2.7 对数与对数函数-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

hh 指数型不等式的常见类型及求解方法 (1)af(x)>ag(x) 或af(x)<ag(x) 型 解法:af(x)>ag(x)⇔ a>1, f(x)>g(x) 或 0<a<1, f(x)<g(x). af(x)<ag(x)⇔ a>1 , f(x)<g(x) 或 0<a<1, f(x)>g(x). (2)形如ax >b的不等式,注意将b转化为以a 为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax 的单 调性求解. 【对点训练4】 不等式2x 2-2x-3< 1 2 3x-3 与不 等式x2+ax+b<0是同解不等式,则a= ,b= . 命题角度3 指数函数性质的综合应用 【例5】 (1)不等式4x-2x+1+a>0对任意x∈ R都成立,则实数a的取值范围是 . (2)已知定义域为R的函数f(x)= - 1 2+ 1 2x +1 , 则关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)< 0的解集为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.比较指数式的大小的方法: (1)能化成同底数的,先化成同底数幂,再利用 单调性比较大小. (2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量 比较大小. 2.指数型方程(不等式)的求解主要利用指数函 数的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数 函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值 域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减” 这一性质分析判断. 【对点训练5】 (1)已知函数f(x)=2 024x-3+ (x-3)3-2 0243-x +2x,则不等式f(x2- 4)+f(2-3x)≤12的解集为 . (2)已知函数f(x)=4x +m·2x,m ∈R. ①若m=-3,解关于x的不等式f(x)>4; ② 若函数y=f(x)+f(-x)的最小值为 -4,求m 的值. 学习至此,请完成课时作业11 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.7 对数与对数函数 5A>! 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解 对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax 与指数函数y=ax 互为反函数(a>0,且a≠1). 046 @第二章 函数的概念与基本初等函数 AMc
-  -@) 1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数 x 叫做 ,记作 ,其 中a叫做 ,N 叫做 . 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质:loga1= ,loga = ,alogaN = (a>0,且a≠1, N >0). (2)对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M >0,N >0,那么: ①loga(MN)= ; ②loga M N = ; ③logaMn = (n∈R). 3.换底公式 logab= logcb logca (a>0,且a≠1;c>0,且c≠ 1;b>0). 4.对数函数的概念 一般地,函数y= 叫做对数 函数,其中 是自变量,函数的定义域 是 . 5.对数函数的图象及性质 a 的范围 0<a<1 a>1 图象 性 质 定义域 值域 R 定点 过定点 ,即x= 时, y= 单调性 在(0,+ ∞)上 是 在(0,+∞)上是 6.指数函数与对数函数的关系 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反 函数,它们的定义域与值域正好 ,图 象关于直线 对称. 常用结论与知识拓展 1.换底公式及其推论 (1)logab·logba=1,即logab= 1 logba (a,b均大于 0且不等于1). (2)logamb n = n mlogab. (3)logab·logbc·logcd=logad. 2.对数函数的图象与底数大小的关系 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点 的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到此规律:在第一象限内与y=1相 交的对数函数从左到右底数逐渐增大. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)若 MN >0,则loga(MN)=logaM + logaN. ( ) (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在 (0,+∞)上是增函数. ( ) (3)函数y=logax2与函数y=2logax 是同一 个函数. ( ) (4)若M >N >0,则logaM >logaN. ( ) (5)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图 象过定点(1,0),且过点(a,1),1a ,-1 .( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 047 hh 2.