3.1 导数的概念及其意义、导数的运算-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

第三章 一元函数的导数及其应用 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 5A>! 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象,理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数的导数. AMc
-  -@) 1.导数的概念及其意义 (1)导数的概念:如果当Δx→0时,平均变化 率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值,即Δy Δx 有极 限,则称y=f(x)在x=x0处 ,并把 这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导 数(也称为 ),记作 或 y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0 Δy Δx= lim Δx→0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx . (2)导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0 处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在 点P(x0,f(x0))处的 .也就是 说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切 线的斜率是 .相应的切线方程为 . (3)导函数的概念:当x=x0时,f'(x0)是一 个唯一确定的数,这样,当x 变化时,y = f'(x)就是x 的函数,我们称它为y=f(x) 的 (简称 ).y=f(x)的导 函数 有 时 也 记 作 y',即 f'(x)=y' = lim Δx→0 f(x+Δx)-f(x) Δx . 2.导数的运算 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)= f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)= f(x)=sin x f'(x)= f(x)=cos x f'(x)= f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ex f'(x)= f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= (2)导数的四则运算法则 项目 运算法则 和差 [f(x)±g(x)]'= 积 [f(x)g(x)]'= , 特别地,[cf(x)]'= 商 f(x) g(x) 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 '= (g(x)≠0) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 062 @第三章 一元函数的导数及其应用 (3)简单复合函数的导数 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x) 的复合函数,记作y= .它的导数与 函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 .即y对x 的导数等于y对 u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 常用结论与知识拓展 1.区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线,该点一定是切点,切线有且仅 有一条. (2)过点处的切线,该点不一定是切点,切线至少 有一条. 2.几类重要的切线方程 (1)y=x-1是曲线y=ln x 的切线,y=x 是曲 线y=ln(x +1)的切线,…,y=x +n 是曲线y= ln(x+n+1)的切线,如图1. 图1 图2 (2)y=x+1与y=ex 是曲线y=ex 的切线,如图2. (3)y=x是曲线y=sin x与y=tan x的切线,如图3. 图3 图4 (4)y=x-1是曲线y=x2-x,y=xln x 及y=1- 1 x 的切线,如图4. 由以上切线方程可得重要不等式,如ln x ≤x-1, x+1≤ex 等. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)f'(x0)与[f(x0)]' 表示的意义是不相 同的. ( ) (2)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的 平均变化率. ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公 共点. ( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲 线的切线. ( ) (5)函数f(x)=sin(-2x)的导数是f'(x)= cos(-2x). ( ) 2.