2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

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-  -@) 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一 般 地, 设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 D,如果 ∀x ∈D, 都 有 - x ∈ D, 且 一 般 地, 设 函 数 f(x)的定义域为 D,如果 ∀x ∈D, 都 有 - x ∈ D, 且 图象特征 关于 对称 关于 对称 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域 为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一 个x∈D 都有x+T∈D,且 ,那 么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫 做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所 有周期中存在一个最小的 ,那么这个 最小 就叫做f(x)的 . 常用结论与知识拓展 1.若f(x)≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式 如下: (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔ f(-x) f(x) = 1⇔f(x)为偶函数. (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔ f(-x) f(x) =- 1⇔f(x)为奇函数. 2.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义, 那么一定有f(0)=0.如果函数f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(|x|). (2)在公共定义域内:奇±奇 =奇,偶 ±偶 =偶, 奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)= 1 f(x) ,则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=- 1 f(x) ,则T=2a(a>0). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 030 @第二章 函数的概念与基本初等函数 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)= f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x =a 对称. (2)若对于R上的任意x 都有f(2a-x)=f(x) 或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+ b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(b, 0)对称. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图 象一定过原点. ( ) (2)函数y=x2(x >0)是偶函数. ( ) (3)若函数y=f(x+2)为奇函数,则函数y= f(x)的图象关于点(2,0)对称. ( ) (4)函数f(x)满足f(x)=f(2-x),对称轴 为直线x=1. ( ) (5)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0. ( ) 2.(教材改编题)若函数f(x)=x2+(a+5)x+ b是偶函数,定义域为[a,2b],则a+2b = . 3.(教材改编题)已知函数f(x)是定义在R上 的奇函数,且当x >0时,f(x)=x(1+x), 则f(-1)= . 4.(教材改编题)设f(x)是以2为最小正周期 的周期函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=(x- 1)2,则f(5)= ,f 9 2 = . 5.(多选题)(教 材 改 编 题)已知函数f(x), g(x)的定义域均为R,f(x+2)为偶函数, f(x)+g(x)=g(2-x),且当x ∈ [0,1) 时,f(x)=x,则 ( ) A.f(x)为偶函数 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 C.∑ 2 023 k=1 f(k)=1 D.8是函数f(x)的一个周期 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 函数的奇偶性 命题角度1 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3- 1 x ; (2)f(x)= lg(4-x2) |x-2|+|x+4| ; (3)f(x)= x2-1+ 1-x2; (4)f(x)= -x2+2x+1,x >0, x2+2x-1,x <0. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 判断函数奇偶性的方法 (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性 的必要不充分条件,所以首先考虑定义域. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系, 在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的 等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 【对点训练1】 (2021·全国乙卷)设函数f(x)= 1-x 1+x ,则下列函数中为奇函数的是 ( ) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 命题角度2 函数奇偶性的应用 【例2】 (1)若 f(x)= (x -1)2 +ax + sinx+ π 2 为偶函数,则a= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031 hh (2)(2021·新 高 考 Ⅰ 卷)已知函数f(x)= x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用函数的奇偶性求解析式中的参数值 在定义域关于原点对称的前提下,利用f(x) 为奇 函 数 ⇔f(-x)=-f(x),f(x)为 偶 函 数 ⇔f(x)=f(-x),列式求解,也可利用特殊值法求 解,对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列 等式f(0)=0求解. 【对点训练2】 (1)(2023·新课标Ⅱ卷改编)若 f(x)=(x +a)ln 2x-1 2x+1 为 偶 函 数,则 a= . (2)(2023·全国乙卷改编)已知f(x)= xex eax -1 是偶函数,则a= . 考点2 函数的周期性 【例3】 (1)设f(x)是定义在R上的周期为2 的偶函数,已知x ∈[2,3]时,f(x)=x,则 x ∈ [-2,0]时,f(x)的解析式为f(x)= . (2)(多选题)(2023·重庆南开中学质检)已知 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= -fx+ 3 2 ,f(-1)=1,f(0)=-2,且 fx- 3 4 为奇函数,则 ( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)是周期为3的周期函数 D.f(0)+f(1)+…+f(2 024)=0 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.求解与函数的周期有关问题,应根据题目特 征及周期定义,求出函数的周期. 2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、 求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上, 进而解决问题. 【对点训练3】 已知f(x)是定义在R上的偶函 数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3, 0]时,f(x)=6-x,则f(919)= . 考点3 函数的对称性 【例4】 (1)已知函数f(x)=x3+ax2+x+b 的图象关于点(1,1)对称,则b= . (2)已知函数f(x)=(x+m)ln1+ 1 x .当m= 1 2 时,判断函数f(x)的图象是否关于直线 x=n对称,若对称,求n的值;若不对称,说 明理由. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表 明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系 f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期 性,在使用这两个关系时不要混淆. 【对点训练4】 (1)已知函数f(x)=1+ a 4x +2 关于点 1 2 ,1 2 对称,则实数a的值为 . (2)已知直线x =1是定义在 R上的函数y= f(x)的对称轴,当x ≥1时,f(x)=x2- 4x,则f(x)的解析式是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 032 @第二章 函数的概念与基本初等函数 考点4 函数性质的综合应用 命题角度1 函数的单调性、奇偶性的应用 【例5】 函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减, 且为奇函数,若f(1)=-1,则满足 -1≤ f(x-2)≤1的x 的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.求解与奇、偶函数有关的不等式问题要考虑 奇、偶函数关于原点对称的定义域两侧的单调性;利 用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间 上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相 反,转化到同一单调区间上求解. 2.求解与偶函数有关的不等式问题,为避免出 现错误以及分类讨论,可利用偶函数的性质f(x)= f(-x)=f(|x|)将问题转化为偶函数在[0,+∞) 上的单调性求解. 【对点训练5】 已知函数f(x)=x2+log2|x|, 则不等式f(x +1)-f(2)<0的解集 为 . 命题角度2 函数的奇偶性(对称性)与周期性 【例6】 (多选题)已知函数f(x),g(x)的定义 域均为R,函数f(2x+2)为奇函数,f(x- 1)为偶函数,g(x)为奇函数,g(x)的图象 关于直线x=2对称,则下列说法正确的是 ( ) A.