4.3 三角恒等变换-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

hh 4.3 三角恒等变换 5A>! 1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解 它们的内在联系. 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要 求记忆). AMc
-  -@) 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和 角、差角公式) sin(α+β)= .S(α+β) sin(α-β)= .S(α-β) cos(α+β)= .C(α+β) cos(α-β)= .C(α-β) tan(α+β)= .T(α+β) tan(α-β)= .T(α-β) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式) sin 2α= .S2α cos 2α = = = .C2α tan 2α= .T2α 2.简单的三角恒等变换 (1)降幂公式 sin2α= . cos2α= . sin αcos α= . (2)升幂公式 1+cos α= . 1-cos α= . 1+sin α= . 1-sin α= . (3)辅助角公式 asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ), 其中cos φ = ,sin φ = , tan φ= . 常用结论与知识拓展 1.常用的拆角、拼角技巧 (1)π3-α= π 2- π 6+α . (2)π6-α= π 2- π 3+α . (3)π3+α=π- 2π 3 -α . (4)π4+α=π- 3π 4 -α . 2.正切公式的常用变形 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). (2)tan αtan β = tan α-tan β tan(α-β) - 1 = 1 - tan α+tan β tan(α+β) . -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)存在实数α,β,使等式sin(α-β)=sin α- sin β 成立. ( ) (2)在锐角三角形 ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定. ( ) (3)∀α∈R,2cos2α-cos 2α-1=0.( ) (4) 32sin α - 1 2cos α =sinα- π 6 = cosα+ π 3 . ( ) (5)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β). ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 090 @第四章 三角函数、解三角形 2.(教材改编题)已知sin α=- 2 3 ,α∈ π, 3π 2 , cos β= 3 4 ,β∈ 3π 2 ,2π ,则cos(β-α)的值为 . 3.(教材改编题)cos 42°cos 18°-cos 48°sin 18°= . 4.(教材改编题)已知sin(α-β)cos α-cos(β- α)sin α= 3 5 ,β是第三象限角,则sinβ+ 5π 4 的值为 . 5.(多选题)(教材改编题)下列化简结果正确 的是 ( ) A.tan 15° 1-tan215° = 3 6 B.sin 15°sin 30°sin 75°= 1 4 C.cos 15°-sin 15°= 2 2 D.tan 24°+tan 36° 1-tan 24°tan 36°= 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 命题角度1 公式的“正用” 【例1】 (1)已知sin α= 4 5 ,α∈ π 2 ,π ,cos β= - 5 13 ,β 是 第 三 象 限 角,则cos(α -β)= ,sin(α+β)= . (2)已知sin α= 3 5 ,α∈ π 2 ,π ,tan(π-β)=12, 则tan(α-β)的值为 . (3)(2023·新课标Ⅰ卷改编)已知sin(α-β)= 1 3 ,cos αsin β= 1 6 ,则cos(2α+2β)= . (4)(2023·新课标 Ⅱ 卷改编)已知α 为锐角, cos α= 1+ 5 4 ,则sinα2= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用两角和与差的三角函数公式求值时,要注 意充分利用角的范围,确定相应的三角函数值. 【对点训练1】 (1)已知点P(x,22)是角α终 边上一点,且cos α=- 1 3 ,则cosπ6+α = . (2)已知cosα+ π 6 = 3cos α,tan β= 33,则 tan(α+β)= . 命题角度2 公式的“逆用”和“变用” 【例2】 (1)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B= 23 3 ,则tan Atan B 的值为 . (2)化简:24sin π 4-x + 64cos π4 -x = . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 091 hh “逆用”或“变用”两角和与差的三角函数公式 时,要注意把握“角”和“式子”的特征,熟练、准确地 对公式进行逆用及变用. 【对点训练2】 (1)(多选题)下列式子的运算结 果为 3的是 ( ) A.tan 25°+tan 35°+ 3tan 25°tan 35° B.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°) C.1+tan 15° 1-tan 15° D. tanπ6 1-tan2 π 6 (2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+ tan 25°)= . 命题角度3 角的配凑 【例3】 (1)已知cos(2α-β)=- 2 2 ,sin(α- 2β)= 2 2 ,且π 4 <α < π 2 ,0<β < π 4 ,则 cos(α+β)= . (2)已知sin α=- 4 5 ,π<α< 3π 2 ,π 2<β<π , cos(α-β)= 16 65 ,则sin β= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 常用的拆角、配角技巧:2α=(α+β)+(α-β); α=(α+β)-β=(α-β)+β=β-(β-α);β= α+β 2 - α-β 2 = (α+2β)-(α+β);α-β=(α- γ)+(γ-β);15°=45°-30°=60°-45°= 30° 2 ;π 4+ α= π 2- π 4-α 等. 【对点训练3】 (1)已知sin θ+sinθ+ π 3 =1, 则sinθ+ π 6 = . (2)已知α,β ∈ 3π 4 ,π ,sin(α +β)=-35, sinβ- π 4 =1213,则cosα+π4 = . 考点2 简单的三角恒等变换 命题角度1 三角函数式的化简 【例4】 (1)(2023·湘豫名校联考)已知角α 的 终边上一点A(4,3),且tan(α+β)=2,则 tan(3π-β)= ( ) A.12 B.- 1 2 C.52 D.- 5 2 (2)已知0<θ<π,则 (1+sin θ+cos θ)sinθ2-cos θ 2 2+2cos θ = . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则: 一看角,二看名,三看式子结构与特征. 2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间 的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角 函数公式之间的联系点. 【对点训练4】 (1)21+sin 4+ 2+2cos 4= ( ) A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2+2cos 2 D.2sin 2+4cos 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 092 @第四章 三角函数、解三角形 (2)已知锐角α 满足2cos 2α=cosα- π 4 ,则 sin 2α= . 命题角度2 给角求值 【例5】 (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°= . (2)sin 50°(1+ 3tan 10°)= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解决非特殊角求值问题的基本思路有:① 化非 特殊角为特殊角;② 化为正负相消的项,消去后求 值;③化分子、分母使之出现公约数,进行约分求值; ④ 当有α,2α,3α,4α 同时出现在一个式子中时,一 般将α,3α(或4α)向2α 转化,再求关于2α 式子 的值. 【对点训练5】 (1)sin 18°cos 36°的值为 . (2) 3tan 12°-3 sin 12°(4cos212°-2) = . 命题角度3 给值求值 【例6】 (1)已知α,β 均为锐角,sin α = 5 13 , cos(α +β)= 3 5 ,则 cos β = , sin(2α+β)= . (2)已知0<β< π 4<α< 3π 4 ,cosπ4-α =35, sin3π4+β =513,求sin(α+β)的值. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 给值求值型恒等变换问题,重在对所给条件进 行挖掘,如由某角正弦值可得其余弦、正切值,由所 给值的符号判断角所在的象限等.必要时还要进行 估算,如锐角α的余弦值为35 ,由1 2< 3 5< 2 2 ,及余 弦函数在 0,π2 上单调递减可知π4 <α<π3,从而 2α∈ π 2 ,2π 3 ,或3α∈ 3π4,π 等.