3.2 导数与函数的单调性-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

@第三章 一元函数的导数及其应用 【对点训练3】 (1)已知定义在区间(0,+∞)上 的函数f(x)=-2x2+m,g(x)=-3ln x- x,若以上两函数的图象有公共点,且在公共 点处切线相同,则m 的值为 . (2)若存在实数a>0,使得函数f(x)=aln x+ x与g(x)=2x2-2x-b的图象有相同的切 线,且相同切线的斜率为2,则实数b的最大 值为 . 命题角度3 已知曲线的切线条数求参数范围 【例4】 (1)(2021·新高考 Ⅰ 卷)若过点(a,b) 可以作曲线y=ex 的两条切线,则 ( ) A.eb <a B.ea <b C.0<a<eb D.0<b<ea (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex 有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知曲线的切线条数求参数范围问题时,需要 明确的是,曲线存在几条切线,就会相应的有几个切 点,因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问 题;也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”,将问题进一 步转化为关于相应函数零点个数的问题. 【对点训练4】 (1)(2023·安徽安庆模拟)若过 点(a,b)(a>0)可以作曲线y=xex 的三条 切线,则 ( ) A.0<a<beb B.-aea <b<0 C.0<ae2<b+4 D.-(a+4)<be2<0 (2)(多选题)(2023·江苏南京金陵中学摸底) 已知函数f(x)= x ex ,过点(a,b)作曲线 f(x)的切线,下列说法正确的是 ( ) A.当a=0,b=0时,有且仅有一条切线 B.当a=0时,可作三条切线,则0<b< 4 e2 C.当a=2,b>0时,可作两条切线 D.当0<a<2时,可作两条切线,则b的取 值为4-a e2 或a ea 学习至此,请完成课时作业16 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3.2 导数与函数的单调性 5A>! 结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函 数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. AMc
-  -@) 1.函数的单调性与导数的关系 一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x) 的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a, b)内,如果 ,那么函数y= f(x)在 区间(a,b)内单调递增;如果 ,那么 函数y= f(x)在区间(a,b)内单调递减. 2.利用导数判断函数f(x)单调性的步骤 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数f'(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 065 hh 分为若干个区间,列表给出f'(x)在各个区 间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义 域内的单调性. 常用结论与知识拓展 1.在某区间内,f'(x)>0(f'(x)<0)是函数 f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件.可 导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是 对 ∀x ∈ (a,b),都有 f'(x)≥0(f'(x)≤0)且 f'(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零. 2.构造函数解抽象不等式 (1)对于不等式f'(x)>k(k ≠0),构造函数 g(x)=f(x)-kx+b. (2)对于不等式xf'(x)+f(x)>0,构造函数 g(x)=xf(x);对于不等式xf'(x)-f(x)>0,构造 函数g(x)=f (x) x (x ≠0). (3)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0,构造函数 g(x)=xnf(x);对于不等式xf'(x)-nf(x)>0,构 造函数g(x)=f (x) xn (x ≠0). (4)对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数 g(x)=exf(x);对于不等式f'(x)-f(x)>0,构造 函数g(x)=f (x) ex . (5)对于不等式f'(x)sin x+f(x)cos x>0(或 f(x)+f'(x)tan x>0),构造函数g(x)=f(x)sin x; 对于不等式f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或f'(x)- f(x)tan x >0),构造函数g(x)=f(x)cos x. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递减,则一 定有f'(x)<0. ( ) (2)若函数f(x)在某一范围内导数的绝对值 越大,那么函数在这个范围内变化得就越快, 此时函数的图象就会更“陡峭”(向上或向下). ( ) (3)在(a,b)内,f'(x)≥0且f'(x)在(a,b) 的任何子区间内都不恒为零,则f(x)在(a, b)上为增函数. ( ) (4)若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间, 则当x∈(a,b)时,f'(x)<0有解. ( ) (5)若 函 数 f(x)=x3 -ax +2在 区 间 (1,+∞)内是增函数,则实数a 的取值范围 是(-∞,3). ( ) 2.(教材改编题)函数f(x)=4x-ln x 的单调 递减区间为 . 3.如图是y=f'(x)的图象,则 函数y=f(x)的单调递减区 间是 ( ) A.(-2,1) B.(-2,0),(2,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1),(1,+∞) 4.