4.1 任意角与弧度制、三角函数的概念-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角与弧度制、三角函数的概念 5A>! 1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. AMc
-  -@) 1.角的概念 (1)正角、负角、零角:我们规定,一条射线绕 其端点按 方向旋转形成的角叫做正 角,按 方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成 了一个 .任意角包括 . (2)象限角:我们通常在直角坐标系内讨论 角.使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴 的非负半轴重合,那么, 在第几象 限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边 在 上,那么就认为这个角不属于任 何一个象限(常称为轴线角). (3)终边相同的角:所有与角α 终边相同的 角,连同角α 在内,可构成一个集合S= . 2.弧度制 (1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做 的角,弧度单位用符号rad表 示,读作弧度.一般地,正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零 角的弧度数是 . (2)角度和弧度的换算 180°= rad → 1°= π 180 rad≈0.017 45 rad 1 rad= 180 π °≈57.30° 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (3)半径为r的圆中,圆心角为α rad的角所对 的弧长公 式:l= ,扇 形 的 面 积 公 式:S= 1 2lr= . 3.三角函数的概念 (1)定义:设α 是一个任意角,α∈R,它的终 边OP 与单位圆相交于点P(x,y),则sin α= ,cos α= ,tan α=yx (x ≠ 0).正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三 角函数. (2)三角函数的定义域和函数值在各象限的 符号 三角 函数 定义域 (弧度制下) 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象 限符号 sin α R + + - - cos α R + - - + tan α α|α≠kπ+ π 2 ,k∈Z + - + - 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 082 @第四章 三角函数、解三角形 -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)锐角是第一象限角,第一象限角也都是 锐角. ( ) (2)“角α 是第一象限角”是“角α2 是第一象限 角”的充分不必要条件. ( ) (3)终边落在直线y=x上的角可以表示为k· 360°+45°,k∈Z. ( ) (4)若α 为第四象限角,则sin αtan α>0. ( ) (5)若sin α<0,则α的终边落在第三或第四 象限. ( ) 2.(教材改编题)若角β 满足条件sin βcos β< 0,且cos β-sin β<0,则β是第 象 限角. 3.(教材改编题)若角α 的顶点为坐标原点,始 边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y = - 3x 上,则角α的取值集合是 . 4.(教材改编题)已知扇形的周长是6,面积是2, 则扇形的圆心角的弧度数α 是 . 5.(多选题)(教材改编题)下列结论正确的是 ( ) A.- 5π 3 是第一象限角 B.若圆心角为π3 的扇形的弧长为π,则该扇形 的面积为3π 2 C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α= - 3 5 D.若角α 为锐角,则角2α 为钝角 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 角的概念及其表示 命题角度1 角的表示及象限角的确定 【例1】 (1)(多选题)(2024·河北石家庄外国语 学校摸底)下列命题正确的是 ( ) A.终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合 为{α|α=2kπ,k∈Z} B.终边落在y 轴上的角的集合为{α|α= 90°+kπ,k∈Z} C.第三象限角的集合为 α π+2kπ≤α≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z D.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相 同的角为-675°和-315° (2) (多选题)(2024·安徽阜阳摸底)若α是第二 象限角,则 ( ) A.π-α 是第一象限角 B.