4.4 三角函数的图象及性质-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

hh (2)已知α,β均为锐角,3sin α=2sin β,3cos α+ 2cos β=3,则α+2β 的值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般给值求角问题,其本质仍是给值求值问题, 即通过求所求角的某一三角函数值确定角的大小, 因此其关键除了求值外,还在于确定角的范围. (1)在给值求角时,一般地选择一个适当的三角 函数,根据题设确定所求角的范围,利用三角函数的 单调性求出角.确定角的范围是关键,一定要使所选 的函数在此范围内是单调的,必要时,还需根据已知 三角函数值缩小角的范围. (2)已知三角函数值求角,选三角函数时可按下 列规则:① 已知正切值,常选正切函数;② 已知正、 余弦值,常选正弦或余弦函数;③ 若角的范围是 0,π2 ,π,3π2 ,常选正、余弦函数;④ 若角的范围 是 - π 2 ,π 2 ,常选正弦函数;⑤ 若角的范围是(0, π),常选余弦函数. 【对点训练7】 (1)若sin 2α= 5 5 ,sin(β-α)= 10 10 ,且α ∈ π 4 ,π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,β∈ π, 3 2π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,则α+ β= . (2)已 知 tan β = cos α 1-sin α ,tan(α +β)= 1+sin α cos α ,若β∈ 0, π 2 ,则β= . 学习至此,请完成课时作业25 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.4 三角函数的图象及性质 5A>! 1.借助单位圆能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在 - π 2 ,π 2 上的性质. AMc
-  -@) 1.“五点法”作图 (1)在确定正弦函数y=sin x 在[0,2π]上 的图象 形 状 时,起 关 键 作 用 的 五 个 点 是 , , , , . (2)在确定余弦函数y=cos x 在[-π,π]上 的图 象 形 状 时,起 关 键 作 用 的 五 个 点 是 , , , , . 2.三角函数的图象和性质 函数性质 y=sin x y=cos x y=tan x 图象(一 个周期) 定义域 值域 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 094 @第四章 三角函数、解三角形 续表 函数性质 y=sin x y=cos x y=tan x 最值 (k∈Z) 当x= π 2+2kπ 时,ymax =1; 当x = - π 2 + 2kπ 时,ymin = -1 当x=2kπ时, ymax =1; 当x=2kπ+π 时,ymin = -1 无 对称性 (k∈Z) 对称轴: ; 对称中心: 对 称 轴: ; 对称中心: 无对称轴; 对称中心: 最小正 周期 单调性 (k∈Z) 单调递增区间: ; 单调递减区间: 单调递增区间: ; 单调递减区间: 单调递增区间: 奇偶性 常用结论与知识拓展 1.关于周期性的常用结论 (1)如果T 是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈ Z且n≠0)也是f(x)的周期. (2)周期函数的定义域是无限集. (3)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质. 因此要研究某周期函数的性质,一般只需要研究它在 一个周期内的性质. 2.关于奇偶性的常用结论 (1)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则f(x) 为偶函数 ⇔φ= π 2+kπ (k∈Z). (2)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则f(x) 为奇函数 ⇔φ=kπ(k∈Z). 3.正、余弦函数图象在其对称轴处取得最大值或 最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其半周 期;图象与x 轴的交点是其对称中心,相邻的两个对称 中心间的距离也是半周期;函数取最值的点与其相邻 的零点距离为1 4 周期. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)y=cos x 在(0,π)上是减函数. ( ) (2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数. ( ) (3)y=sin|x|是偶函数也是周期函数. ( ) (4)已知y=ksin x,x ∈R,则y 的最小值 为-k. ( ) (5)y=tan x 的对称中心是 kπ2 ,0 (k∈Z). ( ) 2.(教材改编题)函数y=4sin x,x∈[0,2π]的 单调递增区间是 ,单调递 减区间是 . 3.(教材改编题)已知函数f(x)=cos ωx + π 3 (ω>0),图象上任意两条相邻对称轴间的 距离为π 2 ,则函数f(x)的单调递增区间为 ;单调递减区间 为 ;对称中心 为 . 4.(教材改编题)函数f(x)=-2tan2x+ π 6 的定义域是 . 5.(多 选 题)(教 材 改 编 题)若 函 数 f(x)= sin xcos x- 3cos2x+ 3 2 ,则下列结论正确 的是 ( ) A.函数f(x)的最小正周期为 π 2 B.函数f(x)在区间 - π 12 ,5π 12 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递增 C.