(教材改编题)物体运动的方程为s= 1 4t 4-3, 则t=5时的瞬时速度为 . 3.(教材改编题)已知函数f(x)的导函数为 f'(x),且 满 足 f(x)= 2xf'(1)+x3,则 f(1)= . 4.过点P(2,-6)作曲线y=x3-3x的切线,则 切线方程是 . 5.(多选题)(教材改编题)曲线f(x)=x3-x+ 3在点P 处的切线平行于直线y=2x-1,则 点P 的坐标可能为 ( ) A.(1,3) B.(0,3) C.(2,9) D.(-1,3) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 导数的运算 【例1】 求下列函数的导数: (1)y=x1+ 2 x + 2 x3 ; (2)y= 1+cos x sin x ; (3)y=3x2+log2x; (4)y= ln x x+1- 2x. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 063 hh 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般对函数式先化简再求导,常用求导技巧有 ① 连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; ②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数 或较为简单的分式函数,再求导;③ 对数形式:先化 为和、差的形式,再求导;④根式形式:先化为分数指 数幂的形式,再求导;⑤ 三角形式:先利用公式化简 函数,再求导;⑥ 复合函数:确定复合关系,由外向 内,层层求导. 【对点训练1】 (1)已知函数f(x)=ln(2x - 3)+axe-x,若f'(2)=1,则a= . (2)已知函数f(x)= ex x ,则f'(1)= ; 若g(x)=f(2x),则g'(x)= . 考点2 导数的几何意义 命题角度1 曲线的切线的斜率和方程 【例2】 (1)(2021·全国甲卷)曲线y= 2x-1 x+2 在点(-1,-3)处的切线方程为 . (2)(2023·全国甲卷改编)曲线y= ex x+1 在点 1,e2 处的切线方程为 . (3)若点P是函数y= 2sin x sin x+cos x 图象上任意 一点,直线l为点P 处的切线,则直线l斜率 的取值范围是 . (4)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方 程为 , . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 曲线切线方程的求法:① 以曲线上的已知点 (x0,f(x0))为切点时,先求出函数f(x)的导数 f'(x)和切线的斜率f'(x0),进而写出切线方程 y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0),化简即得最终结 果;② 如果已知点(x1,y1)不在曲线上,则设出切点 (x0,y0),解 方 程 组 y0=f(x0), y1-y0 x1-x0 =f'(x0), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 切 点 (x0,y0),进而确定切线方程. 求切线方程时,要注意判断已知点是否满足曲 线方程,即是否在曲线上;与曲线只有一个公共点的 直线不一定是曲线的切线,曲线的切线与曲线的公 共点不一定只有一个. 【对点训练2】 (1)点P 在曲线y=x3-x+ 2 3 上移动,设点P 处切线的倾斜角为α,则角α 的取值范围是 . (2)若曲线y= x 的一条切线经过点(8,3),则 此切线的斜率为 . 命题角度2 两条曲线的公切线 【例3】 (1)若直线l与曲线y= x 和x2+y2= 1 5 都相切,则l的方程为 . (2)(2023·贵州遵义高三开学摸底考试)若直 线y=kx+b是曲线y=ex+1 的切线,也是 y=ex +2的切线,则k= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 处理与公切线有关的参数问题,通常根据曲 线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组) 并解出参数,建立方程(组)的依据主要是:① 切 点处 的 导 数 是 切 线 的 斜 率;② 切 点 在 切 线 上; ③ 切点在曲线上. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 064 @第三章 一元函数的导数及其应用 【对点训练3】 (1)已知定义在区间(0,+∞)上 的函数f(x)=-2x2+m,g(x)=-3ln x- x,若以上两函数的图象有公共点,且在公共 点处切线相同,则m 的值为 . (2)若存在实数a>0,使得函数f(x)=aln x+ x与g(x)=2x2-2x-b的图象有相同的切 线,且相同切线的斜率为2,则实数b的最大 值为 . 