2.4 二次函数-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

@第二章 函数的概念与基本初等函数 2.4 二次函数 5A>! 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系简单解决问题. AMc
-  -@) 二次函数 (1)二次函数解析式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+ bx+c(a>0) f(x)=ax2+ bx+c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在 -∞,- b 2a 􀭤􀭥 􀪁􀪁 上 单 调 递 减;在􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 - b 2a , +∞ 上单调递增 在 -∞,- b 2a 􀭤􀭥 􀪁􀪁 上单 调 递 增;在􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 - b 2a , +∞ 上单调递减 对称性 函数的图象关于直线 对称 -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)二次函数y=ax2+bx+c,不可能是偶 函数. ( ) (2)已知二次函数f(x)=x2+2x,x∈[-2, 3],则f(x)的值域是[-1,15]. ( ) (3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的 最值是4ac-b 2 4a . ( ) (4)根据二次函数的两个零点就可以确定函 数的解析式. ( ) (5)函数f(x)=x2-2ax +a 的定义域为 [-1,1],值域为[-2,2],则a的值为1.( ) 2.(教材改编题)已知函数f(x)=ax2+x+5的 图象在x 轴上方,则a的取值范围是 . 3.(教材改编题)已知2x2-3x ≤0,则函数 f(x)=x2+x+1的最小值为 ,最大 值为 . 4.(教材改编题)已知函数y=-x2 +3x - a(0≤x≤3)与y=x+1(x∈R)的图象上 不存在关于x 轴对称的点,则实数a 的取值 范围是 . 5.(多选题)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠ 0),对任意实数t都有f(4+t)=f(-t)成立, 则函数值f(-1),f(1),f(2),f(5)中,最小 的可能是 ( ) A.f(-1) B.f(1) C.f(2) D.f(5) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 035 hh A /c5%1@ 考点1 二次函数的解析式 【例1】 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1, f(-1)=-1,且f(x)的最大值为8,试确定 该二次函数的解析式. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 求二次函数解析式的策略 已 知 三点坐标 宜选用一般式→ 与x 轴两交点坐标 宜选用零点式→ 顶点坐标 宜选用顶点式→ 最大(小)值 对称轴 【对点训练1】 (1)已知二次函数f(x)的两个 零点分别是0和5,图象开口向上,且f(x) 在区间[-1,4]上的最大值为12,则函数 f(x)的解析式为 . (2)(2023·广东深圳模拟)已知函数的图象关 于y轴对称,且与直线y=x 相切,则满足上 述条件的二次函数可以为f(x)= . 考点2 二次函数的图象 【例2】 二次函数y=x2+(m- 3)x+2m 的图象与x 轴的两 个交点的横坐标分别为x1, x2,且0<x1<2<x2,如图所示,则m 的取 值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 识别二次函数图象应学会“三看” 【对点训练2】 关于二次函数y=x2-kx+k- 1(k≠0),则下列正确的是 ( ) A.函数图象与x 轴总有两个不同的交点 B.若函数图象与x 轴正半轴交于不同的两 点,则k>0 C.不论k 为何值,若将函数图象向左平移 1个单位长度,则图象经过原点 D.