函数f(x)图象关于直线x=- π 12 对称 D.函数f(x)的图象关于点 2π 3 ,0 对称 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 095 hh A /c5%1@ 考点1 三角函数的定义域、值域 【例1】 (1)函数f(x)=lg cos x- 25-x2 的 定义域为 . (2)f(x)=sin x-cos2x+2x ∈ - π 6 ,2π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 的值域为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三 角不等式(组).三角函数值域的求法:① 形如y= asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+ φ)+k 的形式,再求值域;② 形如y =asin2x + bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t 的二次函数再求值域;③ 形如y=asin xcos x + b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x± cos x,化为关于t的二次函数再求值域. 【对点训练1】 (1)函数y=lg(sin 2x)+ 9-x2 的定义域为 . (2)函数f(x)=53cos2x+ 3sin2x-4sin x· cos x π4≤x≤ 7π 24 的最小值为 , 此时x 的值为 . 考点2 三角函数的周期性 【例2】 (1)函数f(x)=2sinωx+ π 4 (ω>0) 的最小正周期为π,则f 5 8π = . (2)求下列函数的最小正周期. ①y=(asin x+cos x)2(a∈R); ②y=2cos xsinx+ π 3 - 3sin2x+sin x· cos x; ③y=2sin4x- π 3 ; ④y=|tan x|. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 求三角函数周期的方法:① 利用周期函数的定 义;②y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最 小正周期为 2π |ω| ,y=Atan(ωx+φ)的最小正周期 为 π |ω| ;③ 对于形如y=asin ωx+bcos ωx 的函 数,一般先将其化为y= a2+b2·sin(ωx+φ)的 形式再求周期;④ 带绝对值的三角函数的周期是否 减半,要根据图象来确定. 【对点训练2】 (1)(多选题)下列函数最小正周 期为π的有 ( ) A.y=sin|x| B.y=|sin x| C.y=sin π 3-2x D.y=2cos x-1 (2)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0),周期 为T,且f T 2 =- 32,则实数|φ|的最小 值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 096 @第四章 三角函数、解三角形 考点3 三角函数的奇偶性 命题角度1 三角函数的奇偶性判断 【例3】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=cos π 2+2x cos(π+x); (2)f(x)= 2sin 2x-1. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 判断三角函数奇偶性的步骤、方法与判断函数 的奇偶性类似.熟悉“常见函数”的奇偶性有利于提 高解题效率. 【对点训练3】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x); (2)f(x)= 6cos4x+5sin2x-4 cos 2x . 命题角度2 已知三角函数的奇偶性求参数 【例4】 (1)已知函数f(x)=(a·ex+e-x)sin x 为奇函数,则a= . (2)已知函数f(x)=3sin(x+θ)+cos(x+θ) 是偶函数,则满足条件的角θ 的一个取值 为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知三角函数的奇偶性求参数时,可直接由y= Asin ωx 是奇函数,y=Acos ωx 是偶函数求解.如 果y=Asin(ωx+φ)是偶函数,则φ=kπ+ π 2 ,k∈ Z;y=Acos(ωx+φ)是偶函数,则φ=kπ,k∈Z. 【对点训练4】 (1)(2024·上海复旦大学附属中 学高三月考)设常数a ∈R,函数f(x)= asin 2x+2cos2x.若f(x)为偶函数,则实 数a的值为 . (2)若函数f(x)=cos2x+ π 6+φ (φ>0)为 奇函数,则φ 的最小值为 . 考点4 三角函数的单调性 命题角度1 三角函数的单调区间以及单调性 的讨论 【例5】 (1)函数f(x)=cos 2x-sin 2x的单调 递增区间为 . (2)y=3tan π 6- x 4 的单调递减区间为 . (3)f(x)=sin-2x+ π 3 在[0,π]上的单调递 减区间为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式 先化简,并注意复合函数单调性“同增异减”的规律. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 097 hh 【对点训练5】 已知函数f(x)=2sin xcos x- a(cos2x-sin2x)的图象过点 π 2 ,3 . (1)求f(x)的解析式及最小正周期; (2)讨论f(x)在 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上的单调性. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数 【例6】 (1)已知ω>0,函数f(x)=cos ωx+ π 6 在 π 2 ,π 上单调递增,则ω 的取值范围 是 . (2)已知函数f(x)=2sin(ωx +φ) ω >0, |φ|< π 2 的图象经过点 A(0,-1),且 f(x)在 π 6 ,π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递增,则ω的最大整 数值为 . (3)已知函数f(x)=tannx- π 4 (n∈Z)在区 间 π 8 ,3π 8 上是减函数,则n 的取值集合为 .(用列举法表示) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知三角函数的单调区间求参数问题,常先求 出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解. 【对点训练6】 (1)已知函数f(x)=2cos ωx- π 3 (ω >0,ω ∈Z)在区间 π 3 ,2π 3 内单调, 在区间0,π4 内不单调,则ω的值为 . (2)函数y=2tan ωx(常数ω >0)在开区间 - π 4 ,2π 3 上是增函数,则实数ω 的取值范 围是 . 考点5 三角函数的对称性 【例7】 (1)若函数f(x)=asin x+cos x 的图 象关于直线x= π 6 对称,则a= . (2)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(x∈R)的图 象关于点 2 3π ,0 中心对称,则|φ|的最小 值为 . (3)(2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)= sin(ωx+φ)在区间 π 6 ,2π 3 上单调递增,直 线x= π 6 和x= 2π 3 为函数y=f(x)的图象 的两条相邻对称轴,则f - 5π 12 = . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 098 @第四章 三角函数、解三角形 正、余弦函数关于其零点中心对称,在最值点 x0 处 关 于 直 线 x =x0 对 称;正 切 函 数 关 于 点 kπ 2 ,0 (k∈Z)中心对称,需要注意的是当k 为奇 数时,kπ 2 ,0 不在y=tan x 的定义域内. 【对点训练7】 (1)写出一个同时满足下列三个 性质的函数:f(x)= . ①f(x)为偶函数;②f(x)关于(-2,0)中 心对称;③f(x)在R上的最大值为3. (2)设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤ π)是R上的奇函数,若f(x)的图象关于直 线x= π 4 对称,且f(x)在区间 - π 22 ,π 11 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上 是单调函数,则f π 12 = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋  >Fe2 数学探索背景下三角函数的性质研究 【题 目 呈 现】 (1)(多 选 题)已 知 函 数 f(x)=2|sin x+cos x|-sin 2x,则 ( ) A.f(x)的最小正周期为2π B.直线x= π 4 为f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)的最小值为1 D.f(x)在 π 4 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递增 (2)(多选题)函数f(x)=|sin x|+cos x, 则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)为偶函数 B.f(x)的最小正周期是π C.f(x)在0, π 2 上单调递增 D.f(x)的最小值为-1 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【素养解读】 以三角函数为载体,以函数 为背景的函数性质研究问题的解题策略: (1)若条件允许,将其转化为“Asin(ωx + φ)”型函数,通常含有绝对值的通过去掉绝对值 符号写出分段函数形式. (2)若不能转化为“Asin(ωx+φ)”型函数, 则可以直接从周期性、对称性、零点等问题的定 义出发,推演结论是否成立;需要提醒的是,若 要证明 结 论 不 成 立,则 可 以 直 接 利 用 “特 殊 值”“举反例”等手段否定结论即可. (3)数形结合的思想有时也很奏效. 2" 1.(多选题)已知函数f(x)=sin x+3|cos x|, 则下列结论正确的是 ( ) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线x= π 2 对称 C.f(x)的最小值为-1 D.f(x)在区间 π 2 ,π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递增 2.(多选题)(2023·河北张家口三模)关于函数 f(x)=|sin x|+ 1 sin|x| ,下列选项正确 的有 ( ) A.f(x)为偶函数 B.f(x)在区间 π 2 ,π 上单调递增 C.f(x)的最小值为2 D.f(x)在区间(-π,4π)上有两个零点 学习至此,请完成课时作业26 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 099 参 考 答 案 - 12 13× 3 5 + 5 13× - 4 5 = -5665, ∵cos 3π4 +β - π4 -α = cos π2 + (α+β) = -sin(α+β), ∴sin(α+β)= 56 65. 