型. AMc
-  -@) 1.函数y=Asin(ωx+φ) (1)匀速圆周运动的数学模型 如图,点P 从P0(t=0)开始,逆时针绕圆周匀 速运动(角速度为ω),则点P距离水面的高度 H 与时间t的函数关系式为 . (2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象 ①用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω> 0,x ∈R)的简图: 列表.先由ωx+φ=0, π 2 ,π,3π2 ,2π分别求出 x 的值,再由ωx+φ 的值求出y 的值,列出 下表. ωx+φ x y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 描点.在同一平面直角坐标系中描出各点. 连线.用光滑的曲线连接这些点,得到一个周 期内的图象. 成图.利用函数的周期性,通过左、右平移得 到定义域内的简图. ② 由y=sin x 的图象通过图象变换得到y= Asin(ωx+φ)(A >0,ω >0)图象的方法: 2.三角函数的应用 (1)如果某种变换着的现象具有 ,那 么就可以考虑借助三角函数来描述. (2)在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用 函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示, 其中A >0,ω >0.描述简谐运动的物理量, 大都与这个解析式中的常数有关: 振幅 周期 频率 相位 初相 T= f= = -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)将函数y=sin ωx的图象向左平移φ(φ> 0)个单位长度,得到函数y=sin(ωx+φ)的 图象. ( ) (2)将y=sin 2x的图象向右平移π6 个单位长 度,得到y=sin2x- π 3 的图象. ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 100 @第四章 三角函数、解三角形 (3)函数y=sin x- m 2 在[0,2π]有两个零点, 则实数m 的范围是(0,2). ( ) (4)把y=sin x 的图象上各点纵坐标不变,横 坐标伸长到原来的2倍,所得图象对应的函数 解析式为y=sin x 2. ( ) (5)若函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期 为T,则函数图象的两个相邻对称轴之间的 距离为T 2. ( ) 2.(教材改编题)将函数y=cos2x+ π 3 的图象 向左平移φ个单位长度后,得到的函数图象关于 y轴对称,则|φ|的最小值为 . 3.(教材改编题)为了得到函数y=sin3x- π 4 的图象,只要把y=sin 3x 的图象向右平移 个单位长度. 4.(教材改编题)某城市一年中12个月的平均气 温与月份的关系可近似地用三角函数y = Acosπ6 (x-6) 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 +B(x =1,2,…,12)来表 示.已知6月份的平均气温最高,为28 ℃, 12月份的平均气温最低,为18 ℃,则10月份 的平均气温为 ℃. 5.(多选题)(教 材 改 编 题)已知函数f(x)= 3sin ωx-cos ωx(ω >0)图象的一条对称 轴和一个对称中心的最小距离为π 4 ,则下列 说法正确的是 ( ) A.函数f(x)的最小正周期为π B.π12 ,0 是函数的一个零点 C.f π 6 ≥f(x) D.f π 3+x =f π3-x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 【例1】 (1)(多选题)要得到函数y=3sin 2x+ π 5 的图象,需 ( ) A.将函数y=3sinx+ π 5 图象上所有点的 横坐标缩短到原来的1 2 (纵坐标不变) B.将函数y=3sinx+ π 10 图象上所有点的 横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) C.将函数y=3sin 2x 图象上所有点向左平 移π 5 个单位长度 D.将函数y=3sin 2x 图象上所有点向左平 移π 10 个单位长度 (2)(2023·洛阳模拟)已知曲线C1:y=cos x, C2:y=sin2x+ π 3 ,为了得到曲线C2,则 对曲线C1 的变换正确的是 ( ) A.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不 变),再把得到的曲线向右平移π 6 个单位 长度 B.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不 变),再把得到的曲线向左平移π 6 个单位 长度 C.先把横坐标缩短到原来的12 倍(纵坐标不 变),再把得到的曲线向右平移π 12 个单位 长度 D.先把横坐标缩短到原来的12 倍(纵坐标 不变),再把得到的曲线向左平移π 12 个单 位长度 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 101 hh 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.注意平移变换时,当自变量x 的系数不为1 时,要将系数先提出,对称变换要注意翻折的方向; 三角函数名不同的图象变换问题,应先将三角函数 名统一,再进行变换. 2.“异名”函数图象的平移变换问题的关键是: 借助诱导公式,将“异名”函数先化为“同名”函数, 可以将“已知函数名称”化为 “所求函数名称”,也可 将“所求函数名称”转化为“已知函数名称”. 