当x≥1时,y随x的增大而增大,则k<2 考点3 二次函数的单调性 【例3】 (1)已知条件p:函数f(x)=x2+mx+ 1在区间 12 ,+∞ 上单调递增,条件q: m ≥- 4 3 ,则p 是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|在 区间[-3,0]上是单调函数,则实数a 的取 值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 036 @第二章 函数的概念与基本初等函数 二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象 的对称轴进行分类讨论求解. 【对点训练3】 已知函数f(x)=kx2-2x+4k 在区间[2,4]上单调递减,则实数k 的取值 范围是 . 考点4 二次函数的最值 命题角度1 不含参数的二次函数的最值 【例4】 若-1≤x≤4,则函数y=x2-4x+ 3的最大值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【对 点 训 练 4】 函 数 f(x)=-2cos2x - 2sin x+3(x ∈R)的最小值是 . 命题角度2 含有参数的二次函数的最值 【例5】 (1)已知函数f(x)=x2-2ax-3,a∈R. ①当a=- 3 2 ,x∈[-2,3]时,求函数f(x) 的值域; ② 是否存在实数a,使得函数f(x)在[-1, 3]上的最小值为1? 若存在,求实数a的值; 若不存在,说明理由. (2)试求函数f(x)=x2-4ax+3在[0,1]上的 最小值g(a)的解析式. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解决“二次函数在给定区间上的最值”问题,一 般先用配方法化为f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)的 形式,根据图象的对称轴方程x=h和所给区间并结 合图象求解. (1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象 直接求解. (2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点 横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这 时要讨论区间与对称轴的位置关系,再根据函数单 调性求最值. 【对点训练5】 (1)设a 为实数,函数f(x - a)=x|x-a|,x ∈R. ① 求f(x)的解析式; ②当0≤x≤1时,求f(x)的最大值g(a). (2)已 知 二 次 函 数 f(x)的 最 小 值 为1,且 f(0)=f(2)=3. ① 求f(x)的解析式; ② 若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 实数a的取值范围; ③若x∈[t,t+2],试求y=f(x)的最小值. 命题角度3 二次函数中的恒成立与有解问题 【例6】 已知函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若不等式f(x)<0对于 ∀x ∈R恒成 立,求实数m 的取值范围; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 037 hh (2)若不等式f(x)<-m+5在x∈[1,3] 上有解,求实数m 的取值范围. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是 不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值, 至于用哪种方法,关键是看参数是否易分离.这两个 思路的依据是a≥f(x)等价于a≥f(x)max,a≤ f(x)等价于a≤f(x)min. 【对点训练6】 对∀x∈R,不等式mx2+4x+ m-3>0恒成立,则 m 的取值范围是 ;若mx2+4x+m-3>0在(-1, 1)上有解,则m 的取值范围是 . 考点5 二次函数的模型应用 【例7】 民族要复兴,乡村要振兴,合作社助力乡 村产业振兴,农民专业合作社已成为新型农业 经营主体和现代农业建设的中坚力量,为实施 乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业 合作社为某品牌服装进行代加工,已知代加工 该品牌服装每年需投入固定成本30万元,每代 加工x 万件该品牌服装,需另投入f(x)万元, 且f(x)= 1 2x 2+2x,0<x≤10, 14x+ 450 x -115 ,10<x≤50. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 根 据市场行情,该农民专业合作社为这一品牌 服装每代加工一件服装,可获得12元的代加 工费. (1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代 加工费的年利润y(单位:万元)关于年代加 工量x(单位:万件)的函数解析式; (2)当年代加工量为多少万件时,该农民专 业合作社为这一品牌服装代加工费的年利 润最大? 并求出年利润的最大值. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 在解决二次函数模型的应用问题时,要注意所 建立的函数模型中自变量的范围,一定要符合实际 意义,确定好定义域,然后在该定义域内解决问题. 【对点训练7】 巴拿马运河起着连接美洲南北 陆路通道的作用,是世界上最繁忙的运河之 一,假设运河上的船只航行速度为v(单位: 海里/小时),船只的密集度为x(单位:艘/ 海里),当运河上的船只密集度为50艘/海里 时,河道拥堵,此时航行速度为0海里/小时; 当船只密集度不超过5艘/海里时,船只的 速度为45海里/小时,数据统计表明:当5≤ x≤50时,船只的速度是船只密集度x 的一 次函数. (1)当0≤x ≤50时,求函数v(x)的表 达式; (2)当船只密集度x 为多大时,单位时间内, 通过的船只数量f(x)=xv(x)可以达到最 大值? 求出最大值. 学习至此,请完成课时作业9 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 038 hh -1或x >0},若函数f(x)的图象关 于直线x =n对称,则n= - 1+0 2 = - 1 2 ,检验:f(2n-x)=f - 12 × 2-x =f(-1-x)= -1-x+ 1 2 ln1+ 1-1-x = -x- 1 2 ln1- 1x+1 = - x+ 1 2 ln xx+1= x+ 1 2 lnx+1x = x+ 1 2 ln1+ 1x =f(x), 所 以 函 数 f(x)的 图 象 关 于 直 线 x = - 1 2 对称. 对点训练4:(1)-2 解析:由题知f(x)+f(1-x)=1,即 1+ a 4x +2 +1+ a 41-x +2 =1, 整理得 a 4x +2 + a·4x 4+2·4x = 2a+a·4x 4+2·4x = -1,解得a= -2. (2)f(x)= x2-4x,x ≥1, x2-4,x <1 解析:由直线x=1是定义在R上的函 数y =f(x)的 对 称 轴,则 f(x)= f(2-x),又当x≥1时,f(x)=x2- 4x,则当x <1时,即2-x >1,则 f(x)=f(2-x)= (2-x)2-4× (2-x)=x2-4,所以f(x)的解析式 是f(x)= x2-4x,x ≥1, x2-4,x <1. 例5:1≤x ≤3 解析:由 函 数 f(x)是 奇 函 数,可 知 f(-1)= -f(1)=1.-1≤f(x- 2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,则 有 -1≤x-2≤1,解得1≤x ≤3. 对点训练5:(-3,-1)∪ (-1,1) 解析:当x>0时,f(x)=x2+log2x, 故其在(0,+∞)上单调递增.又因为 函数的定义域为{x|x ≠0}, f(-x)=(-x)2+log2|-x|=x2+ log2|x|=f(x),故其为偶函数,综上 可得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在 (0,+∞)上单调递增且图象关于y 轴 对称,f(x+1)-f(2)<0即f(x+ 1)< f(2)等 价 于 |x+1|<2 , x+1≠0 ⇒ -3<x<1且x≠-1,即不等式的解 集为(-3,-1)∪ (-1,1). 例6:BCD 对于A,因为f(2x+2)为奇 函数,所以f(-2x+2)= -f(2x+ 2),令t=2x,得f(-t+2)= -f(t+ 2),则f(t)= -f(4-t).因为f(x- 1)为 偶 函 数,所 以 f(-x -1)= f(x-1),令 x = m -5,得 f(4- m)= f(m - 6), 所 以 f(x)= -f(x-6), 所 以 f(x - 6) = -f(x-12),故f(x)=f(x-12), 所以函数f(x)的周期为12,故A不正 确;对于B,因为g(x)的图象关于直线 x =2对称,所以g(2+x)=g(2- x),所以g(x)=g(4-x).