(教材改编题)若函数f(x)=ln x+ax2-5x 在区间 1 3 ,1 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 内单调递增,则实数a 的取值 范围为 . 5.(多选题)(教材改编题)设函数f(x)= ex ln x , 则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)的定义域是(0,+∞) B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x 轴下方 C.f(x)存在单调递增区间 D.f(x)有两个单调区间 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 利用导数研究函数的单调性 命题角度1 具体函数的单调区间 【例1】 (1)函数f(x)=x2ln x 的单调递增区 间为 . (2)(2023·全国甲卷改编)讨论函数f(x)= 8x- sin x cos3x 在0,π2 上的单调性. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 066 @第三章 一元函数的导数及其应用 确定函数单调区间的步骤:第一步,确定函数 f(x)的定义域.第二步,求f'(x).第三步,解不等 式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增 区间;解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分 为单调递减区间.注意函数间断点. 【对点训练1】 已知定义在区间(-π,π)上的 函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单 调递增区间是 . 命题角度2 含有参数的函数的单调性 【例2】 (2023· 四 川 遂 宁 摸 底)讨 论 函 数 f(x)=ln x+ 1 2x 2-2mx(m ∈R)的单 调性. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不 等式解集的影响进行分类讨论,应做到“不重不漏”. 2.确定函数的单调区间时,一要在函数定义域 内讨论,二还要确定导数为零的点和函数的间断点. 3.要对分类讨论后的结论进行整合,体现“分类 与整合”的数学思想. 【对点训练2】 若函数f(x)= kx2+x-1 ex , k>- 1 2 ,讨论f(x)的单调性. 考点2 函数单调性的应用 命题角度1 函数图象的识辨 【例3】 (1)(多选题)(2023·广东潮州摸底)已 知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则 下列结论正确的为 ( ) A.曲线m 是f(x)的图象,曲线n是f'(x) 的图象 B.曲线m 是f'(x)的图象,曲线n 是f(x) 的图象 C.不等式组 f(x)>f'(x), 0<x<2 的解集为(0,1) D.不等式组 f(x)>f'(x), 0<x<2 的解集为1,43 (2)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如 图,则下列结论正确的是 ( ) A.函数f(x)在区间(-2,1)上单调递增 B.函数f(x)在区间(1,3)上单调递减 C.函数f(x)在区间(4,5)上单调递增 D.函数f(x)在区间(-3,-2)上单调递增 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 067 hh 利用导数进行图象识别有以下三个结论:① 在 导函数图象中,在x 轴上方区域对应原函数单调递 增区间,在x 轴下方区域对应原函数单调递减区间; ②在导函数图象中, 图象由x 轴上方到x 轴下方与 x 轴的交点为极大值点;由x 轴下方到x 轴上方与 x 轴的交点为极小值点;③ 导函数与x 轴的交点不 一定是极值点,交点两侧导函数值可能恒正或者恒 负,若交点是极值点,交点两侧导函数值必须异号. 【对点训练3】 (1)函 数 y = f(x)的导函数y=f'(x)的 图象如图所示,则函数y= f(x)的图象可能是 ( ) A B C D (2)已知f(x)= 1 4x 2+sin π 2+x ,f'(x)为 f(x)的导函数,则f'(x)的大致图象是 ( ) A B C D 命题角度2 比较大小 【例4】 (1)已知a= 31 32 ,b=cos 1 4 ,c=4sin 1 4 ,则 ( ) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b (2)(2022·新高考Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b= 1 9 , c=-ln 0.9,则 ( ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.利用导数比较大小,有时需要利用题目条件 构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导 数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小的 问题. 2.比较大小时,需关注函数的性质,如奇偶性、 对称性,进而把自变量转移到同一区间,再利用单调 性比较即可. 【对点训练4】 (1)(2023·辽宁锦州摸底)已知 定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x), 且f(x)<f'(x)<0,则 ( ) A.ef(2)>f(1),f(2)>ef(1) B.ef(2)>f(1),f(2)<ef(1) C.ef(2)<f(1),f(2)<ef(1) D.ef(2)<f(1),f(2)>ef(1) (2)(2023·宁夏银川一中高三阶段测试)实数 πe,3π,π3,eπ 中值最大的是 . 命题角度3 解不等式 【例5】 (1)已知函数f(x)是定义域为R的奇 函数,当x >0时,f'(-x)>2f(x),且 f(3)=0,则 不 等 式 f(x)> 0 的 解 集 为 . (2)(2024·江苏扬州高三开学考试)已知定义 在R上的偶函数y=f(x)的导函数为y'= f'(x),当x>0时,f'(x)+f (x) x <0 ,且 f(2)=-3,则不等式f(2x-1)< - 6 2x-1 的解集为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 068 @第三章 一元函数的导数及其应用 1.解函数不等式的关键是研究函数单调性,通 过单调性将原问题转化为关于自变量的不等关系, 要注意将常数y0 写成f(x0)的形式. 2.