函数f(x)的一个周期为6 B.函数g(x)的一个周期为8 C.若f(0)=2,则f(18)+g(68)=-2 D.若当0≤x≤2时,g(x)=ln(x+1),则 当10≤x ≤12时,g(x)=ln(13-x) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y= f(x)关于直线x=a对称,若y=f(x+a)是奇函 数,则函数y=f(x)关于点(a,0)对称. 2.函数图象的对称与周期关系常见结论 (1)若函数y=f(x)的两条对称轴方程分别为 x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|; (2)若函数y=f(x)的两个对称中心分别为 (a,0),(b,0),则函数的一个周期为T =2|a-b|; (3)若函数y=f(x)的一条对称轴方程为x= a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为 T=4|a-b|. 【对点训练6】 (1)(2021·全国甲卷改编)设函 数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)= ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f 9 2 = . (2)(2021·新高考 Ⅱ 卷)设函数f(x)的定义 域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为 奇函数,则 ( ) A.f - 1 2 =0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 命题角度3 单调性、奇偶性与周期性的综合问题 【例7】 (多选题)定义在R上的偶函数f(x)满 足f(x-1)图象关于坐标原点对称,且x∈ [0,1]时,f(x)=-x2+1,则下列说法正确 的有 ( ) A.f(-1)=0 B.f(x)的最小正周期为2 C.f(x)在(-4,-2)上单调递减 D.x ∈ [3,4]时,f(x)=-x2+8x-15 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 033 hh 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调 性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性. (2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求 值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数 值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类 问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然 后利用奇偶性和单调性求解. 【对点训练7】 (多选题)定义在R上的偶函数 f(x)满足f(x-2)=-f(x),且f(x)在 [0,1]上是增函数,则 ( ) A.f(x)的图象关于直线x=-1对称 B.f(x+4)=f(x) C.f - 1 2 >f154 D.∑ 2 023 n=1 f(n)=0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋  >Fe2 数学探索背景下的“局部奇(偶)函数” 若函数f(x)的定义域内存在实数x,满足 f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函 数”;满足f(-x)=f(x),则称函数f(x)为“局 部偶函数”. 【题目呈现】 定义:对于函数f(x),若定 义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则 称f(x)为“局部奇函数”,若f(x)= 1 x-3+ m,x ∈ (-2,2)是定义在区间上的“局部奇函 数”,则实数m 的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【素养解读】 有关局部奇(偶)函数的问题 的解题策略:根据函数的奇偶性的特征,将其转 化为相应方程在给定区间内有解的问题即可. 2" 已知函数y=f(x),若在定义域内存在实数 x,使得f(-x)=-kf(x),其中k 为正整 数,则称函数y=f(x)为定义域上的“k阶局 部奇函数”,若f(x)=log2(x+m)是[-1, 1]上的“1阶局部奇函数”,则实数m 的取值 范围是 . 学习至此,请完成课时作业8 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 034 参 考 答 案 2.3 函数的奇偶性、 周期性、对称性 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.f(-x)=f(x) f(-x)= -f(x) y 轴 原点 2.(1)f(x+T)=f(x) (2)正数 正数 最小正周期 基础检测 1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2.0 3.