4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

hh 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【素养解读】 数学文化广义上是指数学 史、数学美、数学与生活的交叉应用、数学与各 种文化的关系以及这些因素的交互作用所构成 的庞大体系,狭义上是指数学思想、数学精神、 数学方法以及数学观点、语言等的形成和拓展. 在长期的发展过程中,数学文化形成了注重思 维、强调实用、讲究算法、关注数学审美价值等 重要特点. 2" 1.《九章算术》是中国古代数学名著,其对扇形 田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代 的算法一致,根据这一算法解决下列问题:现 有一扇形田,下周长(弧长)为10米,径长(两 段半径的和)为10米,则该扇形田的面积为 平方米. 2.(2024·湖北武汉高三期中)杭州第19届亚运 会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江 省杭州市举行,本届亚运会的会徽名为“潮 涌”,主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛 道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图 形六个元素组成(如图),其中扇面造型突出 反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环 的形状,内环和外环均为圆周的一部分,若内 环弧长是所在圆周长的1 3 ,内环所在圆的半径 为1,径长(内环和外环所在圆的半径之差)为 1,则该扇面的面积为 . 3.17世纪德国著名的天文学家 开普勒曾经这样说过:“几何学 里有两件宝,一个是勾股定理, 另一个是黄金分割.如果把勾 股定理比作黄金矿的话,那么 可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有 两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金 三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶 角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108° 的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三 角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中 一个黄金三角形ABC 中,BCAC= 5-1 2 . 根据 这些信息,可得sin 18°= . 学习至此,请完成课时作业23 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 5A>! 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1, sin α cos α=tan α. 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式,并会诱导公式的简单应用. AMc
-  -@) 1.同角三角函数的基本关系 sin2 α+cos2 α= . sin α cos α= . 2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 α+2kπ (k∈Z) π+α -α π-α π 2-α π 2+α 与α 终 边关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y=x 对称 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 086 @第四章 三角函数、解三角形 续表 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 正弦 sin α -sin α -sin α cos α 余弦 cos α cos α -cos α -sin α 正切 tan α -tan α 记忆 规律 函数名不变,符号看象限 函数名改变, 符号看象限 ,符号看象限 3.同角关系的几种变形 (1)sin2α= =(1+cos α)(1-cos α); cos2α=1-sin2α= . (2)sin α=tan αcos αα≠ π 2+kπ ,k∈Z . (3)sin2α = sin2α sin2α+cos2α = α ≠ π 2+kπ ,k∈Z . (4)cos2α = = 1 tan2α+1 α ≠ π 2+kπ ,k∈Z . 常用结论与知识拓展 1.sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α三者之间 的关系 (1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α. (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2. (4)(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α. 2.诱导公式可概括为要求角k·π2±α (k∈Z)的 三角函数值,只需直接求α 的三角函数值,其转化过程 及所得结果满足:奇变偶不变,符号看象限.其中“奇变 偶不变”中的奇、偶分别是指k 的奇和偶,变与不变是 指函数名称的变化.若是奇数倍,则正、余弦互变;若是 偶数倍,则函数名称不变.“符号看象限”是把α当成锐 角时,原三角函数式中的角所在象限的三角函数值的 符号. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)对任意α∈R,sin2α+cos2α=1均成立. ( ) (2)若α∈R,则cos αtan α=sin α 恒成立. ( ) (3)sin(5π+α)=-sin α 成立的条件是α 为 锐角. ( ) (4)若tan α=tan β,则α=kπ+β,k∈Z. ( ) (5) sin θ 1+cos θ+ 1+cos θ sin θ = 2 sin θ. ( ) 2.(教材改编题)已知cos α=- 4 5 ,且α 为第三 象限角,则sin α= ,tan α= . 3.(教材改编题)化简2cos 2α-1 1-2sin2α = . 4.(教材改编题)已知tan α= 3,π<α< 3 2π , 则cos α-sin α 的值为 . 5.(多选题)(教材改编题)已知x∈R,则下列等 式恒成立的是 ( ) A.sin(-x)=sin x B.sin3π2-x =cos x C.cosπ2+x =-sin x D.tan(x+π)=tan x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 同角三角函数基本关系式 命题角度1 sin α,cos α,tan α三者知一求二问题 【例1】 (1)已知cos α =- 5 13 ,则13sin α + 5tan α= . (2)已知α 是第一象限角,且cos α= 25 5 ,则 cos 2α- cos α sin α= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 087 hh 这类知一求二问题,注意判断角的范围,另外熟 记以下常见勾股数,可以提高解题速度:①32+42= 52,62+82=102,92+122=152,…;②52+122=132, 82+152=172,72+242=252,… 【对点训练1】 (1)(2022·浙江卷)设x∈R,则 “sin x=1”是“cos x=0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知 △ABC 中,tan A = - 5 12 ,则sin A = ,cos A= . 命题角度2 sin α+cos α,sin α-cos α, sin αcos α三者知一求二问题 【例2】 (1)已知sin αcos α= 1 8 ,且5π 4 <α < 3π 2 ,则cos α-sin α 的值为 . (2)已知α∈(0,π),且sin α+cos α= 1 5 ,给出 下列结论: ①π2<α<π ;②sin αcos α=- 12 25 ; ③cos α= 3 5 ;④cos α-sin α=- 7 5 . 其中所有正确结论的序号是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 对于已知sin α±cos α 的求值问题,一般应用 三角恒等式,利用整体代入的方法来解,涉及的三角 恒等式有(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,(sin α+ cos α)2+(sin α-cos α)2=2,(sin α+cos α)2- (sin α-cos α)2=4sin αcos α 等. 【对点训练2】 (1)已知sin θ+cos θ= 1 5 ,θ∈ (0,π),则sin2θ-cos2θ的值为 . (2)已知tan θ+ 1 tan θ=4 ,则sin4θ+cos4θ= . (3)已知sin x+cos x=- 7 13 (0<x<π ),求 cos x-2sin x 的值. 命题角度3 关于sin α,cos α的齐次式问题 【例3】 (1)已知sin α+cos α 3sin α-cos α=2. ① 求tan(π-α)的值; ② 求sin αcos α 的值; ③ 若0<α<π,求sin α+cos α 的值. (2)已知sin α+3cos α 3cos α-sin α=5 ,则cos2α+ 1 2sin 2α= . (3)若tan θ= -2,则 sin θ(1+sin 2θ) sin θ+cos θ = . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 形如asin α+bcos α 和asin2α+bsin αcos α+ ccos2α的式子分别称为关于sin α,cos α 的一次齐次 式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化 为正切(分子分母同除以cos α 或cos2α)求解.如果 分母为1,可考虑将1写成sin2α+cos2α. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 088 @第四章 三角函数、解三角形 【对点训练3】 (1)已知tan θ= 1 2 ,则 sin3θ+sin θ cos3θ+sin θcos2θ= . (2)若cos α +3sin α =- 10,则tan α = , 13sin αcos α= . (3)在 ①sin α+cos α= 35 5 ,②log4(2sin α+ cos α)+log4(sin α+2cos α)=1这两个条 件中任选一个,补充在下面横线中,并解答. 若α∈R,且 ,求tan α 的值. 