常见的函数构造形式: (1)g(x)=eaxf(x),g'(x)=eax[af(x)+ f'(x)]; (2)g(x)=f (x) eax ,g'(x)=f '(x)-af(x) eax . 【对点训练5】 (1)已知函数f(x)的定义域为 R,且对任意x∈R,f(x)-f'(x)<0恒成 立,则exf(x +1)>f (2x+3) e2 的 解 集 为 . (2)设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为 f'(x),若f(x)+f'(x)>1,f(0)=2 024, 则不等式exf(x)>ex +2 023(其中e为自 然对数的底数)的解集为 . 命题角度4 已知函数单调性求参数的范围 【例6】 (1)已知函数f(x)=aex-ln x 在区间 (1,2)上单调递增,则a的最小值为 . (2)(2023·全国乙卷)设a ∈ (0,1),若函数 f(x)=ax+(1+a)x 在(0,+∞)上单调递 增,则a的取值范围是 . (3)(2023·北京十四中高三开学考试)若函数 f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单 调函数,则实数k的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 根据函数单调性求参数的一般思路:① 利用集 合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则 区间(a,b)是相应单调区间的子集;②f(x)为增函 数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥ 0且在(a,b)内的任一非空子集上f'(x)不恒为零,应 注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解;③ 函数在 某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【对点训练6】 (1)(多选题)(2023·江苏镇江实验 中学 开 学 考 试)已知函数f(x)= 1 3x 3 - 3 2x 2-aln x在区间(0,+∞)上单调递增,则 符合条件的实数a的取值可以是 ( ) A.1 B.-2 C.-4 D.-5 (2)设函数f(x)= 1 3x 3- a 2x 2+2x +1,若 f(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区 间,则实数a的取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋  >Fe2 理性思维下的“二次求导”的作用和 意义以及函数的“凹凸性” 【题目呈现】 (1)若函数f(x)= sin x x , 0<x1<x2<π.设a=f(x1),b=f(x2),试 比较a,b的大小. (2)判断函数f(x)= (x+1)ln x x-1 (x>1) 的单调性. (3)丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析 做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凹凸性 与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数 f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在 (a,b)上 的 导 函 数 为 f″(x),若 在(a,b)上 f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上 为“严格凸函数”.已知f(x)=ex-xln x-px2 在(1,4)上为“严格凸函数”,则实数p 的取值范 围是 . 【思路分析】 函数图象虽然可以直观地反 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 069 hh 映出两个变量之间的变化规律,但大多数复合 的函数作图困难较大.导数的建立拓展了应用 图象解题的空间.导数这个强有力的工具对函 数单调性的研究提供了简单、程序化的方法,具 有很强的可操作性.当f'(x)>0时,函数f(x) 单调递增;当f'(x)<0时,函数f(x)单调 递减. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【素养解读】 (1)为了得到f(x)的单调 性,需判断f'(x)的符号,若f'(x)的符号很难 直接判断,则可通过二次求导,判断出一次导函 数的符号,并最终解决问题. (2)求导后思路受阻时,常考虑二次(多次) 求导(需利用函数思想先构造函数),尤其是解 析式含ex,ln x,xn,sin x,cos x 等混合结构时. 注意:结合端点或特殊点函数值符号;一般令 g(x)=f'(x),而不直接写成f″(x). 2" 1.定义:函数f(x)在(a,b)上的导函数为 f'(x),f'(x)在 (a,b)上 的 导 函 数 为 f″(x),若在(a,b)上f″(x)<0恒成立,则 称函数f(x)在(a,b)上为“严格凸函数”,称 区间(a,b)为函数f(x)的“严格凸区间”.则 下列正确命题的序号为 . ①函数f(x)=-x3+3x2+2在(1,+∞)上 为“严格凸函数”;② 函数f(x)= ln x x 的“严 格凸区间”为 0,e 3 2 ;③ 函数f(x)=ex - m 2x 2 在(1,4)上为“严格凸函数”,则m 的取 值范围为[e,+∞). 2.判断函数f(x)= (1-x2)ex -1 x (x >0)的 单调性. 3.当x >0时,比较sin x 与x- x3 6 的大小. 学习至此,请完成课时作业17 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 070 参 考 答 案 ex,所以,曲线y=ex 在点P 处的切线 方程为y-et =et(x -t),即y = etx+(1-t)et,由题意可知,点(a,b) 在直线y =etx + (1-t)et 上,可得 b=aet+(1-t)et = (a+1-t)et,令 f(t)= (a+1-t)et,则f'(t)= (a- t)et.当t<a时,f'(t)>0,此时函数 f(t)单调递增,当t>a时,f'(t)<0, 此 时 函 数 f(t)单 调 递 减, 所 以, f(t)max =f(a)=ea,由题意可知,直 线y=b与曲线y=f(t)的图象有两 个交 点,则b < f(t)max =ea,当 t < a +1 时, f(t)>0,当t> a+1时,f(t)< 0, 作 出 函 数 f(t)的 图 象 如 图所 示,由 图 可 知,当0<b<ea 时,直线y=b与 曲 线 y = f(t) 的图象有两个交 点.