2.8 函数的图象-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

hh 【对点训练4】 已知函数f(x)=log2(2-x)- log2(2+x),则不等式f(x)>1的解集为 . 命题角度3 和对数函数有关的复合函数 【例5】 (1)(2023·辽宁葫芦岛检测)已知函数 f(x)=lg(x2-2x-3)在(a,+∞)上单调 递增,则a的取值范围是 . (2)若f(x)=lna+ 1 1-x + b是奇函数,则 a= ,b= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用对数函数的性质,必须弄清三方面的问题: 一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是 底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是 由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注 意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【对点训练5】 (1)设函数f(x)=a·ex-1(a为 常数),且f(-1)= 2 e2 且g(x)= f(x),x <2, log3(x-1),x ≥2, 则不等式g(x)<2的 解集为 . (2)函数f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递 增,则a的取值范围是 . 学习至此,请完成课时作业12 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.8 函数的图象 5A>! 1.根据函数的性质判断函数的图象. 2.根据实际问题判断函数的图象. 3.结合几何图形中的动点问题判断函数的图象. 4.分析函数图象判断结论的正误. AMc
-  -@) 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析 式;③ 讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期 性、对称性等). 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值 点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点, 连线. 2.函数图象的变换 (1)平移变换 y =f(x) 左移 h 个单位长度 (h>0) ← y = f(x+h) 右移 h 个单位长度 (h>0) → y = f(x-h) 上 移 k(k>0) 个单位长度 ↑ y =f(x)+k 下 移 k(k>0) 个单位长度↓ y =f(x)-k 左右平移仅仅对x 而言,利用“左加右减”进 行操作,若x 的系数不是1,需要先把x 提出 来,再进行操作. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 050 @第二章 函数的概念与基本初等函数 上下平移是对y 而言,利用“上加下减”进行 操作. (2)对称变换 ①y=f(x) 关于x 轴对称 →y= ; ②y=f(x) 关于y 轴对称 →y= ; ③y=f(x) 关于原点对称 →y= ; ④y=ax(a>0,且a≠1) 关于y=x 对称 →y= . (3)翻折变换 ①y=f(x) 保留x 轴上方图象 将x 轴下方图象翻折上去→y= |f(x)|; ②y=f(x) 保留y 轴右边图象,并作其关于y 轴 对称的图象,y 轴左边图象去掉 → y=f(|x|). (4)伸缩变换 ①y=f(x) a>1,横坐标缩短为原来的 1 a 倍 0<a<1,横坐标伸长为原来的 1 a 倍 → y= ; ②y=f(x) a>1,纵坐标伸长为原来的a倍 0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍 → y= . 常用结论与知识拓展 1.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x 的值, 若f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直 线x= a+b 2 对称.特别地,若f(a+x)=f(a-x), 则函数f(x)的图象关于直线x=a 对称. 2.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x 的值, 若f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于 点 a+b 2 ,0 中 心 对 称.特 别 地,若 f(a +x)= -f(a-x),则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心 对称. 3.两个函数图象的对称性(相互对称) (1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关 于直线(a+x)-(b-x)=0,即x= b-a 2 对称. (2)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图象关 于直线x=0对称. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)将函数y=f(x)的图象先向左平移1个 单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数 y=f(x+1)+1的图象. ( ) (2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同. ( ) (3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1- x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称. ( ) (4)为了得到函数y=log2 x-1的图象,可 将函数y=log2x 图象上所有点的纵坐标缩短 为原来的1 2 ,横坐标不变,再向右平移1个单 位长度. ( ) (5)为了得到函数y=lg x+3 10 的图象,只需把 函数y=lg x的图象上所有的点向右平移3个 单位长度,再向下平移1个单位长度.( ) 2.(教材改编题)函数f(x)= 2 x2+11 的图象关 于 对称. 3.(教材改编题)已知图1中的图象是函数y= f(x)的图象,则图2中的图象对应的函数可 能是 ( ) A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 4.(教材改编题)为了得到函数y=lg x 10 的图象, 只需把函数y=lg x 的图象上所有的点向 平移 个单位长度. 5.(多选题)如图是函数f(x)的图象,则下列说 法正确的是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 051 hh A.f(0)=-2 B.f(x)的定义域为[-3,2] C.f(x)的值域为[-2,2] D.若f(x)=0,则x= 1 2 或x=2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 作函数的图象 【例1】 若函数y=f(x)的图象如图所示,则函 数y=-f(x+1)的图象大致为 ( ) A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 作函数图象的一般方法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式) 是基本初等函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲 线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根 据这些函数或曲线的特征直接作出. (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等 函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象 变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到基本 初等函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变 换的顺序对变换单位及解析式的影响. (3)作函数图象时,若函数解析式不是最简形 式,需先化简函数解析式,再作函数的图象. 【对点训练1】 作出下列函数的图象: (1)y= 1 2 |x| ; (2)y=|log2 (x+1)|; (3)y= 2x-1 x-1 ; (4)y=|x+1|·(x-3). 考点2 函数图象的识别 【例2】 (1)(2023·天津卷) 函数f(x)的图象如图所 示,则f(x)的解析式可 能为 ( ) A.f(x)= 5(ex -e-x) x2+2 B.f(x)= 5sin x x2+1 C.f(x)= 5(ex +e-x) x2+2 D.f(x)= 5cos x x2+1 (2)(2022·全国乙卷) 如图是下列四个函 数中的某个函数在 区间[-3,3]的大 致图象,则该函数是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 052 @第二章 函数的概念与基本初等函数 A.y= - x3+3x x2+1 B.y= x3-x x2+1 C.y= 2xcos x x2+1 D.y= 2sin x x2+1 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.抓住函数的性质,定性分析 (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从 函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势. (3)从函数的周期性,判断图象的循环往复. (4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性. 2.抓住函数的特征,定量计算 利用函数的特殊点、特殊值的计算,分析解决 问题. 【对点训练2】 (1)(2022·全国甲卷)函数y= (3x -3-x)cos x 在区间 - π 2 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 的图象大 致为 ( ) A B C D (2)函数f(x)= ex -e-x 2|x|-1 的图象大致是( ) A B C D 考点3 函数图象的应用 命题角度1 利用函数的图象研究函数的性质 【例3】 对于函数f(x)=x|x|+x+1,下列 结论正确的是 ( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在定义域内是减函数 C.f(x)的图象关于点(0,1)对称 D.f(x)在区间(0,+∞)上存在零点 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象 的函数,其性质常借助图象研究: (1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、 极值. (2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性. (3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周 期性. 