2.6 指数与指数函数-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

@第二章 函数的概念与基本初等函数 【对点训练4】 (1)已 知 函 数 f(x)=2x - a 2x (a>0). ① 判断f(x)在其定义域上的单调性,并用 函数单调性的定义加以证明; ② 讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由. (2)已知a>0且a≠1,f(x)=ax - 1 ax . ① 判断函数f(x)的奇偶性; ② 讨论f(x)的单调性并用单调性定义证明. 学习至此,请完成课时作业10 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.6 指数与指数函数 5A>! 1.通过对有理数指数幂a m n(a>0,m,n为正整数,且n>1)、实数指数幂ax(a>0,x∈R)含义的认识,了 解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.探索并理解指数函数的单调性与特殊点. AMc
-  -@) 1.根式 (1)如果xn =a,那么x 叫做a的n次方根. (2)式子 n a 叫做 ,其中n 叫做根指 数,a叫做被开方数. (3)( n a)n=a.当n为奇数时, n an =a;当n为 偶数时,nan =|a|= a,a≥0, -a,a<0. 2.有理数指数幂 概念 正分数指数幂:a m n = n am 负分数指数幂:a - m n = 1 a m n = 1 n am 0的正分数指数幂等于0,0的负分 数指数幂没有意义 a>0,m,n ∈ N*,n>1 续表 运算 性质 ar·as =ar+s (ar)s =ars (ab)r =arbr a >0,b>0, r,s∈Q 3.指数函数的概念、图象与性质 项目 y=ax(a>0,且a≠1) 图象 0<a<1 a>1 图象特征 在x 轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图 象逐渐下降 当x逐渐增大时,图 象逐渐上升 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 043 hh 续表 项目 y=ax(a>0,且a≠1) 性 质 定义域 R 值域 单调性 递减 递增 函数变 化规律 当x=0时, 当x<0时,y>1; 当 x > 0 时,0 < y<1 当 x < 0 时,0 < y<1;当x>0时, y>1 常用结论与知识拓展 1.指数函数图象的画法 画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓 住三个关键点:(1,a),(0,1),-1, 1 a . 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y=mx,(2)y=bx,(3)y=cx, (4)y=dx 的图象,底数m,b,c,d与1之间的大小关系 为c>d>1>m >b>0.在第一象限内,指数函数 y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1) n an =( n a)n =a. ( ) (2)(-1) 2 4 =(-1) 1 2 = -1. ( ) (3)函数y=ax 2+1(a>1)的值域是(0,+∞). ( ) (4)若am <an(a>0,且a≠1),则m <n. ( ) (5)函数f(x)=ax-1+1(a>0,且a≠1)的 图象必过定点(1,2). ( ) 2.(教材改编题)函数f(x)=ax(a>0,且a≠ 1)的 图 象 经 过 点 P(3,27),则 f(2)= . 3.(教材改编题)若函数y=(k+2)ax +2- b(a >0,且a ≠1)是指数函数,则k = ,b= . 4.(教材改编题)0.064 1 3- - 1 8 0 +16 3 4+0.25 1 2 的值为 . 5.(多选题)已知3a-b ≤1,则下列不等式成立 的有 ( ) A.a≤b B.ac2≤bc2 C.a2≥b2 D.a|a|≥b|b| 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 指数幂的运算 【例1】 (1)化简:a· - 1 a = . (2)已知a 1 2 +a- 1 2 = 5,求下列各式的值: ①a+a-1;②a2+a-2. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.根式的化简问题要注意指数幂中当指数为负 数时,可把底数变为其倒数,从而指数化为正数. 2.指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数 运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的 倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化 成分数;底数是带分数,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂 的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 044 @第二章 函数的概念与基本初等函数 【对点训练1】 (1)已知a>0,b>0,且2a·4b= (2a)b,则a+b的最小值为 . (2)计算:14 - 1 2 · (4ab-1)3 0.1-1·(a3·b-3) 1 2 = (a>0,b>0). 