对点训练6:(1)4+ 26 82-3 15 解析:由π 2 <α<π 知 π 4 <α- π 4 < 3π 4 ,∵cosα- π 4 = 13,∴sin α - π 4 = 1- 13 2 = 22 3 ,故sin α= sinα- π 4 + π 4 = sin α - π4 · cosπ4+cosα- π 4 ·sinπ4 = 22 × 22+1 3 = 4+ 2 6 . cosβ+ π 4 =cos (β+α)- α- π 4 = cos(β +α)cos α - π4 + sin(β+α)sinα- π 4 , 由0<β< π 2 <α<π 知 π 2 <α+β< 3π 2 ,∵sin(α +β)= 4 5 ,∴cos(β + α)= - 1- 4 5 2 = - 3 5 , ∵sinα- π 4 =223 , ∴cosβ+ π 4 = - 35 × 13 + 45 × 22 3 = 82-3 15 . (2)- 33 65 解析:∵0<α< π 4 <β< 3π 4 ,∴3π4 < 3π 4 +α<π ,- π 2 < π 4 -β<0 , 又sin3π4 +α = 513 ,cos π4 -β = 3 5 ,∴cos3π4 +α = -1213 , sin π4 -β = -45, ∴cos(α+β)=sin π 2+ (α+β) = sin 3π4+α - π4-β = sin 3π4 +α cos π4 -β - cos3π4+α sin π4-β = 513× 35 - - 12 13 × - 45 = -3365. 例7:(1)π4 解析:已知sin α = 5 5 ,sin β = 10 10 , 且α 及β 都是锐角, 所 以 cos α = 1-sin2α = 25 5 , cos β= 1-sin2β = 3 10 10 , 所 以 cos(α +β)= cos αcos β - sin αsin β = 25 5 × 3 10 10 - 5 5 × 10 10 = 2 2 , 又α,β∈ 0, π 2 ,所以α+β∈ (0, π),故α+β= π 4. (2)π 解析:由题意得 sin α= 2 3sin β ①, cos α=1- 2 3cos β ②, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 又α,β∈ 0, π 2 ,①2+②2 得cos β= 1 3 ,cos α = 7 9 ,由α,β 均为锐角知, sin β= 22 3 ,sin α= 42 9 ,所以tan β= 22,tan α = 42 7 ,所 以 tan 2β = - 42 7 ,所以tan(α+2β)= tan α+tan 2β 1-tan αtan 2β =0.因为α∈ 0, π 2 , β∈ 0, π 2 ,所以α+2β∈ 0,32π , 所以α+2β=π. 对点训练7:(1)7π4 解析:∵sin 2α = 2sin αcos α > 0, ∴sin α,cos α 符号相同,又α∈ π4, π ,∴α∈ π4,π2 ,2α∈ π2,π , 由sin 2α= 5 5 可得cos 2α= - 25 5 , ∵β∈ π, 3π 2 ,∴β-α∈ π2,5π4 , 又sin(β-α)= 10 10 >0 ,∴β-α∈ π 2 ,π ,∴cos(β -α)= -3 1010 , ∴cos(α+β)=cos[2α+ (β-α)]= cos 2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)= - 25 5 × -3 1010 - 55 × 1010 = 2 2 ,由α∈ π 4 ,π 2 ,β∈ π,3π2 ,得 α+β∈ 5π4,2π ,∴α+β=7π4. (2)π4 解析:因为tan α =tan(α+β-β)= tan(α+β)-tan β 1+tan(α+β)tan β ,又 因 为tan β = cos α 1-sin α ,tan(α+β)= 1+sin α cos α ,所 以tan α= 1+sin α cos α - cos α 1-sin α 1+ 1+sin α cos α · cos α 1-sin α = (1+sin α)(1-sin α)-cos αcos α cos α(1-sin α) cos α(1-sin α)+cos α(1+sin α) cos α(1-sin α) = (1+sin α)(1-sin α)-cos αcos α cos α(1-sin α)+cos α(1+sin α)= 1-sin2α-cos2α 2cos α , 因 为 sin2α + cos2α =1,所以tan α =0,所以α = kπ,k ∈ Z, 所 以 当 k 为 奇 数 时, cos α= -1,sin α=0,当k为偶数时, cos α =1,sin α =0,因 为tan β = cos α 1-sin α ,所以tan β= ±1,因为β∈ 0,π2 ,所以β= π4. 