又g(x)是 奇函 数,所 以 g(-x)= -g(x)= -g(4-x),所 以 g(x)= -g(4+ x)=g(x+8),所以函数g(x)的周 期为8,故 B正 确;对 于 C,由 A 得 f(x)= -f(x -6),得 f(x)= -f(x+6),令 x =0,则 f(0)= -f(6)=2,所以f(6)= -2.因为 g(x)为 R上的奇函数,所以g(0)= 0,则由g(x)=g(4-x),得g(4)= g(0)= 0,所 以 f(18)+g(68)= f(12+6)+g(8×8+4)=f(6)+ g(4)= -2,故C正确;对于D,因为当 0≤x≤2时,g(x)=ln(x+1),所以 当10≤x≤12时,0≤12-x≤2,所 以g(x)=g(x -8)=g(4- (x - 8))=g(12-x)=ln(13-x).所以当 10≤x ≤12时,g(x)=ln(13-x), 故D正确.故选BCD. 对点训练6:(1)52 解析:因为f(x +1)是奇函数,所以 f(-x +1)= -f(x +1)①;因 为 f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)= f(-x +2)②.令 x =1,由 ① 得, f(0)= -f(2)= -(4a+b),由 ② 得,f(3)=f(1)=a+b,因为f(0)+ f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b= 6⇒a = -2,令 x = 0,由 ① 得, f(1)=-f(1)⇒f(1)=0⇒b=2,所 以当x∈[1,2]时,f(x)= -2x2+2. 由两个对称性可知,函数f(x)的周期 T = 4.所 以 f 9 2 = f 12 = -f 3 2 = 52. (2)B 因为函数f(x+2)为偶函数, 则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+ 3)=f(1-x),因为函数f(2x+1)为 奇函数,则f(1-2x)= -f(2x+1), 所以f(1-x)= -f(x +1),所 以 f(x+3)= -f(x+1)=f(x-1), 即f(x)=f(x+4),故函数f(x)是 以4为 周 期 的 周 期 函 数,因 为 函 数 F(x)= f(2x +1)为 奇 函 数,则 F(0)= f(1)= 0,故 f(-1)= -f(1)=0,其 他 三 个 选 项 未 知.故 选B. 例7:ACD 对于A,因为函数f(x)为R 上的偶函数,所以f(-1)=f(1)= -12+1=0,故A正确;对于B,由题 意可得,f(x-1)= -f(-x-1), f(-x)=f(x),所 以f((x -1)- 1)= -f(-(x-1)-1)= -f(-x)= -f(x),即f(x-2)= -f(x),所以f((x-2)-2)= -f(x-2)= -[-f(x)]=f(x),所 以f(x-4)=f(x),即函数f(x)的 最小正周期为4,故B错误;对于C,根 据题意 作 出 该 函 数 的 图 象 如 下 图 所 示,由图可知,函数f(x)在(-4,-2) 上单调递减,故C正确; 对于D,因为函数f(x)为R上的偶函 数,x ∈ [0,1]时,f(x)= -x2+1, 所以x∈ [-1,0]时,f(x)= -x2+ 1,又因为函数f(x)的最小正周期为 4,设x∈[3,4],则(x-4)∈[-1,0], 所以f(x)=f(x-4)= -(x-4)2+ 1= -x2 +8x -15,故 D正 确.故 选ACD. 对点训练7:BC 因为f(x)为偶函数, f(x-2)= -f(x),所以f(x-2)+ f(x)=0,所以f(-2+x)+f(-x)= 0,所以f(x)的图象关于点(-1,0)对 称,A错 误;又f(x +4)= -f(x + 2)=f(x),所以f(x+4)=f(x), B正确;因为f(x)在[0,1]上是增函数, 所以f - 1 2 =f 12 >f 14 = f - 1 4 =f 154 ,C正确;因为f(x- 2)+f(x)=0⇒f(1)+f(3)=0,f(2)+ f(4)=0⇒f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= 0,所以∑ 2 023 n=1 f(n)=f(1)+f(2)+f(3)= f(2),而f(2)的值不确定,D错误.故 选BC. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现: 1 3 ,3 5 解析:根据题意,由“局部奇函数”的定 义可知,若函数f(x)= 1 x-3+ m 是 x∈(-2,2)上的“局部奇函数”,则方程 f(-x)= -f(x)有解,即 1 -x-3+ m = - 1 x-3- m 有 解,变 形 可 得 -6 x2-9 =2m,即 - 3 x2-9 = m 有解即 可.设g(x)= - 3 x2-9 ,x ∈ (-2,2), 易知g(x)为偶函数且在[0,2)上单调 递增,所以可得g(x)∈ 1 3 ,3 5 ,所以 -3 x2-9 =m 有解时,m∈ 1 3 ,3 5 . 素养检测:(1,2] 解析:根 据 题 意 得f(x)=log2(x + m),x∈[-1,1],必有x+m>0在区 间[-1,1]上 恒 成 立,故 m >1,若 f(x)=log2(x+m)是[-1,1]上的“1 阶局部奇函数”,则f(-x)=-f(x)在 区间[-1,1]有解,即log2(x +m)+ log2(-x+m)=0在区间[-1,1]上 有解,变形可得x2=m2-1,若其在区 间[-1,1]上有解,必有0≤m2-1≤ 1,则有1≤m2 ≤2,又由m >1,则有 1< m ≤ 2,即 m 的 取 值 范 围 为 (1,2]. 2.4 二次函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 (2)4ac-b 2 4a ,+∞ -∞, 4ac-b2 4a x = -b2a 基础检测 1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 2.a> 1 20 3.1 19 4 4.(-∞,1)∪ (5,+∞) 解析:函 数y = -x2 +3x -a(0≤ x≤3)与y=x+1(x∈R)的图象上 不存在关于x 轴对称的点, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -450- 参 考 答 案 直线y=x+1(x∈R)关于x 轴对称 的直线方程为y = -x-1(x ∈R), 则方程 -x2+3x-a = -x -1在 x∈[0,3]上无解,即a= -x2+4x+ 1= -(x-2)2+5在x∈[0,3]上无解, 又函数y= -(x-2)2+5在[0,2]上 单调递增,在(2,3]上单调递减,又当 x=0时,y=1,当x=2时,y=5,当 x =3时,y =4, 所以y= -(x-2)2+5的值域为[1,5], 故实 数a 的 取 值 范 围 是(- ∞,1)∪ (5,+∞). 5.ACD 因为对任意实数t都有f(4+ t)=f(-t)成立,所以函数f(x)= ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线 x =2,当a >0时,函数值f(-1), f(1),f(2),f(5)中,最小的是f(2); 当a <0时,函 数 值 f(-1),f(1), f(2),f(5)中,最小的是f(-1)和f(5). 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由题意得 4a+2b+c= -1, a-b+c= -1, 4ac-b2 4a =8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a= -4, b=4, c=7, 所以所求二次函数的解析 式为f(x)= -4x2+4x+7. 对点训练1:(1)f(x)=2x2-10x 解析:设f(x)=ax(x-5)(a>0), 其对称轴为直线x = 5 2 ,又f(x)在 区间[-1,4]上 的 最 大 值 为12,所 以 f(-1)=6a=12,a=2.所以f(x)= 2x(x-5)=2x2-10x. (2)x2+ 1 4 (答案不唯一) 解析:因为二次函数f(x)的图象关于 y 轴对称,所以可设f(x)=ax2+c, 由 y =ax 2+c, y =x 得ax2-x+c=0, 所以Δ =1-4ac=0,即ac= 1 4. 取 a=1,c= 1 4 ,则f(x)=x2+ 1 4. (答 案不唯一) 例2:0<m < 1 2 解析:由 题 图 可 得f(2)<0,即4+ (m-3)×2+2m <0,解得m < 1 2 , 又f(0)=2m >0,所以0<m < 1 2. 