考点2 诱导公式及应用 【例4】 (1)(2023·皖北名校联考)sin 613°+ cos 1 063°+tan(-30°)的值为 . (2)已知cosπ6-θ =a(|a|≤1),则cos 5π6+ θ +sin2π3-θ 的值是 . (3)已知f(α)= sinα+ π 2 cos3π2-α tan(π-α)cosπ2+α sin(2π-α)tan(-α-π)sin(π+α) , 若cosα- 3π 2 =-15,则f(α)= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 应用诱导公式要注意:(1)三角式的化简通常 先用诱导公式,将角统一后再用同角三角函数关系 式,这可以避免交错使用公式时导致的混乱;(2)在 运用公式时正确判断符号至关重要;(3)三角函数的 化简、求值是三角函数中的基本问题,也是高考常考 的问题,要予以重视;(4)正确理解“奇变偶不变,符 号看象限”可以提高解题效率. 【对点训练4】 (1)已知sinα- π 4 =13,则 cosπ4+α 的值为 ( ) A.223 B.- 22 3 C.13 D.- 1 3 (2)已知函数f(x)=ax-2+2(a>0且a≠1) 的图象过定点P,且角α的始边与x 轴的正 半轴重合,终边过点P,则 cos11π2 -α sin9π2+α cosπ2+α sin(-π-α) = . (3)若sin(3π+θ)= 1 3 ,则 cos (π+θ) cos θ[cos(π-θ)-1]+ cos(θ-2π) sinθ- 3π 2 cos(θ-π)-sin3π2+θ = . 学习至此,请完成课时作业24 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 089 参 考 答 案 (2)PS= 2sin θ,所以QR= 2sin θ, 因为扇形 AOB 的圆心角为 π4 ,所以 OR =QR = 2sin θ, OS=OPcos θ= 2cos θ,RS=OS- OR = 2cos θ- 2sin θ, 所以y=(2cos θ- 2sin θ)2sin θ= 2sin2θ+ π 4 - 10<θ< π4 , 当2θ+ π 4 = π 2 ,即θ= π 8 时,矩形面 积最大,最大面积为 2-1. 例4:(1)解:根据三角函数定义sin α = y r = -3m 16+9m2 = 3 5 >0 ,解 得 m = -1, 所 以 cos α = x r = 4 5 ,tan α = y x = 3 4. (2)7π6 解析:由题意sin α =cos 4π 3 = - 1 2 , 又sin4π3 <0 ,所以点 sin4π3 ,cos4π3 在 第三象 限,即α 是 第 三 象 限 角,所 以 α = 7π 6 +2kπ ,k∈Z,最小正值为 7π 6. (3)- 6 4 ± 15 3 解析:由sin α= m 3+m2 = 2m 4 ,解 得m = ±5,∴r= 3+m2 =22, 当m = 5时,cos α= - 3 22 = - 6 4 , tan α = - 15 3 ;当 m = - 5 时, cos α= - 3 22 = - 6 4 ,tan α= 15 3 . 对点训练4:(1) 17+14 或2 解析:由题意,可知A(3,4)或A(1,4), 当点A 是(3,4)时,由三角函数的定义 有tan θ = 4 3 ,sin θ = 4 32+42 = 4 5 ,所以 1 tan θ+ 1 sin θ= 3 4+ 5 4 =2 ; 当点A 是(1,4)时,由三角函数的定义 有tan θ= 4 1 =4 ,sin θ= 4 12+42 = 4 17 ,所 以 1 tan θ + 1 sin θ = 1 4 + 17 4 = 17+1 4 . (2)± 3 4 解析:由角β 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 1 2 ,m ,得cos β= 12,又sin αcos β< 0,所以sin α<0,因为角α的终边落在 直线y= 3x上,所以角α只能是第三 象限角.记P 为角α的终边与单位圆的 交点,设 P(x,y)(x <0,y <0),则 |OP|=1,即x2 +y2 =1,又y = 3x,解 得 x = - 1 2 ,y = - 3 2 ,即 cos α= - 1 2 ,因为点 1 2 ,m 在单位 圆上,所 以 1 2 2 +m2 =1,解 得 m = ± 3 2 ,即sin β = ± 3 2 ,所 以 cos αsin β= ± 3 4. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)11-432 解析:如图,连接OC, 因为C是AB的中点, 所 以 OC ⊥ AB,又 CD ⊥AB,所 以 O, C,D 三 点 共 线,即 OD = OA = OB = 2,又 ∠AOB =60°, 所以AB =OA =OB =2,则OC = 3,故CD =2- 3,所以s=AB+ CD2 OA =2+ (2- 3)2 2 = 11-43 2 . (2)2.4 m2 解析:设扇形所在圆的圆心角为α(α> 0),内环的半径为r m,外环的半径为 R m,则R-r=1.2,因为扇环外环的 弧长为3.2 m,内环的弧长为0.8 m,可 得 αR =3.2, αr=0.8, 可得α(R+r)=4,所 以扇环需要进行工艺制作的面积的估 计值为:S= 1 2α (R2-r2)= 1 2α (R+ r)(R-r)= 1 2×4×1.2=2.4 (m2). (3)1.768 m 解析:由题意,“弓”所在弧长l= π 4+ π 4 + π 8 = 5π 8 ,其所对的圆心角α = 5π 8 1.25= π 2 ,双手之间的距离d= 2× 1.25≈1.768(m). 素养检测:1.25 解析:如图所示,因 为径长为10米,下 周 长 为 10 米,即 OA+OB =10且 lAB︵ =10,所以扇形 所在圆的半径为R = 10 2 =5 (米),所 以该扇形田的面积为S = 1 2 ×10× 5=25(平方米). 