已知f(x)=ln sin x+ 16-x2,则f(x)的 定义域为 . 3.(教材改编题)化简2lg 5+lg 4-5 log52的结果 为 . 4.(教材改编题)已知函数f(x)=2x 的图象与 函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则 g 1 2 的值为 . 5.(多选题)已知0<loga2 024<logb2 024,则 下列说法正确的是 ( ) A.b>a>1 B.a-2<b-2 C.b 2 a + a2 b >2 D.若m >0,则 b a < b+m a+m 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 对数式的化简与求值 【例1】 (1)设a=log36,b=log520,则log215 等于 . (2)计 算:(lg 2)2 +lg 2·lg 50+lg 25= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.利用对数的运算性质化简对数式主要有以下 两种方法: 一是“正向”利用对数的运算性质,把各对数分 成更为基本的一系列对数的代数和;二是“逆向”运 用对数运算性质,把同底的各对数合并成一个对数. 2.利用已知对数式表示不同底数的对数式时, 可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数 式的底数表示. 【对点训练1】 (1)若2a=3b=6,则 1 a+ 1 b 等于 . (2)(2020·全国Ⅰ卷改编)设alog34=2,则4-a 的值为 . 考点2 对数函数的图象及应用 【例2】 (2023· 河 北 唐 山 模 拟)函 数 y = 1 ln(x+1) 的大致图象为 ( ) A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.求解形如y=loga(x±b)对数型函数的图象 问题,首先应明确基本的对数函数的图象(即明确当 a>1与0<a<1时两种对数函数y=logax 的图 象),在此基础上研究由其复合而成的函数的图象. 2.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的 性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高 点、最低点等)排除不符合要求的选项. 3.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应 的函数图象问题,利用数形结合法求解. 【对点训练2】 (1)函数g(x)=|loga(x+1)| (a>0,且a≠1)的图象大致为 ( ) A B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 048 @第二章 函数的概念与基本初等函数 C D (2)函数y=ln(2-|x|)的大致图象为 ( ) A B C D 考点3 对数函数的性质及应用 命题角度1 利用对数函数的单调性比较大小 【例3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设a=log32,b= log53,c= 2 3 ,则 ( ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b (2)若a=20.2,b=log0.2 ,c=log32,则a,b,c的 大小关系正确的是 ( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b (3)设a=log0.26,b=log0.36,c=log0.46,则 ( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 比较对数式大小的类型及相应的方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调 性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进 行分类讨论. (2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公 式化为同底后,再进行比较,或利用图象数形结合求解. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间 量进行比较. (4)若不能够使用以上三种方法比较大小,则需 要将已知的对数式变形或利用对数的运算性质确定 对数值的取值范围,或利用作差(或作商)比较法以 及利用结论log(n+1)(n+2)<logn(n+1)(n>1, n∈N*)比较大小等. 【对点训练3】 (1)(2022·天津卷改编)已知 a=20.7,b= 1 3 0.7 ,c=log2 1 3 ,则 ( ) A.a>c>b B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b (2)已知a=log2e,b=ln 2,c=log1 2 1 3 ,则a,b, c的大小关系为 ( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 命题角度2 解对数型不等式 【例4】 不等式log2(2x+3)>log2(5x-6)的 解集为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.解决简单的对数型不等式,应先利用对数的 运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的 单调性转化为一般不等式求解.求解时不要忘记对 数函数的定义域. 2.对数函数的单调性和底数a 的值有关,在研 究对数函数的单调性时,要按0<a<1和a>1进 行分类讨论. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 049 hh 【对点训练4】 已知函数f(x)=log2(2-x)- log2(2+x),则不等式f(x)>1的解集为 . 命题角度3 和对数函数有关的复合函数 【例5】 (1)(2023·辽宁葫芦岛检测)已知函数 f(x)=lg(x2-2x-3)在(a,+∞)上单调 递增,则a的取值范围是 . (2)若f(x)=lna+ 1 1-x + b是奇函数,则 a= ,b= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用对数函数的性质,必须弄清三方面的问题: 一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是 底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是 由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注 意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【对点训练5】 (1)设函数f(x)=a·ex-1(a为 常数),且f(-1)= 2 e2 且g(x)= f(x),x <2, log3(x-1),x ≥2, 则不等式g(x)<2的 解集为 . (2)函数f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递 增,则a的取值范围是 . 学习至此,请完成课时作业12 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.8 函数的图象 5A>! 1.根据函数的性质判断函数的图象. 2.根据实际问题判断函数的图象. 3.结合几何图形中的动点问题判断函数的图象. 4.分析函数图象判断结论的正误. AMc
-  -@) 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析 式;③ 讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期 性、对称性等). 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值 点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点, 连线. 2.函数图象的变换 (1)平移变换 y =f(x) 左移 h 个单位长度 (h>0) ← y = f(x+h) 右移 h 个单位长度 (h>0) → y = f(x-h) 上 移 k(k>0) 个单位长度 ↑ y =f(x)+k 下 移 k(k>0) 个单位长度↓ y =f(x)-k 左右平移仅仅对x 而言,利用“左加右减”进 行操作,若x 的系数不是1,需要先把x 提出 来,再进行操作. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 050 参 考 答 案 g(3x+1),所以,x2-7≤3x+1,即 x2-3x-8≤0,解得 3- 41 2 ≤x≤ 3+ 41 2 . 因此,不等式f(x2 -4)+ f(2-3x)≤12的解集为 3- 412 , 3+ 41 2 . (2)解:①m = -3时,由f(x)=4x - 3×2x >4得,4x -3×2x -4>0, (2x +1)(2x -4)>0, 因为2x +1>0,所以2x -4>0,解得 x >2, 所以原不等式的解集为(2,+∞). ② 因为y=f(x)+f(-x)= (4x + 4-x)+m·(2x +2-x)=(2x +2-x)2+ m·(2x +2-x)-2, 令t=2x +2-x,因为2x >0, 所以t=2x +2-x ≥2 2x·2-x = 2(当且仅当x =0时取得等号). 则y = g(t)=t2 + m ·t-2 = t+ m 2 2 - m2 4 -2 ,t≥2, 当- m 2 ≤2 ,即 m ≥-4时,g(t)在 [2,+∞)上单调递增, 当t=2,即x =0时,ymin =2m+2, 所以2m+2= -4,解得m= -3,符合 题意; 当- m 2 >2 ,即m <-4时, g(t)在 2,- m 2 上 单 调 递 减,在 - m 2 ,+∞ 上单调递增, 当t= - m 2 时,ymin = - m2 4 -2 , 所以- m2 4-2= -4 ,解得m= ±22, 不符合题意,舍去. 综上,m 的值为-3. 2.7 对数与对数函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.以a为底N 的对数 x =logaN 对 数的底数 真数 2.(1)0 1 N (2)①logaM +logaN ②logaM -logaN ③nlogaM 4.logax(a>0,且a≠1) x (0,+∞) 5.(0,+∞) (1,0) 1 0 减函数 增函数 6.互换 y =x 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.[-4,-π)∪ (0,π) 3.0 4.-1 解析:由 y = f(x)=2x,得 x = log2y,所 以 函 数 f(x)的 反 函 数 为 g(x)=log2x,则g 1 2 =log2 12 = -1. 5.BCD 因为0<loga2 024<logb2 024, 所以a>1,b>1,不妨令0<loga2 024< logb2 024=m,则am >2 024,bm = 2 024,故a>b>1,故 A错误;因为 y =x-2 在(0,+∞)上单调递减,故 a-2 <b-2,B正 确;因 为 b2 a + a2 b > 2 b 2 a ·a 2 b =2 ab >2 ,故C正确; 若m >0,因为 b a - b+m a+m = b(a+m)-a(b+m) a(a+m) = (b-a)m a(a+m)< 0,故ba < b+m a+m ,D正确.