对点训练2:C ∵Δ = (-k)2-4(k- 1)=k2-4k+4= (k-2)2≥0,∴函 数图象与x 轴总有两个不同的交点或 相同的交点,故A错误;若函数图象与 x 轴正半轴交于不同的两点,则由根与 系数的关系知 k>0, k-1>0, Δ>0, 解得k>1 且k≠2,故B错误;若将函数图象向左 平移1个单位长度,可得到y = (x+ 1)2-k(x+1)+k-1,令x =0,则 y =0,即图象经过原点,故C正确;当 x≥1时,y随x 的增大而增大,即函数 图象的对称轴x = k 2 ≤1 ,解得k≤ 2,故D错误.故选C. 例3:(1)A 函数f(x)=x2+mx+1的 单调递增区间是 - m 2 ,+∞ ,依题 意, 1 2 ,+∞ ⊆ -m2,+∞ ,因 此- m 2 ≤ 1 2 ,解得m ≥-1,显然[-1, +∞)⫋ - 4 3 ,+∞ ,所以p是q的 充分不必要条件.故选A. (2)(-∞,-9]∪ {0}∪ [3,+∞). 解析:f(x)= 3x2-2ax+a2,x ≥a, x2+2ax-a2,x <a. 若a=0,当 x <0时,f(x)=x2 在[-3,0]上单 调递减,符合题意;若a>0,则f(x) 在(-∞,-a)上单调递减,在[-a,a) 上单调递增,若f(x)在[-3,0]上是 单调函数,则-a≤-3,则a ≥3;若 a<0,则f(x)在 a, a 3 上 单 调 递 减,在 a 3 ,+∞ 上 单 调 递 增,若 f(x)在 [-3,0]上 是 单 调 函 数,则 a 3 ≤-3 ,所以a≤-9.综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,-9]∪ {0}∪ [3,+∞). 对点训练3:-∞, 1 4 解析:当k=0时,f(x)= -2x 在区 间[2,4]上单调递减,符合题意;当k> 0时,函数图象的 对 称 轴 为 直 线x = 1 k ,因为f(x)在区间[2,4]上单调递 减,所以1 k ≥4 ,得k≤ 1 4 ,所以0< k≤ 1 4 ;当k<0时,函数f(x)在区间 [2,4]上单调递减,符合题意.综上,实 数k 的取值范围为 -∞, 1 4 . 例4:8 解析:∵ 函数y=x2-4x+3开口向 上,对称轴为直线x=2,又-1≤x≤ 4,∴ 当x = -1时,函 数y =x2 - 4x+3有最大值,最大值为(-1)2 - 4×(-1)+3=8. 对点训练4:12 例5:(1)解:① 当a = - 3 2 时,f(x)= x2+3x-3,x ∈ [-2,3], ∵ 函数f(x)的图象开口向上,对称轴 为直线x = - 3 2 , ∴f(x)min =f - 3 2 = 94 - 92 - 3= - 21 4 ,f(x)max =f(3)=15. ∴ 当a= - 3 2 ,x∈ [-2,3]时,函数 f(x)的值域为 - 21 4 ,15 . ② 函数f(x)的图象开口向上,对称轴 为直线x =a, 当a≤-1时,则f(x)min=f(-1)= 1,即2a-2=1,即a = 3 2 >-1 ,不 符合; 当a≥3时,则f(x)min=f(3)=1,即 6-6a=1,即a= 5 6 <3 ,不符合; 当-1<a<3时,则f(x)min=f(a)= 1,即-a2-3=1,无解. ∴ 不存在实数a,使得函数f(x)在 [-1,3]上的最小值为1. (2)解:∵f(x)= x2 - 4ax + 3, ∴f(x)= (x-2a)2+3-4a2, ∴ 函数 f(x)图象的对称轴 方 程 为 x =2a,且函数图象开口向上. ①当2a>1,即a> 1 2 时,f(x)在[0, 1]上单调递减, 故g(a)=f(x)min=f(1)=4-4a; ② 当0≤2a≤1,即0≤a≤ 1 2 时, f(x)在[0,2a]上单调递减,在[2a,1] 上单调递增, 故g(a)=f(x)min=f(2a)=3-4a2; ③ 当2a<0,即a<0时,f(x)在[0, 1]上单调递增, 故g(a)=f(x)min =f(0)=3. 综上可知f(x)在[0,1]上的最小值 g(a)= 4-4a,a> 1 2 , 3-4a2,0≤a≤ 1 2 , 3,a<0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 对点训练5:(1)解:① 令x-a =t,则 x =t+a,故f(t)= (t+a)|t|,即 f(x)= (x+a)|x|. ② 由①可得f(x)=(x+a)|x|,故 f(x)=x(x+a)(0≤x≤1),易得抛 物线 开 口 向 上,对 称 轴 为 直 线 x = - a 2 ,区间[0,1]的中点为12. 故当- a 2 ≤ 1 2 ,即a≥-1时,g(a)= f(1)=a+1; 当- a 2 > 1 2 ,即a<-1时,g(a)= f(0)=0. 