另外,注意三种 主要变换:① 变角,通常是“配凑”,常用的角的拆拼 有2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α- β)+β等;②变名,通过变换函数名称达到减少函数 种类的目的,其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂” 等;③ 变式,根据式子的结构特征进行变形,使其更 贴近某个公式或某个期待的目标,其手段通常有: “常 值 代 换 如1=tan π 4 ,1=sin2α+cos2α ”“逆 用变形公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平 方”等.其中,角的变换居核心地位. 【对点训练6】 (1)已知cosα- π 4 = 13,sin(α+ β)= 4 5 ,其中0<β< π 2<α<π ,则sin α= ,cosβ+ π 4 = . (2)已知sin3π4+α =513,cosπ4-β =35,且 0<α < π 4 <β < 3π 4 ,则cos(α +β)= . 命题角度4 给值求角 【例7】 (1)已知sin α= 5 5 ,sin β= 10 10 ,且α和 β 都是锐角,则α+β 的值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 093 hh (2)已知α,β均为锐角,3sin α=2sin β,3cos α+ 2cos β=3,则α+2β 的值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般给值求角问题,其本质仍是给值求值问题, 即通过求所求角的某一三角函数值确定角的大小, 因此其关键除了求值外,还在于确定角的范围. (1)在给值求角时,一般地选择一个适当的三角 函数,根据题设确定所求角的范围,利用三角函数的 单调性求出角.确定角的范围是关键,一定要使所选 的函数在此范围内是单调的,必要时,还需根据已知 三角函数值缩小角的范围. (2)已知三角函数值求角,选三角函数时可按下 列规则:① 已知正切值,常选正切函数;② 已知正、 余弦值,常选正弦或余弦函数;③ 若角的范围是 0,π2 ,π,3π2 ,常选正、余弦函数;④ 若角的范围 是 - π 2 ,π 2 ,常选正弦函数;⑤ 若角的范围是(0, π),常选余弦函数. 【对点训练7】 (1)若sin 2α= 5 5 ,sin(β-α)= 10 10 ,且α ∈ π 4 ,π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,β∈ π, 3 2π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,则α+ β= . (2)已 知 tan β = cos α 1-sin α ,tan(α +β)= 1+sin α cos α ,若β∈ 0, π 2 ,则β= . 学习至此,请完成课时作业25 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.4 三角函数的图象及性质 5A>! 1.借助单位圆能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在 - π 2 ,π 2 上的性质. AMc
-  -@) 1.“五点法”作图 (1)在确定正弦函数y=sin x 在[0,2π]上 的图象 形 状 时,起 关 键 作 用 的 五 个 点 是 , , , , . (2)在确定余弦函数y=cos x 在[-π,π]上 的图 象 形 状 时,起 关 键 作 用 的 五 个 点 是 , , , , . 2.三角函数的图象和性质 函数性质 y=sin x y=cos x y=tan x 图象(一 个周期) 定义域 值域 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 094 参 考 答 案 - 1 3 ,∴ cos (π+θ) cos θ[cos(π-θ)-1]+ cos(θ-2π) sinθ- 3π 2 cos(θ-π)-sin 3π2 +θ = -cos θ cos θ(-cos θ-1)+ cos θ -cos2θ+cos θ = 1 1+cos θ+ 1 1-cos θ = 2 (1+cos θ)(1-cos θ)= 2 1-cos2θ = 2 sin2θ =18. 4.3 三角恒等变换 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)sin αcos β+cos αsin β sin αcos β -cos αsin β cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β tan α+tan β 1-tan αtan β tan α-tan β 1+tan αtan β (2)2sin αcos α cos2α -sin2α 1- 2sin2α 2cos2α-1 2tan α 1-tan2α 2.