故选BCD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1) 2a+b-3(a-1)(b-1) 解析:因为a=log36=1+log32,b= log520= 1+2log52,所 以log23 = 1 a-1 ,log25 = 2 b-1 , 则 log215 = log23+log25 = 1 a-1 + 2 b-1 = 2a+b-3 (a-1)(b-1) . (2)2 解析:原式 =lg 2(lg 2+lg 50)+lg 25= 2lg 2+lg 25=lg 4+lg 25=2. 对点训练1:(1)1 (2)19 例2:A 当x =1时,y= 1 ln 2>0 ,排除 C,D;当 x = - 1 2 时,y = 1 ln12 = 1 -ln 2<0 ,排除B.故选A. 对点训练2:(1)C g(x)=|loga(x + 1)|,函 数 定 义 域 为(-1,+ ∞),有 g(0)=0,函数图象过原点,选项 A, D不符合,g(x)=|loga(x+1)|≥0, 选项B不符合.故选C. (2)A 令f(x)=ln(2-|x|),易知 函数f(x)的定义域为{x|-2<x< 2},且f(-x)=ln(2-|-x|)= ln(2-|x|)=f(x),所以函数f(x) 为偶函数,排除选项C,D;当x = 3 2 时,f 3 2 =ln12 <0,排除选项B.故 选A. 例3:(1)A 因 为 a = 1 3log32 3 < 1 3log39= 2 3 =c ,b = 1 3log53 3 > 1 3log525= 2 3 =c ,所以a<c<b. (2)D 20.2 >20 =1,即a>1; log0.22<log0.21=0,即b<0; log31<log32<log33,即0<c<1. 所以a>c>b.故选D. (3)D 作 出 函 数 y =log0.2x,y = log0.3x,y=log0.4x 的图象如下图所示: 因 为 a = log0.26,b = log0.36,c = log0.46,由图象可得a>b>c.故选D. 对点训练3:(1)C 因为20.7> 1 3 0.7 > 0=log21>log2 1 3 ,故a>b>c.故 选C. (2)D 因为a=log2e>1,b=ln 2∈ (0,1),c=log1 2 1 3 =log23>log2e= a>1,所以c>a>b.故选D. 例4:x 65 <x <3 解析:由 2x+3>0, 5x-6>0, 2x+3>5x-6, 解得65 < x <3,故不等式的解集为 x 65 <x <3 . 对点训练4:-2,- 2 3 解析:函数的定义域满足 2-x>0, 2+x>0 ⇒ -2<x <2,由f(x)>1⇒log2(2- x)-log2(2+x)>1⇒log2 2-x 2+x > log2 ,所以 2-x 2+x > 2, -2<x<2 ⇒-2<x < - 2 3 ,故不等式的解集为 -2,- 2 3 . 例5:(1)[3,+∞) 解析:由 题 意,得 f(x)的 定 义 域 为 (-∞,-1)∪ (3,+∞),设g(x)= x2-2x-3,根据二次函数的性质,可 得函数g(x)在(3,+∞)上单调递增, 根据复 合 函 数 的 单 调 性 的 判 定 方 法, 可得 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (3,+∞),又由函数f(x)=lg(x2- 2x-3)在(a,+∞)上单调递增,可得 a≥3,即实数a的取值范围是[3,+∞). (2)- 1 2 ln 2 解析:解法1:奇函数定义域的对称性 若a=0,则f(x)的定义域为{x|x≠ 1},不关于原点对称,∴a≠0.若奇函 数f(x)=lna+ 1 1-x + b有意义, 则x≠1且a+ 1 1-x≠ 0,∴x≠1且 x≠1+ 1 a ,∵函数f(x)为奇函数,定 义域关于原点对称,∴1+ 1 a = -1 ,解 得a= - 1 2 ,由f(0)=0得,ln 1 2 + b=0,∴b=ln 2. 解法2:函数的奇偶性求参 f(x)=lna+ 1 1-x + b= lna-ax+11-x + b= lnax-a-11-x + b,∴f(- x) = lnax+a+11+x + b,∵ 函数f(x)为 奇函数,∴f(x)+f(-x)= lnax-a-11-x + lnax+a+11+x + 2b = 0,∴ln a2x2-(a+1)2 x2-1 + 2b=0,∴ a2 1 = (a+1)2 1 ⇒2a+1= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -455- hh 0⇒a=- 1 2 ,-2b=ln 1 4 =-2ln 2⇒ b=ln 2,∴a= - 1 2 ,b=ln 2. 对点训练5:(1)(-∞,1)∪ [2,10) 解析:因为f(-1)=ae-2= a e2 = 2 e2 , 所以a =2,则 f(x)=2ex-1,所 以 g(x)= 2e x-1,x <2, log3(x-1),x ≥2. 当x<2时,2ex-1<2,即ex-1<1,解 得x <1;当x ≥2时,log3(x-1)< 2,即log3(x-1)<log39,所以0<x- 1<9,解得1<x<10,所以2≤x<10. 综上所述,g(x)<2的解集为(-∞, 1)∪ [2,10). (2)(3,+∞) 解析:由于a>0,且a≠1,所以u = ax-3为增函数,所以若函数f(x)为 增函数,则y=logau必为增函数,所以 a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒为 正,所以a-3>0,即a>3. 2.8 函数的图象 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 2.