【对点训练1】 (1)已知函数f(x)=sin π 2x 的 图象的一部分如图1所示,则图2中的函数 图象所对应的函数解析式是 ( ) A.y=f4x- 1 2 B.y=f x4-12 C.y=f x 4-2 D.y=f(4x-2) (2)已 知 函 数 f(x)=sin ωxcos ωx + 3cos 2ωx 2 (ω>0)图象的相邻的对称轴之 间的距离为2,将函数f(x)的图象向右平 移1 6 个单位长度,再将得到的图象上各点 的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变, 得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解 析式为 . 考点2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 命题角度1 作给定区间内的图象 【例2】 已知函数f(x)=2cos2x+ π 3 +1. (1)用“五 点 法”作 出 函 数 f(x)在 区 间 - π 6 ,5π 6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上的图象; (2)将函数f(x)的图象向右平移 π 6 个单位 长度,再将图象上的每个点的横坐标都伸长 为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x) 的图象,求g(x)在区间 - π 24 ,π 6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上的取值 范围. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 根据“五点法”作给定区间内的函数图象的步 骤:① 根据所给出的x 的所在区间,确定ωx+φ 所 在的区间.②在ωx+φ所在的区间内,找出“特征点 (五点)”,并根据ωx+φ 所在特征点位置,确定出x 的值.③根据x,f(x)进行描点,并用光滑曲线连接 起来即可. 【对点训练2】 已知:① 函数f(x)= cos ωxsinωx+ π 6 -14(ω >0);② 向量 m=(3sin ωx,cos 2ωx),n= 12cos ωx, 1 4 ,且ω>0,f(x)=m·n;③函数f(x)= 1 2sin (2ωx+φ) ω>0,|φ|<π2 的图象经 过点 π 6 ,1 2 .请在上述三个条件中任选一 个,补充在下面问题中,并解答. 已知 ,且函数f(x)的图象相邻两 条对称轴之间的距离为π 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 102 @第四章 三角函数、解三角形 (1)若0<θ< π 2 ,且sin θ= 1 2 ,求f(θ)的值; (2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递减区间; (3)请用“五点法”作出函数f(x)的图象. 命题角度2 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的 解析式 【例3】 (1)(多选题)如图是函数y=sin(ωx+ φ)的部分图象,则函数的解析式可能为 ( ) A.y=sinx+ π 3 B.y=sinπ3-2x C.y=cos2x+ π 6 D.y=cos5π6-2x (2)(2023·广东茂名二模)已知 函数f(x)= 3sin(2x+ φ)|φ|< π 2 的 部 分 图 象如图所示.将函数f(x) 的图象向左平移π 12 个单位长度得到g(x) 的图象,则 ( ) A. g(x)= 3sin2x+ π 6 B.g(x)= 3sin2x+ 5π 12 C.g(x)=- 3cos 2x D.g(x)= 3cos 2x 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的 部分图象求其解析式,常用如下两种方法:①升降零 点法,由ω= 2π T ,即可求出ω.求φ 时,若能求出离原 点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ. ② 代入最值法,将最值点(最高点、最低点)坐标代 入解析式,再结合图形解出ω 和φ. 【对点训练3】 (1)(多 选 题)(2023·福建泉州七 中模拟)如图,已知函 数f(x)=Asin(ωx + φ) A > 0,ω > 0, |φ|< π 2 的图象与x 轴交于点A,B,若 |OB|=7|OA|,图 象 的 一 个 最 高 点 D 43 ,2 3 ,则下列说法正确的是 ( ) A.φ=- π 4 B.f(x)的最小正周期为4 C.f(x)的一个单调递增区间为 - 2 3 ,4 3 D.f(x)图象的一条对称轴为x=- 5 3 (2)(多选题)如图,曲线C为函数y=sin x 0≤ x≤ 5π 2 的图象,甲粒子沿曲线C从A 点向 目的地B点运动,乙粒子沿曲线C从B点向 目的地A 点运动,两个粒子同时出发,且乙 的水平速率为甲的2倍,当其中一个粒子先 到达目的地时,另一个粒子随之停止运动, 在运动过程中,设甲粒子的坐标为(m,n), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 103 hh 乙粒子的坐标为(u,v),若记f(m)=n-v, 则下列说法中正确的是 ( ) A.f π 3 = 3+12 B.f(m)恰有2个零点 C.f(m)在 π 2 ,7π 6 上单调递减 D.f(m)的最小值为- 9 8 命题角度3 函数y=Asin(ωx+φ)的零点 【例4】 (1)(2023· 新 课 标 Ⅰ 卷)已知函数 f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有 且仅有3个零点,则ω的取值范围是 . (2)(2023·全国甲卷改编)函数y=f(x)的图 象由函数y=cos2x+ π 6 的图象向左平移 π 6 个单位长度得到,则y=f(x)的图象与 直线y= 1 2x- 1 2 的交点个数为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 研究y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的性质 时,一般将ωx+φ 视为一个整体,利用换元法和数 形结合思想解题.