α2 是第一或第三象限角 C.32π+α 是第二象限角 D.2α 是第三或第四象限角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知角α所在的象限,确定kα,αk (k∈N*)的 终边所在位置的方法:先写出kα 或αk 的范围,然后 根据k的可能取值确定kα 或αk 的终边所在位置. 【对点训练1】 (多选题)下列说法错误的是( ) A.将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角 是π 6 B.若角α=2 rad,则角α 为第二象限角 C.若角α 为第一象限角,则角α2 也是第一象 限角 D.三角形的内角必是第一或第二象限角 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 083 hh a,则g'(x)= 1-x ex , 由g'(x)= 1-x ex >0,得x <1; 由g'(x)= 1-x ex <0,得x >1. 所以g(x)在(-∞,1)上单调递增,在 (1,+∞)上单调递减,由于x1,x2 是 方程g(x)=0的实根,不妨设x1 < 1<x2, 要证x1+x2 >2,只要证x2 >2- x1 >1. 由于g(x)在(1,+∞)上单调递减,故 只要证g(x2)<g(2-x1), 由于g(x1)=g(x2)=0, 故只要证g(x1)<g(2-x1), 令 H(x)=g(x)-g(2-x)= x ex - 2-x e2-x (x <1), 则 H'(x)= 1-x ex - 1-x e2-x = (e2-x -ex)(1-x) e2 , 因为x<1,所以1-x>0,2-x>x, 所以e2-x >ex,即e2-x -ex >0, 所以H'(x)>0,所以H(x)在(-∞, 1)上单调递增. 所以H(x1)<H(1)=0,即有g(x1)< g(2-x1)成立,所以x1+x2 >2. (2)解:① 当a=1时,f(x)=ln x- x,定义域为(0,+∞), 则f'(x)= 1 x -1= 1-x x ,f'(x)> 0⇒0<x <1,f'(x)<0⇒x >1, 所以f(x)在(0,1)上 单 调 递 增,在 (1,+∞)上单调递减, 故f(x)的极大值为f(1)= -1. ② 证明:由题意知,a>0,由f(x1)> g(x2)可得aln x1 a -x1>ax2-ae x2, 所以ln x1 a - x1 a >ln e x2 -e x2,令 h(x)=ln x-x, 由①可知,h(x)在(0,1)上单调递增,在 (1,+ ∞)上单调递减,则h x1 a > h(e x2), 令t1 = x1 a ,t2 =e x2,又x1>0,x2> 0,所以t1>0,t2>1,则h(t1)>h(t2), 若t1≥1,则t1+t2>2,即 x1 a +e x2 > 2,所以x1+ae x2 >2a; 若0<t1<1,设t3∈(1,+∞),且满 足h(t3)=h(t1),如图所示, 则h(t3)=h(t1)>h(t2),所以1< t3 <t2,下证:t3+t1 >2. 令F(x)=h(x)-h(2-x)=ln x- ln(2-x)-2x+2,x ∈ (0,1), 则 F'(x)= 1 x + 1 2-x - 2 = 2(x-1)2 x(2-x)> 0, 所以F(x)=h(x)-h(2-x)在x∈ (0,1)上 单 调 递 增,所 以 F(x)< f(1)=0, 所以F(t1)=h(t1)-h(2-t1)<0, 即h(t1)<h(2-t1), 又因为h(t3)=h(t1),所以h(t3)< h(2-t1),t3,2-t1 ∈ (1,+∞), 所以t3 >2-t1,即t3+t1 >2, 又因为1<t3 <t2,所以t1+t2 >2, 即x1+ae x2 >2a. 综上,x1+ae x2 >2a. 第四章 三角函数、 解三角形 4.1 任意角与弧度制、 三角函数的概念 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)逆时针 顺时针 零角 正角、 负角和零角 (2)角的终边 坐标轴 (3){β|β=α+k·360°,k∈Z} 2.(1)1弧度 正数 负数 0 (2)π (3)|α|·r 1 2|α| ·r2 3.(1)y x 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 2.二 3.α α =kπ- π 3 ,k∈Z 4.1或4 5.ABC 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)AD 终边落在x 轴的非负半轴 上的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z}, 故A正确;终边落在y轴上的角的集合 为 α α = π 2 +kπ ,k∈Z ,原 命 题 属于角度制和弧度制的混用,故B错 误;第三象限角的集合为{α|π+2kπ< α< 3π 2 +2kπ ,k∈Z},故C错误;在 -720°~0°范围内所有与45°角终边 相同的角 可 以 表 示 为{α|α =45°+ 360°·k,k= -1,-2},故α= -675° 或α = -315°,故D正确.