-2 4.0 1 4 5.ABD 依题意知∀x∈R,f(x)+g(x)= g(2-x),即有f(2-x)+g(2-x)= g(x),两式相加整理得f(x)+f(2- x)=0,因此f(x)的图象关于点(1, 0)对称,B正确;由f(x +2)为偶函 数,得f(-x+2)=f(x+2),于是 f(x+2)= -f(x),有f(x+4)= -f(x+2)=f(x),因此函数f(x) 的周期为4,8是函数f(x)的一个周 期,D正确;由f(x)+f(2-x)=0, 得f(-x)+f(2+x)=0,而f(x+ 2)= -f(x),因此f(-x)=f(x), f(x)为偶函数,A正确;由当x∈[0, 1)时,f(x)=x,得f(4)=f(0)=0, 而 f(1)= 0,f(2)= -f(0)= 0, f(3)=-f(1)=0,即有f(1)+f(2)+ f(3)+f(4)=0,∑ 2 023 k=1 f(k)=505[f(1)+ f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+ f(3)=0,C错误.故选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:解:(1)原函数的定义域为{x|x ≠ 0},关于原点对称,并且对于定义域内 的任意一个x都有f(-x)=(-x)3- 1 -x = - x3- 1 x = -f(x),从而 函数f(x)为奇函数. (2)由 4-x 2 >0, |x-2|+|x+4|≠0, 得-2<x<2,即函数f(x)的定义域 是{x|-2<x <2},关于原点对称. 因 此 f(x)= lg(4-x2) (2-x)+(x+4)= 1 6lg (4-x2),所以f(-x)=f(x), 因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点 对称.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)= -f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又 是偶函数. (4)如图,作出函数f(x)的图象,由奇 函数的图象关于原点对称的特征知函 数f(x)为奇函数. 对点训练1:B 因为f(x)= 1-x 1+x ,所 以f(x-1)= 1-(x-1) 1+(x-1)= 2-x x , f(x+1)= 1-(x+1) 1+(x+1)= -x x+2 . 对 于 A,F(x)= f(x -1)-1 = 2-x x -1= 2-2x x ,定义域关于原点 对称,但不满足F(x)= -F(-x);对 于B,G(x)=f(x-1)+1= 2-x x + 1= 2 x ,定义域关于原点对称,且满足 G(x)= -G(-x);对于C,f(x+1)- 1= - x x+2- 1= - x-x-2 x+2 = - 2x+2 x+2 ,定义域不关于原点对称;对 于D,f(x +1)+1= - x x+2+ 1= -x+x+2 x+2 = 2 x+2 ,定义域不关于 原点对称.故选B. 例2:(1)2 解析:因为f(x)= (x-1)2+ax+ sinx+ π 2 =(x-1)2+ax+cos x为 偶函数,定义域为 R,所以f - π 2 = f π 2 , 即 - π2 -1 2 - π 2a + cos- π 2 = π2 -1 2 + π 2a + cosπ2 ,则πa = π 2 +1 2 - π2 - 1 2 =2π,故a=2,此时f(x)=(x- 1)2+2x+cos x =x2+1+cos x,所 以f(-x)=(-x)2+1+cos(-x)= x2+1+cos x=f(x),又定义域为R, 故f(x)为偶函数,所以a=2. (2)1 解析:因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定 义域为R,且是偶函数,所以f(-x)= f(x)对任意的x ∈ R 恒成立,所 以 (-x)3(a·2-x -2x)=x3(a·2x - 2-x)对 任 意 的 x ∈ R 恒 成 立,所 以 x3(a-1)(2x +2-x)=0对 任 意 的 x ∈R恒成立,所以a=1. 对点训练2:(1)0 解析:因为f(x)为偶函数,则f(1)= f(-1),∴(1+a)ln 1 3 = (-1+a)ln 3, 解得a=0,当a=0时,f(x)= xln2x-12x+1 ,(2x-1)(2x+1)>0,解 得x> 1 2 或x<- 1 2 ,则其定义域为 x x<- 1 2 或x> 1 2 ,关 于 原 点 对称.f(-x)= (-x)ln 2(-x)-1 2(-x)+1= (-x)ln 2x+1 2x-1= (-x)ln 2x-1 2x+1 -1 = xln2x-12x+1=f (x),故此时f(x)为 偶函数. (2)2 解析:因为f(x)= xex eax -1 为偶函数, 则 f(x)- f(- x)= xex eax -1 - (-x)e-x e-ax -1 = x[ex -e(a-1)x] eax -1 =0,又因 为x≠0,可得ex-e(a-1)x =0,即ex = e(a-1)x,则x= (a-1)x,即1=a-1, 解得a=2. 例3:(1)3-|x+1| 解析:∵f(x)是定义在 R上的周期为 2的偶函数,x∈[2,3]时,f(x)=x, ∴ 当x∈[-2,-1)时,(2+x)∈[0, 1),(4+x)∈ [2,3),此 时 f(x)= f(4+x)=4+x,当x∈[-1,0]时, (-x)∈[0,1],(2-x)∈[2,3],此时 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x, ∴f(x)= 4+x =3-|x+1|,-2≤x<-1, 2-x =3-|x+1|,-1≤x≤0, 综上 可 得,x ∈ [-2,0]时,f(x)= 3-|x+1|. (2)BCD 因为f(x)= -f x+ 3 2 , 所以f x+ 3 2 =-f x+32+32 = -f(x+3),所以f(x)=f(x+3), 所以f(x)是周期为3的周期函数,所 