(1)1-cos 2α 2 1+cos 2α 2 1 2sin 2α (2)2cos2 α2 2sin 2 α 2 sinα2 +cosα2 2 sinα2 -cos α 2 2 (3) a a2+b2 b a2+b2 ba 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ 2.27-3512 3. 1 2 4.7210 解析:sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α = 3 5 ,即sin[(α-β)-α]= 3 5 ,即 sin(-β)= 3 5 ,所以sin β= - 3 5. 又β 是第三象限角,所以cos β= - 1-sin2β = - 1- - 3 5 2 = - 4 5 ,因此,sinβ+ 5π 4 =sin βcos5π4+ cos βsin 5π 4 = - 3 5 × - 22 + - 4 5 × - 22 =7210. 5.ACD 对 于 A, tan 15° 1-tan215° = 1 2 · 2tan 15° 1-tan215° = 1 2tan 30°= 3 6 ,A正 确;对 于 B,sin 15°sin 30°sin 75°= sin 15°sin 30°sin(90°-15°)= 1 2 × 2sin 15°cos 15°sin 30°= 1 2sin 230°= 1 8 ,B错误;对于C,cos 15°-sin 15°= 2 2 2cos 15°- 2 2sin 15° = 2sin(45°-15°)= 2 2 ,C正确;对于D, tan 24°+tan 36° 1-tan 24°tan 36°=tan (24°+36°)= tan 60°= 3,D正确.故选ACD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)- 33 65 16 65 解析:由sin α = 4 5 ,α ∈ π 2 ,π ,可 得cos α = - 1-sin2α = - 1- 4 5 2 = - 3 5 , 由cos β= - 5 13 ,β是第三象限角,可得 sin β= - 1-cos2β = - 1- - 5 13 2 = - 12 13 , 则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= - 3 5 × - 513 + 45 × -1213 = - 33 65 , sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= 4 5 × - 5 13 + - 35 × -1213 = 16 65. (2)- 2 11 解析:∵sin α = 3 5 ,α∈ π 2 ,π , ∴cos α = - 4 5 ,∴tan α = - 3 4 , 又tan(π-β)= 1 2 ,∴tan β= - 1 2 , ∴tan(α-β)= tan α-tan β 1+tan α·tan β = - 3 4 + 1 2 1+ - 3 4 × - 12 = - 2 11. (3)19 解析:因为sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β= 1 3 ,而cos αsin β= 1 6 ,因 此sin αcos β = 1 2 ,则sin(α+β)= sin αcos β +cos αsin β = 2 3 ,所 以 cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1- 2× 2 3 2 = 1 9. (4)5-14 解析:因 为cos α =1-2sin2 α 2 = 1+ 5 4 ,而α 为 锐 角,所 以sinα2 = 3- 5 8 = (5-1)2 16 = 5-1 4 . 对点训练1:(1)- 3+22 6 解析:因为点P(x,22)是角α终边上 一点,则有cos α = x x2+(22)2 = x x2+8 ,而cos α = - 1 3 ,于 是 得 x x2+8 = - 1 3 ,解 得x = -1,则 sin α= 22 x2+8 = 22 3 ,因此,cos π6+ α =cosπ6cos α-sinπ6sin α= 32 × - 1 3 - 12 ×223 = - 3+226 , 即cos π6 +α = - 3+226 . (2)- 3 3 解析:因为cosα+ π 6 = 32cos α- 1 2sin α = 3cos α,所 以 -sin α = 3cos α,故tan α= -3,所以tan(α+ β)= tan α+tan β 1-tan αtan β = - 3+ 3 3 1+ 3× 3 3 = - 23 3 2 = - 3 3. 例2:(1)13 解析:∵C =120°,∴tan C = - 3. ∵A+B =π-C,∴tan(A+B)= -tan C.∴tan(A+B)= 3, tan A+tan B = 3(1-tan Atan B), 又 ∵tan A+tan B = 23 3 , ∴tan Atan B = 1 3. (2)22sin 7π 12-x 解析:原 式 = 2 2 12sin π4 -x + 3 2cos π 4 -x = 22sin π4 -x+ π 3 = 22sin7π12-x . 