故选D. (2)(-∞,-4)∪ (0,+∞) 解析:∵y = (x+a)ex,∴y'= (x+ 1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0 = (x0+a)e x0,切线斜率k= (x0+1+ a)e x0,切线方程为y-(x0+a)e x0 = (x0+1+a)e x0(x-x0),∵切线过原 点,∴ - (x0 +a)e x0 = (x0 +1+ a)e x0(-x0),整理得x20+ax0-a= 0,∵ 切线有两条,∴Δ=a2+4a>0, 解得a<-4或a>0,∴a的取值范围 是(-∞,-4)∪ (0,+∞). 对点训练4:(1)D 由题可得y'= (x+ 1)ex,设切点为(x0,x0e x0),则(x0 + 1)e x0 = x0e x0 -b x0-a ,整 理 得 (x20 - ax0-a)e x0 = -b,由题意知关于x0 的方程(x20-ax0-a)e x0 = -b有三 个不同的解,设f(x)= (x2-ax - a)ex,f'(x)= (x+2)(x-a)ex,由 f'(x)=0,得x = -2或x =a,又 a>0,所以当x<-2时,f'(x)>0, f(x)单调递增,当 -2<x <a 时, f'(x)<0,f(x)单调递减,当x >a 时,f'(x)> 0, f(x)单调递增,当 x→-∞时f(x) →0,当x →+∞ 时,f(x)→+ ∞, 且f(-2)= 4+a e2 , f(a)= -aea <0,函数f(x)的大致 图象如图所示,因为f(x)的图象与直 线y= -b有三个交点,所以0<-b< 4+a e2 ,即-(a+4)<be2<0. (2)ABD 设切点坐标为(x0,y0),所 以y0= x0 e x0 ,f'(x)= 1-x ex ,则切线的 斜率为k = 1-x0 e x0 ,切线方程为y- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (x-x0).对于A,当a= 0,b=0时,- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (-x0),解 得x0 =0,故切点为(0,0),所以切线 方程为y =x,所以有且仅有一条切 线,故A正确;对于B,当a=0时,b- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (-x0),则b = x20 e x0 ,设 g(x)= x2 ex ,则g'(x)= 2x-x2 ex = x(2-x) ex ,当 x ∈ (- ∞,0) 时, g'(x)<0,g(x)单 调 递 减,当x ∈ (2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递 减,当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x) 单调递增,所以x=0时,g(x)有极小 值,为g(0)=0,x =2时,g(x)有极 大值,为g(2)= 4 e2 ,x>0时,f(x)= x ex >0,画 出 g(x)= x2 ex 的 图 象, 如图, 当a=0时,若可作三条切线,则y=b 与g(x)= x2 ex 的图象有3个交点,由图 可得0<b< 4 e2 ,故B正确;对于C, 当 a =2时,由 切 线 方 程 得b- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (2-x0),则b= x20-2x0+2 e x0 , 设h(x)= x2-2x+2 ex ,则h'(x)= -x2+4x-4 ex = - (x-2)2 ex ≤0, 所以 h(x)单 调 递 减,且 h(x)= (x-1)2+1 ex >0,如图, 所以 当 a = 2,b > 0 时,y =b 与 h(x)= x2-2x+2 ex 的图象有且只有 一个交点,所以只能作一条切线,故C 错误;对于D,当0<a<2时,由切线 方程为y- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (x-x0)得 b- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (a-x0),则b = x20+(1-x0)a e x0 ,设t(x)= x2+(1-x)a ex ,则t'(x)= (2+a)x-x2-2a ex = (x-a)(2-x) ex ,因为0<a<2,所以 当x∈(a,2)时,t'(x)>0,t(x)单调 递增,当x∈(-∞,a)时,t'(x)<0, t(x)单调递减,当x ∈ (2,+∞)时, t'(x)<0,t(x)单调递减,所以当x= a 时,t(x) 的 极 小 值 为 t(a) = a2+(1-a)a ea = a ea >0,x =2时, t(x)的极大值为t(2)= 4+(1-2)a e2 = 4-a e2 >0,t(x)的图象为 若可作两条切线,则b 的取值为4-a e2 或 a ea ,故D正确.故选ABD. 3.2 导数与函数的单调性 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.f'(x)>0 f'(x)<0 基础检测 1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2.0,14 3.B 4.258 ,+∞ 解析:函数f(x)在 1 3 ,1 2 内单调递 增,则f'(x)= 1 x +2ax-5≥0 在 x ∈ 1 3 ,1 2 上 恒 成 立,即 2a ≥ - 1 x2 + 5 x 在x∈ 1 3 ,1 2 上恒成立, 又- 1 x2 + 5 x = - 1 x - 5 2 2 + 25 4 ∈ 6,254 ,所以2a≥254,即a≥258. 5.BC 由 x >0 , ln x ≠0, 得x>0且x≠1, 所以函数f(x)= ex ln x 的定义域为(0, 1)∪ (1,+∞),故 A不正确.