与三角函数相关的方程根的问题 (零点问题)等常通过函数与方程思想化为图象交点 问题,再借助图象分析. 【对点训练4】 (2024·广东四校高三第一次 联考)已知f(x)=2sinωx+ π 3 + (a - 1)sin ωx(a>0,ω >0)在(0,π)上存在唯 一实 数 x0 使 f(x0)=- 3,又φ(x)= f(x)-23,对任意的x1,x2均有φ(x1)≤ -φ(x2)成立,则实数ω 的取值范围是 ( ) A.1<ω ≤ 5 3 B.1≤ω < 5 3 C.56<ω < 3 2 D. 5 6<ω ≤ 3 2 命题角度4 函数y=Asin(ωx+φ)+b图象的 实际应用 【例5】 摩天轮是一种深受大家喜爱的大型游 乐设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往 上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮 的半径为50米,圆心 O 距地面的高度为 50米,摩天轮做匀速运动,每3分钟转一圈, 点P 的起始位置在摩天轮的最低点处,已知 摩天轮上一点P 在时刻t(单位:分钟)距离 地面的高度y(单位:米)满足y=Asin(ωx+ φ)+b(ω >0,φ∈ [-π,π]). (1)根据条件写出y(单位:米)关于t(单位: 分钟)的函数解析式; (2)若游客在距离地面的高度达到了85 m 时能够获得最佳视觉效果,请问摩天轮转动 一周 能 有 多 长 时 间 使 游 客 有 最 佳 视 觉 效果? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 三角函数能模拟现实生活中的许多周期现象, 匀速圆周运动是比较典型的一个.解决这类问题时, 首先寻找与角有关的信息,确定三角函数模型;其次 搜集数据,求出三角函数解析式,再利用三角函数的 性质解决有关问题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 104 @第四章 三角函数、解三角形 【对点训练5】 筒车是我国古代发明的一种灌 溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生 产中得到使用(图1),如图2,现有一个半径 为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转 1圈,筒车的轴心O 距离水面的高度为2米, 若以盛水筒P 刚浮出水面在点A 处时为初 始时刻,设经过t秒后盛水筒P 到水面的距 离为f(t)(单位:米)(在水面下则f(t)为负 数),筒车上均匀分布着12个盛水筒,假设盛 水筒在最高处时把水倾倒到水槽上. (1)求函数f(t)的表达式; (2)求第一筒水倾倒的时刻t和相邻两个盛 水筒倾倒的时间差; (3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米,一 个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米, 求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌. (精确到0.1小时) 学习至此,请完成课时作业27 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.6 正弦定理、余弦定理 5A>! 1.掌握余弦定理、正弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. AMc
-  -@) 1.正弦定理、余弦定理 在 △ABC 中,若角A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为 △ABC 外接圆的半径,则 正弦定理 余弦定理 文字 语言 在一个三角形中,各边和 它所对角的 的比 相等 三角形中任何一边的平 方,等于其他两边 减去这两边与它们 夹角的余弦的积的 公式 , , 续表 正弦定理 余弦定理 常见 变形 (1)a = ,b = ,c= . (2)sin A = a 2R ,sin B = b 2R ,sin C = c 2R. a∶b∶c= . asin B =bsin A,bsin C =csin B,asin C=csin A cos A = , cos B = , cos C = 2.三角形常用面积公式 (1)S= 1 2a ·ha(ha 表示边a上的高). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 105 hh 2kπ- π 2 ,k∈Z,则φ=2kπ- 5π 6 ,k∈ Z,不妨取k =0,则f(x)=sin 2x- 5π 6 ,则f -5π12 =sin-5π3 = 32. 