以C正确;因为f(-1)=1,f(0)= -2,所以f(2)=f(-1)=1,f(3)= f(0)= -2,因为f x- 3 4 为奇函数, 所以f -x- 3 4 = -f x-34 ,所 以 f(-x)= -f x- 3 2 ,所 以 f 1 2 = -f(-2)= -f(1),因 为 f 1 2 = -f(2)= -1,所以f(1)=1, 所以f(0)+f(1)+f(2)= -2+1+ 1= 0,所 以 f(0)+f(1)+ … + f(2 024)=0,所以D正确;因为f(1)= 1,f(-1)=1,所以f(x)不可能为奇 函数,所 以 A 错 误;因 为 f(-x)= -f x- 3 2 ,f(x)是周期为3的周 期函数,所以f(-x)= -f x-32+ 3 = -f x+32 =f(x),所以f(x) 为偶函数,所以B正确.故选BCD. 对点训练3:6 解析:因为f(x+4)=f(x-2),所以 f[(x+2)+4]=f[(x +2)-2], 即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周 期为6的 周 期 函 数,所 以 f(919)= f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定义在 R上的偶函数,所以f(1)=f(-1)=6, 即f(919)=6. 例4:(1)2 解析:∵f(x)图 象 关 于 点 (1,1)对 称,∴f(x)+f(2-x)=2, 又f(2-x)= (2-x)3+a(2-x)2+ (2-x)+b = -x3 + (a+6)x2 - (4a+13)x+10+4a+b, ∴f(x)+f(2-x)= (2a+6)x2- (4a+12)x+10+4a+2b=2, ∴ 2a+6=0, 4a+12=0, 10+4a+2b=2, 解得 a= -3,b=2. (2)解:当 m = 1 2 时,f(x)= x + 1 2 ln1+ 1x ,定义域为{x|x < 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -449- hh -1或x >0},若函数f(x)的图象关 于直线x =n对称,则n= - 1+0 2 = - 1 2 ,检验:f(2n-x)=f - 12 × 2-x =f(-1-x)= -1-x+ 1 2 ln1+ 1-1-x = -x- 1 2 ln1- 1x+1 = - x+ 1 2 ln xx+1= x+ 1 2 lnx+1x = x+ 1 2 ln1+ 1x =f(x), 所 以 函 数 f(x)的 图 象 关 于 直 线 x = - 1 2 对称. 对点训练4:(1)-2 解析:由题知f(x)+f(1-x)=1,即 1+ a 4x +2 +1+ a 41-x +2 =1, 整理得 a 4x +2 + a·4x 4+2·4x = 2a+a·4x 4+2·4x = -1,解得a= -2. (2)f(x)= x2-4x,x ≥1, x2-4,x <1 解析:由直线x=1是定义在R上的函 数y =f(x)的 对 称 轴,则 f(x)= f(2-x),又当x≥1时,f(x)=x2- 4x,则当x <1时,即2-x >1,则 f(x)=f(2-x)= (2-x)2-4× (2-x)=x2-4,所以f(x)的解析式 是f(x)= x2-4x,x ≥1, x2-4,x <1. 例5:1≤x ≤3 解析:由 函 数 f(x)是 奇 函 数,可 知 f(-1)= -f(1)=1.-1≤f(x- 2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,则 有 -1≤x-2≤1,解得1≤x ≤3. 对点训练5:(-3,-1)∪ (-1,1) 解析:当x>0时,f(x)=x2+log2x, 故其在(0,+∞)上单调递增.又因为 函数的定义域为{x|x ≠0}, f(-x)=(-x)2+log2|-x|=x2+ log2|x|=f(x),故其为偶函数,综上 可得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在 (0,+∞)上单调递增且图象关于y 轴 对称,f(x+1)-f(2)<0即f(x+ 1)< f(2)等 价 于 |x+1|<2 , x+1≠0 ⇒ -3<x<1且x≠-1,即不等式的解 集为(-3,-1)∪ (-1,1). 例6:BCD 对于A,因为f(2x+2)为奇 函数,所以f(-2x+2)= -f(2x+ 2),令t=2x,得f(-t+2)= -f(t+ 2),则f(t)= -f(4-t).因为f(x- 1)为 偶 函 数,所 以 f(-x -1)= f(x-1),令 x = m -5,得 f(4- m)= f(m - 6), 所 以 f(x)= -f(x-6), 所 以 f(x - 6) = -f(x-12),故f(x)=f(x-12), 所以函数f(x)的周期为12,故A不正 确;对于B,因为g(x)的图象关于直线 x =2对称,所以g(2+x)=g(2- x),所以g(x)=g(4-x).又g(x)是 奇函 数,所 以 g(-x)= -g(x)= -g(4-x),所 以 g(x)= -g(4+ x)=g(x+8),所以函数g(x)的周 期为8,故 B正 确;对 于 C,由 A 得 f(x)= -f(x -6),得 f(x)= -f(x+6),令 x =0,则 f(0)= -f(6)=2,所以f(6)= -2.因为 g(x)为 R上的奇函数,所以g(0)= 0,则由g(x)=g(4-x),得g(4)= g(0)= 0,所 以 f(18)+g(68)= f(12+6)+g(8×8+4)=f(6)+ g(4)= -2,故C正确;对于D,因为当 0≤x≤2时,g(x)=ln(x+1),所以 当10≤x≤12时,0≤12-x≤2,所 以g(x)=g(x -8)=g(4- (x - 8))=g(12-x)=ln(13-x).