对点训练2:(1)ABC 对于A,由于tan α+ tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),所 以tan 25°+tan 35°+ 3tan 25°tan 35°= tan(25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+ 3tan 25°tan 35°=tan 60°(1-tan 25°· tan 35°)+ 3tan 25°tan 35°= 3- 3tan 25°tan 35°+ 3tan 25°tan 35°= 3,A符 合 题 意;对 于 B,2(sin 35°· cos 25°+cos 35°·cos 65°)=2(sin 35°· cos 25°+cos 35°·sin 25°)=2sin 60°= 3,B符合题意;对于C,因为tan 45°=1, 所以 1+tan 15° 1-tan 15°= tan 45°+tan 15° 1-tan 45°tan 15°= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -475- hh tan 60°= 3,C 符 合 题 意;对 于 D, tanπ6 1-tan2 π 6 = 1 2× 2tanπ6 1-tan2 π 6 = 1 2 · tanπ3 = 3 2 ,D不符合题意.故选ABC. (2)4 解析:(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+ tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+ tan(20°+25°)(1-tan 20°tan 25°)+ tan 20°tan 25°= 2,同 理 可 得 (1+ tan 21°)·(1+tan 24°)=2,所 以 原 式 =4. 例3:(1)0 解析:因为π 4 <α< π 2 ,0<β< π 4 , 所以 π 4 <2α-β <π ,- π 4 <α- 2β< π 2. 因为cos(2α-β)= - 2 2 ,所 以sin(2α -β)= 2 2 ,因 为sin(α - 2β)= 2 2 ,所以cos(α-2β)= 2 2 , 所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α- 2β)]= cos(2α -β)cos(α -2β)+ sin(2α-β)sin(α-2β)= - 2 2× 2 2+ 2 2 × 2 2 =0. (2)513 解析:∵sin α= - 4 5 ,且π<α< 3π 2 , ∴cos α = - 1-sin2α = - 3 5. ∵ π2 <β<π ,∴-π<-β<- π 2 , ∴0<α-β<π. 又cos(α-β)= 16 65 ,∴sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 1- 16 65 2 = 63 65 ,∴cos β=cos[α-(α-β)]= cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)= - 3 5 × 16 65+ - 4 5 ×6365= -1213, 又 ∵ π2 <β<π , ∴sin β= 1-cos2β = 5 13. 对点训练3:(1)33 (2)- 56 65 解析:因为α,β∈ 3π 4 ,π ,所以3π2 < α+β<2π, π 2 <β- π 4 < 3π 4 ,因为 sin(α +β)= - 3 5 ,sinβ- π 4 = 12 13 ,所 以cos(α +β)= 4 5 ,cos β - π 4 = - 513,所 以cos α + π4 = cos (α+β)- β- π 4 =cos(α+ β)cosβ- π 4 +sin(α+β)·sin β- π 4 = 45× -513 + -35 ×1213= - 56 65. 例4:(1)B 设tan β=t,由题可得tan α= 3 4 ,所以tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β = 3 4+t 1- 3 4t =2,解得t= 1 2 ,所以tan(3π- β)= -tan β= - 1 2. 故选B. (2)-cos θ 解析:原式 = 2sin θ2 cos θ 2 +2cos 2 θ 2 sin θ2 -cos θ2 4cos2 θ2 = cosθ2 · sin2 θ2 -cos 2 θ 2 cosθ2 = -cos θ 2 ·cos θ cosθ2 . 因为0<θ<π,所以0< θ 2 < π 2 ,所 以cosθ2 >0 ,所以原式 = -cos θ. 