对点训练7:(1)3cosπx4 (答案不唯一) 解析:由题意,函数f(x)为偶函数,所 以f(x)关于y 轴对称,又f(x)关于 (-2,0)中心对称,且在 R上的最大值 为3,所 以 可 以 取 三 角 函 数 f(x)= 3cosπx4 (答案不唯一). (2)- 1 2 解析:函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω > 0,0<φ ≤π)是 R 上 的 奇 函 数,则 f(0)=0,即sin φ =0,因为0<φ≤ π,则φ=π,所以f(x)= -sin ωx,其 定义域为R,关于原点对称,f(-x)= -sin[ω·(-x)]=sin ωx = -f(x), 此时f(x)为奇函数,由f(x)的图象 关于直线x = π 4 对称可得 πω 4 = π 2+ kπ,k∈Z,即ω =2+4k,k∈Z,由函 数的单调区间知,π 11≤ 1 4 ·2π ω ,即ω≤ 5.5,又因为ω>0,则k=0时,ω=2, 则 f(x)= -sin 2x,则 f π 12 = -sin π 6 = - 1 2. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)BCD ∵f(x)=2|sin x+ cos x|-sin 2x,∴f(x+π)=2|sin(x+ π)+cos(x +π)|-sin[2(x +π)]= 2|sin x+cos x|-sin 2x =f(x),∴π 是f(x)的周期,故A错误;f π2-x = 2sin π2 -x +cos π2 -x - sin2 π2-x =2|sin x+cos x|- sin 2x=f(x),∴直线x= π 4 为f(x) 图象 的 一 条 对 称 轴,故 B 正 确;令 |sin x+cos x|=t∈ [0,2],则有 sin 2x =t2-1,则y= -t2+2t+1, 在[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调 递减,当t=0时,函数f(x)取得最小 值1,故C正确;函数f(x)由y=-t2+ 2t+1和t=|sin x+cos x|复合而成, 当x∈ π 4 ,π 2 时,函数t=|sin x+ cos x|=sin x +cos x = 2sin x + π 4 ,∵x+π4∈ π2,3π4 ,∴函数t= 2sinx+ π 4 在 π4,π2 上 单 调 递 减,且t∈ [1,2],∴ 函数y= -t2+ 2t+1在[1,2]上单调递减,∴f(x) 在 π 4 ,π 2 上单调递增,故D正确.故 选BCD. (2)AD 由题意知,函数的定义域为R, 因为f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)= |sin x|+cos x =f(x),所以f(x) 是偶函数,故A正确;因为f(x+π)= |sin(x+π)|+cos(x+π)=|sin x|- cos x≠f(x),所以f(x)的最小正周 期不是π,故B错误;当x∈ 0, π 2 时, f(x)=sin x+cos x= 2sinx+ π 4 , 且x+ π 4 ∈ π 4 ,3π 4 ,所以函数f(x) 在 π 4 ,π 2 上单调递增,在 π2,3π4 上 单调递减,故C错误;当x ∈ [0,π]时, f(x)=sin x+cos x= 2sin x+π4 , 且x+ π 4 ∈ π 4 ,5π 4 ,所以sin x+ π 4 ∈ - 22,1 ,f(x)∈[-1,2]; 当x ∈ (π,2π]时,f(x)= -sin x+ cos x = 2cos x+π4 ,且x+ π4 ∈ 5π 4 ,9π 4 ,所以cos x+π4 ∈ - 22, 1 ,f(x)∈(-1,2],所以f(x)在[0, 2π]上 的 值 域 为[-1,2],又 f(x + 2π)=|sin(x+2π)|+cos(x+2π)= |sin x|+cos x=f(x),所以T=2π 是f(x)的周期,所以f(x)在 R上的 值域为[-1,2],故函数f(x)的最小 值为 -1,故D正确.故选AD. 素养检测:1.BC 函数f(x)=sin x+ 3|cos x|= 2sin x + π 3 ,x ∈ - π2 +2kπ,π2 +2kπ , 2sin x - π 3 ,x ∈ π2 +2kπ,3π2 +2kπ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 k∈Z,大致图象如下: 由图可知,函数f(x)的最小正周期为 2π,故A错误;函数f(x)的图象关于 直线x = π 2 对 称,故 B正 确;函 数 f(x)的最小值为 -1,故C正确;函数 f(x)在区间 π 2 ,5π 6 上单调递增,在 5π 6 ,π 上单 调 递 减,故 D 错 误.故 选BC. 2.ABD 由sin|x|≠0,得|x|≠kπ, k∈Z,得x≠±kπ,k∈Z,所以f(x) 的定义域为{x|x≠±kπ,k∈Z},关于 原点对称,因为f(-x)=|sin(-x)|+ 1 sin|-x|=| sin x |+ 1 sin|x| = f(x),所 以f(x)为 偶 函 数,故 A正 确;当x∈ π 2 ,π 时,f(x)=sin x+ 1 sin x ,f'(x)=cos x + - cos x sin2x = cos x 1- 1 sin2x ,因为x ∈ π2,π , 所以cos x <0,0<sin x <1,1- 1 sin2x <0,所以f'(x)>0,所以f(x) 在区间 π 2 ,π 上单调递增,故B正确; 因为f 3π 2 = sin3π2 + 1sin3π2 =1- 1=0,故C错误;当x ∈ (-π,0)时, sin x<0,f(x)=|sin x|+ 1 sin|x|= -sin x - 1 sin x ,令 f(x)= 0,得 sin2x = -1,无解;当x =0时,函数 f(x)无意义,当x∈ (0,π)时,sin x > 0,f(x)=|sin x|+ 1 sin|x|= sin x+ 1 