考点2 指数函数的图象及应用 【例2】 (1)(多选题)若函数y=ax+b-1(a> 0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则 下列选项中正确的有 ( ) A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<0 (2)若函数y=|2x -1|的图象与直线y=b有 两个公共点,则b的取值范围为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊 点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则 排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从 最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对 称变换而得到.特别地,当底数a 与1的大小关系不 确定时应注意分类讨论. (3)有关指数型方程、不等式问题的求解,往往 是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可 以通过直线x=1与图象的交点进行判断. 【对点训练2】 (1)已知实数a,b 满足等式 2 023a=2 024b,下列5个关系式:①0<b< a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0; ⑤a=b=0.其中不可能成立的关系式有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)若函数y=|3x -1|+m 的图象不经过第二 象限,则实数m 的取值范围是 . 考点3 指数函数的性质及应用 命题角度1 比较指数式的大小 【例3】 若2x -2y <3-x -3-y,则 ( ) A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用指数函数的函数性质比较大小,最重要的 是“同底”原则,利用单调性比较大小,比较大小还可 以借助中间量,常用0,1. 【对点训练3】 (1)(2023·天津卷改编)若a= 1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大 小关系为 . (2)(2023·重庆联考)设a=0.60.4,b=0.40.6, c=0.40.4,则a,b,c的大小关系为 . 命题角度2 解简单的指数型方程或不等式 【例4】 (1)若2x 2+1≤ 1 4 x-2 ,则函数y=2x 的 值域是 . (2)已知实数a≠1,函数f(x)= 4x,x ≥0, 2a-x,x <0, 若f(1-a)=f(a -1),则 a 的 值 为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 045 hh 指数型不等式的常见类型及求解方法 (1)af(x)>ag(x) 或af(x)<ag(x) 型 解法:af(x)>ag(x)⇔ a>1, f(x)>g(x) 或 0<a<1, f(x)<g(x). af(x)<ag(x)⇔ a>1 , f(x)<g(x) 或 0<a<1, f(x)>g(x). (2)形如ax >b的不等式,注意将b转化为以a 为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax 的单 调性求解. 【对点训练4】 不等式2x 2-2x-3< 1 2 3x-3 与不 等式x2+ax+b<0是同解不等式,则a= ,b= . 命题角度3 指数函数性质的综合应用 【例5】 (1)不等式4x-2x+1+a>0对任意x∈ R都成立,则实数a的取值范围是 . (2)已知定义域为R的函数f(x)= - 1 2+ 1 2x +1 , 则关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)< 0的解集为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.比较指数式的大小的方法: (1)能化成同底数的,先化成同底数幂,再利用 单调性比较大小. (2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量 比较大小. 2.指数型方程(不等式)的求解主要利用指数函 数的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数 函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值 域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减” 这一性质分析判断. 【对点训练5】 (1)已知函数f(x)=2 024x-3+ (x-3)3-2 0243-x +2x,则不等式f(x2- 4)+f(2-3x)≤12的解集为 . (2)已知函数f(x)=4x +m·2x,m ∈R. ①若m=-3,解关于x的不等式f(x)>4; ② 若函数y=f(x)+f(-x)的最小值为 -4,求m 的值. 