命题角度3 已知曲线的切线条数求参数范围 【例4】 (1)(2021·新高考 Ⅰ 卷)若过点(a,b) 可以作曲线y=ex 的两条切线,则 ( ) A.eb <a B.ea <b C.0<a<eb D.0<b<ea (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex 有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知曲线的切线条数求参数范围问题时,需要 明确的是,曲线存在几条切线,就会相应的有几个切 点,因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问 题;也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”,将问题进一 步转化为关于相应函数零点个数的问题. 【对点训练4】 (1)(2023·安徽安庆模拟)若过 点(a,b)(a>0)可以作曲线y=xex 的三条 切线,则 ( ) A.0<a<beb B.-aea <b<0 C.0<ae2<b+4 D.-(a+4)<be2<0 (2)(多选题)(2023·江苏南京金陵中学摸底) 已知函数f(x)= x ex ,过点(a,b)作曲线 f(x)的切线,下列说法正确的是 ( ) A.当a=0,b=0时,有且仅有一条切线 B.当a=0时,可作三条切线,则0<b< 4 e2 C.当a=2,b>0时,可作两条切线 D.当0<a<2时,可作两条切线,则b的取 值为4-a e2 或a ea 学习至此,请完成课时作业16 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3.2 导数与函数的单调性 5A>! 结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函 数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. AMc
-  -@) 1.函数的单调性与导数的关系 一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x) 的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a, b)内,如果 ,那么函数y= f(x)在 区间(a,b)内单调递增;如果 ,那么 函数y= f(x)在区间(a,b)内单调递减. 2.利用导数判断函数f(x)单调性的步骤 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数f'(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 065 参 考 答 案 所 以 b=2, 6=20a+b, 解 得 a= 1 5 , b=2, 所 以P = 1 5t+2 , 当20≤t≤30,可设P =mt+n,根据 图象知过点(20,6),(30,5), 所以 6=20m+n, 5=30m+n, 解得 m = - 1 10 , n=8, 所 以P = - 1 10t+8 , 综上可得,P= 1 5t+2 ,0≤t<20, - 1 10t+8 ,20≤t≤30, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 又Q= -t+40(0<t≤30),设第t天 的日销售额为y(万元),则y=P·Q = 1 5t+2 (-t+40),0<t<20, - 1 10t+8 (-t+40),20≤t≤30, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 化简可得y = - 1 5t 2+6t+80,0<t<20, 1 10t 2-12t+320,20≤t≤30, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 当0<t<20时,y= - 1 5 (t-15)2+ 125,所以y≤125,当且仅当t=15时, 等号成立; 当20≤t≤30时,y= 1 10 (t-60)2- 40,所以y≤120,当且仅当t=20时, 等号成立. 综上可得,第15天日销售额最大,最大 值为125万元,故 ①④ 正确.故选B. 例2:(1)33 解析:由题意 k·m 20 =20%, k·m30 =40%, 两式相 除得 m10 =2,m =2 1 10,代 入 得k = 5%,所以y=5%·2 t 10,由50%=5%· 2 t 10 得2 t 10=10,取对数得 t 10lg 2=1,t= 10 lg 2≈ 10 0.3≈33 (小时). (2)①120 ②80 解析:由题意知,种植成本与上市时间 的变化关系应该用二次函数Q=at2+ bt+c,即Q =a(t-120)2+m 描述, 将表中数据代入可得 a(60-120)2+m =116, a(100-120)2+m =84, 解得 a=0.01, m =80, 所以Q=0.01(t-120)2+ 80,故当上市天数为120时,种植成本 取到最低值80元/100 kg. 