sin x ,令f(x)=0,得sin x+ 1 sin x = 0,得sin2 x = -1,无解,当x =π时, 函数f(x)无意义,当x∈(π,2π)时, sin x<0,f(x)=|sin x|+ 1 sin|x|= -sin x + 1 sin x ,令 f(x)= 0,得 sin2x =1,得sin x = -1,得x = 3π 2 , 当x =2π时,函数f(x)无意义,当 x ∈ (2π,3π)时,sin x >0,f(x)= |sin x|+ 1 sin|x|= sin x+ 1 sin x , 令f(x)=0,得sin2x = -1,无解,当 x =3π时,函数f(x)无意义,当x∈ (3π,4π)时,sin x<0,f(x)=|sin x|+ 1 sin|x|= - sin x+ 1 sin x ,令f(x)= 0,得sin2x=1,得sin x=-1,得x= 7π 2. 综上所述,f(x)在区间(-π,4π) 上有两个零点x = 3π 2 和x = 7π 2. 故D 正确.故选ABD. 4.5 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象、性质及应用 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)H =rsin(ωt+φ)+h (2)①0 π2 π 3π 2 2π -φ ω π 2 -φ ω π-φ ω 3π 2 -φ ω 2π-φ ω ②|φ| 1 ω 1 ω |φ| ω A A 2.(1)周期性 (2)A 2πω 1 T ω 2π ωx+φ φ 基础检测 1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ 2.π6 3. π 12 4.20.5 5.ABD f(x)= 3sin ωx-cos ωx = 2sinωx- π 6 ,ω>0,由于f(x)图 象的一条对称轴和一个对称中心的最 小距离为 π 4 ,所以T 4 = π 4 ,T =π= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -480- 参 考 答 案 2π ω ,ω =2,所 以 f(x)=2sin 2x - π 6 ,函数f(x)的最小正周期为π,A 正确;f π 12 =2sin 2× π12- π6 = 0,B正 确;f π 6 = 2sin 2× π6 - π 6 =2sinπ6 =1≠2,所以C错误; f π 3 =2sin 2×π3-π6 =2,所以 f π3+x =f π3-x ,D正确.故选 ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)AD 对于A,将y=3sin x+π5 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变),得到y =3sin 2x+ π 5 的 图 象,A正 确;对 于B,将y = 3sinx+ π 10 图象上所有点的横坐标变 为原来的2倍(纵坐标不变),得到y = 3sin 12x+ π 10 的图象,B错误;对于C, 将y=3sin 2x 图象上所有点向左平移 π 5 个单位长度,得到y=3sin 2x+2π5 的图象,C错误;对于D,将y=3sin 2x 图象上所 有 点 向 左 平 移 π 10 个 单 位 长 度,得到y =3sin 2x+ π5 的图象, D正确.故选AD. (2)C A项,先把曲线C1 上点的横坐 标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得 y=cos 1 2x 的图象,再把得到的曲线向 右平移 π 6 个单位长度得y=cos 1 2 x- π 6 =cos 12x- π12 = -sin 12x- 7π 12 的图象,故A错误;B项,先把曲线 C1 上 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的2倍 (纵坐标不变),得y=cos 1 2x 的图象, 再把得到的曲线向左平移 π 6 个单位长度 得y =cos 1 2 x+ π 6 =cos 12x+ π 12 =sin 12x+7π12 的图象,故B错 误;C项,先把曲线C1 上点的横坐标缩 短到 原 来 的 1 2 倍 (纵 坐 标 不 变),得 y=cos 2x的图象,再把得到的曲线向右 平移 π 12 个单位长度得y =cos 2 x- π 12 =cos2x- π6 =sin 2x+ π3 的图象,故C正确;D项,先把曲线C1 上点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍(纵 坐标不变),得y=cos 2x的图象,再把 得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度得 y=cos 2x+ π 12 =cos 2x+π6 = sin2x+ 2π 3 的图象,故D错误. 对点训练1:(1)D 题图1对应的函数为 f(x)=sin π 2x ,周期为T = 2π π 2 =4, 题图2对应的函数周期为T'=1,所以 f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原 来的 1 4 ,函数解析式为y=sin 2πx.