故g(a)= a+1 ,a≥-1, 0,a<-1. (2)解:①由已知f(0)=f(2)=3,可 得对称轴为直线x =1, 则函数f(x)图象的顶点坐标为(1,1), 设f(x)=a(x-1)2+1,a>0,由 f(0)=3,得a=2, 故f(x)=2x2-4x+3. ② 因为函数f(x)图象的对称轴为直线 x=1,f(x)在区间[2a,a+1]上不单 调,所以对称轴在区间[2a,a+1]内, 即2a<1<a+1, 解得0<a< 1 2. ③ 当t≥1时,函数f(x)在[t,t+2] 上单调递增,f(x)min =f(t)=2t2- 4t+3, 当t<1<t+2,即 -1<t<1时, f(x)min =1, 当t+2≤1,即t≤-1时,函数f(x) 在[t,t+2]上单调递减, f(x)min =f(t+2)=2t2+4t+3, 综上所述, y=f(x)min = 2t2-4t+3,t≥1, 1,-1<t<1, 2t2+4t+3,t≤-1. 例6:解:(1)mx2 -mx -1<0对 于 ∀x ∈R恒成立, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -451- hh 若m =0,显然成立, 若m≠0,则 m<0 , Δ<0, 解得-4<m<0. ∴m ∈ (-4,0]. (2)∵ 不等式f(x)<-m+5在x∈ [1,3]上有解, 整理为m(x2-x+1)<6在x∈[1, 3]上有解, ∵x2-x+1= x- 1 2 2 + 3 4 >0 , ∴m < 6 x2-x+1 在x∈[1,3]上有 解,即求g(x)= 6 x2-x+1 在[1,3] 上的最大值, ∵h(x)=x2-x+1的对称轴为直线 x = 1 2 , ∴h(x)在[1,3]上单调递增, ∴h(x)min = h(1)= 1,h(x)max = h(3)=7, ∴ 1 x2-x+1 ∈ 1 7 ,1 ⇒ 6 x2-x+1 ∈ 6 7 ,6 , 可得g(x)max =6,∴m <6. 对点训练6:(4,+∞) - 1 2 ,+∞ 解析:关 于x 的 不 等 式 mx2 +4x + m-3>0对于任意实数x 恒成立,则 m >0, Δ =42-4m(m-3)<0, 解得m 的 取值范围是(4,+∞). 若 mx2+4x+m-3>0在(-1,1)上 有解,则 m > 3-4x x2+1 在(-1,1)上有 解,易知当-1<x≤ 3 4 时,3-4x x2+1 ≥ 0,当34 <x<1 时,3-4x x2+1 <0,此时 记t=x- 3 4 ,则0<t< 1 4 ,g(t)= -4t t+ 3 4 2 +1 = - 4 t+ 25 16t+ 3 2 , 在 0,14 上单调递减,故g(t)>- 12, 综上可知,3-4x x2+1 >- 1 2 ,故m 的取值 范围是 - 1 2 ,+∞ . 例7:解:(1)当0<x≤10时,y=12x- 1 2x 2+2x -30= -12x2+10x- 30; 当 10 < x ≤ 50 时,y = 12x - 14x+ 450 x -115 -30 = -2x - 450 x +85. 故y = - 1 2x 2+10x-30,0<x ≤10, -2x- 450 x +85 ,10<x ≤50. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)当0<x ≤10时,函 数 y = - 1 2x 2+10x-30为开口向下的二 次函数,且对称轴为直线x =10, 所以y= - 1 2x 2+10x-30在(0,10] 上单调递增, 故ymax= - 1 2×10 2+10×10-30= 20(万元); 当10<x≤50时,y= -2x- 450 x + 85= - 2x+ 450 x +85≤ -2 2x· 450 x +85=25 , 当且仅当2x = 450 x ,即x =15时,等 号成立. 即当x =15时,ymax =25(万元). 因为20<25,所以当年代加工量为 15万件时,该农民专业合作社为这一 品牌服装代加工费的年利润最大,最 大值为25万元. 对点训练7:解:(1)由题意知0≤x ≤5 时,v=45海里/小时, 当5≤x ≤50时,设v(x)=ax + b(a≠0), 则 50a+b=0, 5a+b=45, 解得 a= -1,b=50, 故v(x)= 45 ,0≤x ≤5, -x+50,5<x ≤50. (2)由 (1)可 得 f(x)= xv(x)= 45x,0≤x ≤5, -x2+50x,5<x ≤50, 当0≤x ≤5时,f(x)=45x,此时 f(x)max =45×5=225; 当5<x ≤50时,f(x)= -x2 + 50x = -(x-25)2+625, 当x=25时,f(x)取到最大值为625, 由于225<625,故当船只密集度为 25艘/海里 时, 通 过 的 船 只 数 量 f(x)=xv(x)可以达到最大值,最大 值为625. 