2.10 函数模型的应用-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

hh 2.10 函数模型的应用 5A>! 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的 函数模型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理 解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义. AMc
-  -@) 1.六种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx +c(a,b,c 为常 数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax +c(a,b,c为常数,a> 0且a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数, a>0且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)=axn +b(a,b,n 为 常 数, a≠0,n≠0) “对勾”函 数模型 y=x+ a x (a 为常数,a>0) 2.三种函数模型性质比较 项目 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞) 上的单调性 增长速度 相对平稳 图象的变化 随x值增大, 图象与 接近平行 随x值增大, 图象与 接近平行 随n 值 变 化 而不同 3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)某种商品进价为每件100元,按进价增加 10% 出售,后因库存积压降价,若按九折出 售,则每件还能获利. ( ) (2)函数y=2x 的函数值比y=x2 的函数 值大. ( ) (3)不存在x,使ax <xa <logax. ( ) (4)“指数爆炸”是指数型函数y=b·ax + c(b≠0,a>0,a≠1)增长速度越来越快的 形象比喻. ( ) (5)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a> 1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a> 0)的增长速度. ( ) 2.(教材改编题)下表是在弹性限度内,弹簧伸 长长度x(单位:cm)与拉力F(单位:N)的相 关数据: x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 F 1 2 3 4 5 写出能反映这一变化现象的函数为 . 3.(教材改编题)用清水洗衣服,若每次能洗去 污垢的3 4 ,要使存留的污垢不超过1%,则至 少要洗的次数是(参考数据:lg 2≈0.301 0) . 4.(教材改编题)某单位为鼓励职工节约用水, 作出以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 058 @第二章 函数的概念与基本初等函数 的,按每立方米m 元收费;用水超过10 m3的, 超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元, 则该职工这个月实际用水为 m3. 5.(多选题)如图,某池塘里浮萍的面积y(单位: m2)与时间t(单位:月)的关系为y=at.下列 说法中正确的是 ( ) A.浮萍每月的增长率为1 B.第5个月时,浮萍面积就会超 过30 m2 C.浮萍每月增加的面积都相等 D.若浮萍蔓延到2 m2,3 m2, 6 m2 所经过的时间分别是 t1,t2,t3,则t1+t2=t3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 用函数图象刻画变化过程 【例1】 (2023· 广 东 广 州 检 测)如图,一高为H 且装满 水的鱼缸,其底部装有一 排水小孔,当小孔打开时, 水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则 函数h=f(t)的图象大致是 ( ) A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模 型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢 等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排 除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 【对点训练1】 (1)设甲、乙两地的距离为a(a> 0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了 20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从 乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发 到返回原地所经过的路程y和其所用的时间 x 的函数图象为 ( ) A B C D (2)某公司在30天内A商品的 销售价格 P(元)与时间 t(天)的关系满足如图所 示的函数,A 商品的销售 量Q(万件)与时间t的关系是Q=40-t,则 下列说法正确的是 ( ) ① 第15天日销售额最大;② 第20天日销售 额最大;③最大日销售额为120万元;④ 最大 日销售额为125万元. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 考点2 已知或选择函数模型解决实际问题 【例2】 (1)(2023·湖北孝感高三月考)果农采 摘水果,采摘下来的水果会慢慢失去新鲜 度.已知在一定时间内,某种水果失去的新 鲜度y 与其采摘后时间t(小时)近似满足的 函数关系式为y=k·mt(k,m 为非零常数), 若采摘后20小时,这种水果失去的新鲜度为 20%,采摘后30小时,这种水果失去的新鲜 度为40%,则采摘下来的这种水果大约经过 小时后失去50% 新鲜度.(参考数 据:lg 2≈0.3,结果取整数) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 059 hh (2)某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西 红柿的种植成本Q(单位:元/100 kg)与上 市时间t(单位:天)的数据如下表: 时间t 60 100 180 种植成本Q 116 84 116 根据上表数据,从下列函数中选取一个函数 描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变 化关系: Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q= a·logbt. 利用你选取的函数,则 ① 西红柿种植成本最低时的上市天数是 ; ② 最低种植成本是 元/100 kg. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知或选择函数模型解决实际问题的注意点 (1)已知模型的实际问题,根据待定系数法确定 模型,再利用模型求解实际问题. (2)选择模型的问题可结合函数图象、函数值的 增长特点(增减、增长快慢)等选用合适的函数模型. 【对点训练2】 (2024·江苏连云港高三月考) 载人航天飞船在返程过程中与大气摩擦产 生摩擦力f,经研究发现摩擦力f与飞船速度v 有关,且满足f(v)= 10 9G 1+e -0.67 vv0+0.27 ,其中G 为飞 船 重 力,v0 为 飞 船 初 速 度.已 知 当 f(v)=G 时,飞船将达到平衡状态,开始匀 速运动,则飞船达到平衡状态时(参考数据: ln 3≈1.1),v≈ ( ) A.2.9v0 B.3.0v0 C.3.1v0 D.3.2v0 考点3 构建函数模型解决实际问题 命题角度1 构建二次函数、分段函数、对勾函 数模型 【例3】 小王大学毕业后,决定利用所学专业进 行自主创业.经过市场调查,生产某小型电 子产品需投入年固定成本为3万元,每生产 x 万件,需另投入流动成本为W(x)万元,在 年产量不足8万件时,W(x)= 1 3x 2+x(万 元).在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+ 100 x -38 (万元).每件产品售价为5元.通过 市场 分 析,小 王 生 产 的 产 品 当 年 能 全 部 售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销 售收入-固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时,小王在这一产品 的生 产 中 所 获 利 润 最 大? 最 大 利 润 是 多少? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个 关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,因此需 要构建分段函数模型. 2.分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中 的最大者(或最小者). 3.二次函数是常用的函数模型,建立二次函数 模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优 化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方 法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系: 若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在 离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在 给定的区间内,最值都在区间的端点处取得. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 060 @第二章 函数的概念与基本初等函数 【对点训练3】 某农业合作社生产了一种绿色 蔬菜共14吨,如果在市场上直接销售,每吨 可获利0.2万元;如果进行精加工后销售,每 吨可获利0.6万元,但需另外支付一定的加 工费,总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜 量x(吨)有如下关系: P= 1 20x 2,0≤x ≤8, 3x+8 10 ,8<x ≤14. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 设该农业合作社 将x(吨)蔬菜进行精加工后销售,其余在市 场上直接销售,所得总利润(扣除加工费)为 y(万元). (1)写出y 关于x 的函数表达式; (2)当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大? 求出最大利润. 