又 由题可得题图2对应的函数解析式为 y=sin2πx- 1 2 ,所以函数y=sin 2πx的图象向右平移12 个单位长度,纵 坐标均不改变,即可得到题图2对应的 图象,所以题图2对应的函数解析式为 y =f 4x- 1 2 =f(4x-2),故 选D. (2)g(x)=sin πx 4 + π 4 解析:f(x)=sin ωxcos ωx+ 3cos 2ωx 2 = 1 2sin 2ωx+ 3cos 2ωx 2 = sin2ωx+ π 3 (ω>0),由题意知,最 小正周期T =2×2=4,又T = 2π 2ω= π ω =4 ,所以ω = π 4 ,所 以f(x)= sin π2x+ π 3 ;将f(x)的图象向右平移 1 6 个单位长度后,得到y=sin π2 x- 1 6 +π3 =sin π2x+π4 的图象,再 将所得图象所有点的横坐标伸长到原 来的2倍,纵 坐 标 不 变,得 到 y = sin π4x+ π 4 的图象,所以g(x)= sin πx4 + π4 . 例2:解:(1)依题意,列表如下: x - π 6 π 12 π 3 7π 12 5π 6 2x+ π 3 0 π 2 π 3 2π 2π f(x) 3 1 -1 1 3 所以函数f(x)在区间 - π 6 ,5π 6 上 的图象如下: (2)因为f(x)=2cos2x+ π 3 +1, 所以将函数f(x)的图象向右平移 π 6 个单位长度,可得到y =2cos 2 x- π 6 +π3 +1=2cos 2x+1的图象, 再将得到的图象上的每个点的横坐标 都伸长为原来的2倍,纵坐标不变,可 得到g(x)=2cos x+1的图象,因为 - π 24≤x≤ π 6 ,所以x∈ - π 24 ,0 , g(x)单调递增,x∈ 0, π 6 ,g(x)单 调递减,又y 轴是y =cos x 的一条对 称轴,所以当x=0时,g(x)有最大值 3,当x= π 6 时,g(x)有最小值3+1,故 g(x)的取值范围是[3+1,3]. 对点训练2:解:选择条件 ①: 因为f(x)=cos ωxsinωx+ π 6 - 1 4 =cos ωx sin ωxcosπ6 + cos ωxsinπ6 -14 = 32sin ωxcos ωx+ 1 2cos 2ωx- 1 4 = 3 4sin 2ωx+ 1 4cos 2ωx = 1 2 32sin 2ωx+ 1 2cos 2ωx = 12sin2ωx+ π6 , 又T = 2π 2ω = π ,所 以 ω =1,所 以 f(x)= 1 2sin2x+ π 6 . 选择条件 ②: 因为m = (3sin ωx,cos 2ωx), n= 1 2cos ωx,14 , 所以f(x)=m·n= 3 2sin ωxcos ωx + 1 4cos 2ωx = 1 2sin2ωx+ π 6 , 又T = 2π 2ω =π ,所以ω =1,所以 f(x)= 1 2sin2x+ π 6 . 选择条件 ③: 由题意可知,T= 2π 2ω =π ,所以ω=1, 所以f(x)= 1 2sin (2x+φ), 又因为函数f(x)图象经过点 π 6 ,1 2 , 所 以 1 2 = 1 2sin2× π 6 +φ ,即 sin π3 +φ =1, 因为|φ|< π 2 ,所以φ = π 6 ,所以 f(x)= 1 2sin2x+ π 6 . (1)因为0<θ< π 2 ,sin θ= 1 2 , 所以θ= π 6 , 所以f(θ)=f π 6 = 12sinπ2 = 12. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -481- hh (2)由π2 +2kπ≤2x + π 6 ≤ 3π 2 + 2kπ,k∈Z, 得π 6 +kπ≤x ≤ 2π 3 +kπ ,k∈Z, 令k=0,得 π 6 ≤x≤ 2π 3 ,令k=1,得 7π 6 ≤x ≤ 5π 3 , 所以函数f(x)在[0,2π]上的单调递 减区间为 π 6 ,2π 3 ,7π6,5π3 . (3)列表: 2x+ π 6 0 π 2 π 3π 2 2π x - π 12 π 6 5π 12 2π 3 11π 12 f(x) 0 1 2 0 - 1 2 0 作出图象如图: 例3:(1)BC 由 函 数 图 象 可 知,T2 = 2π 3 - π 6 = π 2 ,即T =π,所以|ω|= 2π T = 2π π =2 ,所以A错误;当ω =2, x = 2π 3 + π 6 2 = 5π 12 时,y = -1,所以 2× 5π 12+φ = 3π 2+2kπ (k∈Z),解得 φ =2kπ+ 2π 3 (k∈Z),即函数的解析 式 为 y =sin 2x +2π3 +2kπ = sin 2x+π6+π2 =cos 2x+π6 = sin π3 -2x ,所 以 B,C 正 确;而 cos2x+ π 6 = -cos 5π6-2x ,所以 D错误.当ω = -2时,y=sin(-2x+ φ),将 π 6 ,0 代入,得sin -2×π6+ φ =0,故 -2× π6 +φ =π+2kπ, k∈Z,得φ= 4 3π+2kπ ,k∈Z,所以 y =sin-2x+ 4π 3 ,当 x =0时, y<0,与图象不符合.故选BC. (2)D 由题图知,f(0)= 3 2 , ∵f(x)= 3sin(2x+φ)|φ|< π 2 , ∴f(0)= 3sin φ = 3 2 ,sin φ = 3 2 , 又|φ|< π 2 ,∴φ = π 3 , ∴f(x)= 3sin2x+ π 3 , ∵ 将函数f(x)的图象向左平移 π 12 个 单位长度得到g(x)的图象, ∴g(x)= 3sin2x+ π 12 + π3 = 3cos 2x.故选D. 对点训练3:(1)BC 由题图可知,|AB|= |OB|-|OA|=6|OA|, 1 2|AB|= 3|OA|,又D 4 3 ,2 3 ,所以|OA|+ 3|OA |= 4 3 ,所 以 |OA |= 1 3 , |OB|= 7 3 ,所以T 2 = 7 3- 1 3 =2 , T =4,则B正确;所以 2π ω =T =4 , ω = π 2 ,因为 D 43 ,2 3 ,所以 A = 2 3 ,由“五点法”可得π 2 × 4 3 +φ = π 2 ,得 φ = - π 6 ,则 A 错 误;所 以 f(x)= 2 3sin π 2x- π 6 ,设t = π 2x- π 6 ,当x ∈ - 2 3 ,4 3 时,t∈ - π 2 ,π 2 ,因为y =sin t的一个单 调递增区间为 - π 2 ,π 2 ,t=π2x-π6 也为增函数,所以f(x)= 2 3sin π2x- π 6 的一 个 单 调 递 增 区 间 为 - 23, 4 3 ,故C正确;因为f - 53 = 2 3sin -π2×53-π6 =0,所以D错 误.