【对点训练3】 定义max{a,b,c}为a,b,c中的 最大值,设y=max{2x,2x-3,6-x},则y 的最小值是 . 命题角度2 利用函数图象求解不等式 【例4】 已知函数y=f(x+1)的图象关于直线 x=-1对称,当x∈[-1,+∞)时,f(x+ 1)是增函数,则不等式f(x-3)-f(x)> 0的解集为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 053 hh 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用函数图象求解不等式的思路 不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图 象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合,体现 了数形结合思想的应用.一般地,涉及奇、偶函数或 指数函数、对数函数有关的不等式问题,常用数形结 合法求解. 【对点训练4】 已知y=f(x) 是奇函数,y=g(x)是偶 函数,它们的定义域均为 [-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所 示,则不等式f (x) g(x)< 0的解集是 . 命题角度3 利用函数的图象研究方程的根 【例5】 已知函数f(x)= -x2-2x+3,x≤1, ln x,x>1, 则关于x 的方程f(x)- 1 2x+ 1 2=0 解的个 数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求 解问题,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标. (1)注意函数图象特征与性质的对应关系. (2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交 点和上下关系问题. 【对点训练5】 (1)已知函数f(x)= -x2+1,x <1, log2x,x ≥1, 若关于x的方程f(x)=k 有三个不同的实根,则实数k 的取值范围是 . (2)已知函数f(x)= -x2+2x,x ≥0, x2-2x,x <0, 若关 于x 的不等式[f(x)]2+af(x)<0恰有 1个整数解,则实数a的最大值是 . 学习至此,请完成课时作业13 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.9 函数与方程 5A>! 1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解的步骤. AMc
-  -@) 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:使 的实数x叫 做函数y=f(x)的零点. (2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔ 函数y=f(x) ⇔ 函数y=f(x)的 图象与x 轴 . 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 一条连续不断的曲线,且有 ,那 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 054 hh 0⇒a=- 1 2 ,-2b=ln 1 4 =-2ln 2⇒ b=ln 2,∴a= - 1 2 ,b=ln 2. 对点训练5:(1)(-∞,1)∪ [2,10) 解析:因为f(-1)=ae-2= a e2 = 2 e2 , 所以a =2,则 f(x)=2ex-1,所 以 g(x)= 2e x-1,x <2, log3(x-1),x ≥2. 当x<2时,2ex-1<2,即ex-1<1,解 得x <1;当x ≥2时,log3(x-1)< 2,即log3(x-1)<log39,所以0<x- 1<9,解得1<x<10,所以2≤x<10. 综上所述,g(x)<2的解集为(-∞, 1)∪ [2,10). (2)(3,+∞) 解析:由于a>0,且a≠1,所以u = ax-3为增函数,所以若函数f(x)为 增函数,则y=logau必为增函数,所以 a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒为 正,所以a-3>0,即a>3. 2.8 函数的图象 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 2.(2)①-f(x) ②f(-x) ③-f(-x) ④logax(x >0) (4)①f(ax) ②af(x) 基础检测 1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2.y 轴 3.C 4.下 1 解析:因为函数y=lg x 10=lg x-1, 所以把函数y =lg x 的图象上所有的 点向下平移1个单位 长 度,可 得 函 数 y =lg x 10=lg x-1的图象. 5.ABD 由图象知f(0)= -2,故A正 确;函数的定义域为[-3,2],故B正 确;函数的最小值为 -3,最大值为2, 即函数的值域为[-3,2],故C错误;若 f(x)=0,则x = 1 2 或2,故D正确. 故选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:C 要想由y =f(x)的图象得到 y = -f(x+1)的图象,需要先作出 y=f(x)的图象关于x轴对称的图象 y = -f(x),然后向左平移1个单位 长度得到y = -f(x+1)的图象,根 据上述步骤可知C正确.故选C. 