故选AD. (2)AB 因为α与-α关于x 轴对称, 而α是第二象限角,所以-α是第三象 限角,所以π-α是第一象限角,故A正 确;因 为α 是 第 二 象 限 角,所 以 π2 + 2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以 π 4+ kπ< α 2 < π 2+kπ ,k∈Z,故 α 2 是第 一或第三象限角,故B正确;因为α 是 第二象限角,所以3 2π+α 是第一象限 角,故C错误;因为α是第二象限角,所 以 π 2 +2kπ<α<π+2kπ ,k∈Z,所 以π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所 以2α的终边可能在y轴负半轴上,故D 错误.故选AB. 对点训练1:ACD 例2:(1)136° -224° 解析:α= -6×360°+136°= -2 024°, 则与角α 终 边 相 同 的 角 可 以 写 成k· 360°+136°(k∈Z)的形式.当k =0 时,可得与角α终边相同的最小正角为 136°;当k= -1时,可得与角α终边相 同的最大负角为 -224°. (2){α|90°+k·180°≤α≤120°+k· 180°,k∈Z} 解析:因 为 终 边 落 在 y 轴 上 的 角 为 90°+k·180°,k∈Z,终边落在题图中 直线上的角为120°+m·360°=120°+ 2m·180°,m ∈Z和300°+n·360°= 120°+180°+2n·180°=120°+(2n+ 1)·180°,n∈Z,即终边在直线上的角 为120°+k·180°,k∈Z,所以终边落 在阴影部分(包含边界)的角α 的集合 为{α|90°+k·180°≤α≤120°+k· 180°,k∈Z}. (3)π-α+2kπ,k∈Z 解析:因为角α 的终边与角β 的终边关 于y 轴 对 称,在 一 个 周 期[0,2π)中, α+β=π,即β=π-α,所以由周期性 知β=π-α+2kπ,k∈Z. 对点训练2:(1) ββ=-π3+2kπ,k∈Z (2)2π3 例3:(1)2π 22π3 解析:因 为 扇 形 的 半 径为3,圆心角为2π3 , 则 扇 形 的 弧 长 等 于 2π 3×3=2π ;如图,设 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r(r>0),所以2π= 2π×r,解 得r =1,则 圆 锥 的 高 为 PO = 9-1=22,所以圆锥的体 积为 1 3π×1 2×22= 22π 3 . (2)D 由 弧 长 公 式l =|α|·r,得 l1 = 2π 3 ·r,l2 = 2π 3 ·2r,l3 = 2π 3 · 3r,…,l11 = 2π 3 ·11r, 其 中 r = |AB|=1,∴ 蚊香的长度L =l1 + l2+l3+…+l11= 2π 3 (1+2+3+…+ 11)=44π,故选D. (3)解:解法1:由题意知2r+l=16, ∴l=16-2r(0<r<8), 则S= 1 2lr= 1 2 (16-2r)r= -r2+ 8r= -(r-4)2+16, 当r=4(cm)时,Smax =16(cm2), l=16-2×4=8(cm),α= l r =2 , ∴S的最大值是16 cm2,此时扇形的半 径是4 cm,圆心角α =2 rad. 解法2:S = 1 2lr= 1 4l ·2r≤ 1 4 · l+2r 2 2 =16, 当且仅当l=2r,即r=4(cm)时,S的 最大值是16 cm2. 此时扇形的圆心角α =2 rad. 对点训练3:解:(1)l=|α|r= 2 4π ,S = 1 2lr= 1 2 × 2 4π× 2= π 4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -472- 参 考 答 案 (2)PS= 2sin θ,所以QR= 2sin θ, 因为扇形 AOB 的圆心角为 π4 ,所以 OR =QR = 2sin θ, OS=OPcos θ= 2cos θ,RS=OS- OR = 2cos θ- 2sin θ, 所以y=(2cos θ- 2sin θ)2sin θ= 2sin2θ+ π 4 - 10<θ< π4 , 当2θ+ π 4 = π 2 ,即θ= π 8 时,矩形面 积最大,最大面积为 2-1. 例4:(1)解:根据三角函数定义sin α = y r = -3m 16+9m2 = 3 5 >0 ,解 得 m = -1, 所 以 cos α = x r = 4 5 ,tan α = y x = 3 4. (2)7π6 解析:由题意sin α =cos 4π 3 = - 1 2 , 又sin4π3 <0 ,所以点 sin4π3 ,cos4π3 在 第三象 限,即α 是 第 三 象 限 角,所 以 α = 7π 6 +2kπ ,k∈Z,最小正值为 7π 6. (3)- 6 4 ± 15 3 解析:由sin α= m 3+m2 = 2m 4 ,解 得m = ±5,∴r= 3+m2 =22, 当m = 5时,cos α= - 3 22 = - 6 4 , tan α = - 15 3 ;当 m = - 5 时, cos α= - 3 22 = - 6 4 ,tan α= 15 3 . 对点训练4:(1) 17+14 或2 解析:由题意,可知A(3,4)或A(1,4), 当点A 是(3,4)时,由三角函数的定义 有tan θ = 4 3 ,sin θ = 4 32+42 = 4 5 ,所以 1 tan θ+ 1 sin θ= 3 4+ 5 4 =2 ; 当点A 是(1,4)时,由三角函数的定义 有tan θ= 4 1 =4 ,sin θ= 4 12+42 = 4 17 ,所 以 1 tan θ + 1 sin θ = 1 4 + 17 4 = 17+1 4 . (2)± 3 4 解析:由角β 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 1 2 ,m ,得cos β= 12,又sin αcos β< 0,所以sin α<0,因为角α的终边落在 直线y= 3x上,所以角α只能是第三 象限角.记P 为角α的终边与单位圆的 交点,设 P(x,y)(x <0,y <0),则 |OP|=1,即x2 +y2 =1,又y = 3x,解 得 x = - 1 2 ,y = - 3 2 ,即 cos α= - 1 2 ,因为点 1 2 ,m 在单位 圆上,所 以 1 2 2 +m2 =1,解 得 m = ± 3 2 ,即sin β = ± 3 2 ,所 以 cos αsin β= ± 3 4. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)11-432 解析:如图,连接OC, 因为C是AB的中点, 所 以 OC ⊥ AB,又 CD ⊥AB,所 以 O, C,D 三 点 共 线,即 OD = OA = OB = 2,又 ∠AOB =60°, 所以AB =OA =OB =2,则OC = 3,故CD =2- 3,所以s=AB+ CD2 OA =2+ (2- 3)2 2 = 11-43 2 . (2)2.4 m2 解析:设扇形所在圆的圆心角为α(α> 0),内环的半径为r m,外环的半径为 R m,则R-r=1.2,因为扇环外环的 弧长为3.2 m,内环的弧长为0.8 m,可 得 αR =3.2, αr=0.8, 可得α(R+r)=4,所 以扇环需要进行工艺制作的面积的估 计值为:S= 1 2α (R2-r2)= 1 2α (R+ r)(R-r)= 1 2×4×1.2=2.4 (m2). (3)1.768 m 解析:由题意,“弓”所在弧长l= π 4+ π 4 + π 8 = 5π 8 ,其所对的圆心角α = 5π 8 1.25= π 2 ,双手之间的距离d= 2× 1.25≈1.768(m). 素养检测:1.25 解析:如图所示,因 为径长为10米,下 周 长 为 10 米,即 OA+OB =10且 lAB︵ =10,所以扇形 所在圆的半径为R = 10 2 =5 (米),所 以该扇形田的面积为S = 1 2 ×10× 5=25(平方米). 2. π 解析:设内环圆弧所对的圆心角为α, 因为内环弧长是所在圆周长的 1 3 ,且 内环所在圆的半径为1,所以α×1= 1 3×2π×1 ,可得α= 2π 3 ,因为径长(内 环和外环所在圆的半径之差)为1,所 以,外环圆弧所在圆的半径为1+1= 2,因 此,该 扇 面 的 面 积 为 12 × 2π 3 × (22-12)=π. 3.5-14 解析:根据正五边形的性质,可得正五 边形的每个内角为 180°×3 5 =108° ,所 以 ∠ACB = 72°,又 cos∠ACB = cos 72°= 1 2BC AC = 5-1 4 ,所以sin 18°= cos 72°= 5-1 4 . 4.2 同角三角函数基本 关系式及诱导公式 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.1 tan α α≠kπ+ π 2 ,k∈Z 2.sin α cos α -cos α sin α tan α -tan α 奇变偶不变 3.(1)1-cos2α (1+sin α)(1-sin α) (3) tan 2α tan2α+1 (4) cos 2α sin2α+cos2α 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.- 3 5 3 4 3.1 4. 3-1 2 5.CD sin(-x)= -sin x,故 A不 成 立;sin3π2 -x = -cos x,故B不成 立;cos π2 +x = -sin x,故 C 成 立;tan(x+π)=tan x,故D成立.故 选CD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)0 解析:∵cos α = - 5 13<0 且cos α≠ -1,∴α 是第二或第三象限角. ① 若α 是第二象限角,则sin α = 1-cos2α = 1- - 5 13 2 = 12 13 , ∴tan α = sin α cos α = 12 13 - 5 13 = - 12 5. 此时13sin α+5tan α=13× 12 13+5× - 12 5 =0. ② 若α 是第三象限角,则sin α = - 1-cos2α = - 1- - 5 13 2 = - 12 13 ,∴tan α= sin α cos α= - 12 13 - 5 13 = 12 5 , 此时,13sin α+5tan α=13× - 12 13 + 5× 12 5 =0. 综上,13sin α+5tan α =0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -473-