故选BC. (2)ABD 由题 意 得n =sin m,v = sin u=sin 5π 2 -2m =cos 2m,所以 f(m)=n-v =sin m -cos 2m = 2sin2 m+sin m-1,由 0≤m ≤ 5π 2 , 0≤ 5π 2 -2m ≤ 5π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得0≤m ≤ 5π 4 , f π 3 =sinπ3-cos2π3 = 3+12 ,故 A正 确;因 为 0 ≤ m ≤ 5π 4 ,所 以 sin5π4 ≤sin m ≤sinπ2,即- 22 ≤ sin m≤1,令f(m)=2sin2m+sin m- 1=0,得sin m= 1 2 或sin m=-1(舍 去),解得m = π 6 或m = 5π 6 ,故B正 确;令t=sin m,则y=2t2+t-1,因 为t=sin m 在 π2 ,7π 6 上递减,y = 2t2+t-1在 - 1 2 ,1 上不单调,所以 f(m)在区间 π 2 ,7π 6 上单调递减是 错误 的,故 C 错 误;由 选 项 B 可 知 - 2 2 ≤sin m≤1,所以- 2 2 ≤t≤1 , 因为y=2t2+t-1=2t+ 1 4 2 - 9 8 ,t∈ - 2 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,所以f(m)的最小 值为 - 9 8 ,故D正确.故选ABD. 例4:(1)[2,3) 解析:因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤ 2ωπ,令f(x)=cos ωx -1=0,则 cos ωx =1有3个根,令t=ωx,则 cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ], 结合余弦函数y=cos t的图象性质可 得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω <3. (2)3 解析:把函数y =cos2x+ π 6 的图 象向左平移 π 6 个单位长度后得到函数 f(x)=cos2x+ π 6 + π6 = cos 2x+ π2 = -sin 2x 的图象.作 出函数f(x)的部分图象和直线y = 1 2x- 1 2 如图所示.观察图象知,共有 3个交点. 对点训练4:A f(x)=2sin ωx+π3 + (a-1)sin ωx =asin ωx+ 3cos ωx = a2+3sin(ωx+φ),其中φ满足tan φ= 3 a ,又由任意的x1,x2 均有φ(x1)≤ -φ(x2)成立,即f(x1)+f(x2)≤ 43成立,可知f(x)最大值为2 3. ∴ a2+3 =23,又a >0,∴a = 3,∴f(x)=23sinωx+ π 6 ,由0< x<π知 π 6 <ωx+ π 6 <ωπ+ π 6 ,又 f(x)在(0,π)上存在唯一实数x0 使 f(x0)= - 3,即sinωx0+ π 6 = - 1 2 ,∴7π6 <ωπ+ π 6 ≤ 11π 6 ,∴1< ω ≤ 5 3. 故选A. 例5:解:(1)根据题意知,T =3,所以 ω = 2π T = 2π 3 , 则y =Asin 2π 3x+φ +b, 当t=0时,y =Asin φ+b=0, 当t= 3 2 时,y = Asin 2π3 × 32 + 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -482- 参 考 答 案 φ +b=100⇒-Asin φ+b=100, 因此可得b=50, 当t= 3 4 时,y = Asin 2π3 × 34 + φ +50=50⇒Acos φ =0, 由于A ≠0,则cos φ =0, 又φ ∈ [-π,π], 所以φ = - π 2 或φ = π 2. 当φ = - π 2 时,由y=Asin φ+b= 0⇒-A+50=0⇒A =50, 此时y 关于t 的函数解析式为y = f(t)=50sin 2π 3t- π 2 +50= -50cos 2π 3t+50. 当φ = π 2 时,由y =Asin φ+b = 0⇒A+50=0⇒A = -50, 此时y 关于t 的函数解析式为y = f(t)= -50sin 2π 3t+ π 2 +50 = -50cos 2π 3t+50 , 综上可知,y 关于t 的函数解析式为 y =f(t)= -50cos 2π 3t+50. (2)因为f(t)= -50cos 2π 3t+50 ,令 f(t)≥85,得cos 2π 3t≤- 7 10 ,t∈[0,3], 解 得 arccos- 7 10 ≤ 2π3t ≤ 2π - arccos- 7 10 , 即 3 2πarccos- 7 10 ≤t ≤ 32π 2π- arccos- 7 10 , 所以3 2π 2π-arccos- 7 10 - 3 2πarccos- 7 10 =3-3πarccos-710 , 所以有3- 3 πarccos- 7 10 分钟的时 间使游客有最佳视觉效果. 