对点训练1:解:(1)先作出y = 1 2 x 的图象,保留y= 1 2 x 图象中x≥0 的部分,再作出y = 1 2 x 的图象中 x >0部分关于y 轴的对称部分,即得 y = 1 2 |x| 的图象,如图1所示. (2)将函数y=log2x 的图象向左平移 1个单位长度,再将x 轴下方的部分沿 x 轴 翻 折 上 去,即 可 得 到 函 数 y = |log2 (x+1)|的图象,如图2所示. (3)因为y = 2x-1 x-1 = 2+ 1 x-1 ,故 函数图象可由y= 1 x 的图象向右平移 1个单位长度,再向上平移2个单位长 度得到,如图3所示. 图3 图4 (4)令f(x)=|x+1|·(x-3),则 f(x)= (x+1)(3-x),x ≤-1, (x+1)(x-3),x >-1, 图象如图4所示. 例2:(1)D 由题图知,函数图象关于y 轴 对 称,其 为 偶 函 数,且 f(-2)= f(2)<0,由 5sin(-x) (-x)2+1 = - 5sin x x2+1 且定义域为 R,即B中函数为奇函数, 排除;当 x >0时 5(ex -e-x) x2+2 >0, 5(ex +e-x) x2+2 >0,即A,C中(0,+∞) 上函数值为正,排除.故选D. (2)A 设f(x)= x3-x x2+1 ,则f(1)= 0,故排除B;设h(x)= 2xcos x x2+1 ,当 x ∈ 0, π 2 时,0<cos x <1,所以 h(x)= 2xcos x x2+1 < 2x x2+1 ≤1,故排 除C;设g(x)= 2sin x x2+1 ,则g(3)= 2sin 3 10 >0 ,故排除D.故选A. 对点训练2:(1)A 令f(x)=(3x-3-x)· cos x,x∈ - π 2 ,π 2 ,则f(-x)= (3-x - 3x)cos(- x) = - (3x - 3-x)cos x = -f(x),所以f(x)为奇 函数,排除B,D;又当x∈ 0, π 2 时, 3x -3-x >0,cos x>0,所以f(x)> 0,排除C.故选A. (2)C 由函数f(x)= ex -e-x 2|x|-1 可 知,其定义域为 -∞,- 1 2 ∪ -12, 1 2 ∪ 12,+∞ ,关于原点对称;又 对于定义域内任意x 满足f(-x)= e-x -ex 2|-x|-1=- ex -e-x 2|x|-1 =-f(x), 所以函数f(x)为奇函数,其图象关于 原点对称,因此排除B;又根据不同函 数的增长速度可知,当x 趋近于 +∞ 时,f(x)= ex -e-x 2|x|-1 趋近于+∞,而 非趋近于0,所以排除 A;又0<x < 1 2⇒f (x)<0,排除D.故选C. 例3:C f(x)= x|x|+x+1= x2+x+1,x ≥0, -x2+x+1,x <0, 作出示意图,如图,由 题意 可 知,图 象 关 于 点(0,1)对称,因此函数f(x)不是奇 函数,在 定 义 域 内 函 数f(x)为 增 函 数,函数f(x)在区间(-∞,0)上存在 零点.故选C. 对点训练3:4 解析:画出y=max{2x,2x-3,6-x} 的示意图,如图所示.由图可知,当6- x =2x 时,即x=2时,y取最小值,为 22 =6-2=4. 例4:-∞, 3 2 解析:由题意得f(x)为偶函数,且在 [0,+∞)上单调递增,由f(x-3)- f(x)>0得f(x-3)>f(x), ∴|x-3|>|x|,得x < 3 2. 对点训练4:{x|0<x <1或2<x < 3或-2<x <-1} 解析:因为f(x)是奇函数,所以由图 象知,当0<x <2或 -3≤x <-2 时,f(x)>0,当-2<x <0或2< x≤3时,f(x)<0.因为g(x)是偶函 数,所以由图象可知,当1<x <3或 -3<x<-1时,g(x)>0,当-1< x <0或0<x <1时,g(x)<0,则 不等式f (x) g(x)< 0等价于 f (x)>0, g(x)<0 或 f(x)<0, g(x)>0, 即 0<x <2或 -3≤x <-2, -1<x <0或0<x <1 或 -2<x <0或2<x ≤3, 1<x <3或 -3<x <-1, 得0<x <1或2<x <3或 -2< x <-1,即不等式的解集为{x|0< x <1或2<x<3或-2<x<-1}. 例5:C 求方程f(x)- 1 2x+ 1 2 =0 解 的个数等价于求y =f(x)的图象和 直线y = 1 2x- 1 2 的交点个数.分别 作出它们 的 图 象,如 图,由 图 知,y = f(x)的图象和直线y= 1 2x- 1 2 有 3个交点.故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -456- 参 考 答 案 对点训练5:(1)(0,1) 解析:画 出 函 数y =f(x) 与y=k的图 象,如图所示. 由图 可 知,当 0<k<1时, y =k和y= f(x)的 图 象 有 三 个 交 点,即 方 程 f(x)=k 有三个不同的实根. (2)8 解析:函数f(x)图象如图所示, [f(x)]2+af(x)<0⇒f(x)[f(x)+ a]<0,当a>0时,-a<f(x)<0, 由 于 关 于 x 的 不 等 式 [f(x)]2 + af(x)<0恰有1个整数解,因此其整 数 解 为 3,又 f(3)= -9+6 = -3,∴-a<-3<0,-a≥f(4)= -8,则3<a≤8.a≤0时不必考虑, 故实数a 的最大值为8. 2.9 函数与方程 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)f(x)=0 (2)有零点 有公共点 2.f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=0 3.f(a)·f(b)<0 一分为二 零点 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 2.2 3.x2 <x3 <x1 4.1 5.BC 易 知 f(x)是 增 函 数,因 为 f(1.375)≈-0.28<0,f(1.437 5)≈ 0.02>0,所以零点在(1.375,1.437 5) 内,所以A错误,B正确;又|1.437 5- 1.375|=0.062 5<0.1,故精确度为 0.1的近似值可以为1.4,所以C正确, D错误.