4.4 三角函数的图象及性质 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)(0,0) π2 ,1 (π,0) 3π 2 ,-1 (2π,0) (2)(-π,-1) - π 2 ,0 (0,1) π 2 ,0 (π,-1) 2.R R x x ≠kπ+ π 2 ,k∈Z [-1,1] [-1,1] R x = kπ+ π 2 (kπ,0) x =kπ kπ+ π 2 ,0 kπ 2 ,0 2π 2π π 2kπ - π2, 2kπ+ π 2 2kπ+ π2,2kπ+3π2 [2kπ-π,2kπ] [2kπ,2kπ+π] kπ- π 2 ,kπ+ π 2 奇函数 偶函 数 奇函数 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.0,π2 ,3π2,2π π2,3π2 3.kπ- 2π 3 ,kπ- π 6 ,k ∈Z kπ- π 6 ,kπ+ π 3 ,k∈Z kπ2 + π12,0 , k∈Z 4.x x ≠ kπ 2 + π 6 ,k∈Z 5.BCD f(x)=sin xcos x- 3cos2x+ 3 2 = 1 2sin 2x - 3 2cos 2x = sin2x- π 3 ,所以f(x)的最小正周 期为T= 2π 2=π ,A错误;若x∈ -π12, 5π 12 ,则2x - π3 ∈ - π2,π2 ,故 f(x)在 - π 12 ,5π 12 上递增,B正确;由 f - π 12 = sin- π6 - π3 = -1, 得直线x = - π 12 是f(x)的一条对称 轴,C正确;由 f 2π 3 = sin 4π3 - 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -477- hh π 3 =0,得 2π3,0 是f(x)的一个对 称中心,D正确.故选BCD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)-5,- 3π 2 ∪ - π2,π2 ∪ 3π 2 ,5 解析:由题意得 cos x >0, 25-x2 ≥0, 解得 - π 2+2kπ<x< π 2+2kπ ,k∈Z, -5≤x≤5, 令k= -1,解得x∈ -5,- 3π 2 ,令 k=0,解得x ∈ - π 2 ,π 2 ,令k = 1,解得x ∈ 3π 2 ,5 .综上,定义域为 -5,-3π2 ∪ -π2,π2 ∪ 3π2,5 . (2) 34 ,3 解析:f(x)=sin x-(1-sin2x)+2= sin2x+sin x+1,设t=sin x,因为 x∈ - π 6 ,2π 3 ,所以t∈ -12,1 . 故f(x)在 - π 6 ,2π 3 上的值域等价 于y=t2+t+1= t+ 1 2 2 + 3 4 在 - 1 2 ,1 上的值域.所以y ∈ 34, 3 ,即f(x)的值域为 34,3 . 对点训练1:(1)-3,- π 2 ∪ 0,π2 解 析:∵ 函 数 y = lg(sin 2x)+ 9-x2,∴ 应 满 足 sin 2x >0, 9-x2 ≥0, 解 得 kπ<x < π 2 +kπ , -3≤x ≤3, 其中k∈Z, ∴-3≤x <- π 2 或0<x < π 2 , ∴ 函 数 的 定 义 域 为 -3,- π 2 ∪ 0,π2 . (2)33-22 7π 24 解析:由题意得f(x)=5 3cos2x + 3sin2x-4sin xcos x =53× 1+cos 2x 2 + 3× 1-cos 2x 2 - 2sin 2x =2 3cos 2x -2sin 2x + 33=4cos2x+ π 6 +33, ∵ π4 ≤x ≤ 7π 24 ,∴2π3 ≤2x+ π 6 ≤ 3π 4 ,∴- 2 2 ≤cos2x+ π 6 ≤-12, 当cos2x+ π 6 = - 22 时,f(x)有 最小值33-22,此时2x+ π 6 = 3π 4 , 解得x = 7π 24. 例2:(1)-2 解析:因 为 函 数 f(x)=2sin ωx + π 4 (ω >0)的最小正周期为π,所以 2π ω =π ,解 得 ω =2.所 以 f(x)= 2sin2x+ π 4 ,所以f 58π = 2sin2× 5 8π+ π 4 = -2. (2)解:①y= [ a2+1sin(x+φ)]2 = (a2+1)sin2(x+φ)= (a2+1)· 1-cos(2x+2φ) 2 (φ 为辅助角),所以 此函数的最小正周期为T = 2π 2 =π. ②y =2cos x 1 2sin x+ 3 2cos x - 3sin2x+sin xcos x =sin xcos x+ 3cos2x- 3sin2x+sin xcos x = sin 2x+ 3cos 2x =2sin2x+ π 3 , 该函数的最小正周期为T = 2π 2 =π. ③由图象变换规则知y=2sin 4x- π 3 的最小正周期是y=2sin 4x- π 3 的 最 小 正 周 期 的 一 半,即 T = 1 2 × 2π 4 = π 4. ④y =|tan x|的图象如图所示, 由图象可知y=|tan x|是由y=tan x 的图象保留x 轴上方部分,并将x 轴 下方部分翻折到x轴上方得到的,所以 其最小正周期T =π. 对点训练2:(1)BC (2)π6 解析:由 T = 2π ω ,得 T 2 = π ω ,则 f T 2 = cos(π+φ)= -cos φ = - 3 2 ,即 有cos φ = 3 2 ,因 此 φ = 2kπ± π 6 ,k∈Z,所以|φ|的最小值为 π 6. 例3:解:(1)f(x)=cos π 2+2x cos(π+ x)= (-sin 2x)(-cos x)= cos xsin 2x. 因为f(-x)=cos(-x)sin[2(-x)]= -cos xsin 2x = -f(x),x∈R,所以 f(x)是奇函数. (2)因为2sin 2x-1≥0,所以sin 2x≥ 1 2 ,所 以 π 6 +2kπ ≤ 2x ≤ 5π 6 + 2kπ(k∈Z),即x ∈ π12+kπ,5π12+ kπ (k∈Z),定义域不关于原点对称, 所以f(x)是非奇非偶函数. 对点训练3:解:(1)定义域为R,f(-x)= lg[sin(-x)+ 1+sin2(-x)]= lg(-sin x + 1+sin2x),又 因 为 f(x)+ f(- x)= lg[(sin x + 1+sin2x)(-sin x+ 1+sin2x)]= lg 1=0,所以f(-x)= -f(x),所以 f(x)是奇函数. (2)由cos 2x ≠0得2x ≠kπ+ π 2 , k∈Z,解得x≠ kπ 2+ π 4 ,k∈Z,所以 f(x)的定义域为 x x ∈R,且x ≠ kπ 2 + π 4 ,k∈Z .