对点训练2:B 由题意得G = 10 9G 1+e -0.67 vv0 +0.27 ,即1+e -0.67 vv0 +0.27 = 10 9 ,即e -0.67 vv0 +0.27 = 1 9 ,两边同取自 然对数得,-0.67 v v0 +0.27 =-2ln 3, 所以v≈ 2.2 0.67-0.27 v0 ≈3.0v0, 故选B. 例3:解:(1)因为每件产品售价为5元,则 x 万件产品销售收入为5x 万元, 依题意得,当0<x <8时,L(x)= 5x - 1 3x 2+x -3= - 13x2 + 4x-3; 当x ≥8时,L(x)=5x - 6x + 100 x -38 -3=35- x+100x . 所以L(x)= - 1 3x 2+4x-3,0<x <8, 35- x+ 100 x ,x ≥8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)当0<x<8时,L(x)= - 1 3 (x- 6)2+9. 此时,当x =6时,L(x)取得最大值, 为9万元. 当x≥8时,L(x)=35- x+ 100 x ≤ 35-2 x· 100 x =35-20=15 ,当且 仅当x = 100 x 时等号成立,即x =10 时,L(x)取得最大值,为15万元. 因为9<15,所以当年产量为10万件 时,小王在这一产品的生产中所获利 润最大,最大利润为15万元. 对点训练3:解:(1)由题意知,当0≤ x ≤8时,y =0.6x+0.2(14-x)- 1 20x 2 = - 1 20x 2+ 2 5x+ 14 5 , 当8<x≤14时,y=0.6x+0.2(14- x)- 3x+8 10 = 1 10x+2 ,即y = - 1 20x 2+ 2 5x+ 14 5 ,0≤x ≤8, 1 10x+2 ,8<x ≤14. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)当0≤x ≤8时,y = - 1 20x 2 + 2 5x+ 14 5 = - 1 20 (x-4)2+ 18 5 , 所以当x =4时,ymax = 18 5. 当8<x ≤14时,y = 1 10x+2 , 所以当x =14时,ymax = 17 5. 因为18 5 > 17 5 ,所以当x=4时,ymax= 18 5. 所以当精加工蔬菜4吨时,总利润 最大,最大利润为18 5 万元. 例4:(1)D 依题意,由100 ℃的物体,放 在10 ℃ 的空气中冷却,1 min后物体 的温度是70 ℃,得70=10+ (100- 10)12 1 k ,解得 1 2 1 k = 2 3 ,该物体 70 ℃ 的温度降至20 ℃ 需要冷却的时间 为t,则20=10+(70-10) 1 2 1 k t , 于是 2 3 t = 1 6 ,两边取对数得t= lg 6 lg 3 2 = lg 3+lg 2 lg 3-lg 2≈ 0.477 1+0.301 0 0.477 1-0.301 0≈ 4.4,所以该物体的温度降至20 ℃ 还 需要冷却的时间约为4.4 min.故选D. (2)27 解析:依 题 意 得 5% =a·b 5, 10% =a·b10, 解 得 b=2 1 5, a=2.5%, 则v=2.5%·2 1 5t,这种 垃圾完全分解,即分解率为100%,即 v=2.5%·2 1 5t =1,所以2 1 5t =40,所 以 1 5t=log240 ,所 以t=5log240= 5lg 40 lg 2 = 5(lg 4+1) lg 2 = 5(2lg 2+1) lg 2 = 10+ 5 lg 2≈10+ 5 0.3≈27. 对点训练4:0.585 解析:因 为lg Xn = nlg(1+p)+ lg X0,所以lg Xn X0 =nlg(1+p),由题 意得n=5时, Xn X0 =10,代入上式得 lg 10=5lg(1+p),所以lg(1+p)= 1 5 ,即1+p=10 1 5 =100.2,可得p= 100.2-1≈1.585-1=0.585. 第三章 一元函数的 导数及其应用 3.1 导数的概念及其 意义、导数的运算 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)可导 瞬时变化率 f'(x0) (2)切线的斜率 f'(x0) y-y0 = f'(x0)(x-x0) (3)导函数 导数 2.(1)0 αxα-1 cos x -sin x axln a ex 1xln a 1 x (2)f'(x)± g'(x) f'(x)g(x)+ f(x)g'(x) cf'(x) f'(x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x)]2 (3)f(g(x)) y'x =y'u·u'x 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.125 3.-5 4.3x+y =0或24x-y-54=0 解析:∵y'=3x2-3,设曲线的切点为 (x0,y0),则k =3x20-3,y0 =x30- 3x0.∴ 切线方程为y-(x30-3x0)= (3x20-3)(x -x0).又 切 线 经 过 点 P(2,-6),则 -6- (x30 -3x0)= (3x20-3)(2-x0),解 得x0 =0或 x0 =3,∴ 切点为(0,0)时,切线方程 为3x+y=0;切点为(3,18)时,切线 方程为24x-y-54=0. 