2.5 幂函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)y =xα (2){x|x ≥0} {x| x ≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (-∞,0] (0,+∞) [0,+∞) (-∞,0)和(0,+∞) (1,1) (3)②(1,1) (0,0) ③(1,1) 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 2.x(答案不唯一) 3.32 4.81 5.AD 设x1,x2 是区间[1,3]上的两个 任意 实 数,且 x1 <x2,则 f(x1)- f(x2)=x1-x2+ 4 x1 - 4 x2 = (x1- x2)1- 4 x1x2 .因为x1 <x2,所以 x1-x2<0,当1≤x1<x2≤2时, 1<x1x2<4,所以 4 x1x2 >1,所以1- 4 x1x2 <0,所以f(x1)>f(x2),所以 f(x)在区间[1,2]上是减函数.当2≤ x1 <x2 ≤3时,4<x1x2 <9,所以 0< 4 x1x2 <1,所以1- 4 x1x2 >0,所以 f(x1)<f(x2),所 以 f(x)在 区 间 [2,3]上是增函数,故 A正确.由函数 的单调性知f(x)的最小值为f(2)= 2+ 4 2 =4. 又f(1)=5,f(3)=3+ 4 3 = 13 3 <f (1),所以f(x)的最大值 为f(1)=5,故B,C错误.由f(x)> 13 3 得x+ 4 x > 13 3 ,即3x2 -13x + 12>0,解得x>3或x< 4 3 ,又1≤ x≤3,所以1≤x< 4 3 ,所以f(x)> 13 3 的 解 集 是 1,43 ,故 D正 确.故 选AD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)2 解析:由题意知m2-m-1=1,解得 m = -1或m=2.当m= -1时,m2- 2m-3=0,则f(x)在(0,+∞)上为 常数,不符合题意.当 m =2时,m2- 2m -3 = -3,则 f(x)= x-3 在 (0,+∞)上单调递减,符合题意.所以 m =2. (2)1 1≤a< 3 2 解析:因为f(x)的图象过点(2,2), 所以 2=2(m 2+m)-1,所以m2+m =2, 又m ∈N*,所以 m =1.即f(x)= x 1 2,其定义域为{x|x≥0},且在定义 域上函数为增函数,所以由f(2-a)> f(a-1)得0≤a-1<2-a,解得1≤ a< 3 2. 对点训练1:(1)0 解析:因为(m-1)2=1,所以m=0或 2.当m =0时,f(x)=x2,此时函数 f(x)=x2 在区间(0,+∞)上单调递 增,当m =2时,f(x)=x-2,不满足 题意. (2)AB 对于A,函数y=x 1 3 = 3x, 定义域为 R,值域为 R,满足条件;对于 B,函数y=x,定义域为R,值域为R, 满足条 件;对 于 C,函 数y =x 2 3 = 3 x2,定义域为 R,在第一象限内单调 递增,又 x2 ≥ 0,所 以 值 域 为 [0, +∞),不满足条件;对于D,函数y = 2 3 x 为 指 数 函 数,故 排 除 D.故 选AB. (3)CD 设f(x)=xα(α ∈ R),则 f(3)= 3α = 3 3 ,解 得 α = - 1 2 , ∴f(x)=x -12 = 1 x .对于 A,f(x) 的定 义 域 为(0,+ ∞),A 错 误;对 于 B,∵f(x) 的 值 域 为 (0,+ ∞), ∴f(x)无最值,B错误;对于C,∵α< 0,∴f(x)在(0,+ ∞)上 是 减 函 数, C正确;对于D,∵f(x)定义域不关于 原点对称,∴f(x)不具有奇偶性,D正 确.故选CD. 例2:解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}. ∵f(- x)= (- x)+ a (-x)= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -452-