因为f(x)的定义域 关于原点对称,且f(-x)= 6cos4(-x)+5sin2(-x)-4 cos(-2x) = 6cos4x+5sin2x-4 cos 2x =f (x). 所以f(x)是偶函数. 例4:(1)1 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)= (a·e-x +ex)sin(-x)= -(a·e-x + ex)sin x = -f(x),即 - (a·e-x + ex)sin x = - (a·ex +e-x)sin x, ∴a=1. (2)π3 (只需写出满足θ = π 3 +kπ , k∈Z的一个值) 解析:f(x)= 3sin(x+θ)+cos(x+ θ)=2sinx+θ+ π 6 ,因为f(x)= 3sin(x+θ)+cos(x+θ)是偶函数, 所以θ+ π 6 = π 2+kπ ,k∈Z,得θ= π 3 +kπ ,k∈Z. 对点训练4:(1)0 解析:因为f(x)=asin 2x+2cos2x, 所以f(-x)= -asin 2x+2cos2x,因 为f(x)为 偶 函 数,所 以 f(-x)= f(x),所 以 -asin 2x +2cos2x = asin 2x+2cos2x,所以2asin 2x =0, 所以a=0. (2)π3 解析:因 为 函 数 f(x)=cos 2x + π 6 +φ (φ >0)为 R上的奇函数,所 以 f(0)= cos π 6 +φ = 0,所 以 π 6 +φ = π 2 +kπ ,k∈Z,所以φ = π 3 +kπ ,k∈Z,又φ>0,所以φ 的最 小值为 π 3. 例5:(1)kπ- 5π 8 ,kπ- π 8 (k∈Z) 解 析:f(x)= cos 2x -sin 2x = 2 2 2cos 2x- 2 2sin 2x = 2cos 2x+ π4 ,由2kπ-π≤2x+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -478- 参 考 答 案 π 4 ≤2kπ ,k∈Z,得kπ- 5π 8 ≤x ≤ kπ- π 8 ,所以f(x)的单调递增区间 为 kπ- 5π 8 ,kπ- π 8 (k∈Z). (2)4kπ- 4 3π ,4kπ+ 8 3π (k∈Z) 解析:y=3tan π 6- x 4 = -3tan x4 - π 6 ,由kπ-π2 <x4-π6 <kπ+ π 2 (k∈Z),解得4kπ- 4 3π<x < 4kπ+ 8 3π (k∈Z). 所以函数的单调递减区间为 4kπ- 4 3π ,4kπ+ 8 3π (k∈Z). (3)0,5π12 ,11π12,π 解析:f(x)=sin-2x+ π 3 = -sin2x- π 3 ,令2kπ-π2 ≤2x- π 3 ≤2kπ+ π 2 ,k∈Z,得f(x)的单调 递减区间为 kπ- π 12 ,kπ+ 5π 12 ,k∈ Z.令 A = kπ- π 12 ,kπ+ 5π 12 ,k ∈ Z,B = [0,π], ∴A ∩B = 0, 5π 12 ∪ 11π12,π , ∴f(x)在[0,π]上的单调递减区间为 0,5π12 和 11π12,π . 对点训练5:解:(1)由题意得f(x)= 2sin xcos x-a(cos2x-sin2x)= sin 2x-acos 2x, 因为函数f(x)=2sin xcos x-a(cos2x- sin2x)的图象过点 π2 ,3 , 故sin2× π 2 -acos2× π2 =a= 3,则f(x)=sin 2x - 3cos 2x = 2sin2x- π 3 ,最小正周期 为 T = 2π 2 =π. (2)由(1)知,f(x)=2sin2x- π 3 , 当x∈ 0, 5π 12 时,2x-π3 ∈ -π3, π 2 ,此时f(x)=2sin2x- π3 单 调递增; 当x∈ 5π 12 ,π 2 时,2x-π3 ∈ π2, 2π 3 ,此时f(x)=2sin2x- π3 单 调递减. 例6:(1) 53 ,11 6 解析:因为f(x)在 π 2 ,π 上单调递 增,所以2π ω ≥π ,即0<ω≤2,当x∈ π 2 ,π 时,ωx+π6 ∈ ωπ2+π6,ωπ+ π 6 ,所以 ωπ 2 + π 6 ≥-π+2kπ , ωπ+ π 6 ≤2kπ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 k∈Z,解得 - 7 3 +4k≤ω ≤- 1 6 + 2k,k∈Z,又因为0<ω ≤2,所以当 k=1时, 5 3 ≤ω ≤ 11 6. (2)2 解析:因为f(0)=2sin φ= -1,|φ|< π 2 ,所以φ= - π 6. 由 π 6 ≤x≤ π 3 ,得 ωπ 6 - π 6 ≤ωx- π 6 ≤ ωπ 3 - π 6 ,则 - π 2+2kπ≤ ωπ 6 - π 6 < ωπ 3 - π 6 ≤ π 2+2kπ ,k∈Z,解得-2+12k≤ω≤ 2+6k,k∈Z.由-2+12k<2+6k, k∈Z,得k< 2 3 ,k∈Z.因为ω>0, 所以当k<0时,不符合条件,故k=0, 即0<ω≤2.故ω 的最大整数值为2. (3){-3,-2} 解析:由f(x)在区间 π 8 ,3π 8 上是减 函数,则n<0,且 3π 8- π 8 ≤ π |n| ,解 得|n|≤4,因为n∈Z,所以n= -4 或n= -3或n= -2或n= -1,当 n= -4时,f(x)= -tan4x+ π 4 , 当x∈ π 8 ,3π 8 时,3π4 <4x+π4 < 7π 4 ,当4x+ π 4 = 3π 2 ,即x= 5π 16 时, 函 数无意义,故n = -4不成立.