命题角度2 构建指数函数、对数函数模型 【例4】 (1)(2024·四川攀枝花统考)把物体放 在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,那么t min后物体 的温度θ(单位:℃)可由公式θ=θ0+(θ1- θ0) 1 2 t k 求得,其中k是一个随着物体与空 气接触状况而定的正常数.现有100 ℃ 的物 体,放在10 ℃ 的空气中冷却,1 min后物体 的温度是70 ℃,那么该物体的温度降至 20 ℃ 还需要冷却的时间约为(参考数据: lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) ( ) A.2.9 min B.3.4 min C.3.9 min D.4.4 min (2)(2024·云南昆明三校摸底)垃圾分类是指 按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和 搬运,从而转变成公共资源的一系列活动, 做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已 知某种垃圾的分解率v与时间t(月)近似地 满足关系v=a·bt(其中a,b为正常数),经 过5个月,这种垃圾的分解率为5%,经过10 个月,这种垃圾的分解率为10%,那么这种 垃圾完全分解大约需要经过 个 月.(参考数据:lg 2≈0.3,结果取整数) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.增长率问题,在实际问题中常可以用指数函 数模型y=N(1+p)x(其中N 是基础数,p 为增长 率,x 为时间)或幂函数模型y=a(1+x)n(其中a 为基础数,x 为增长率,n 为时间)的形式表示. 2.涉及与对数函数有关的函数模型问题,应结 合函数解析式以及对数函数的运算性质以及对数函 数的性质求解. 【对点训练4】 (2023·广东深圳高三联考)核 酸检测分析是用荧光定量PCR法,通过化学 物质的荧光信号,对在PCR扩增进程中成指 数级增加的靶标DNA实时检测,在PCR扩 增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时, DNA的数量Xn 与扩增次数n满足:lg Xn= nlg(1+p)+lg X0,其中p 为扩增效率,X0 为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA 扩增5次后,数量变为原来的10倍,那么该 标本的扩增效率p 约为 .(参考数 据:100.2≈1.585,10-0.2≈0.631) 学习至此,请完成课时作业15 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 061 hh (2)- 29 4 ,1 解析:当x ≤0时,f(x)= (x+1)2, 当0<x <1时,f(x)= -log4x,当 x ≥1时,f(x)=log4x,作 出 函 数 f(x)的图象如下, 则由图象可知,f(x)的图象与y =1 有4个 交 点,分 别 为(-2,1),(0,1), 1 4 ,1 ,(4,1),因为f(x)=a有四个 不同的解x1,x2,x3,x4 且x1<x2< x3 <x4,所以0<a ≤1,且 -2≤ x1<-1<x2≤0,且x1+x2= -2, 1 4 ≤ x3 < 1 < x4 ≤ 4 ,又 因 为 f(x3)= -log4x3,f(x4)=log4x4, 所以 -log4x3 =log4x4,即log4x4+ log4x3 = 0,所 以 x3x4 = 1,所 以 x4(x1+x2)+ 3 x3x24 = -2x4+ 3 x4 , 且1<x4 ≤4,构 造 函 数 g(x)= -2x + 3 x ,x ∈ (1,4],因 为 函 数 y= -2x,y= 3 x 在x∈(1,4]上都是 减函数,所以函数g(x)= -2x+ 3 x 在x ∈ (1,4]上 单 调 递 减,所 以 g(4)≤g(x)<g(1),即 - 29 4 ≤ g(x)<1,所以x4(x1+x2)+ 3 x3x24 ∈ - 29 4 ,1 . 对点训练4:(1)12 解析:将函数f(x)=|2x-3|-8sin πx 的零点转化为函数h(x)=|2x-3| 与g(x)=8sin πx 图象交 点 的 横 坐 标.在同一平面直角坐标系中,画出函 数h(x)与g(x)的部分图象,如图,因 为函数h(x)与g(x)的图象都关于直 线x= 3 2 对称,由图可知,两个函数的 图象共有8个交点,所以函数f(x)的 所有零点之和 M =8× 3 2 =12. (2)8 解析:由已知得f(x)=1+cos π2- πx +xsin(π+πx)=1+sin πx- xsin πx,令f(x)=0,且f(1)=1,可 得sin πx = 1 x-1 (x ≠1),作出y = sin πx 与y= 1 x-1 的函数图象,如下 图所示, 设y=sin πx 与y= 1 x-1 的函数图 象的交 点 的 横 坐 标 从 左 到 右 依 次 为 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8, 由图形关于点(1,0)中心对称,则x1+ x8 =x2+x7 =x3+x6 =x4+x5 = 2,故f(x)在区间[-4,6]上的所有零 点之和为4×2=8. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)7 解析: 根 据 题 意, 令 2[f(x)]2 - 3f(x)+1 = 0,得 f(x)= 1 或 f(x)= 1 2. 作出f(x)的简图,如图所示. 