对点训练4:(1)B 2 1+sin 4+ 2+2cos 4= 2 sin22+2sin 2cos 2+cos22+ 2+2(2cos22-1)= 2 (sin 2+cos 2)2 + 4cos22= 2|sin 2+cos 2|+2|cos 2|. ∵ π2 <2< 3π 4 ,∴cos 2<0, ∵sin 2+cos 2 = 2sin2+ π 4 , 3π 4 <2+ π 4 <π ,∴sin 2+cos 2>0, ∴ 原式 =2(sin 2+cos 2)-2cos 2= 2sin 2,故选B. (2)78 解析:因为2cos 2α=cosα- π 4 ,所 以2(cos2α-sin2α)= 2 2 (sin α+cos α), 因为α∈ 0, π 2 ,所以sin α+cos α> 0,所 以2(cos α-sin α)= 2 2 ,所 以 cos α-sin α = 2 4 ,两 边 平 方 可 得 cos2α-2sin αcos α+sin2α= 1 8 ,所以 1-sin 2α = 1 8 ,sin 2α = 7 8. 例5:(1)- 1 8 解析:cos 20°·cos 40°·cos 100°= -cos 20°·cos 40°·cos 80°= - sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80° sin 20° = - 1 2sin 40°·cos 40°·cos 80° sin 20° = - 1 4sin 80°·cos 80° sin 20° = - 1 8sin 160° sin 20° = - 1 8sin 20° sin 20° = - 1 8. (2)1 解析:sin 50°(1+ 3tan 10°)= sin 50°1+ 3· sin 10° cos 10° = sin 50°·cos 10°+ 3sin 10° cos 10° = sin 50°· 2 1 2cos 10°+ 3 2sin 10° cos 10° = 2sin 50°cos 50° cos 10° = sin 100° cos 10°= cos 10° cos 10°=1. 对点训练5:(1)14 (2)-43 例6:(1)5665 63 65 解析:因为α,β均为锐角,所以0<α+ β<π.又sin α= 5 13 ,cos(α+β)= 3 5 , 所以cos α = 12 13 ,sin(α+β)= 4 5. 所 以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+ β)cos α+sin(α+β)sin α= 3 5× 12 13+ 4 5× 5 13= 56 65 ;sin(2α+β)=sin[(α+ β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+ β)sin α = 4 5 × 12 13+ 3 5 × 5 13= 63 65. (2)解:∵0<β < π 4 ,∴3π4 <β + 3π 4 <π ,∵sin3π4 +β = 513, ∴cos3π4 +β = - 1-sin2 3π 4 +β = -1213. ∵ π4 <α < 3π 4 ,∴ - 3π 4 <-α < - π 4 ,∴- π 2 < π 4 -α<0 , ∵cos π4-α = 35,∴sin π4-α = - 1-cos2 π 4 -α = -45, ∴cos 3π4 +β - π4 -α = cos3π4 +β cos π4 -α + sin3π4 +β sin π4 -α = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -476- 参 考 答 案 - 12 13× 3 5 + 5 13× - 4 5 = -5665, ∵cos 3π4 +β - π4 -α = cos π2 + (α+β) = -sin(α+β), ∴sin(α+β)= 56 65. 对点训练6:(1)4+ 26 82-3 15 解析:由π 2 <α<π 知 π 4 <α- π 4 < 3π 4 ,∵cosα- π 4 = 13,∴sin α - π 4 = 1- 13 2 = 22 3 ,故sin α= sinα- π 4 + π 4 = sin α - π4 · cosπ4+cosα- π 4 ·sinπ4 = 22 × 22+1 3 = 4+ 2 6 . cosβ+ π 4 =cos (β+α)- α- π 4 = cos(β +α)cos α - π4 + sin(β+α)sinα- π 4 , 由0<β< π 2 <α<π 知 π 2 <α+β< 3π 2 ,∵sin(α +β)= 4 5 ,∴cos(β + α)= - 1- 4 5 2 = - 3 5 , ∵sinα- π 4 =223 , ∴cosβ+ π 4 = - 35 × 13 + 45 × 22 3 = 82-3 15 . (2)- 33 65 解析:∵0<α< π 4 <β< 3π 4 ,∴3π4 < 3π 4 +α<π ,- π 2 < π 4 -β<0 , 又sin3π4 +α = 513 ,cos π4 -β = 3 5 ,∴cos3π4 +α = -1213 , sin π4 -β = -45, ∴cos(α+β)=sin π 2+ (α+β) = sin 3π4+α - π4-β = sin 3π4 +α cos π4 -β - cos3π4+α sin π4-β = 513× 35 - - 12 13 × - 45 = -3365. 