当x ∈ (0,1)时,ln x < 0,ex > 0,所 以 f(x)<0,所以当x∈(0,1)时,f(x) 的图 象 位 于 x 轴 下 方,故 B 正 确. f'(x)= ex ln x- 1 x (ln x)2 ,令g(x)= ln x- 1 x ,则g'(x)= 1 x + 1 x2 >0,所 以函数g(x)单调递增,g(1)= -1< 0,g(e)=1- 1 e >0 ,故存在x0>1, 使得g(x0)=0,则函数f'(x)=0只 有一个根x0,当x∈(0,1)和x∈(1, x0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递 减,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -461- hh 函数f(x)单调递增,所以函数有三个单 调区间,故C正确,D不正确.故选BC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1) e e ,+∞ 解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2xln x+x2· 1 x =2xln x+ x =x(2ln x+1),令f'(x)>0,得 2ln x+1>0,解得x > e e ,故函数 f(x)=x2ln x 的 单 调 递 增 区 间 为 e e ,+∞ . (2)解:f'(x)= 8- cos xcos3x+3sin xcos2xsin x cos6x = 8- cos2x+3sin2x cos4x =8- 3-2cos2x cos4x , 令cos2x =t,则t∈ (0,1), 则f'(x)= g(t)= 8t2+2t-3 t2 = (2t-1)(4t+3) t2 , 当t∈ 0, 1 2 ,即x ∈ π4,π2 时, f'(x)<0,f(x)单调递减. 当t∈ 1 2 ,1 ,即x ∈ 0,π4 时, f'(x)>0,f(x)单调递增. 对点训练1:-π,- π 2 和 0,π2 解析:f'(x)= sin x +xcos x - sin x=xcos x.令f'(x)=xcos x> 0,则 其 在 区 间 (-π,π)上 的 解 集 为 -π,- π 2 和 0,π2 ,即f(x)的单 调递增区间为 -π,- π 2 和 0,π2 . 例2:解:f(x)的定义域为(0,+∞),求导得 f'(x)= 1 x +x-2m= x2-2mx+1 x , 令f'(x)=0,得x2-2mx+1=0,其 Δ =4m2-4. 当m ≤0时,又x ∈ (0,+∞),所以 f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单 调递增. 当0<m ≤1时,Δ=4m2-4≤0,所 以f'(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上 单调递增, 当m>1时,Δ=4m2-4>0 ,由x2- 2mx+1=0得x1=m- m2-1> 0,x2 =m+ m2-1, 所以x ∈ (0,x1)或x ∈ (x2,+∞) 时,f'(x)>0,当x ∈ (x1,x2)时, f'(x)<0, 故f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调 递增,在(x1,x2)上单调递减. 综上,当m ≤1时,f(x)在(0,+∞) 上单调递增.当m >1时,f(x)在(0, m- m2-1),(m+ m2-1,+∞) 上单调递增,在(m - m2-1,m + m2-1)上单调递减. 对点训练2:解:因为f(x)= kx2+x-1 ex , 所以f'(x)= - (kx+1)(x-2) ex , 当k =0时,f'(x)= - (x-2) ex ,令 f'(x)= - (x-2) ex =0,解得x =2, 且x <2时,f'(x)>0,x >2时, f'(x)<0, 所以当k=0时,f(x)在(-∞,2)上 单调递增,在(2,+ ∞)上单调递减; 当 - 1 2 <k < 0 时,令 f'(x)= -(kx+1)(x-2) ex =0,解 得 x = - 1 k 或x =2,又 - 1 k >2 ,所以当 x <2或x >- 1 k 时,f'(x)>0,当 2<x <- 1 k 时,f'(x)<0,所以当 - 1 2 <k<0 时,f(x)在(-∞,2), - 1 k ,+∞ 上 单 调 递 增,在 2, - 1 k 上单调递减;当k>0时, 令f'(x)= - (kx+1)(x-2) ex =0, 解得x = - 1 k 或x =2, 又 - 1 k <0 ,所以当x <- 1 k 或x > 2时,f'(x)<0,当- 1 k <x<2 时, f'(x)>0,所以当k>0时,f(x)在 -∞,- 1 k ,(2,+∞)上单调递减, 在 - 1 k ,2 上单调递增. 综上得,当k=0时,f(x)在(-∞,2) 上单调递增,在(2,+∞)上单调递减; 当- 1 2 <k<0 时,f(x)在(-∞,2), - 1 k ,+∞ 上 单 调 递 增,在 2, - 1 k 上单调递减;当k>0时,f(x) 在 -∞,- 1k ,(2,+∞)上单调递减, 在 - 1 k ,2 上单调递增. 例3:(1)BC 对 于 A,B,若 曲 线 n 是 f'(x)的 图 象,则 当0<x <2时, f'(x)<0,则f(x)在(0,2)上递减, 与曲线m 在(0,2)上不单调相矛盾,所 以曲 线n 是f(x)的 图 象,曲 线 m 是 f'(x)的图象,故A错误,B正确;对于C, D,由 f (x)>f'(x), 0<x<2, 得 0<x<1,0<x<2, 解得0<x <1,所以不等式组的解集 为(0,1),故C正确,D错误.故选BC. (2)C 由导数的图象可知,当x∈(-1, 2)∪ (4,5)时,f'(x)>0,所以f(x) 在区间(-1,2),(4,5)上单调递增,故 C正确;当2<x<4时,f'(x)<0,所 以f(x)在 区 间 (2,4)上 单 调 递 减, 当 -3<x <-1时,f'(x)<0,则 f(x)在区间(-3,-1)上单调递减, 故A,B,D错误.故选C. 对点训练3:(1)D 由导函数y=f'(x) 的图象可知,该图象在x 轴的负半轴 上有一个零点(不妨设为x1),并且当 x <x1 时,f'(x)<0,该图象在x 轴 的正半轴 上 有 两 个 零 点(从 左 到 右 依 次设为x2,x3),且当x∈(x1,x2)时, f'(x)> 0;当 x ∈ (x2,x3)时, f'(x)<0;当x>x3 时,f'(x)>0. 因此函数f(x)在x =x1 处取得极小 值,在x =x2 处取得极大值,在x = x3 处取得极小值.对照四个选项,对于 A,在x =x1 处取得极大值,不合题 意;对于B,极大值点应大于0,不合题 意;对于C,在x =x1 处取得极大值, 也不 合 题 意;对 于 D,符 合 题 意.故 选D. (2)A ∵f(x)= 1 4x 2 +sin π2 + x = 14x2 + cos x,∴f'(x) = 1 2x-sin x,∴f'(-x)= 1 2 (-x)- sin(-x)=- 1 2x+sin x,∴f'(-x)= -f'(x),∴f'(x)= 1 2x-sin x 是奇 函数,其图象关于原点对称,故排除B, D;将x= π 6 代入f'(x)得f' π 6 = π 12- 1 2 <0 ,排除C.故选A. 例4:(1)A 解法1:构造函数 因为当x ∈ 0, π 2 时,x <tan x,故 c b =4tan 1 4 >1 ,故c b >1 ,所以c> b.设f(x)=cos x+ 1 2x 2-1,x ∈ (0,+∞),f'(x)= -sin x+x >0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故 f 1 4 >f(0)=0,所 以cos14 - 31 32>0 ,所以b>a,所以c>b>a,故 选A. 解法2:不等式放缩 因为当x ∈ 0, π 2 时,sin x <x,取 x = 1 8 得,cos14 =1-2sin 2 1 8 >1- 2× 1 8 2 = 31 32 ,故b>a,又当x ∈ 0,π2 时,x<tan x,故14 <tan14, cos14 <4sin 1 4 ,故b<c.因为b>a, 所以c>b>a,故选A. (2)C 设 f(x) = ln(1 + x)- x(x >-1),因 为f'(x)= 1 1+x - 1= - x 1+x ,当 x ∈ (-1,0)时, f'(x)> 0,当 x ∈ (0,+ ∞)时, f'(x)<0,所以函数f(x)=ln(1+ x)-x 在(0,+ ∞)上 单 调 递 减,在 (-1,0)上 单 调 递 增,所 以f 1 9 < f(0)=0,所以ln 10 9- 1 9 <0 ,故1 9 > ln109 = -ln 0.9,即 b >c,所 以 f - 1 10 <f(0)=0,所 以ln910+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -462- 参 考 答 案 1 10<0 ,故9 10<e -110,所以1 10e 1 10< 1 9. 故a <b.设 g(x)=xex +ln(1- x)(0<x <1),则 g'(x)= (x + 1)ex + 1 x-1 = (x2-1)ex +1 x-1 ,令 h(x)= ex(x2 -1)+1,h'(x)= ex(x2+2x-1),当0<x< 2-1时, h'(x)<0,函数h(x)=ex(x2-1)+ 1单调 递 减,当 2-1<x <1时, h'(x)>0,函数h(x)=ex(x2-1)+ 1单调递增,又h(0)=0,所以当0< x < 2-1时,h(x)<0,所以当0< x < 2 -1 时,g'(x)> 0,函 数 g(x)=xex +ln(1-x)单调递增,所 以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e0.1 > -ln 0.9,所以a>c,故选C. 对点训练4:(1)D 构 造 函 数g(x)= f(x) ex ⇒g'(x)=f '(x)-f(x) ex ,因为 f(x)<f'(x),所以g'(x)>0,因此 函数g(x)是增函数,于是有g(2)> g(1)⇒ f (2) e2 > f (1) e ⇒f (2) > ef(1),构 造 函 数 h(x)= f(x)· ex⇒h'(x)=ex[f(x)+f'(x)],因为 f(x)<f'(x)<0,所以h'(x)<0, 因此h(x)是减函数,于是有h(2)< h(1)⇒e2f(2)<ef(1)⇒ef(2)<f(1), 故选D. (2)3π 解析:由y=πx 在(0,+∞)上单调递 增,则πe<π3,由y=xπ 在(0,+∞) 上单调递增,则eπ <3π,令f(x)= ln x x (x >e),则f'(x)= 1-ln x x2 < 0,所 以 f(x)在(e,+ ∞)上 单 调 递 减,∵3<π,∴ ln 3 3 > ln π π ,即πln 3> 3ln π,所以ln 3π >ln π3,即3π >π3, 所 以 实 数 πe,3π,π3,eπ 中 值 最 大 的 是3π. 例5:(1)(-3,0)∪ (3,+∞) 解析:因为f(x)为奇函数,定义域为 R, 所 以 f(- x) = - f(x)⇒ -f'(-x)= -f'(x)⇒f'(-x)= f'(x),f(0)=0,又 因 为x >0时, f'(-x)> 2f(x),所 以 f'(x)> 2f(x),构造函数h(x)=f (x) e2x ,所以 h'(x)=f '(x)-2f(x) e2x ,所以当x> 0时,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)上 单调 递 增,又 因 为 f(3)=0,所 以 h(3)=0,h(x)在(3,+∞)上大于零, 在(0,3)上小于零,又因为e2x >0,所 以当x>0时,f(x)在(3,+∞)上大 于零,在(0,3)上小于零,因为f(x)为 奇 函 数,所 以 当 x <0时,f(x)在 (-∞,-3)上小于零,在(-3,0)上大 于零,综上所述,f(x)>0的解集为 (-3,0)∪ (3,+∞). (2)-∞, 1 2 ∪ 32,+∞ 解析:当x >0时,f'(x)+f (x) x = xf'(x)+f(x) x <0 ,所 以 当 x >0 时,xf'(x)+f(x)<0,令 F(x)= xf(x),则 当 x > 0 时,F'(x)= xf'(x)+f(x)< 0,故 F(x)= xf(x)在x >0时,单调递减,又因为 y = f(x)在 R 上 为 偶 函 数,所 以 F(x)=xf(x)在 R上为奇函数,故 F(x)=xf(x)在R上单调递减,因为 f(2)= -3,所 以 F(2)=2f(2)= -6,当 x > 1 2 时,f(2x -1)< -6 2x-1 可 变 形 为 (2x -1)f(2x - 1)<-6,即F(2x-1)<F(2),因为 F(x)=xf(x)在R上单调递减,所以 2x-1>2,解得x> 3 2 ,与x> 1 2 取 交集,结果为x > 3 2 ;当x < 1 2 时, f(2x-1)< - 6 2x-1 可变形为(2x- 1)f(2x-1)>-6,即F(2x-1)> F(2),因为F(x)=xf(x)在 R上单 调递减,所以2x-1<2,解得x< 3 2 , 与x < 1 2 取交集,结果为x < 1 2. 综 上,不等式f(2x-1)< - 6 2x-1 的解集 为 -∞, 1 2 ∪ 32,+∞ . 对点训练5:(1)(-∞,-2) 解析:由f(x)-f'(x)<0得 f(x) ex '= f'(x)-f(x)ex >0,记 g(x)=f (x) ex ,则g(x)在R上单调递 增.