所以当 10≤x ≤12时,g(x)=ln(13-x), 故D正确.故选BCD. 对点训练6:(1)52 解析:因为f(x +1)是奇函数,所以 f(-x +1)= -f(x +1)①;因 为 f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)= f(-x +2)②.令 x =1,由 ① 得, f(0)= -f(2)= -(4a+b),由 ② 得,f(3)=f(1)=a+b,因为f(0)+ f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b= 6⇒a = -2,令 x = 0,由 ① 得, f(1)=-f(1)⇒f(1)=0⇒b=2,所 以当x∈[1,2]时,f(x)= -2x2+2. 由两个对称性可知,函数f(x)的周期 T = 4.所 以 f 9 2 = f 12 = -f 3 2 = 52. (2)B 因为函数f(x+2)为偶函数, 则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+ 3)=f(1-x),因为函数f(2x+1)为 奇函数,则f(1-2x)= -f(2x+1), 所以f(1-x)= -f(x +1),所 以 f(x+3)= -f(x+1)=f(x-1), 即f(x)=f(x+4),故函数f(x)是 以4为 周 期 的 周 期 函 数,因 为 函 数 F(x)= f(2x +1)为 奇 函 数,则 F(0)= f(1)= 0,故 f(-1)= -f(1)=0,其 他 三 个 选 项 未 知.故 选B. 例7:ACD 对于A,因为函数f(x)为R 上的偶函数,所以f(-1)=f(1)= -12+1=0,故A正确;对于B,由题 意可得,f(x-1)= -f(-x-1), f(-x)=f(x),所 以f((x -1)- 1)= -f(-(x-1)-1)= -f(-x)= -f(x),即f(x-2)= -f(x),所以f((x-2)-2)= -f(x-2)= -[-f(x)]=f(x),所 以f(x-4)=f(x),即函数f(x)的 最小正周期为4,故B错误;对于C,根 据题意 作 出 该 函 数 的 图 象 如 下 图 所 示,由图可知,函数f(x)在(-4,-2) 上单调递减,故C正确; 对于D,因为函数f(x)为R上的偶函 数,x ∈ [0,1]时,f(x)= -x2+1, 所以x∈ [-1,0]时,f(x)= -x2+ 1,又因为函数f(x)的最小正周期为 4,设x∈[3,4],则(x-4)∈[-1,0], 所以f(x)=f(x-4)= -(x-4)2+ 1= -x2 +8x -15,故 D正 确.故 选ACD. 对点训练7:BC 因为f(x)为偶函数, f(x-2)= -f(x),所以f(x-2)+ f(x)=0,所以f(-2+x)+f(-x)= 0,所以f(x)的图象关于点(-1,0)对 称,A错 误;又f(x +4)= -f(x + 2)=f(x),所以f(x+4)=f(x), B正确;因为f(x)在[0,1]上是增函数, 所以f - 1 2 =f 12 >f 14 = f - 1 4 =f 154 ,C正确;因为f(x- 2)+f(x)=0⇒f(1)+f(3)=0,f(2)+ f(4)=0⇒f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= 0,所以∑ 2 023 n=1 f(n)=f(1)+f(2)+f(3)= f(2),而f(2)的值不确定,D错误.故 选BC. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现: 1 3 ,3 5 解析:根据题意,由“局部奇函数”的定 义可知,若函数f(x)= 1 x-3+ m 是 x∈(-2,2)上的“局部奇函数”,则方程 f(-x)= -f(x)有解,即 1 -x-3+ m = - 1 x-3- m 有 解,变 形 可 得 -6 x2-9 =2m,即 - 3 x2-9 = m 有解即 可.设g(x)= - 3 x2-9 ,x ∈ (-2,2), 易知g(x)为偶函数且在[0,2)上单调 递增,所以可得g(x)∈ 1 3 ,3 5 ,所以 -3 x2-9 =m 有解时,m∈ 1 3 ,3 5 . 素养检测:(1,2] 解析:根 据 题 意 得f(x)=log2(x + m),x∈[-1,1],必有x+m>0在区 间[-1,1]上 恒 成 立,故 m >1,若 f(x)=log2(x+m)是[-1,1]上的“1 阶局部奇函数”,则f(-x)=-f(x)在 区间[-1,1]有解,即log2(x +m)+ log2(-x+m)=0在区间[-1,1]上 有解,变形可得x2=m2-1,若其在区 间[-1,1]上有解,必有0≤m2-1≤ 1,则有1≤m2 ≤2,又由m >1,则有 1< m ≤ 2,即 m 的 取 值 范 围 为 (1,2]. 2.4 二次函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 (2)4ac-b 2 4a ,+∞ -∞, 4ac-b2 4a x = -b2a 基础检测 1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 2.a> 1 20 3.1 19 4 4.(-∞,1)∪ (5,+∞) 解析:函 数y = -x2 +3x -a(0≤ x≤3)与y=x+1(x∈R)的图象上 不存在关于x 轴对称的点, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -450-