2. π 解析:设内环圆弧所对的圆心角为α, 因为内环弧长是所在圆周长的 1 3 ,且 内环所在圆的半径为1,所以α×1= 1 3×2π×1 ,可得α= 2π 3 ,因为径长(内 环和外环所在圆的半径之差)为1,所 以,外环圆弧所在圆的半径为1+1= 2,因 此,该 扇 面 的 面 积 为 12 × 2π 3 × (22-12)=π. 3.5-14 解析:根据正五边形的性质,可得正五 边形的每个内角为 180°×3 5 =108° ,所 以 ∠ACB = 72°,又 cos∠ACB = cos 72°= 1 2BC AC = 5-1 4 ,所以sin 18°= cos 72°= 5-1 4 . 4.2 同角三角函数基本 关系式及诱导公式 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.1 tan α α≠kπ+ π 2 ,k∈Z 2.sin α cos α -cos α sin α tan α -tan α 奇变偶不变 3.(1)1-cos2α (1+sin α)(1-sin α) (3) tan 2α tan2α+1 (4) cos 2α sin2α+cos2α 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.- 3 5 3 4 3.1 4. 3-1 2 5.CD sin(-x)= -sin x,故 A不 成 立;sin3π2 -x = -cos x,故B不成 立;cos π2 +x = -sin x,故 C 成 立;tan(x+π)=tan x,故D成立.故 选CD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)0 解析:∵cos α = - 5 13<0 且cos α≠ -1,∴α 是第二或第三象限角. ① 若α 是第二象限角,则sin α = 1-cos2α = 1- - 5 13 2 = 12 13 , ∴tan α = sin α cos α = 12 13 - 5 13 = - 12 5. 此时13sin α+5tan α=13× 12 13+5× - 12 5 =0. ② 若α 是第三象限角,则sin α = - 1-cos2α = - 1- - 5 13 2 = - 12 13 ,∴tan α= sin α cos α= - 12 13 - 5 13 = 12 5 , 此时,13sin α+5tan α=13× - 12 13 + 5× 12 5 =0. 综上,13sin α+5tan α =0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -473- hh (2)- 7 5 解析:因 为α 是 第 一 象 限 角,cos α = 25 5 ,所 以 sin α = 1-cos2α = 1- 25 5 2 = 5 5 ,所 以cos 2α- cos α sin α =2cos 2α -1- cos α sin α =2× 25 5 2 -1- 25 5 5 5 = - 7 5. 对点训练1:(1)A 由sin x =1,得x = 2kπ+ π 2 (k∈Z),则cos2kπ+ π 2 = cosπ2 =0 ,故充分性成立;又cos3π2 =0 , sin3π2 = -1 ,故 必 要 性 不 成 立.所 以 “sin x =1”是“cos x=0”的充分不必要 条件,故选A. (2)513 - 12 13 例2:(1)32 解析:∵ 5π4 <α < 3π 2 ,∴cos α <0, sin α<0且cos α>sin α,∴cos α-sin α > 0.又 (cos α -sin α)2 = 1- 2sin αcos α = 1 - 2 × 1 8 = 3 4 , ∴cos α-sin α= 3 2. (2)①②④ 解析:∵α ∈ (0,π),sin α +cos α = 1 5 ,∴(sin α+cos α)2 =1+2sin α· cos α= 1 25 ,解得sin αcos α=- 12 25 ,故 ② 正 确;∵α ∈ (0,π),sin αcos α= - 12 25<0 ,∴ π2 <α<π ,cos α<0,故 ① 正确,③ 错误;由π2 <α<π 可知, cos α-sin α<0 ,且(cos α-sin α)2 = 1-2sin αcos α=1-2× - 12 25 =4925 , 解得cos α-sin α=- 7 5 ,故④正确.故 正确结论的序号是 ①②④. 对点训练2:(1)725 (2)78 (3)解:∵sin x+cos x= - 7 13 (0<x< π),∴cos x<0,sin x>0, 即sin x-cos x>0, 把sin x+cos x = - 7 13 两边平方得 1+2sin xcos x = 49 169 , 即2sin xcos x = - 120 169 , ∴(sin x-cos x)2 =1-2sin xcos x= 289 169 ,即sin x-cos x = 17 13 , 联立 sin x+cos x = - 7 13 , sin x-cos x = 17 13 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 sin x = 5 13 , cos x = - 12 13 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴cos x-2sin x = - 22 13. 