由exf(x +1)> f (2x+3) e2 得 f(x+1) ex+1 > f (2x+3) e2x+3 ,即 g(x + 1)> g(2x +3),∴x +1 > 2x + 3,∴x <-2.所以解集为(-∞,-2). (2)(0,+∞) 解析:令g(x)=exf(x)-ex,所 以 g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex = ex[f(x)+f'(x)-1],又因为f(x)+ f'(x)>1,所以g'(x)>0,g(x)在R 上单调递增,因为f(0)=2 024,所以 g(0)=2 023,不等式exf(x)>ex + 2 023,可整理为exf(x)-ex >2 023, 即g(x)>g(0),因为函数g(x)在R 上单调递增,所以x >0.即不等式的 解集为(0,+∞). 例6:(1)e-1 解析:依题可知,f'(x)=aex- 1 x ≥0 在(1,2)上恒成立,显然a >0,所以 xex ≥ 1 a ,令g(x)=xex,x ∈ (1, 2),所以g'(x)= (x+1)ex >0,所以 g(x)在 (1,2)上 单 调 递 增,g(x)> g(1)=e,故e≥ 1 a ,即a≥ 1 e =e -1, 即a 的最小值为e-1. (2) 5-1 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 解析:由函数的解析式可得f'(x)= axln a+(1+a)xln(1+a)≥0在区间 (0,+∞)上恒成立,则(1+a)xln(1+ a)≥- axln a, 即 1+aa x ≥ - ln a ln(1+a) 在区 间(0,+ ∞)上 恒 成 立,故 1+a a 0 =1≥- ln a ln(1+a) ,而 a+1∈ (1,2),故ln(1+a)>0,故 ln(a+1)≥-ln a, 0<a<1, 即 a(a+1)≥1, 0<a<1, 故 5-12 ≤a<1,结 合题 意 可 得 实 数 a 的 取 值 范 围 是 5-1 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 . (3)(-3,-1)∪ (1,3) 解析:∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)= 3x2 -12 = 3(x +2)(x -2),令 f'(x)=0,解得x = -2或x =2,所 以当x >2或x <-2时f'(x)>0, 当 -2<x <2时f'(x)<0,所以 f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上单 调递增,在(-2,2)上单调递减,即函 数f(x)=x3-12x 的极值点为±2, 若函数f(x)=x3-12x 在区间(k- 1,k+1)上不是单调函数,则-2∈(k- 1,k+1)或2∈ (k-1,k+1),所 以 k-1<-2, -2<k+1 或 k-1<2,2<k+1, 解得-3< k<-1或1<k<3. 对点训练6:(1)CD 因为函数f(x)= 1 3x 3- 3 2x 2-aln x在区间(0,+∞)上 单调递增,所以f'(x)=x2-3x- a x ≥ 0在区间(0,+∞)上恒成立,由x2 - 3x - a x ≥0 可得a ≤x3 -3x2,令 g(x)=x3-3x2,则g'(x)=3x2-6x, 由g'(x)>0可得x>2,由g'(x)<0可 得0<x<2,所以g(x)在(0,2)上单调 递减,在(2,+ ∞)上 单 调 递 增,所 以 g(x)min =g(2)= -4,所以a≤-4.故 选CD. (2)(-∞,-22) 解析:由题可知,f'(x)<0在(-2,-1) 内存在解,因为f'(x)=x2-ax+2,所 以f'(x)<0在(-2,-1)内存在解,等 价于x+ 2 x >a 在(-2,-1)内存在解, 易知函数y=x+ 2 x 在(-2,-2)上递 增,在(- 2,-1)上递减,所以 x + 2 x max =-22,当且仅当x= -2时 取等号,所以a<-22. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)解:由f(x)= sin x x , 得f'(x)= xcos x-sin x x2 , 设g(x)=xcos x-sin x, 则g'(x)= -xsin x+cos x-cos x= -xsin x. ∵0<x<π,∴g'(x)<0,即函数g(x) 在(0,π)上是减函数. ∴g(x)<g(0)=0,即f'(x)<0, 故函数f(x)在(0,π)上是减函数, ∴ 当0<x1<x2<π时,有f(x1)> f(x2),即a>b. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -463- hh (2)解:f'(x)= ln x+ x+1 x (x-1)-(x+1)ln x (x-1)2 = x2-2xln x-1 x(x-1)2 , 令g(x)=x2-2xln x-1,则 g'(x)=2x-2ln x-2,令h(x)= g'(x),则h'(x)= 2(x-1) x . 当x >1时,h'(x)>0,故h(x)单调 递增,故h(x)>h(1)=0,则g(x)单 调递 增,故 g(x)>g(1)=0,从 而 f'(x)>0,f(x)单调递增. (3)e 4 2 - 1 8 ,+∞ 解 析:∵f(x)=ex -xln x -px2, ∴f'(x)= ex -ln x -1-2px, ∴f″(x)=ex - 1 x -2p ,∵f(x)= ex -xln x-px2在(1,4)上为“严格凸 函数”,∴f″(x)=ex - 1 x -2p<0 在 (1,4)上恒成立,即2p>ex- 1 x 在(1, 4)上恒成立,令g(x)=ex - 1 x ,x∈ (1,4),∴g'(x)= ex + 1 x2 > 0, ∴g(x)=ex - 1 x 在(1,4)上单调递 增,∴g(x)<g(4)=e4- 1 4 ,∴2p≥ e4- 1 4 ,即p∈ e 4 2 - 1 8 ,+∞ . 素养检测:1.①② 解析:f(x)= -x3+3x2+2的导函 数 f'(x)= -3x2 +6x,f″(x)= -6x+6,故f″(x)<0在(1,+∞)上 恒成立, 所以函数f(x)= -x3+3x2+2在 (1,+∞)上为“严格凸函数”,所以 ① 正确; f(x)= ln x x 的 导 函 数 f'(x)= 1-ln x x2 ,f″(x)= 2ln x-3 x3 , 由f″(x)<0可得2ln x-3<0,解得 x ∈ 0,e 3 2 , 所以函数f(x)= ln x x 的“严格凸区 间”为 0,e 3 2 ,所以 ② 正确; f(x)=ex - m 2x 2 的导函数f'(x)= ex -mx,f″(x)=ex -m, 因为 f(x)为 (1,4)上 的 “严 格 凸 函 数”,故f″(x)<0在(1,4)上恒成立, 所以ex -m <0在(1,4)上恒成立,即 m >ex 在(1,4)上恒成立,故m ≥e4, 所以 ③ 不正确.