5.AD 设切点P(x0,x30-x0+3).因为 曲线 f(x)在 点 P 处 的 切 线 的 斜 率 k= f'(x0)= 3x20 -1= 2,所 以 x0 = ±1,所以点P 的坐标为(1,3)或 (-1,3).故选AD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -459- hh 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:解:(1)∵y =x 1+ 2 x + 2 x3 = x+2+ 2 x2 ,∴y'=1- 4 x3 . (2)y'= 1+cos x sin x '= -sin2x-(1+cos x)cos x sin2x = -sin2x-cos2x-cos x sin2x = -1-cos x sin2x = - 1+cos x sin2x . (3)y'=6x+ 1 xln 2. (4)y'= ln x x+1 '-(2x)'= 1 x (x+1)-ln x (x+1)2 -2xln 2= 1+x-xln x x(x+1)2 -2xln 2. 对点训练1:(1)e2 解析:f'(x)= 1 2x-3 ·(2x -3)'+ ae-x +ax·(e-x)'= 2 2x-3+ ae-x - axe-x,∴f'(2)=2+ae-2-2ae-2 = 2-ae-2 =1,则a=e2. (2)0 (2x-1)e2x 2x2 解析:因 为f(x)= ex x ,则f'(x)= (ex)'x-x'ex x2 = (x-1)ex x2 ,所 以, f'(1)=0,因 为 g(x)=f(2x),则 g'(x)= 2f'(2x)= 2(2x-1)e2x 4x2 = (2x-1)e2x 2x2 . 例2:(1)5x-y+2=0 解析:当x = -1时,y = -3,故 点 (-1,-3)在 曲 线 上.因 为 y' = 2(x+2)-(2x-1) (x+2)2 = 5 (x+2)2 ,所 以y'|x= -1 =5.∴ 切 线 方 程 为y+ 3=5(x+1),即5x-y+2=0. (2)y = e 4x+ e 4 解析:设曲线y= ex x+1 在点 1,e2 处 的切线方程为y- e 2 =k (x-1),因为 y= ex x+1 ,所以y'= ex(x+1)-ex (x+1)2 = xex (x+1)2 ,所以k=y'|x=1= e 4 ,所以 y- e 2 = e 4 (x -1),所以曲线y = ex x+1 在 点 1,e2 处 的 切 线 方 程 为 y = e 4x+ e 4. (3)[1,+∞) 解析:因为y= 2sin x sin x+cos x ,所以y'= 2cos x(sin x+cos x)-2sin x(cos x-sin x) (sin x+cos x)2 = 2cos2x+2sin2x 1+2sin xcos x = 2 1+sin 2x. 因 为 -1< sin 2x ≤ 1,所 以 0 < 1+ sin 2x ≤2,所以 1 1+sin 2x ≥ 1 2 ,则 y'= 2 1+sin 2x ≥1 ,所以直线l斜率 的取值范围是[1,+∞). (4)y = 1 ex y = - 1 ex 解析:根据函数的对称性,数形结合. 当x >0时y =ln x,设切点为(x0, ln x0),由y'= 1 x ,所以y'|x=x0 = 1 x0 ,所 以 切 线 方 程 为 y -ln x0 = 1 x0 (x-x0),又 切 线 过 坐 标 原 点,所 以 -ln x0 = 1 x0 (-x0),解得x0 =e, 所以切线方程为y-1= 1 e (x-e),即 y = 1 ex ;因为y=ln|x|是偶函数, 图象为 所以当x<0时,切线为y= 1 ex 关于 y 轴的对称直线y = - 1 ex. 对点训练2:(1)0,π2 ∪ 3π4,π 解析:由y=f(x)=x3-x+ 2 3 ,则 f'(x)=3x2-1≥-1,则tan α≥-1, 又α ∈ [0,π),所 以α ∈ 0, π 2 ∪ 3π 4 ,π . (2)14 或1 8 解析:由 题 意,设 切 点 坐 标 为 (x0, x0),由y = x =x 1 2,得y' = 1 2 x ,则切线斜率k= 1 2 x0 ,则曲线 在切点处的切线方程为y- x0 = 1 2 x0 (x-x0),又切线过点(8,3),所 以3- x0 = 1 2 x0 (8-x0),整理 得x0-6 x0+8=0,解得 x0 =4 或2,所以切线斜率k= 1 4 或 1 8. 例3:(1)x-2y+1=0 解析:设直线l在曲线y= x 上的切 点为(x0, x0),则x0 >0,函数y= x 的导数为y'= 1 2 x ,则直线l的 斜率k= 1 2 x0 ,直线l的方程为y- x0 = 1 2 x0 (x-x0),即x- 2 x0y+x0=0.