例3:(1)解:① 根据sin α+cos α 3sin α-cos α =2 , 分 子 分 母 同 时 除 以 cos α, 得 到 tan α+1 3tan α-1= 2,解得tan α= 3 5 ,所以 tan(π-α)= -tan α = - 3 5. ② 结合①中tan α= 3 5 ,sin αcos α= sin αcos α sin2α+cos2α = tan α tan2α+1 = 15 34. ③ 由0<α<π,故sin α>0,又由 ② 知sin αcos α>0,故cos α>0,于是 sin α+cos α>0,(sin α+cos α)2 = 1+2sin αcos α =1+ 30 34 = 32 17 ,则 sin α+cos α = 4 34 17 . (2)35 解析:由sin α+3cos α 3cos α-sin α =5 , 得 tan α+3 3-tan α =5 ,可 得tan α =2,则 cos2α+ 1 2sin 2α=cos2α+sin αcos α= cos2α+sin αcos α cos2α+sin2α = 1+tan α 1+tan2α = 3 5. (3)25 解析:sin θ(1+sin 2θ) sin θ+cos θ = sin θ(sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ) sin θ+cos θ = sin θ(sin θ+cos θ)= sin θ(sin θ+cos θ) sin2θ+cos2θ = tan2θ+tan θ 1+tan2θ = 4-2 1+4= 2 5. 对点训练3:(1)12 (2)3 109 (3)解:若选条件 ①, 由sin α+cos α= 35 5 两边平方得1+ 2sin αcos α= 9 5 ,∴2sin αcos α= 4 5 , 即sin αcos α = 2 5 , 可得 sin αcos α sin2α+cos2α = 2 5 ,即 tan α tan2α+1 = 2 5 ,得2tan2α-5tan α+2=0,解得 tan α = 1 2 或tan α =2. 若选条件 ②, ∵log4(2sin α+cos α)+log4(sin α+ 2cos α)=1, ∴log4[(2sin α +cos α)·(sin α + 2cos α)]=1,即(2sin α +cos α)· (sin α+2cos α)=4,化简得2sin2α+ 5sin αcos α+2cos2α =4, ∴2sin 2α+5sin αcos α+2cos2α sin2α+cos2α =4, 即2tan 2α+5tan α+2 tan2α+1 =4, 得2tan2α-5tan α+2=0, 解得tan α = 1 2 或tan α =2. 例4:(1)- 3 3 解析:sin 613°+cos 1 063°+tan(-30°)= sin(180°+73°)+cos(-17°)-tan 30°= -sin 73°+cos(-17°)-tan 30°= -cos 17°+cos 17°- 3 3 = - 3 3. (2)0 解析:∵cos5π6+θ =cos π- π6 - θ = -cos π6 -θ = -a, sin2π3-θ =sin π2+ π6-θ = cos π6 -θ =a, ∴cos5π6 +θ +sin2π3 -θ =0. (3)± 26 5 解析:由题意得f(α)= sin α+ π 2 cos 3π2 -α tan(π-α)cos π2 +α sin(2π-α)tan(-α-π)sin(π+α) = cos α(-sin α)(-tan α)(-sin α) -sin α(-tan α)(-sin α) =cos α. ∵cosα- 3π 2 = -sin α= -15, ∴sin α = 1 5 , ∴α 为第一或第二象限角, ∴cos α = ± 1-sin2α = ± 26 5 , ∴f(α)= ± 26 5 . 对点训练4:(1)D cos π4 +α = cos π2+ α- π 4 = -sin α-π4 = - 1 3. 故选D. (2)23 解析:由题意,得定点P(2,3),故tan α= 3 2 ,所以 cos11π2 -α sin9π2+α cos π2+α sin(-π-α) = cos π2 +α sin π2 +α cos π2 +α sin α = -sin αcos α -sin2α = cos α sin α = 1 tan α = 2 3. (3)18 解析:由sin(3π+θ)= 1 3 ,可得sin θ= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -474- 参 考 答 案 - 1 3 ,∴ cos (π+θ) cos θ[cos(π-θ)-1]+ cos(θ-2π) sinθ- 3π 2 cos(θ-π)-sin 3π2 +θ = -cos θ cos θ(-cos θ-1)+ cos θ -cos2θ+cos θ = 1 1+cos θ+ 1 1-cos θ = 2 (1+cos θ)(1-cos θ)= 2 1-cos2θ = 2 sin2θ =18. 4.3 三角恒等变换 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)sin αcos β+cos αsin β sin αcos β -cos αsin β cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β tan α+tan β 1-tan αtan β tan α-tan β 1+tan αtan β (2)2sin αcos α cos2α -sin2α 1- 2sin2α 2cos2α-1 2tan α 1-tan2α 2.(1)1-cos 2α 2 1+cos 2α 2 1 2sin 2α (2)2cos2 α2 2sin 2 α 2 sinα2 +cosα2 2 sinα2 -cos α 2 2 (3) a a2+b2 b a2+b2 ba 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ 2.27-3512 3. 1 2 4.7210 解析:sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α = 3 5 ,即sin[(α-β)-α]= 3 5 ,即 sin(-β)= 3 5 ,所以sin β= - 3 5. 