所以正确命题的序号 为 ①②. 2.解:f'(x)= [-2xex +(1-x2)ex]x-[(1-x2)ex -1] x2 = (-x3-x2+x-1)ex +1 x2 . 令g(x)=(-x3-x2+x-1)ex +1, 则g'(x)= -(x3+4x2+x)ex, 当x>0时,g'(x)<0,则g(x)单调 递减,又g(0)=0, 故当x>0时,g(x)<0,则f'(x)< 0,f(x)在(0,+∞)上单调递减. 3.解:令f(x)=sin x-x+ x3 6 , 则f'(x)=cos x-1+ x2 2 , 令g(x)=f'(x), 则g'(x)= -sin x+x, 令h(x)=g'(x), 则h'(x)=1-cos x≥0,则h(x)单 调递增,又h(0)=0, 则h(x)≥0,所以g(x)单调递增, 又g(0)=0,则g(x)>0(x>0时), 故f(x)单调递增,又f(0)=0, 故f(x)>0.从而当x>0时,sin x> x- x3 6. 3.3 导数与函数的极值、最值 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)极小值点 极小值 极大值点 极大值 极值点 极值 (2)必要条件 ①f'(x0)=0 (3)极大值 极小值 2.(1)② 最小值 最大值 单调递减 3.(1)2 0 (2)2 0 基础检测 1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 2.1 3.4 4.(-∞,- 6)∪(6,+∞) 5.AC 由题f'(x)=3x2-1,令f'(x)> 0得x> 3 3 或x<- 3 3 ,令f'(x)< 0得 - 3 3 <x < 3 3 ,所 以 f(x)在 -∞,- 3 3 , 33,+∞ 上 单 调 递 增,在 - 3 3 ,3 3 上 单 调 递 减,所 以 x = ± 3 3 是 极 值 点,故 A 正 确;因 f - 3 3 =1+239 >0,f 33 = 1- 23 9 >0 ,f(-2)=-5<0,所以, 函数f(x)在 -∞,- 3 3 上有一个 零点,当x≥ 3 3 时,f(x)≥f 3 3 > 0,即函数f(x)在 3 3 ,+∞ 上无零 点,综上所述,函数f(x)有一个零点, 故B错误;令h(x)=x3-x,该函数的 定义 域 为 R,h(-x)= (-x)3 - (-x)= -x3+x= -h(x),则h(x) 是奇函数,(0,0)是h(x)的对称中心, 将h(x)的图象向上移动一个单位得 到f(x)的图象,所以点(0,1)是曲线 y =f(x)的对称中心,故C正确;令 f'(x)=3x2-1=2,可得x = ±1, 又f(1)=f(-1)=1,当切点为(1,1) 时,切线方程为y =2x-1,当切点为 (-1,1)时,切线方程为y=2x+3,故 D错误.故选AC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)ABD 由导函数的图象可知,当 x <-1或1<x <3时,f'(x)<0, 当-1<x<1或x>3时,f'(x)> 0,所以f(x)在(-1,1),(3,+∞)上 单调递增,在(-∞,-1),(1,3)上单调 递减,所以x = -1和x =3为极小值 点,x=1为极大值点,所以函数有3个 极值点,所以f(-1)和f(3)中的最小 值为函数的最小值,无最大值,故A,B, D正确. (2)AD 由y=f'(x)的图象可知:当 x∈(-∞,-3)时,f'(x)>0,所以函 数f(x)单调递增;当x ∈ (-3,-1) 时,f'(x)<0,所以函数f(x)单调递 减,因此有f(-2)>f(-1),x = -3 是f(x)的极大值点,故 A,D正确;当 x ∈ (-1,1),或x ∈ (1,+ ∞)时, f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增, 因此函数f(x)在(-1,1)上没有极大 值,且x=1不是f(x)的极小值点,故 B,C不正确.故选AD. 对点训练1:BD 由题图可知,当x<-2 时,y>0,1-x >0⇒f'(x)>0,故 f(x)在(- ∞,-2)上单 调 递 增;当 -2<x <1时,y <0,1-x >0⇒ f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)上单调 递减;当1<x<2时,y>0,1-x< 0⇒f'(x)<0,故f(x)在(1,2)上单 调递减;当x >2时,y<0,1-x < 0⇒f'(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上 单调递增.故函数f(x)在x = -2时 取得极大值,在x =2时取得极小值, 即函数y=f(x)有极大值f(-2)和 极小值f(2).故选BD. 例2:(1)-1 -3 解析:因为f'(x)= 2(x2+1)-4x2 (x2+1)2 = 2(1+x)(1-x) (x2+1)2 .令f'(x)=0,解得 x1 = -1,x2 = 1.当 x 变 化 时, f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1)-1 (-1,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 -3 单调递增 -1 单调递减 由上表看出,当x= -1时,f(x)取得 极 小值,为f(-1)= -3;当x=1时, f(x)取得极大值,为f(1)= -1. (2)x =e, 1 e x =e ,e 解析:函数f(x)= ln x x 的定义域为 (0,+ ∞),且 f'(x)= 1-ln x x2 .令 f'(x)=0,解得x =e.当x 变化时, f'(x)与f(x)的变化情况如下表: x (0,e) e (e,+∞) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 1 e 单调递减 因此,x =e是函数的极大值点,极大 值 为 f(e)= 1 e ;令 x >0, ln x ≠0, 解 得 x>0且x≠1,所以函数f(x)= x ln x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -464-