由图象可得当f(x)=1或f(x)= 1 2 时,分别有3个和4个交点,故关于x 的函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的 零点的个数为7. (2)1,32 ∪ 32,2 解析:由g(x)=2[f(x)]2 - (2a+ 3)f(x)+3a=0,可得[2f(x)-3]· [f(x)-a]=0,解得f(x)= 3 2 或 f(x)=a,如图所示, 由图可知,直线y = 3 2 与函数f(x) 的图象有两个交点,又因为函数g(x) 有四 个 零 点,故 直 线 y =a 与 函 数 f(x)有两个 零 点,且a ≠ 3 2 ,所 以, 1<a<2且a≠ 3 2 ,因此,实数a的取 值范围是 1,32 ∪ 32,2 . 素养检测:1.2 解析:画 出 函 数 f(x)的 图 象,如 图 所示. g(x)=f(f(x))- 3 4 的零点即为方 程f(f(x))- 3 4 =0 的 解,令t = f(x),则f(t)- 3 4 =0 ,当t>1时,无 解,当0≤t≤1时, 3 2sin π 2t= 3 4 ,解 得t= 1 3 ,结合图象可知函数g(x)有 2个零点. 2.2,94 解析:作出f(x)的图象如下图所示, 令f(x)=t,因 为 关 于 x 的 方 程 [f(x)]2-3f(x)+a=0(a∈R)有 8个不等的实数根,结合图象可知,关 于t的方程t2-3t+a=0有2个不等 的实数根,记为t1,t2,且t1,t2 ∈ (1, 2),因为t1+t2=3,t1t2=a,所以a= t1(3-t1)= - t1- 3 2 2 + 9 4 ,又因 为t1 ∈ (1,2),t1 ≠t2,即t1 ≠ 3 2 ,所 以 - t1- 3 2 2 + 9 4 的取值范围是 2,94 ,所以a的取值范围是 2,94 . 2.10 函数模型的应用 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 2.增函数 增函数 增函数 越来越 快 越来越慢 y 轴 x 轴 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.x =14.4F-0.2(答案不唯一) 3.4 4.13 解析:设该职工用水x m3 时,缴纳的 水费为y 元,由题意得 y= mx(0<x≤10), 10m+(x-10)·2m(x>10), 则10m+(x-10)·2m =16m,解得 x =13. 5.ABD 把(1,2)代入y=at,可得函数 解析式为y=2t,因为 2t+1-2t 2t =1,所 以每月增长率为1,A正确;当t=5时, y =32>30,B正 确;第2个 月 增 加 2 m2,第3个月增加4 m2,C错误;由 2 t1 =2,2 t2 =3,2 t3 =6,所 以2 t1 · 2 t2 =2 t3,故t1+t2 =t3,D正确. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:B 水位由高变低,排除C,D;半缸 前下降速度先快后慢,半 缸 后 下 降 速 度先慢后快,故选B. 对点训练1:(1)D y 为“小王从出发到 返回原地所经过的路程”而不是位移, 故排除A,C,又 因 为 小 王 在 乙 地 休 息 10分钟,故排除B,故选D. (2)B 由图象可得当0≤t≤20时,可 设P =at+b,根据图象知过点(0,2), (20,6), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -458- 参 考 答 案 所 以 b=2, 6=20a+b, 解 得 a= 1 5 , b=2, 所 以P = 1 5t+2 , 当20≤t≤30,可设P =mt+n,根据 图象知过点(20,6),(30,5), 所以 6=20m+n, 5=30m+n, 解得 m = - 1 10 , n=8, 所 以P = - 1 10t+8 , 综上可得,P= 1 5t+2 ,0≤t<20, - 1 10t+8 ,20≤t≤30, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 又Q= -t+40(0<t≤30),设第t天 的日销售额为y(万元),则y=P·Q = 1 5t+2 (-t+40),0<t<20, - 1 10t+8 (-t+40),20≤t≤30, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 化简可得y = - 1 5t 2+6t+80,0<t<20, 1 10t 2-12t+320,20≤t≤30, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 当0<t<20时,y= - 1 5 (t-15)2+ 125,所以y≤125,当且仅当t=15时, 等号成立; 当20≤t≤30时,y= 1 10 (t-60)2- 40,所以y≤120,当且仅当t=20时, 等号成立. 综上可得,第15天日销售额最大,最大 值为125万元,故 ①④ 正确.故选B. 例2:(1)33 解析:由题意 k·m 20 =20%, k·m30 =40%, 两式相 除得 m10 =2,m =2 1 10,代 入 得k = 5%,所以y=5%·2 t 10,由50%=5%· 2 t 10 得2 t 10=10,取对数得 t 10lg 2=1,t= 10 lg 2≈ 10 0.3≈33 (小时). (2)①120 ②80 解析:由题意知,种植成本与上市时间 的变化关系应该用二次函数Q=at2+ bt+c,即Q =a(t-120)2+m 描述, 将表中数据代入可得 a(60-120)2+m =116, a(100-120)2+m =84, 解得 a=0.01, m =80, 所以Q=0.01(t-120)2+ 80,故当上市天数为120时,种植成本 取到最低值80元/100 kg. 