(2)①-f(x) ②f(-x) ③-f(-x) ④logax(x >0) (4)①f(ax) ②af(x) 基础检测 1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2.y 轴 3.C 4.下 1 解析:因为函数y=lg x 10=lg x-1, 所以把函数y =lg x 的图象上所有的 点向下平移1个单位 长 度,可 得 函 数 y =lg x 10=lg x-1的图象. 5.ABD 由图象知f(0)= -2,故A正 确;函数的定义域为[-3,2],故B正 确;函数的最小值为 -3,最大值为2, 即函数的值域为[-3,2],故C错误;若 f(x)=0,则x = 1 2 或2,故D正确. 故选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:C 要想由y =f(x)的图象得到 y = -f(x+1)的图象,需要先作出 y=f(x)的图象关于x轴对称的图象 y = -f(x),然后向左平移1个单位 长度得到y = -f(x+1)的图象,根 据上述步骤可知C正确.故选C. 对点训练1:解:(1)先作出y = 1 2 x 的图象,保留y= 1 2 x 图象中x≥0 的部分,再作出y = 1 2 x 的图象中 x >0部分关于y 轴的对称部分,即得 y = 1 2 |x| 的图象,如图1所示. (2)将函数y=log2x 的图象向左平移 1个单位长度,再将x 轴下方的部分沿 x 轴 翻 折 上 去,即 可 得 到 函 数 y = |log2 (x+1)|的图象,如图2所示. (3)因为y = 2x-1 x-1 = 2+ 1 x-1 ,故 函数图象可由y= 1 x 的图象向右平移 1个单位长度,再向上平移2个单位长 度得到,如图3所示. 图3 图4 (4)令f(x)=|x+1|·(x-3),则 f(x)= (x+1)(3-x),x ≤-1, (x+1)(x-3),x >-1, 图象如图4所示. 例2:(1)D 由题图知,函数图象关于y 轴 对 称,其 为 偶 函 数,且 f(-2)= f(2)<0,由 5sin(-x) (-x)2+1 = - 5sin x x2+1 且定义域为 R,即B中函数为奇函数, 排除;当 x >0时 5(ex -e-x) x2+2 >0, 5(ex +e-x) x2+2 >0,即A,C中(0,+∞) 上函数值为正,排除.故选D. (2)A 设f(x)= x3-x x2+1 ,则f(1)= 0,故排除B;设h(x)= 2xcos x x2+1 ,当 x ∈ 0, π 2 时,0<cos x <1,所以 h(x)= 2xcos x x2+1 < 2x x2+1 ≤1,故排 除C;设g(x)= 2sin x x2+1 ,则g(3)= 2sin 3 10 >0 ,故排除D.故选A. 对点训练2:(1)A 令f(x)=(3x-3-x)· cos x,x∈ - π 2 ,π 2 ,则f(-x)= (3-x - 3x)cos(- x) = - (3x - 3-x)cos x = -f(x),所以f(x)为奇 函数,排除B,D;又当x∈ 0, π 2 时, 3x -3-x >0,cos x>0,所以f(x)> 0,排除C.故选A. (2)C 由函数f(x)= ex -e-x 2|x|-1 可 知,其定义域为 -∞,- 1 2 ∪ -12, 1 2 ∪ 12,+∞ ,关于原点对称;又 对于定义域内任意x 满足f(-x)= e-x -ex 2|-x|-1=- ex -e-x 2|x|-1 =-f(x), 所以函数f(x)为奇函数,其图象关于 原点对称,因此排除B;又根据不同函 数的增长速度可知,当x 趋近于 +∞ 时,f(x)= ex -e-x 2|x|-1 趋近于+∞,而 非趋近于0,所以排除 A;又0<x < 1 2⇒f (x)<0,排除D.故选C. 例3:C f(x)= x|x|+x+1= x2+x+1,x ≥0, -x2+x+1,x <0, 作出示意图,如图,由 题意 可 知,图 象 关 于 点(0,1)对称,因此函数f(x)不是奇 函数,在 定 义 域 内 函 数f(x)为 增 函 数,函数f(x)在区间(-∞,0)上存在 零点.故选C. 对点训练3:4 解析:画出y=max{2x,2x-3,6-x} 的示意图,如图所示.由图可知,当6- x =2x 时,即x=2时,y取最小值,为 22 =6-2=4. 例4:-∞, 3 2 解析:由题意得f(x)为偶函数,且在 [0,+∞)上单调递增,由f(x-3)- f(x)>0得f(x-3)>f(x), ∴|x-3|>|x|,得x < 3 2. 对点训练4:{x|0<x <1或2<x < 3或-2<x <-1} 解析:因为f(x)是奇函数,所以由图 象知,当0<x <2或 -3≤x <-2 时,f(x)>0,当-2<x <0或2< x≤3时,f(x)<0.因为g(x)是偶函 数,所以由图象可知,当1<x <3或 -3<x<-1时,g(x)>0,当-1< x <0或0<x <1时,g(x)<0,则 不等式f (x) g(x)< 0等价于 f (x)>0, g(x)<0 或 f(x)<0, g(x)>0, 即 0<x <2或 -3≤x <-2, -1<x <0或0<x <1 或 -2<x <0或2<x ≤3, 1<x <3或 -3<x <-1, 得0<x <1或2<x <3或 -2< x <-1,即不等式的解集为{x|0< x <1或2<x<3或-2<x<-1}. 例5:C 求方程f(x)- 1 2x+ 1 2 =0 解 的个数等价于求y =f(x)的图象和 直线y = 1 2x- 1 2 的交点个数.分别 作出它们 的 图 象,如 图,由 图 知,y = f(x)的图象和直线y= 1 2x- 1 2 有 3个交点.故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -456-