当n = -3时,f(x)= -tan3x+ π 4 ,当 x ∈ π 8 ,3π 8 时,5π8 <3x + π4 < 11π 8 ,因为y=tan x 在 5π8 ,11π 8 上单 调递增,所以f(x)在区间 π 8 ,3π 8 上 是减函数,故n= -3满足题意.当n= -2时, f(x)= -tan2x+ π 4 ,当 x ∈ π 8 ,3π 8 时,π2 <2x+π4 <π, 因为y =tan x 在 π2 ,π 上 单 调 递 增,所以f(x)在区间 π 8 ,3π 8 上是减 函数,故n= -2满足题意.当n= -1 时,f(x)= -tanx+ π 4 ,当x ∈ π 8 ,3π 8 时,3π8 <x + π4 <5π8,当 x+ π 4 = π 2 ,即x = π 4 时,函数无意 义,故n= -1不成立. 对点训练6:(1)2 解析:依题意得πω 4 - π 3 >0 ,即ω > 4 3 ,当x ∈ π 3 ,2π 3 时,ωx - π3 ∈ πω3 - π3,2πω3 - π3 ,所 以 πω3 - π 3 ,2πω 3 - π 3 ⊆ (kπ,π + kπ) (k∈Z),则 ωπ 3 - π 3 ≥kπ , 2πω 3 - π 3 ≤π+kπ 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (k ∈ Z),解 得 1+3k≤ω≤2+ 3 2k (k∈Z),令k= 0,则1≤ω ≤2,而ω > 4 3 ,故4 3 < ω ≤2,又ω∈Z,所以ω =2,经检验, ω =2符合题意. (2)0,34 解析:由题意可知,函数y =2tan ωx 的单调递增区间为 - π2ω +kπω ,π2ω + kπ ω ,k∈Z,因为函数y=2tan ωx(常 数ω>0)在开区间 - π 4 ,2π 3 上是增 函 数, 所 以 - π 4 ≥- π 2ω , 2π 3 ≤ π 2ω , ω >0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解 得 ω ∈ 0, 3 4 . 例7:(1)33 解析:因为函数f(x)=asin x+cos x 的图象关于直线x = π 6 对称,所以函 数f(x)=asin x+cos x 在x= π 6 时 取得最 值,所 以,结 合 辅 助 角 公 式 得 f π 6 = ± a2+1,即12a+ 32 = ± a2+1,整理得3a2-23a+1= (3a-1)2 =0,解得a= 3 3. (2)π6 解析:因 为 函 数 f(x)= cos(2x + φ)(x ∈R)的图象关于点 2 3π ,0 中 心对称,所以2× 2π 3 +φ = π 2 +kπ , k∈Z,所以φ = - 5π 6+kπ ,k∈Z,则 当k=1时,|φ|的最小值为 π 6. (3)32 解析:因为f(x)=sin(ωx+φ)在区 间 π 6 ,2π 3 上单调递增,直线x = π6 和x = 2π 3 为函数f(x)图象的两条相 邻对称轴,所以T 2 = 2π 3 - π 6 = π 2 ,且 ω>0,则T=π,ω= 2π T =2 ,当x= π 6 时,f(x)取得最小值,则2× π 6+φ= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -479- hh 2kπ- π 2 ,k∈Z,则φ=2kπ- 5π 6 ,k∈ Z,不妨取k =0,则f(x)=sin 2x- 5π 6 ,则f -5π12 =sin-5π3 = 32. 对点训练7:(1)3cosπx4 (答案不唯一) 解析:由题意,函数f(x)为偶函数,所 以f(x)关于y 轴对称,又f(x)关于 (-2,0)中心对称,且在 R上的最大值 为3,所 以 可 以 取 三 角 函 数 f(x)= 3cosπx4 (答案不唯一). (2)- 1 2 解析:函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω > 0,0<φ ≤π)是 R 上 的 奇 函 数,则 f(0)=0,即sin φ =0,因为0<φ≤ π,则φ=π,所以f(x)= -sin ωx,其 定义域为R,关于原点对称,f(-x)= -sin[ω·(-x)]=sin ωx = -f(x), 此时f(x)为奇函数,由f(x)的图象 关于直线x = π 4 对称可得 πω 4 = π 2+ kπ,k∈Z,即ω =2+4k,k∈Z,由函 数的单调区间知,π 11≤ 1 4 ·2π ω ,即ω≤ 5.5,又因为ω>0,则k=0时,ω=2, 则 f(x)= -sin 2x,则 f π 12 = -sin π 6 = - 1 2. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)BCD ∵f(x)=2|sin x+ cos x|-sin 2x,∴f(x+π)=2|sin(x+ π)+cos(x +π)|-sin[2(x +π)]= 2|sin x+cos x|-sin 2x =f(x),∴π 是f(x)的周期,故A错误;f π2-x = 2sin π2 -x +cos π2 -x - sin2 π2-x =2|sin x+cos x|- sin 2x=f(x),∴直线x= π 4 为f(x) 图象 的 一 条 对 称 轴,故 B 正 确;令 |sin x+cos x|=t∈ [0,2],则有 sin 2x =t2-1,则y= -t2+2t+1, 在[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调 递减,当t=0时,函数f(x)取得最小 值1,故C正确;函数f(x)由y=-t2+ 2t+1和t=|sin x+cos x|复合而成, 当x∈ π 4 ,π 2 时,函数t=|sin x+ cos x|=sin x +cos x = 2sin x + π 4 ,∵x+π4∈ π2,3π4 ,∴函数t= 2sinx+ π 4 在 π4,π2 上 单 调 递 减,且t∈ [1,2],∴ 函数y= -t2+ 2t+1在[1,2]上单调递减,∴f(x) 在 π 4 ,π 2 上单调递增,故D正确.