学习至此,请完成课时作业11 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.7 对数与对数函数 5A>! 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解 对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax 与指数函数y=ax 互为反函数(a>0,且a≠1). 046 hh 对点训练4:(1)解:① 函数f(x)的定义 域为R,f(x)在其定义域上单调递增. 证明如下: 任取x1,x2 ∈R,设x1 <x2, 则 f(x2)-f(x1)= 2 x2- a 2 x2 - 2 x1- a 2 x1 =(2x2-2x1)1+ a2x1+x2 , 易知2 x2-2 x1 >0,1+ a 2 x1+x2 >0,故 f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1), 所以函数f(x)在其定义域上单调递增. ②f(x)= 2x - a 2x ,f(- x) = 2-x - a 2-x , 当a=1时,f(-x)=2-x - 1 2-x = -f(x),函数为奇函数; 当a≠1时,f(0)=1-a≠0,函数不 是奇函数, f(1)=2- a 2 ,f(-1)= 1 2 -2a , f(1)不恒等于f(-1),函数不是偶函 数,故为非奇非偶函数. 综上所述,当a=1时,函数f(x)是奇 函数,当a≠1时,函数f(x)既不是奇 函数也不是偶函数. (2)解:①易知函数f(x)的定义域是R, f(-x)=a-x - 1 a-x = 1 ax -ax = -f(x),∴ 函数f(x)为奇函数. ②当a>1时,f(x)在R上是增函数, 当0<a<1时,f(x)在R上是减函 数.证明如下: 设任意的x1,x2 ∈R,且x1 <x2, f(x1)-f(x2)=a x1 - 1 a x1 -a x2 + 1 a x2 = (a x1 -a x2)- a x2 -a x1 a x1a x2 = (a x1 -a x2)(a x1a x2 +1) a x1a x2 , 当a>1时,由x1<x2 得0<a x1 < a x2,a x1 - a x2 < 0,∴f(x1) - f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),f(x) 在R上是增函数, 当0<a<1时,由x1<x2 得a x1 > a x2 >0,a x1 -a x2 >0,∴f(x1)- f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),f(x) 在R上是减函数. 2.6 指数与指数函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(2)根式 3.(0,+∞) y =1 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.9 3.-1 2 4.7.9 5.AB 由3a-b ≤1,即3a-b ≤30,所以 a-b≤0,则a≤b,故 A正确;因为 c2 ≥0,所以ac2 ≤bc2,故B正确;当 a=1,b=2时a2<b2,故C错误;因 为f(x)=x|x|= - x2,x <0, x2,x ≥0, 则 f(x)在 R 上 为 增 函 数,由a ≤b 得 a|a|≤b|b|,故D错误.故选AB. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)- -a 解析:因为 - 1 a 有意义,所以a < 0,所 以 a = - a2, 所 以 a · - 1 a = - a 2 × - 1 a = - a2× - 1 a = - -a. (2)解:① 将a 1 2 +a -12 = 5 两边平 方,得a+a-1+2=5,即a+a-1=3. ② 将a+a-1 =3两边平方,得a2+ a-2+2=9,即a2+a-2 =7. 对点训练1:(1)3+22 (2) 8 5 例2:(1)AD 因 为 函 数 y=ax +b-1(a>0, 且a≠1)的图象经过 第一、三、四象限,所以 其大致图象如图所示. 由 图 象 可 知 函 数 为 增 函数,所以a>1,当x=0时,y=1+ b-1=b<0,故选AD. (2)(0,1) 解析:作出曲线y = |2x -1|的 图 象 与 直线y =b 如 图 所 示.由图象可得b 的 取值范围是(0,1). 对点训练2:(1)B 如图,观察易知a,b 的关系式 ①0<b<a;②a<b<0; ⑤a=b=0可能成立;③0<a<b, ④b<a<0不可能成立. (2)(-∞,-1] 解析:在同一平面直角坐标 系 中 画 出 y=|3x -1|与y= -m 的图象,如图 所示.由函数y=|3x -1|+m 的图象 不经过第二象限,则y =|3x -1|与 y= -m 在第二象限没有交点,由图象 知 -m ≥1,即m ≤-1. 例3:A 由2x -2y <3-x -3-y,得2x - 3-x <2y-3-y,即2x - 1 3 x <2y- 1 3 y .设f(x)=2x - 1 3 x ,则 f(x)<f(y).