又β 是第三象限角,所以cos β= - 1-sin2β = - 1- - 3 5 2 = - 4 5 ,因此,sinβ+ 5π 4 =sin βcos5π4+ cos βsin 5π 4 = - 3 5 × - 22 + - 4 5 × - 22 =7210. 5.ACD 对 于 A, tan 15° 1-tan215° = 1 2 · 2tan 15° 1-tan215° = 1 2tan 30°= 3 6 ,A正 确;对 于 B,sin 15°sin 30°sin 75°= sin 15°sin 30°sin(90°-15°)= 1 2 × 2sin 15°cos 15°sin 30°= 1 2sin 230°= 1 8 ,B错误;对于C,cos 15°-sin 15°= 2 2 2cos 15°- 2 2sin 15° = 2sin(45°-15°)= 2 2 ,C正确;对于D, tan 24°+tan 36° 1-tan 24°tan 36°=tan (24°+36°)= tan 60°= 3,D正确.故选ACD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)- 33 65 16 65 解析:由sin α = 4 5 ,α ∈ π 2 ,π ,可 得cos α = - 1-sin2α = - 1- 4 5 2 = - 3 5 , 由cos β= - 5 13 ,β是第三象限角,可得 sin β= - 1-cos2β = - 1- - 5 13 2 = - 12 13 , 则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= - 3 5 × - 513 + 45 × -1213 = - 33 65 , sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= 4 5 × - 5 13 + - 35 × -1213 = 16 65. (2)- 2 11 解析:∵sin α = 3 5 ,α∈ π 2 ,π , ∴cos α = - 4 5 ,∴tan α = - 3 4 , 又tan(π-β)= 1 2 ,∴tan β= - 1 2 , ∴tan(α-β)= tan α-tan β 1+tan α·tan β = - 3 4 + 1 2 1+ - 3 4 × - 12 = - 2 11. (3)19 解析:因为sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β= 1 3 ,而cos αsin β= 1 6 ,因 此sin αcos β = 1 2 ,则sin(α+β)= sin αcos β +cos αsin β = 2 3 ,所 以 cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1- 2× 2 3 2 = 1 9. (4)5-14 解析:因 为cos α =1-2sin2 α 2 = 1+ 5 4 ,而α 为 锐 角,所 以sinα2 = 3- 5 8 = (5-1)2 16 = 5-1 4 . 对点训练1:(1)- 3+22 6 解析:因为点P(x,22)是角α终边上 一点,则有cos α = x x2+(22)2 = x x2+8 ,而cos α = - 1 3 ,于 是 得 x x2+8 = - 1 3 ,解 得x = -1,则 sin α= 22 x2+8 = 22 3 ,因此,cos π6+ α =cosπ6cos α-sinπ6sin α= 32 × - 1 3 - 12 ×223 = - 3+226 , 即cos π6 +α = - 3+226 . (2)- 3 3 解析:因为cosα+ π 6 = 32cos α- 1 2sin α = 3cos α,所 以 -sin α = 3cos α,故tan α= -3,所以tan(α+ β)= tan α+tan β 1-tan αtan β = - 3+ 3 3 1+ 3× 3 3 = - 23 3 2 = - 3 3. 例2:(1)13 解析:∵C =120°,∴tan C = - 3. ∵A+B =π-C,∴tan(A+B)= -tan C.∴tan(A+B)= 3, tan A+tan B = 3(1-tan Atan B), 又 ∵tan A+tan B = 23 3 , ∴tan Atan B = 1 3. (2)22sin 7π 12-x 解析:原 式 = 2 2 12sin π4 -x + 3 2cos π 4 -x = 22sin π4 -x+ π 3 = 22sin7π12-x . 对点训练2:(1)ABC 对于A,由于tan α+ tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),所 以tan 25°+tan 35°+ 3tan 25°tan 35°= tan(25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+ 3tan 25°tan 35°=tan 60°(1-tan 25°· tan 35°)+ 3tan 25°tan 35°= 3- 3tan 25°tan 35°+ 3tan 25°tan 35°= 3,A符 合 题 意;对 于 B,2(sin 35°· cos 25°+cos 35°·cos 65°)=2(sin 35°· cos 25°+cos 35°·sin 25°)=2sin 60°= 3,B符合题意;对于C,因为tan 45°=1, 所以 1+tan 15° 1-tan 15°= tan 45°+tan 15° 1-tan 45°tan 15°= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -475-