例7:(1)π4 解析:已知sin α = 5 5 ,sin β = 10 10 , 且α 及β 都是锐角, 所 以 cos α = 1-sin2α = 25 5 , cos β= 1-sin2β = 3 10 10 , 所 以 cos(α +β)= cos αcos β - sin αsin β = 25 5 × 3 10 10 - 5 5 × 10 10 = 2 2 , 又α,β∈ 0, π 2 ,所以α+β∈ (0, π),故α+β= π 4. (2)π 解析:由题意得 sin α= 2 3sin β ①, cos α=1- 2 3cos β ②, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 又α,β∈ 0, π 2 ,①2+②2 得cos β= 1 3 ,cos α = 7 9 ,由α,β 均为锐角知, sin β= 22 3 ,sin α= 42 9 ,所以tan β= 22,tan α = 42 7 ,所 以 tan 2β = - 42 7 ,所以tan(α+2β)= tan α+tan 2β 1-tan αtan 2β =0.因为α∈ 0, π 2 , β∈ 0, π 2 ,所以α+2β∈ 0,32π , 所以α+2β=π. 对点训练7:(1)7π4 解析:∵sin 2α = 2sin αcos α > 0, ∴sin α,cos α 符号相同,又α∈ π4, π ,∴α∈ π4,π2 ,2α∈ π2,π , 由sin 2α= 5 5 可得cos 2α= - 25 5 , ∵β∈ π, 3π 2 ,∴β-α∈ π2,5π4 , 又sin(β-α)= 10 10 >0 ,∴β-α∈ π 2 ,π ,∴cos(β -α)= -3 1010 , ∴cos(α+β)=cos[2α+ (β-α)]= cos 2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)= - 25 5 × -3 1010 - 55 × 1010 = 2 2 ,由α∈ π 4 ,π 2 ,β∈ π,3π2 ,得 α+β∈ 5π4,2π ,∴α+β=7π4. (2)π4 解析:因为tan α =tan(α+β-β)= tan(α+β)-tan β 1+tan(α+β)tan β ,又 因 为tan β = cos α 1-sin α ,tan(α+β)= 1+sin α cos α ,所 以tan α= 1+sin α cos α - cos α 1-sin α 1+ 1+sin α cos α · cos α 1-sin α = (1+sin α)(1-sin α)-cos αcos α cos α(1-sin α) cos α(1-sin α)+cos α(1+sin α) cos α(1-sin α) = (1+sin α)(1-sin α)-cos αcos α cos α(1-sin α)+cos α(1+sin α)= 1-sin2α-cos2α 2cos α , 因 为 sin2α + cos2α =1,所以tan α =0,所以α = kπ,k ∈ Z, 所 以 当 k 为 奇 数 时, cos α= -1,sin α=0,当k为偶数时, cos α =1,sin α =0,因 为tan β = cos α 1-sin α ,所以tan β= ±1,因为β∈ 0,π2 ,所以β= π4. 4.4 三角函数的图象及性质 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)(0,0) π2 ,1 (π,0) 3π 2 ,-1 (2π,0) (2)(-π,-1) - π 2 ,0 (0,1) π 2 ,0 (π,-1) 2.R R x x ≠kπ+ π 2 ,k∈Z [-1,1] [-1,1] R x = kπ+ π 2 (kπ,0) x =kπ kπ+ π 2 ,0 kπ 2 ,0 2π 2π π 2kπ - π2, 2kπ+ π 2 2kπ+ π2,2kπ+3π2 [2kπ-π,2kπ] [2kπ,2kπ+π] kπ- π 2 ,kπ+ π 2 奇函数 偶函 数 奇函数 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.0,π2 ,3π2,2π π2,3π2 3.kπ- 2π 3 ,kπ- π 6 ,k ∈Z kπ- π 6 ,kπ+ π 3 ,k∈Z kπ2 + π12,0 , k∈Z 4.x x ≠ kπ 2 + π 6 ,k∈Z 5.BCD f(x)=sin xcos x- 3cos2x+ 3 2 = 1 2sin 2x - 3 2cos 2x = sin2x- π 3 ,所以f(x)的最小正周 期为T= 2π 2=π ,A错误;若x∈ -π12, 5π 12 ,则2x - π3 ∈ - π2,π2 ,故 f(x)在 - π 12 ,5π 12 上递增,B正确;由 f - π 12 = sin- π6 - π3 = -1, 得直线x = - π 12 是f(x)的一条对称 轴,C正确;由 f 2π 3 = sin 4π3 - 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -477-