由于直线l与圆x2+ y2 = 1 5 相切,则 x0 1+4x0 = 1 5 ,整 理得5x20-4x0-1=0,解得x0 =1, x0 = - 1 5 (舍去),则直线l的方程为 x-2y+1=0. (2)2 解析:设直线y=kx+b与y=ex +2 和y =ex+1 的切点分别为(x1,e x1 + 2),(x2,e x2+1),则切线方程分别为y- (e x1+2)=e x1(x-x1),y-e x2+1 = e x2+1(x-x2),化 简 得,y =e x1x + e x1 +2-x1e x1,y=e x2+1x-x2e x2+1 +e x2+1.依 题 意 上 述 两 直 线 与 y = kx+b是同一条直线,所以 e x1 =e x2+1, e x1 +2-x1e x1 = -x2e x2+1+e x2+1, 解得x1=ln 2,所以k=e x1 =eln 2=2. 对点训练3:(1)1 解析:根据题意,设两曲线y =f(x) 与y =g(x)的公共点为(a,b),其中 a>0,由f(x)= -2x2 +m,可 得 f'(x)= -4x,则切线的斜率为k = f'(a)= -4a,由g(x)= -3ln x - x,可得g'(x)= - 3 x -1 ,则切线的斜 率为k=g'(a)= - 3 a -1 ,因为两函 数的图象有公共点,且在 公 共 点 处 切 线相同,所 以-4a = - 3 a -1 ,解 得 a = 1 或 a = - 3 4 (舍 去 ),又 由 g(1)= -1,即 公 共 点 的 坐 标 为 (1, -1),将 点 (1,-1)代 入 f(x)= -2x2+m,可得m =1. (2)-1 解析:设函数f(x)=aln x+x 的切 点为 (x1,y1),函 数 g(x)= 2x2 - 2x-b的切点为(x2,y2).分别对函数 进行求导,f'(x)= a x +1 ,g'(x)= 4x-2,由 相 同 切 线 的 斜 率 为2,得 g'(x2)= 4x2 -2 = 2⇒x2 = 1, g(1)= -b,故切线方程为y =2x- 2-b,f'(x1)= a x1 +1=2⇒a=x1, f(x1)=x1ln x1+x1,故函数f(x)= aln x +x 的 切 点 为 (x1,x1ln x1 + x1).把切点(x1,x1ln x1+x1)代入 y =2x-2-b中得x1ln x1+x1 = 2x1-2-b⇒b= -x1ln x1+x1-2, 令 h(x) = -xln x + x - 2, h'(x)= -ln x-1+1= -ln x,当 x ∈ (0,1)时,h'(x)>0,函数h(x) 单 调 递 增;当 x ∈ (1,+ ∞)时, h'(x)<0,函 数h(x)单 调 递 减.故 h(x)≤h(1)= -1,故实数b的最大 值为 -1. 例4:(1)D 在曲线y =ex 上任取一点 P(t,et),对函数y =ex 求导得y'= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -460- 参 考 答 案 ex,所以,曲线y=ex 在点P 处的切线 方程为y-et =et(x -t),即y = etx+(1-t)et,由题意可知,点(a,b) 在直线y =etx + (1-t)et 上,可得 b=aet+(1-t)et = (a+1-t)et,令 f(t)= (a+1-t)et,则f'(t)= (a- t)et.当t<a时,f'(t)>0,此时函数 f(t)单调递增,当t>a时,f'(t)<0, 此 时 函 数 f(t)单 调 递 减, 所 以, f(t)max =f(a)=ea,由题意可知,直 线y=b与曲线y=f(t)的图象有两 个交 点,则b < f(t)max =ea,当 t < a +1 时, f(t)>0,当t> a+1时,f(t)< 0, 作 出 函 数 f(t)的 图 象 如 图所 示,由 图 可 知,当0<b<ea 时,直线y=b与 曲 线 y = f(t) 的图象有两个交 点.故选D. (2)(-∞,-4)∪ (0,+∞) 解析:∵y = (x+a)ex,∴y'= (x+ 1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0 = (x0+a)e x0,切线斜率k= (x0+1+ a)e x0,切线方程为y-(x0+a)e x0 = (x0+1+a)e x0(x-x0),∵切线过原 点,∴ - (x0 +a)e x0 = (x0 +1+ a)e x0(-x0),整理得x20+ax0-a= 0,∵ 切线有两条,∴Δ=a2+4a>0, 解得a<-4或a>0,∴a的取值范围 是(-∞,-4)∪ (0,+∞). 对点训练4:(1)D 由题可得y'= (x+ 1)ex,设切点为(x0,x0e x0),则(x0 + 1)e x0 = x0e x0 -b x0-a ,整 理 得 (x20 - ax0-a)e x0 = -b,由题意知关于x0 的方程(x20-ax0-a)e x0 = -b有三 个不同的解,设f(x)= (x2-ax - a)ex,f'(x)= (x+2)(x-a)ex,由 f'(x)=0,得x = -2或x =a,又 a>0,所以当x<-2时,f'(x)>0, f(x)单调递增,当 -2<x <a 时, f'(x)<0,f(x)单调递减,当x >a 时,f'(x)> 0, f(x)单调递增,当 x→-∞时f(x) →0,当x →+∞ 时,f(x)→+ ∞, 且f(-2)= 4+a e2 , f(a)= -aea <0,函数f(x)的大致 图象如图所示,因为f(x)的图象与直 线y= -b有三个交点,所以0<-b< 4+a e2 ,即-(a+4)<be2<0. (2)ABD 设切点坐标为(x0,y0),所 以y0= x0 e x0 ,f'(x)= 1-x ex ,则切线的 斜率为k = 1-x0 e x0 ,切线方程为y- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (x-x0).