故 选BCD. (2)AD 由题意知,函数的定义域为R, 因为f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)= |sin x|+cos x =f(x),所以f(x) 是偶函数,故A正确;因为f(x+π)= |sin(x+π)|+cos(x+π)=|sin x|- cos x≠f(x),所以f(x)的最小正周 期不是π,故B错误;当x∈ 0, π 2 时, f(x)=sin x+cos x= 2sinx+ π 4 , 且x+ π 4 ∈ π 4 ,3π 4 ,所以函数f(x) 在 π 4 ,π 2 上单调递增,在 π2,3π4 上 单调递减,故C错误;当x ∈ [0,π]时, f(x)=sin x+cos x= 2sin x+π4 , 且x+ π 4 ∈ π 4 ,5π 4 ,所以sin x+ π 4 ∈ - 22,1 ,f(x)∈[-1,2]; 当x ∈ (π,2π]时,f(x)= -sin x+ cos x = 2cos x+π4 ,且x+ π4 ∈ 5π 4 ,9π 4 ,所以cos x+π4 ∈ - 22, 1 ,f(x)∈(-1,2],所以f(x)在[0, 2π]上 的 值 域 为[-1,2],又 f(x + 2π)=|sin(x+2π)|+cos(x+2π)= |sin x|+cos x=f(x),所以T=2π 是f(x)的周期,所以f(x)在 R上的 值域为[-1,2],故函数f(x)的最小 值为 -1,故D正确.故选AD. 素养检测:1.BC 函数f(x)=sin x+ 3|cos x|= 2sin x + π 3 ,x ∈ - π2 +2kπ,π2 +2kπ , 2sin x - π 3 ,x ∈ π2 +2kπ,3π2 +2kπ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 k∈Z,大致图象如下: 由图可知,函数f(x)的最小正周期为 2π,故A错误;函数f(x)的图象关于 直线x = π 2 对 称,故 B正 确;函 数 f(x)的最小值为 -1,故C正确;函数 f(x)在区间 π 2 ,5π 6 上单调递增,在 5π 6 ,π 上单 调 递 减,故 D 错 误.故 选BC. 2.ABD 由sin|x|≠0,得|x|≠kπ, k∈Z,得x≠±kπ,k∈Z,所以f(x) 的定义域为{x|x≠±kπ,k∈Z},关于 原点对称,因为f(-x)=|sin(-x)|+ 1 sin|-x|=| sin x |+ 1 sin|x| = f(x),所 以f(x)为 偶 函 数,故 A正 确;当x∈ π 2 ,π 时,f(x)=sin x+ 1 sin x ,f'(x)=cos x + - cos x sin2x = cos x 1- 1 sin2x ,因为x ∈ π2,π , 所以cos x <0,0<sin x <1,1- 1 sin2x <0,所以f'(x)>0,所以f(x) 在区间 π 2 ,π 上单调递增,故B正确; 因为f 3π 2 = sin3π2 + 1sin3π2 =1- 1=0,故C错误;当x ∈ (-π,0)时, sin x<0,f(x)=|sin x|+ 1 sin|x|= -sin x - 1 sin x ,令 f(x)= 0,得 sin2x = -1,无解;当x =0时,函数 f(x)无意义,当x∈ (0,π)时,sin x > 0,f(x)=|sin x|+ 1 sin|x|= sin x+ 1 sin x ,令f(x)=0,得sin x+ 1 sin x = 0,得sin2 x = -1,无解,当x =π时, 函数f(x)无意义,当x∈(π,2π)时, sin x<0,f(x)=|sin x|+ 1 sin|x|= -sin x + 1 sin x ,令 f(x)= 0,得 sin2x =1,得sin x = -1,得x = 3π 2 , 当x =2π时,函数f(x)无意义,当 x ∈ (2π,3π)时,sin x >0,f(x)= |sin x|+ 1 sin|x|= sin x+ 1 sin x , 令f(x)=0,得sin2x = -1,无解,当 x =3π时,函数f(x)无意义,当x∈ (3π,4π)时,sin x<0,f(x)=|sin x|+ 1 sin|x|= - sin x+ 1 sin x ,令f(x)= 0,得sin2x=1,得sin x=-1,得x= 7π 2. 综上所述,f(x)在区间(-π,4π) 上有两个零点x = 3π 2 和x = 7π 2. 故D 正确.故选ABD. 4.5 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象、性质及应用 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)H =rsin(ωt+φ)+h (2)①0 π2 π 3π 2 2π -φ ω π 2 -φ ω π-φ ω 3π 2 -φ ω 2π-φ ω ②|φ| 1 ω 1 ω |φ| ω A A 2.(1)周期性 (2)A 2πω 1 T ω 2π ωx+φ φ 基础检测 1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ 2.π6 3. π 12 4.20.5 5.ABD f(x)= 3sin ωx-cos ωx = 2sinωx- π 6 ,ω>0,由于f(x)图 象的一条对称轴和一个对称中心的最 小距离为 π 4 ,所以T 4 = π 4 ,T =π= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -480-