对点训练2:B 由题意得G = 10 9G 1+e -0.67 vv0 +0.27 ,即1+e -0.67 vv0 +0.27 = 10 9 ,即e -0.67 vv0 +0.27 = 1 9 ,两边同取自 然对数得,-0.67 v v0 +0.27 =-2ln 3, 所以v≈ 2.2 0.67-0.27 v0 ≈3.0v0, 故选B. 例3:解:(1)因为每件产品售价为5元,则 x 万件产品销售收入为5x 万元, 依题意得,当0<x <8时,L(x)= 5x - 1 3x 2+x -3= - 13x2 + 4x-3; 当x ≥8时,L(x)=5x - 6x + 100 x -38 -3=35- x+100x . 所以L(x)= - 1 3x 2+4x-3,0<x <8, 35- x+ 100 x ,x ≥8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)当0<x<8时,L(x)= - 1 3 (x- 6)2+9. 此时,当x =6时,L(x)取得最大值, 为9万元. 当x≥8时,L(x)=35- x+ 100 x ≤ 35-2 x· 100 x =35-20=15 ,当且 仅当x = 100 x 时等号成立,即x =10 时,L(x)取得最大值,为15万元. 因为9<15,所以当年产量为10万件 时,小王在这一产品的生产中所获利 润最大,最大利润为15万元. 对点训练3:解:(1)由题意知,当0≤ x ≤8时,y =0.6x+0.2(14-x)- 1 20x 2 = - 1 20x 2+ 2 5x+ 14 5 , 当8<x≤14时,y=0.6x+0.2(14- x)- 3x+8 10 = 1 10x+2 ,即y = - 1 20x 2+ 2 5x+ 14 5 ,0≤x ≤8, 1 10x+2 ,8<x ≤14. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)当0≤x ≤8时,y = - 1 20x 2 + 2 5x+ 14 5 = - 1 20 (x-4)2+ 18 5 , 所以当x =4时,ymax = 18 5. 当8<x ≤14时,y = 1 10x+2 , 所以当x =14时,ymax = 17 5. 因为18 5 > 17 5 ,所以当x=4时,ymax= 18 5. 所以当精加工蔬菜4吨时,总利润 最大,最大利润为18 5 万元. 例4:(1)D 依题意,由100 ℃的物体,放 在10 ℃ 的空气中冷却,1 min后物体 的温度是70 ℃,得70=10+ (100- 10)12 1 k ,解得 1 2 1 k = 2 3 ,该物体 70 ℃ 的温度降至20 ℃ 需要冷却的时间 为t,则20=10+(70-10) 1 2 1 k t , 于是 2 3 t = 1 6 ,两边取对数得t= lg 6 lg 3 2 = lg 3+lg 2 lg 3-lg 2≈ 0.477 1+0.301 0 0.477 1-0.301 0≈ 4.4,所以该物体的温度降至20 ℃ 还 需要冷却的时间约为4.4 min.故选D. (2)27 解析:依 题 意 得 5% =a·b 5, 10% =a·b10, 解 得 b=2 1 5, a=2.5%, 则v=2.5%·2 1 5t,这种 垃圾完全分解,即分解率为100%,即 v=2.5%·2 1 5t =1,所以2 1 5t =40,所 以 1 5t=log240 ,所 以t=5log240= 5lg 40 lg 2 = 5(lg 4+1) lg 2 = 5(2lg 2+1) lg 2 = 10+ 5 lg 2≈10+ 5 0.3≈27. 对点训练4:0.585 解析:因 为lg Xn = nlg(1+p)+ lg X0,所以lg Xn X0 =nlg(1+p),由题 意得n=5时, Xn X0 =10,代入上式得 lg 10=5lg(1+p),所以lg(1+p)= 1 5 ,即1+p=10 1 5 =100.2,可得p= 100.2-1≈1.585-1=0.585. 第三章 一元函数的 导数及其应用 3.1 导数的概念及其 意义、导数的运算 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)可导 瞬时变化率 f'(x0) (2)切线的斜率 f'(x0) y-y0 = f'(x0)(x-x0) (3)导函数 导数 2.(1)0 αxα-1 cos x -sin x axln a ex 1xln a 1 x (2)f'(x)± g'(x) f'(x)g(x)+ f(x)g'(x) cf'(x) f'(x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x)]2 (3)f(g(x)) y'x =y'u·u'x 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.125 3.-5 4.3x+y =0或24x-y-54=0 解析:∵y'=3x2-3,设曲线的切点为 (x0,y0),则k =3x20-3,y0 =x30- 3x0.∴ 切线方程为y-(x30-3x0)= (3x20-3)(x -x0).又 切 线 经 过 点 P(2,-6),则 -6- (x30 -3x0)= (3x20-3)(2-x0),解 得x0 =0或 x0 =3,∴ 切点为(0,0)时,切线方程 为3x+y=0;切点为(3,18)时,切线 方程为24x-y-54=0. 5.AD 设切点P(x0,x30-x0+3).因为 曲线 f(x)在 点 P 处 的 切 线 的 斜 率 k= f'(x0)= 3x20 -1= 2,所 以 x0 = ±1,所以点P 的坐标为(1,3)或 (-1,3).故选AD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -459-