专题4.3.1 等比数列的概念（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题4.3.1 等比数列的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 等比数列通项公式的基本量计算】 2 【题型2 等比中项】 3 【题型3 等比数列的通项公式】 4 【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】 6 【题型5 等比数列的判定与证明】 7 【题型6 等比数列性质的应用】 11 【题型7 等比数列的单调性】 13 【题型8 求等比数列中的最大（小）项】 15 【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 17 考点1 等比数列的概念与通项公式 知识点1 等比数列的概念 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 知识点2 等比数列的通项公式 1．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 2．证明数列是等比数列的主要方法 (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【题型1 等比数列通项公式的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·广东潮州·期末）已知数列是等比数列，满足，则数列的公比为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【解题思路】结合等比数列通项公式建立方程求解. 【解答过程】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式可得： ，，代入已知等式： 等比数列中，两边约去得：，整理得， 又公比，因此. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知等比数列的公比，，则首项（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】由等比数列通项公式求解即可. 【解答过程】由题意知，. 故选：C． 【变式1-2】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知是等比数列，且，则（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的基本量计算即可. 【解答过程】设等比数列的公比是， 因为且，所以，所以； 所以； 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列是等比数列，若，则公比（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的通项公式计算即可. 【解答过程】设等比数列的首项为，公比为， 则. 所以. 故选：B. 【题型2 等比中项】 【例2】（25-26高二上·山西长治·期末）若、、成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等比中项的定义可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】因为、、成等比数列，所以，解得. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·江苏镇江·期末）三个数成等比数列，的值为（   ） A．2 B．8 C．16 D． 【答案】C 【解题思路】利用等比中项求解即可. 【解答过程】因为三个数成等比数列， 所以，解得， 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【解答过程】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，， 所以，，所以. 故选：C. 【题型3 等比数列的通项公式】 【例3】（2026·河北沧州·一模）在等比数列中，若，且，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设等比数列的公比为，由可得，再根据和，可得的值，进而可得数列的通项公式. 【解答过程】设等比数列的公比为，由可得，解得， 设， ， 因为，所以，解得或. 当时，，，不成立，故不满足题意，故舍去； 当时，，，满足，故满足题意. 所以． 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二下·山西太原·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用等差中项的性质及等比数列的通项公式求得公比，进而写出通项公式. 【解答过程】由题设，若的公比为，则，， 所以 ，则. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，求出，即可求出结果； （2）利用（1）中结果，得到，再利用等差数列的前项公式，即可求解. 【解答过程】（1）设公比为，因为， 所以，解得， 所以的通项公式为. （2）由（1）知， 所以. 【变式3-3】（25-26高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)，. 【解题思路】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【解答过程】（1）由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2）. ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】 【例4】（25-26高二上·甘肃甘南·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】B 【解题思路】根据已知及等比数列的通项公式列方程求基本量，进而求项. 【解答过程】设数列的公比为，则， 由题意得：，，且， 所以，，则， 整理得，解得，舍去）， 所以，则. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知在等比数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由等比数列的通项公式求解即可得答案. 【解答过程】因为是等比数列，所以，所以, 所以，解得， 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知数列为等比数列，若，，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出. 【解答过程】设等比数列公比为，，而，，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·广东·期末）等比数列中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出等比数列的公比，进而求出首项即可得解. 【解答过程】依题意，等比数列的公比，则，解得， 因此，所以. 故选：B. 【题型5 等比数列的判定与证明】 【例5】（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用等比数列的定义判断即可. 【解答过程】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】取，可判断；取 ，可判断；利用等比数列的定义可判断，. 【解答过程】对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但对任意的，，故数列不是等比数列； 对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但当时，，故数列不是等比数列； 设等比数列、的公比分别为，其中， 对任意的，， 对于，，即数列为等比数列； 对于，，故为等比数列， 故，一定是等比数列. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二下·河北邢台·开学考试）设数列的前项和为. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2)，最大项为 【解题思路】（1）由可得，配凑后可证为等比数列； （2）根据数列的单调性可求数列的最大项； 【解答过程】（1）证明：①，②， ②-①，， 故， 而在①中令，又， ，， 是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）得，， 则， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以，解得 由， 解得，单调递增；当，单调递减； 所以， 所以数列的最大项为 【变式5-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【解题思路】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值. （2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， （2）证明：∵， ∴得到，∴， 又满足上式，∴， 则代入①得：， 则， ∴，且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴. 考点2 等比数列的性质 知识点3 等比数列的性质 1．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是指数型函数的图象上一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 3．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 4．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【题型6 等比数列性质的应用】 【例6】（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【解答过程】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知正项等比数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由等比数列的下标和性质可知，结合对数的运算性质即可求得答案. 【解答过程】由等比数列的下标和性质可知， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【解题思路】根据等比数列的下标性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【解答过程】因为是方程的两个根， 所以， 所以，设等比数列的公比为， 由， 所以， 故选：C. 【变式6-3】（25-26高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】A 【解题思路】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案. 【解答过程】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以. 故选：A. 【题型7 等比数列的单调性】 【例7】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据递增数列的定义结合特例即可求解. 【解答过程】若有数列为递增数列，则， 当时，如：，满足， 但数列不是递增数列， 所以是数列为递增数列的必要不充分条件， 故选：B. 【变式7-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项． 【解答过程】是等比数列，则， ， ，等价于， 当时，，数列为递增数列； 当时，，则数列不一定递增，如时，， 不能推出为单调递增数列，不满足充分性； 若为单调递增数列，则对于任意，有， 令，则， 为单调递增数列能推出，满足必要性， “”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确． 故选：A． 【变式7-2】（2026高三上·河南南阳·专题练习）等比数列为递减数列，若，，则__________. 【答案】 【解题思路】根据等比数列基本量的计算求出，结合等比数列的通项公式计算即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为， 由，得，解得或， 又，所以， 又因为该等比数列为递减数列，所以， 所以. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)当为偶数时，，且为递增数列，；当为奇数时，，不可能为最小值．所以此时的最小值为． 【解题思路】（1）根据等比数列的通项公式，建立关于q得方程，求出即可求解； （2）根据等比数列的单调性，由（1）得，进而不等式转化为恒成立，结合数列的单调性即可求解； （3）根据等比数列的单调性可知或，分类讨论为偶数和奇数时的情况，求出对应的即可求解. 【解答过程】（1）设的公比为，则， 若，则．若，则． 所以的公比为，，4， 所以的通项公式为：，，． （2）若是递增数列，则，则有，， 等价于，恒成立，令，即． 而． 时，，时，，时，， ，，， 实数的取值范围为． （3）若不是单调数列，则，或． （i）当时，， ①当为偶数时，；②当为奇数时，． 所以此时的最小值为． （ii）当时，． ①当为偶数时，，且为递增数列，； ②当为奇数时，，不可能为最小值． 所以此时的最小值为． 【题型8 求等比数列中的最大（小）项】 【例8】（2026·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为，有， 由函数单调递增，且，可得. 有，由数列单调递减， 所以取得最大值时的值为9， 故选：B. 【变式8-1】（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设等比数列的公比为，根据题意求出、的值，可得出数列的通项公式，分析数列奇数项和偶数项的单调性，可得出、的值，即可得解. 【解答过程】设等比数列的公比为，由，解得， 所以，， 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减， 故，，， 故选：D． 【变式8-2】（2026·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ____________． 【答案】6 【解题思路】利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解. 【解答过程】在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6. 【变式8-3】（25-26高三上·河北·期中）已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时，__________． 【答案】3 【解题思路】由等比数列通项公式的基本量计算得到通项公式，再利用数列的单调性可求何时数列取最大值. 【解答过程】， 设数列公比为， 则，解得，即或（舍去） ∴，∴，∴， 设，则， 当时，，当时，， 故当时，取最大值， 故答案为：3. 【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 【例9】（25-26高三上·广东江门·阶段检测）设等比数列满足，则___________. 【答案】 【解题思路】由已知求出通项公式，再结合对数化简式和等差数列前n项和公式即可求解. 【解答过程】因为等比数列满足，所以， 又，解得，故，， 所以. 故答案为：. 【变式9-1】（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）数列的首项为，且，，则___________． 【答案】 【解题思路】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式，再利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【解答过程】因为，所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 因为，所以数列为等差数列， 故． 故答案为：. 【变式9-2】（25-26高二下·湖南长沙·期中）在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) ； (2) 【解题思路】（1）利用递推公式求出，根据等比数列的定义判断出数列是等比数列，根据首项和公比写出通项公式； （2）由，得到，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列，利用等差数列的求和公式求和即可． 