因为函数y =2x 在 R 上为增函数,y = - 1 3 x 在 R上为 增函数,所以f(x)=2x- 1 3 x 在R 上为增 函 数,则 由f(x)<f(y),得 x <y,所以y-x >0,所以y-x+ 1>1,所以ln(y-x+1)>0,故选A. 对点训练3:(1)b>a>c 解析:由y=1.01x 在R上递增,则a= 1.010.5 <b=1.010.6,由y =x0.5 在 [0,+∞)上递增,则a=1.010.5>c= 0.60.5.所以b>a>c. (2)b<c<a 解析:根据a=0.60.4,c=0.40.4,由幂 函数的性质可得a>c,又b=0.40.6, c=0.40.4,由函数y=0.4x 的性质可得 b<c,所以b<c<a. 例4:(1) 18 ,2 解析: 1 4 x-2 = (2-2)x-2 =2-2x+4, ∴2x 2+1≤2-2x+4,即x2+1≤-2x+4, 即x2+2x-3≤0,∴-3≤x≤1,此 时y =2x 的 值 域 为 [2-3,21],即 为 1 8 ,2 . (2)12 解析:当a<1时,41-a =21,解得a= 1 2 ;当a>1时,22a-1 =4a-1,即-1= -2不成立.故a 的值为 1 2. 对点训练4:1 -6 解析:因为y =2x 在 R上单调递增, 则2x 2-2x-3 < 1 2 3x-3 = 23-3x,即 x2-2x-3<3-3x, 即x2+x-6<0,解得-3<x<2, 因为 -3<x<2也是x2+ax+b< 0的解, 所以 -3+2= -a, -3×2=b, 解得 a=1,b= -6, 此时x2+ax+b<0,即x2+x-6< 0,解得 -3<x <2,满足题意. 例5:(1)(1,+∞) 解析:原不等式可化为a>-4x +2x+1 对x ∈R恒成立,令t=2x,则t>0, ∴y = -4x +2x+1 = -t2 +2t = -(t-1)2+1≤1,当t=1时,ymax= 1,∴a>1. (2)-∞,- 1 3 ∪ (1,+∞) 解析:由题意知f(x)是奇函数,且在R 上为减函数,则f(t2-2t)+f(2t2- 1)<0,即f(t2-2t)<-f(2t2-1)= f(1-2t2).所以t2-2t>1-2t2,解 得t>1或t<- 1 3. 对点训练5:(1)3- 41 2 ,3+ 41 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 解析:设g(x)=2 024x -2 024-x + x3+2x,则函数g(x)的定义域为 R, 因为g(-x)=2 024-x -2 024x + (-x)3-2x = -(2 024x -2 024-x + x3+2x)= -g(x),故函数g(x)为 奇函 数,因 为 函 数 y =2 024x,y = -2 024-x,y =x3,y=2x 均为R上 的增函数,故函数g(x)为R上的增函 数,因为f(x)=2 024x-3-2 0243-x + (x-3)3+2(x-3)+6=g(x-3)+ 6,由f(x2-4)+f(2-3x)≤12可得 g(x2-4-3)+g(2-3x-3)+12≤ 12,可得g(x2-7)≤-g(-1-3x)= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -454- 参 考 答 案 g(3x+1),所以,x2-7≤3x+1,即 x2-3x-8≤0,解得 3- 41 2 ≤x≤ 3+ 41 2 . 因此,不等式f(x2 -4)+ f(2-3x)≤12的解集为 3- 412 , 3+ 41 2 . (2)解:①m = -3时,由f(x)=4x - 3×2x >4得,4x -3×2x -4>0, (2x +1)(2x -4)>0, 因为2x +1>0,所以2x -4>0,解得 x >2, 所以原不等式的解集为(2,+∞). ② 因为y=f(x)+f(-x)= (4x + 4-x)+m·(2x +2-x)=(2x +2-x)2+ m·(2x +2-x)-2, 令t=2x +2-x,因为2x >0, 所以t=2x +2-x ≥2 2x·2-x = 2(当且仅当x =0时取得等号). 则y = g(t)=t2 + m ·t-2 = t+ m 2 2 - m2 4 -2 ,t≥2, 当- m 2 ≤2 ,即 m ≥-4时,g(t)在 [2,+∞)上单调递增, 当t=2,即x =0时,ymin =2m+2, 所以2m+2= -4,解得m= -3,符合 题意; 当- m 2 >2 ,即m <-4时, g(t)在 2,- m 2 上 单 调 递 减,在 - m 2 ,+∞ 上单调递增, 当t= - m 2 时,ymin = - m2 4 -2 , 所以- m2 4-2= -4 ,解得m= ±22, 不符合题意,舍去. 综上,m 的值为-3. 2.7 对数与对数函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.以a为底N 的对数 x =logaN 对 数的底数 真数 2.(1)0 1 N (2)①logaM +logaN ②logaM -logaN ③nlogaM 4.logax(a>0,且a≠1) x (0,+∞) 5.(0,+∞) (1,0) 1 0 减函数 增函数 6.互换 y =x 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.[-4,-π)∪ (0,π) 3.0 4.-1 解析:由 y = f(x)=2x,得 x = log2y,所 以 函 数 f(x)的 反 函 数 为 g(x)=log2x,则g 1 2 =log2 12 = -1. 5.BCD 因为0<loga2 024<logb2 024, 所以a>1,b>1,不妨令0<loga2 024< logb2 024=m,则am >2 024,bm = 2 024,故a>b>1,故 A错误;因为 y =x-2 在(0,+∞)上单调递减,故 a-2 <b-2,B正 确;因 为 b2 a + a2 b > 2 b 2 a ·a 2 b =2 ab >2 ,故C正确; 若m >0,因为 b a - b+m a+m = b(a+m)-a(b+m) a(a+m) = (b-a)m a(a+m)< 0,故ba < b+m a+m ,D正确.故选BCD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1) 2a+b-3(a-1)(b-1) 解析:因为a=log36=1+log32,b= log520= 1+2log52,所 以log23 = 1 a-1 ,log25 = 2 b-1 , 则 log215 = log23+log25 = 1 a-1 + 2 b-1 = 2a+b-3 (a-1)(b-1) . (2)2 解析:原式 =lg 2(lg 2+lg 50)+lg 25= 2lg 2+lg 25=lg 4+lg 25=2. 对点训练1:(1)1 (2)19 例2:A 当x =1时,y= 1 ln 2>0 ,排除 C,D;当 x = - 1 2 时,y = 1 ln12 = 1 -ln 2<0 ,排除B.故选A. 对点训练2:(1)C g(x)=|loga(x + 1)|,函 数 定 义 域 为(-1,+ ∞),有 g(0)=0,函数图象过原点,选项 A, D不符合,g(x)=|loga(x+1)|≥0, 选项B不符合.故选C. (2)A 令f(x)=ln(2-|x|),易知 函数f(x)的定义域为{x|-2<x< 2},且f(-x)=ln(2-|-x|)= ln(2-|x|)=f(x),所以函数f(x) 为偶函数,排除选项C,D;当x = 3 2 时,f 3 2 =ln12 <0,排除选项B.故 选A. 例3:(1)A 因 为 a = 1 3log32 3 < 1 3log39= 2 3 =c ,b = 1 3log53 3 > 1 3log525= 2 3 =c ,所以a<c<b. (2)D 20.2 >20 =1,即a>1; log0.22<log0.21=0,即b<0; log31<log32<log33,即0<c<1. 所以a>c>b.故选D. (3)D 作 出 函 数 y =log0.2x,y = log0.3x,y=log0.4x 的图象如下图所示: 因 为 a = log0.26,b = log0.36,c = log0.46,由图象可得a>b>c.故选D. 对点训练3:(1)C 因为20.7> 1 3 0.7 > 0=log21>log2 1 3 ,故a>b>c.故 选C. (2)D 因为a=log2e>1,b=ln 2∈ (0,1),c=log1 2 1 3 =log23>log2e= a>1,所以c>a>b.故选D. 例4:x 65 <x <3 解析:由 2x+3>0, 5x-6>0, 2x+3>5x-6, 解得65 < x <3,故不等式的解集为 x 65 <x <3 . 对点训练4:-2,- 2 3 解析:函数的定义域满足 2-x>0, 2+x>0 ⇒ -2<x <2,由f(x)>1⇒log2(2- x)-log2(2+x)>1⇒log2 2-x 2+x > log2 ,所以 2-x 2+x > 2, -2<x<2 ⇒-2<x < - 2 3 ,故不等式的解集为 -2,- 2 3 . 例5:(1)[3,+∞) 解析:由 题 意,得 f(x)的 定 义 域 为 (-∞,-1)∪ (3,+∞),设g(x)= x2-2x-3,根据二次函数的性质,可 得函数g(x)在(3,+∞)上单调递增, 根据复 合 函 数 的 单 调 性 的 判 定 方 法, 可得 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (3,+∞),又由函数f(x)=lg(x2- 2x-3)在(a,+∞)上单调递增,可得 a≥3,即实数a的取值范围是[3,+∞). (2)- 1 2 ln 2 解析:解法1:奇函数定义域的对称性 若a=0,则f(x)的定义域为{x|x≠ 1},不关于原点对称,∴a≠0.若奇函 数f(x)=lna+ 1 1-x + b有意义, 则x≠1且a+ 1 1-x≠ 0,∴x≠1且 x≠1+ 1 a ,∵函数f(x)为奇函数,定 义域关于原点对称,∴1+ 1 a = -1 ,解 得a= - 1 2 ,由f(0)=0得,ln 1 2 + b=0,∴b=ln 2. 解法2:函数的奇偶性求参 f(x)=lna+ 1 1-x + b= lna-ax+11-x + b= lnax-a-11-x + b,∴f(- x) = lnax+a+11+x + b,∵ 函数f(x)为 奇函数,∴f(x)+f(-x)= lnax-a-11-x + lnax+a+11+x + 2b = 0,∴ln a2x2-(a+1)2 x2-1 + 2b=0,∴ a2 1 = (a+1)2 1 ⇒2a+1= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -455-