对点训练5:解:(1)由已知可得∠AOx= π 6 , ∵ 盛水筒运动的角速度ω= 2π 60= π 30 , ∴t秒后盛水筒转过的角度为π30t , 此时可得以OP 为终边的角为π30t- π 6 , ∴f(t)= 4sin π 30t- π 6 +2(t ∈ [0,+∞)). (2)当第一筒水到达最高位置时,是第 一次取得最大值,此时π 30t- π 6 = π 2 , 得t=20(秒), 相邻两个盛水筒倾倒的时间差为2π 12÷ π 30=5 (秒). (3)完成该稻田的浇灌需倾倒1000.01= 10 000筒水, 所需时间为20+(10 000-1)×5= 50 015秒,约为13.9小时. 4.6 正弦定理、余弦定理 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.正弦 平方的和 两倍 asin A = b sin B = c sin C a 2 =b2+c2-2bccos A b2 =a2+c2-2accos B c2 =a2+ b2-2abcos C 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C b2+c2-a2 2bc c2+a2-b2 2ca a2+b2-c2 2ab 基础检测 1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 2. 19 3.45°或135° 4.3+4310 6 5 3+43 5 5.ABD 对于A,若A>B,则a>b,由 正弦 定 理 可 得 a sin A = b sin B ,所 以 sin A >sin B,故 A 正 确;对 于 B, bsin A =4sin 30°=2,则bsin A < a<b,所以△ABC 有两解,故B正确; 对于C,当 △ABC 为钝角三角形,且C 为钝角时,cos C = a2+b2-c2 2ab <0 , 可得a2+b2<c2,若C不为钝角,则得 不到a2+b2 <c2,故C错误;对于D, 由余弦 定 理 与 基 本 不 等 式 可 得4= a2 =b2+c2-2bccos A =b2+c2- bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4,当且仅 当b =c = 2时,等 号 成 立,所 以 S△ABC = 1 2bcsin A= 3 4bc≤ 3 ,故D 正确.故选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1) 213 解析:根据余弦定理得BC2 =AB2+ AC2-2AB·ACcos A =4+9-2× 2×3× 1 2 =7 ,得BC= 7,由正弦定 理得 △ABC 的外接圆半径为 1 2 × 7 sinπ3 = 21 3 . (2)π3 解析:因为(a+c)(sin A -sin C)= b(sin A-sin B),所以由正弦定理得 (a+c)(a-c)=b(a-b),即a2 - c2 =ab-b2,则a2+b2-c2 =ab,故 cos C = a2+b2-c2 2ab = ab 2ab= 1 2 ,又 0<C <π,所以C = π 3. (3)3π10 解析:由 题 意 结 合 正 弦 定 理 可 得 sin Acos B-sin Bcos A =sin C,即 sin Acos B -sin Bcos A =sin(A + B)=sin Acos B+sin Bcos A,整理可 得sin Bcos A =0,由于B∈(0,π),故 sin B >0,据此可得cos A =0,A = π 2 ,则B=π-A-C=π- π 2- π 5 = 3π 10. 对点训练1:(1)解:① 由题意得S1 = 1 2 ·a2·32 = 3 4a 2,S2= 3 4b 2,S3= 3 4c 2,则S1-S2+S3 = 3 4a 2- 3 4b 2+ 3 4c 2 = 3 2 ,即a2+c2-b2=2,由余弦 定理得cos B = a2+c2-b2 2ac ,整理得 accos B =1,则cos B>0,又sin B = 1 3 ,则cos B = 1- 1 3 2 = 22 3 , ac = 1 cos B = 32 4 ,则 S△ABC = 1 2acsin B = 2 8. ② 由正弦定理得, bsin B = a sin A = c sin C ,则 b 2 sin2B = a sin A · c sin C = ac sin Asin C = 32 4 2 3 = 9 4 ,则 b sin B = 3 2 ,b= 3 2sin B = 1 2. (2)解:①因为2CB→·CA→=b(2b-c), 所以2abcos C =b(2b-c),即2b = c+2acos C, 由正 弦 定 理 有 2sin B = sin C + 2sin Acos C,且2sin B=2sin(A+C)= 2sin Acos C+2cos Asin C, 所以sin C=2cos Asin C,因为sin C≠ 0,则cos A = 1 2 ,因为A ∈ (0,π),所 以A = π 3. ② 因为b+c = 2a,由正弦定理得 sin B+sin C = 2sin A, 又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+ cos Asin C,A = π 3 ,所以 3 2cos C + 1 2sin C+sin C = 6 2 , 整理可得3 2sin C+ 3 2cos C = 6 2 ,即 3 2sin C + 3 2cos C = 3sin C + π 6 = 62, 所以 sinC+ π 6 = 22,所 以 C + π 6 = π 4 或C+ π 6 = 3π 4 ,即C= π 12 或 C = 7π 12 , 当C = π 12 时,tan 2C =tan π 6 = 3 3 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -483-