故选BC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:B ∵f(1)= - 1 3 < 0 ,f(2)= log82- 1 6 = 1 6 >0 ,∴f(1)f(2)< 0,又f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴ 函数f(x)在(0,+∞)上只有一个 零点,且零点在(1,2)内. 对点训练1:B 函 数f(x)=log3x + x -2 的 定 义 域 为 (0,+ ∞),在 (0,+∞)上单调递增,图象是一条连 续 曲 线 且 f(1)= -1<0,f(2)= log32>0,根据函数零点存在定理可 知,函数f(x)=log3x+x-2有唯一 零点,且零点在区间(1,2)内. 例2:(1)B ∵f(0)f(1)= (-1)×1= -1<0,且函数在定义域上单调递增 且连续,∴ 函数f(x)在区间(0,1)内 有且只有1个零点. (2)①②④ 解析:对于 ①,当k=0时,由f(x)= |lg x|-2=0,可得x = 1 100 或x = 100,①正确;对于②,设直线y=kx+ 2与曲线y= -lg x(0<x<1)相切 于点P(t,-lg t),对函数y = -lg x 求导 得 y' = - 1 xln 10 ,由 题 意 可 得 kt+2=-lg t, k=- 1 tln 10 , 解得 t= e 100 , k=- 100 elg e, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以,存 在k = - 100 elg e<0,使 得 f(x)只有一个零点,②正确;对于③, 如图,当直线y=kx+2过点(1,0)时, k+2=0,解 得k = -2,所 以,当 - 100 elg e<k<-2时,直线y=kx+ 2与曲线y= -lg x(0<x<1)有两 个交点,若函数f(x)有三个零点,则 直线y=kx+2与曲线y= -lg x(0< x<1)有两个交点,直线y=kx+2与 曲线y =lg x(x >1)有一个交点, 所 以, - 100 elg e<k<-2, k+2>0, 此 不 等 式无解,因此,不存在k<0,使得函数 f(x)有三个零点,③错误;对于④,如 图,设 直 线y =kx +2与 曲 线y = lg x(x>1)相切于点P(t,lg t),对函 数y =lg x 求导得y'= 1 xln 10 ,由题 意可得 kt+2=lg t, k= 1 tln 10 , 解得 t=100e k= lg e 100e , 所以,当0<k< lg e 100e 时,函数f(x) 有三个零点,④ 正确. 对点训练2:(1)2 解析:由f(x)=0得 x ≤0, x2+x-2=0 或 x >0,-1+ln x =0, 解得x= -2或x=e.因此函数f(x) 共有2个零点. (2)6 解析:在平面直角坐标系中,分别作出 y=lg|x|与y=sin x 的图象,如图 所示.由图可知,共有6个零点. 例3:[10,+∞) 解析:设g(x)=x2 -ax +3a-5, h(x)=|x|-2,由|x|-2=0可得 x= ±2.要使得函数f(x)至少有3个 零点,则函数g(x)至少有一个零点, 则Δ =a2-12a+20≥0,解得a≤2 或a≥10.①当a=2时,g(x)=x2- 2x+1,作出函数g(x),h(x)的图象 如图所示, 此时函数f(x)只有两个零点,不合乎 题意;②当a<2时,设函数g(x)的两 个零点分别为x1,x2(x1 <x2),要使 得函 数 f(x)至 少 有 3 个 零 点,则 x2 ≤-2,所以, a 2 <-2 , g(-2)=4+5a-5≥0, 解得a∈ ⌀;③ 当 a = 10 时,g(x)= x2 - 10x+25,作出函数g(x),h(x)的图 象如图所示, 由图可知,函数f(x)的零点个数为3, 合乎 题 意;④ 当 a >10时,设 函 数 g(x)的两个零点分别为x3,x4(x3< x4),要使得函数f(x)至少有3个零 点,则x3 ≥2,可得 a 2 >2 , g(2)=4+a-5≥0, 解 得a >4, 此时a>10.综上所述,实数a 的取值 范围是[10,+∞). 对点训练3:(-2,0) 解析:当x≥0时,f(x)=x|x-2|, 则 -x ≤0,f(-x)= -ax,此 时 f(x)-f(-x)=0⇒x|x -2|= -ax,则x =0或 -a=|x-2|, 当x<0时,f(x)=ax,则-x>0, f(-x)= -x|-x-2|= -x|x+2|, 此时f(x)-f(-x)=0⇒-x|x+ 2|=ax,则-a=|x+2|,故问题转 为-a=|x-2|(x≥0),-a=|x+ 2|(x<0)共有四个解,即直线y=a 与函数y= |x+2| ,x <0, |x-2|,x ≥0 的图象 共有四个交点,画出函数 图 象 如 下 所 示,则0<-a<2⇒-2<a<0. 例4:(1)4 解析:令f(x)= 1 1-x- 2sin πx=0, 即 1 1-x = 2sin πx.由 于 函 数 y = 1 1-x = - 1 x-1 的 图 象 是 由 函 数 y = - 1 x 的图象向右平移1个单位长 度而得到,因此函数图象关于点(1,0) 对称,由于点(1,0)是函数y=2sin πx 图象的对称点,在同一平 面 直 角 坐 标 系中作出两个函数的图象,如图所示, 两个函数的图象有四个交点,根据对称 性可知函数f(x)= 1 1-x - 2sin πx (-1≤x≤3)零点之和为2×2=4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -457-