对于A,当a= 0,b=0时,- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (-x0),解 得x0 =0,故切点为(0,0),所以切线 方程为y =x,所以有且仅有一条切 线,故A正确;对于B,当a=0时,b- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (-x0),则b = x20 e x0 ,设 g(x)= x2 ex ,则g'(x)= 2x-x2 ex = x(2-x) ex ,当 x ∈ (- ∞,0) 时, g'(x)<0,g(x)单 调 递 减,当x ∈ (2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递 减,当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x) 单调递增,所以x=0时,g(x)有极小 值,为g(0)=0,x =2时,g(x)有极 大值,为g(2)= 4 e2 ,x>0时,f(x)= x ex >0,画 出 g(x)= x2 ex 的 图 象, 如图, 当a=0时,若可作三条切线,则y=b 与g(x)= x2 ex 的图象有3个交点,由图 可得0<b< 4 e2 ,故B正确;对于C, 当 a =2时,由 切 线 方 程 得b- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (2-x0),则b= x20-2x0+2 e x0 , 设h(x)= x2-2x+2 ex ,则h'(x)= -x2+4x-4 ex = - (x-2)2 ex ≤0, 所以 h(x)单 调 递 减,且 h(x)= (x-1)2+1 ex >0,如图, 所以 当 a = 2,b > 0 时,y =b 与 h(x)= x2-2x+2 ex 的图象有且只有 一个交点,所以只能作一条切线,故C 错误;对于D,当0<a<2时,由切线 方程为y- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (x-x0)得 b- x0 e x0 = 1-x0 e x0 (a-x0),则b = x20+(1-x0)a e x0 ,设t(x)= x2+(1-x)a ex ,则t'(x)= (2+a)x-x2-2a ex = (x-a)(2-x) ex ,因为0<a<2,所以 当x∈(a,2)时,t'(x)>0,t(x)单调 递增,当x∈(-∞,a)时,t'(x)<0, t(x)单调递减,当x ∈ (2,+∞)时, t'(x)<0,t(x)单调递减,所以当x= a 时,t(x) 的 极 小 值 为 t(a) = a2+(1-a)a ea = a ea >0,x =2时, t(x)的极大值为t(2)= 4+(1-2)a e2 = 4-a e2 >0,t(x)的图象为 若可作两条切线,则b 的取值为4-a e2 或 a ea ,故D正确.故选ABD. 3.2 导数与函数的单调性 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.f'(x)>0 f'(x)<0 基础检测 1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2.0,14 3.B 4.258 ,+∞ 解析:函数f(x)在 1 3 ,1 2 内单调递 增,则f'(x)= 1 x +2ax-5≥0 在 x ∈ 1 3 ,1 2 上 恒 成 立,即 2a ≥ - 1 x2 + 5 x 在x∈ 1 3 ,1 2 上恒成立, 又- 1 x2 + 5 x = - 1 x - 5 2 2 + 25 4 ∈ 6,254 ,所以2a≥254,即a≥258. 5.BC 由 x >0 , ln x ≠0, 得x>0且x≠1, 所以函数f(x)= ex ln x 的定义域为(0, 1)∪ (1,+∞),故 A不正确.当x ∈ (0,1)时,ln x < 0,ex > 0,所 以 f(x)<0,所以当x∈(0,1)时,f(x) 的图 象 位 于 x 轴 下 方,故 B 正 确. f'(x)= ex ln x- 1 x (ln x)2 ,令g(x)= ln x- 1 x ,则g'(x)= 1 x + 1 x2 >0,所 以函数g(x)单调递增,g(1)= -1< 0,g(e)=1- 1 e >0 ,故存在x0>1, 使得g(x0)=0,则函数f'(x)=0只 有一个根x0,当x∈(0,1)和x∈(1, x0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递 减,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -461-