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式 （2）由（1）可知，则 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以 【变式9-3】（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知为数列的前项和，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）对前项和关系分别写出与，相减得到数列的递推关系，再结合等差数列条件确定首项． （2）先由的通项求出，再利用等差数列求和公式求． 【解答过程】（1）当 时，由及，得， 所以，数列 是公比为 的等比数列． 由，，成等差数列，得． 又，所以，从而 ． 故． （2）由（1）得， 所以． 于是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3.1 等比数列的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 等比数列通项公式的基本量计算】 2 【题型2 等比中项】 2 【题型3 等比数列的通项公式】 3 【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】 3 【题型5 等比数列的判定与证明】 4 【题型6 等比数列性质的应用】 5 【题型7 等比数列的单调性】 6 【题型8 求等比数列中的最大（小）项】 7 【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 7 考点1 等比数列的概念与通项公式 知识点1 等比数列的概念 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 知识点2 等比数列的通项公式 1．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 2．证明数列是等比数列的主要方法 (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【题型1 等比数列通项公式的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·广东潮州·期末）已知数列是等比数列，满足，则数列的公比为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式1-1】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知等比数列的公比，，则首项（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-2】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知是等比数列，且，则（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【变式1-3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列是等比数列，若，则公比（   ） A． B． C． D．1 【题型2 等比中项】 【例2】（25-26高二上·山西长治·期末）若、、成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·江苏镇江·期末）三个数成等比数列，的值为（   ） A．2 B．8 C．16 D． 【变式2-2】（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 等比数列的通项公式】 【例3】（2026·河北沧州·一模）在等比数列中，若，且，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二下·山西太原·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式3-3】（25-26高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型4 利用等比数列通项公式求数列中的项】 【例4】（25-26高二上·甘肃甘南·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【变式4-1】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知在等比数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知数列为等比数列，若，，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式4-3】（25-26高二上·广东·期末）等比数列中，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 等比数列的判定与证明】 【例5】（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】（25-26高二下·河北邢台·开学考试）设数列的前项和为. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项. 【变式5-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 考点2 等比数列的性质 知识点3 等比数列的性质 1．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是指数型函数的图象上一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 3．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 4．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【题型6 等比数列性质的应用】 【例6】（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 【变式6-1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知正项等比数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式6-3】（25-26高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【题型7 等比数列的单调性】 【例7】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-2】（2026高三上·河南南阳·专题练习）等比数列为递减数列，若，，则__________. 【变式7-3】（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【题型8 求等比数列中的最大（小）项】 【例8】（2026·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式8-1】（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ____________． 【变式8-3】（25-26高三上·河北·期中）已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时，__________． 【题型9 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 【例9】（25-26高三上·广东江门·阶段检测）设等比数列满足，则___________. 【变式9-1】（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）数列的首项为，且，，则___________． 【变式9-2】（25-26高二下·湖南长沙·期中）在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式9-3】（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知为数列的前项和，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $