2.2 函数的单调性与最值-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

hh 2" 1.(多选题)若一系列函数的解析式和值域相 同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函 数”,例如函数y=x2,x ∈ [1,2]与函数y= x2,x ∈ [-2,-1]就是“同族函数”.下列可 用来构造同族函数的有 ( ) A.y=|x|-2 024 B.y=x 1 2 C.y=x2-x D.y= x2-2 024 x 2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定 义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函 数解析式为y=2|x|,值域为{1,2,4}的“同族 函数”有 个. 3.(2024·山东德州高三期中)如果一个函数的 定义域与值域均为[m,n],则称该函数为[m, n]上的同域函数,[m,n]称为同域区间.已知 函数f(x)= ax2-2ax+b+1在区间[1, 3]上是同域函数. (1)函数f(x)的解析式是 ; (2)若函数g(x)=k- f(x)- 3 2 (k≥0) 在x≤0时存在同域区间,则实数k的取值范 围是 . 学习至此,请完成课时作业6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.2 函数的单调性与最值 5A>! 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. AMc
-  -@) 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域 D 内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1 <x2 时,都有 ,那么就称函数f(x) 在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在 它的定义域上 时,我们就称它是增函数 当x1 <x2 时,都有 ,那么就称函数f(x) 在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在 它的定义域上 时,我们就称它是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性, 叫做y= f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数 M 满足 条件 (1)∀x∈D,都有 . (2)∃x0∈D,使得 (1)∀x∈D,都有 . (2)∃x0∈D,使得 结论 M 为最大值 M 为最小值 常用结论与知识拓展 函数单调性的等价定义 设任意x1,x2 ∈D(x1 ≠x2),则 (1)f (x1)-f(x2) x1-x2 >0(或(x1-x2)[f(x1)- f(x2)]>0)⇔f(x)在D 上单调递增. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 026 @第二章 函数的概念与基本初等函数 (2)f (x1)-f(x2) x1-x2 <0(或(x1-x2)[f(x1)- f(x2)]<0)⇔f(x)在D 上单调递减. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)函数y= 1 x 的单调递减区间是(-∞,0)∪ (0,+∞). ( ) (2)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则 f(x)为增函数. ( ) (3)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数, 则函数的单调递增区间是[1,+∞).( ) (4)函数f(x)<1恒成立,则f(x)的最大值 为1. ( ) (5)若y=f(x)在区间D 上单调递增,则函 数y=kf(x)(k<0)在区间D 上单调递减. ( ) 2.(教材改编题)若函数y=f(x)在R上是增函 数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值 范围是 . 3.(教材改编题)函数f(x)=|x -a|+1在 [2,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围 是 . 4.(教材改编题)函数y= 1 x-1 在区间[2,3]上 的最小值为 ( ) A.2 B.12 C.13 D.- 1 2 5.(多选题)下列函数在(0,+∞)上单调递减 的是 ( ) A.f(x)=-x 1 2 B.f(x)=2-x C.f(x)=ln|x| D.f(x)= 1 x2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 确定函数的单调性(区间) 命题角度1 利用图象判断函数的单调性(区间) 【例1】 (1)(2021·全国甲卷)下列函数中是增 函数的为 ( ) A.f(x)=-x B.f(x)= 2 3 x C.f(x)=x2 D.f(x)= 3 x (2)函数f(x)=|x-2|x 的单调递减区间是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.图象法:对于熟悉的基本初等函数(或由基本初 等函数构成的分段函数),可以利用图象来判断单调性. 2.函数的单调区间是其定义域内的某一个区间, 故讨论函数的单调性时,必须先确定函数的定义域. 3.若函数在两个区间上都是单调递增(或递减) 的,这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接. 【对点训练1】 函数f(x)=-x2+2|x|+1 的单调递增区间为 . 命题角度2 利用定义或导数判断或证明函数 的单调性 【例2】 证明:函数f(x)=2x - 1 x 在区间 (-∞,0)上是增函数. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 027 hh 1.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 取值 设x1,x2 是定义域内的任意两个 值,且x1 <x2 作差、 变形 ↓ 作差f(x2)-f(x1),并通过因式分 解、配方、有理化等方法,向有利于 判断差的符号的方向变形 定号 ↓ 确定差的符号,当符号不确定时,可 以进行分类讨论 结论 ↓ 根据定义得出结论 2.导数法:利用求导的方法判断函数的单调性. 【对点训练2】 试讨论函数f(x)= ax x-1 (a≠ 0)在(-∞,1)上的单调性. 命题角度3 复合函数的单调性 【例3】 (1)函数f(x)=log2(2sin x- 3)的单 调递增区间是 . (2)已知函数f(x)=ax2-x-a+2,若y= ln[f(x)]在 1 2 ,+∞ 上单调递增,则实数 a的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性的判断方法 y=f(g(x))的单调性判断可用口诀:同增异减. y=f(t)和t=g(x)在单调性相同时,复合后 的y=f(g(x))是单调递增的, y=f(t)和t=g(x)在单调性不同时,复合后 的y=f(g(x))是单调递减的. (2)利用函数的单调性求参数的范围(或值)的 注意点:①视参数为已知数,依据函数的图象或单调 性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比 较求参数;②若分段函数是单调函数,则不仅要保证 在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内 是单调的. 【对点训练3】 已知函数f(x)=log1 3 (x2 - ax+3a)在[1,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是 . 考点2 函数单调性的应用 【例4】 (1)已知函数f(x)的图象关于直线x= 1对 称,当 x2 >x1 >1时,[f(x2)- f(x1)]·(x2 -x1)<0恒成立,设a = f - 1 2 ,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大 小关系为 . (2)函数f(x)的定义域为R,且f(1)=1,对任 意的x1<x2,有 f(x1)-f(x2) x1-x2 >- 1,则 不等式f(|x-1|)<2-|x-1|的解集 为 . (3)已知函数f(x)= (3a-2)x+3a,x <1, ax,x ≥1, 且对任意的x1 ≠x2,都有 f(x1)-f(x2) x1-x2 < 0,那么a的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 028 @第二章 函数的概念与基本初等函数 函数单调性的应用及解题策略 (1)比较大小:转化到同一个单调区间内,再利 用函数的单调性解决. (2)解函数不等式:利用函数的单调性将“f”脱 掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数的取值(或范围) ① 依据函数的图象或单调性定义,确定函数的 单调区间,与已知单调区间比较; ② 若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数 在此区间的任意子集上也是单调的; ③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外, 还要注意衔接点的取值. 【对点训练4】 (1)设f(x)的定义域为R,图象 关于y 轴对称,且f(x)在[0,+∞)上为增 函数,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序 是 . (2)已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的 函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x- 1)<f 1 3 的x 的取值范围是 . (3)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠ 1)在[1,2]上为减函数,则实数a 的取值范 围为 . 考点3 求函数的最值 【例5】 (1)函数y=x + x-1的最小值为 . (2)定义一种运算 min{a,b}= a,a≤b, b,a>b, 设 f(x)=min{4+2x-x2,|x-t|}(t为常 数),且x∈[-3,3],则使函数f(x)最大值 为4的t值是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 求函数最值的三种常用方法 单调性法 → 先确定函数的单调性, 再由单调性求出最值 图象法 → 先作出函数的图象,再观察其 最高点、最低点,求出最值 基本不 等式法 → 先对解析式变形,使之具备 “一正二定三相等”的条件后 用基本不等式求出最值 【对点训练5】 (1)已知a,b∈R,记max{a,b}= a,a≥b, b,a<b, 函数f(x)= max{|x+1|,|x- 2|}(x ∈R),则f(x)的解析式为 , 最小值为 . (2)已知函数f(x)= 2x +a,x ≤0, x+ 4 x ,x >0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有最小 值,则实数a的取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋   >Fe2 函数的有界性 若存在m,使得f(x)≥m 对任意x∈D 恒 成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函 数f(x)的一个下界;若存在 M,使得f(x)≤ M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上 有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一 个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界. 【题目呈现】 (多选题)下列说法正确的是 ( ) A.1是函数f(x)=x+ 1 x (x>0)的一个下界 B.函数f(x)=xln x 有下界,无上界 C.函数f(x)= ex x2 有上界,无下界 D.函数f(x)= sin x x2+1 有界 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 029 hh 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 2" (多选题)定义在D 上的函数f(x),若满足: 对任 意 x ∈ D,存 在 常 数 M >0,都 有 |f(x)|≤M 成立,则称f(x)是D 上的有 界函数,下列函数中,是在其定义域上的有界 函数的有 ( ) A.y= x x2+1 B.y=2x C.y=16-2x D.y=x -[x]([x]表示不大于x 的最大 整数) 学习至此,请完成课时作业7 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 5A>! 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,会判断、应用函数的周期性. AMc
-  -@) 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一 般 地, 设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 D,如果 ∀x ∈D, 都 有 - x ∈ D, 且 一 般 地, 设 函 数 f(x)的定义域为 D,如果 ∀x ∈D, 都 有 - x ∈ D, 且 图象特征 关于 对称 关于 对称 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域 为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一 个x∈D 都有x+T∈D,且 ,那 么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫 做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所 有周期中存在一个最小的 ,那么这个 最小 就叫做f(x)的 . 常用结论与知识拓展 1.若f(x)≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式 如下: (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔ f(-x) f(x) = 1⇔f(x)为偶函数. (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔ f(-x) f(x) =- 1⇔f(x)为奇函数. 2.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义, 那么一定有f(0)=0.如果函数f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(|x|). (2)在公共定义域内:奇±奇 =奇,偶 ±偶 =偶, 奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)= 1 f(x) ,则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=- 1 f(x) ,则T=2a(a>0). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 030 参 考 答 案 2 2x +1 ∈ (-1,1).故值域为(-1,1). (2)设t= x-1≥0,x =t2+1, 所以g(t)=2(t2+1)+1-4t=2t2- 4t+3=2(t-1)2+1, 当t=1时,函数取得最小值1,所以函 数的值域是[1,+∞). 􀪋􀪋􀪋􀪋   􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)ABC A项,f(x)=cos πx 2 , x ∈ [0,1]时,f(x)∈ [0,1],所以该 函数存在同域区间;B项,f(x)=x2- 1,x ∈ [-1,0]时,f(x)∈ [-1,0], 所以该函数存在同域区间;C项,f(x)= |x2-1|,x∈[0,1]时,f(x)∈[0, 1],所 以 该 函 数 存 在 同 域 区 间;D项, f(x)=log2(x-1),判断该函数是否 有同域区间,即判断该函数和函数y= x 的图象是否有两个交点,而根据这两 个函数 的 图 象 可 以 看 出 不 存 在 交 点, 所以该函数不存在同域区间. (2)27 解析:由y=-x2=-2,可得x=± 2; 由y = -x2 = -4,可得x = ±2;由 y= -x2= -6,可得x= ±6.所以, 使得函数y= -x2 的值域为{-2,-4, -6}的定义域中至少含- 2,2中的 一个,至 少 含 -2,2中 的 一 个,至 少 含- 6,6中的一个,而- 2,2的放 法种数等价于集合{-2,2}的非空子 集个数,即- 2,2的放法种数为22- 1=3(种),同理可知,-2,2的放法种 数为3,- 6,6 的放法种数为3,因 此,函数解析式为y = -x2,值域为 {-2,-4,-6}的“同族函数”共有3× 3×3=27(个). 素养检测:1.ACD 函 数 y =|x |- 2 024与y= x2-2 024 x 是偶函数, 所以可构造“同族函数”,函数y =x 1 2 在定义域[0,+∞)上为增函数,所以 不能构造“同族函数”,函数y =x2- x,x ∈ 0, 1 2 与函数y =x2-x, x ∈ 1 2 ,1 的值域相同,所以是“同 族函数”.故选ACD. 2.9 解析:由2|x|=1,解得x=0,由2|x|= 2,解 得 x = ±1,由2|x|=4,解 得 x = ±2,下面分三步安排定义域, 要使值域里面有1,定义域里面必须有 0,有1种安排方法; 要使值域里面有2,定义域里面必须有 -1或1或二者都有,有3种安排方法; 要使值域里面有4,定义域里面必须有 -2或2或二者都有,有3种安排方法; 共有1×3×3=9(种)安排方法.故其 “同族函数”有9个. 3.(1)f(x)= 1 2x 2-x+ 3 2 (2)0≤k<1- 2 2 解析:(1)易 知 a ≠0,由 f(x)= ax2-2ax+b+1= a(x-1)2- a +b+1,所以函数f(x)= ax2- 2ax+b+1在[1,3]上单调递增,又 函数是同域函数,得 f(1)=1, f(3)=3, 即 f(1)= a -2a +b+1=1, f(3)=9a -6a +b+1=3, 解 得 a= 1 4 , b= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以f(x)= 1 2x 2-x+ 3 2. (2)由(1)得g(x)=k- 1 2x 2-x =k- 1 2 (x-1)2- 1 2 (k≥0),所以g(x)在(-∞,0]上单调 递增,设[c,d]是函数g(x)的同域区 间,得 g(c)=c, g(d)=d, 即 k- 1 2c 2-c =c, k- 1 2d 2-d =d, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得x 2-2(2k- 1)x+2k2 =0在(-∞,0]上的根为c 和d,则满足 Δ = [-2(2k-1)]2-4×2k2 >0, c+d =2(2k-1)<0, c·d =2k2 ≥0, k≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 k>1+ 2 2 或k<1- 2 2 , k< 1 2 , k≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得0≤k<1- 2 2. 2.2 函数的单调性与最值 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)f(x1)<f(x2) 单调递增 单调 递增 f(x1)>f(x2) 单调递减 单调递减 上升的 下降的 (2)单调递增 单调递减 区间I 2.f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)= M 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.(3,+∞) 3.a≤2 4.B 5.ABD 函数f(x)= -x 1 2 = - x 在 (0,+∞)上单调递减;f(x)=2-x = 1 2 x 在 (0,+ ∞)上 单 调 递 减; f(x)=ln|x|,当x>0时,f(x)= ln x 在(0,+∞)上单调递增;f(x)= 1 x2 在 (0,+ ∞)上 单 调 递 减. 故 选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)D 解 法1(排 除 法):取x1 = -1,x2 = 0,对 于 A,f(x1)= 1, f(x2)=0,所以 A不符合题意;对于 B,f(x1)= 3 2 ,f(x2)=1,所以B不 符合题意;对于C,f(x1)=1,f(x2)= 0,所以C不符合题意.故选D. 解法2(图象法):如图,在坐标系中分 别画出A,B,C,D四个选项中函数的大 致图象,即可快速直观判断D符合题 意.故选D. (2)[1,2] 解析:f(x)= x2-2x,x ≥2, -x2+2x,x <2. 画 出f(x)的大致图象(如图所示),由图 知f(x)的单调递减区间是[1,2]. 对点训练1:(-∞,-1]和(0,1] 解析:f(x)= - x2+2x+1,x≥0, -x2-2x+1,x<0 ⇒ -(x-1)2+2,x ≥0, -(x+1)2+2,x <0. 画 出 函 数 图 象如图所示,可知函数f(x)的单调递 增区间为(-∞,-1]和(0,1]. 例2:证明:证法1:设x1,x2是区间(-∞,0) 上的任意两 个 实 数,且 x1 <x2.则 f(x1)-f(x2)= 2x1- 1 x1 - 2x2- 1 x2 =2(x1 -x2)+ 1x2 - 1x1 = (x1-x2) 2+ 1x1x2 .由于x1<x2< 0,所以x1-x2<0,2+ 1 x1x2 >0,因此 f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故f(x)在(-∞,0)上是增函数. 证法2:因为f(x)=2x - 1 x ,所以 f'(x)=2+ 1 x2 .因为x∈(-∞,0),所以 f'(x)>0,即f(x)在(-∞,0)上是增 函数. 对点训练2:解:设x1<x2<1, f(x)=a· x-1+1 x-1 = a1+ 1 x-1 , f(x1)-f(x2)=a 1+ 1 x1-1 - a 1+ 1 x2-1 = a (x2-x1) (x1-1)(x2-1) , 由于x1<x2<1,所以x2-x1>0, x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-∞, 1)上单调递减; 当a <0时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-∞, 1)上单调递增. 例3:(1)2kπ+ π 3 ,2kπ+ π 2 ,k∈Z 解析:函数f(x)=log2(2sin x- 3) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -447- hh 有意义,则2sin x- 3>0,即sin x> 3 2 ,所以2kπ+ π 3 <x <2kπ+ 2π 3 , k∈ Z,所 以 函 数 f(x)的 定 义 域 为 x 2kπ+ π3 <x <2kπ+2π3,k∈ Z ,根据复合函数“同增异减”的判断 方法,可知,求函数f(x)的单调递增 区间,就是求定义域内y =sin x 的单 调递增区间,即2kπ+ π 3 <x≤2kπ+ π 2 ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增 区间为 2kπ+π3,2kπ+π2 ,k∈Z. (2)1≤a≤2 解析:∵y =ln[f(x)]在 12,+∞ 上 单 调 递 增,且 函 数 y =ln x 在 (0,+ ∞)上 单 调 递 增,∴f(x)= ax2-x-a+2在 1 2 ,+∞ 上单调 递增,且f(x)>0在 1 2 ,+∞ 上恒 成 立.当a=0时,f(x)= -x+2在 1 2 ,+∞ 上 单 调 递 减,不 符 合 题 意,故 a ≠ 0.当 a ≠ 0 时,可 得 a>0, -- 1 2a ≤ 1 2 , f 1 2 ≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得1≤a≤2. 对点训练3:- 1 2 ,2 例4:(1)b>a>c 解析:由题意可得f - 1 2 =f 52 . 当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]· (x2-x1)<0恒成立,所以f(x)在 (1,+∞)上单调递减.因为1<2< 5 2 <e ,所以f(2)>f 5 2 >f(e),所 以b>a>c. (2)(0,2) 解析:对任意的x1 <x2,有 f(x1)-f(x2) x1-x2 >-1,则 f(x1)- f(x2)<x2 -x1⇒f(x1)+x1 < f(x2)+x2,则y=f(x)+x 在R上 单调递增,因 为f(|x -1|)<2- |x-1|, 且 f(1)= 1,f(|x - 1|)+|x-1|<f(1)+1,则|x- 1|<1⇒0<x <2. (3)25 ≤a< 2 3 解析:由 已 知 条 件 可 知 函 数f(x)= (3a-2)x+3a,x <1, ax,x ≥1 是 R上的减 函数,所以 3a-2<0, 0<a<1, 3a-2+3a≥a, 解得25 ≤ a< 2 3. 对点训练4:(1)f(-2)<f(3)<f(-π) 解析:∵f(x)的定义域为R,图象关于 y 轴对称,∴f(x)是偶函数, ∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),又 f(x)在[0,+∞)上为增函数,且2< 3<π,∴f(2)<f(3)<f(π), ∴f(-2)<f(3)<f(-π). (2)12 ≤x < 2 3 解析:由题意得0≤2x-1< 1 3 ,解得 1 2 ≤x < 2 3. (3)1,32 解析:∵t=3-ax(a>0)在区间[1, 2]上单调递减,函数f(x)=loga(3- ax)(a>0且a≠1)在区间[1,2]上单 调递减,∴a>1.又 ∵t=3-ax>0 在区 间 [1,2]上 恒 成 立,∴3-2a > 0,∴a< 3 2 ,∴1<a< 3 2.∴ 实数a 的取值范围为 1,32 . 例5:(1)1 解析:令t= x-1,且t≥0,则x= t2+1,所以原函数变为y=t2+1+t, t≥0.配方得y = t+ 1 2 2 + 3 4 , 又因为t≥0,所以y≥ 1 4+ 3 4 =1 , 故函 数y =x + x-1 的 最 小 值 为1. (2)-2或4 解析:若y=4+2x-x2 在x∈[-3, 3]上的最大值为4,所以由4+2x - x2=4,解得x=2或x=0,所以要使 函数f(x)最大值为4,则根据新定义, 结合y =4+2x-x2 与y=|x-t| 的图象(如图)可知,当t<1,x =2 时,|2-t|=4,此时解得t= -2,当 t>1,x=0时,|0-t|=4,此时解得 t=4,故t= -2或4. 对点训练5:(1)f(x)= 2-x,x< 1 2 , x+1,x≥ 1 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 3 2 解析:因为|x+1|2-|x-2|2=6x-3, 当x≥ 1 2 时,|x+1|2-|x-2|2= 6x-3≥0,则f(x)=max{|x+1|, |x-2|}=|x+1|=x+1; 当x< 1 2 时,|x+1|2-|x-2|2= 6x-3<0,则f(x)=max{|x+1|, |x-2|}=|x-2|=2-x. 所以f(x)= 2-x,x < 1 2 , x+1,x ≥ 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故函数 f(x)在 -∞, 1 2 上 单 调 递 减,在 1 2 ,+∞ 上单调递增,所以,函数f(x) 的最小值为f 1 2 = 12+1= 32. (2)[4,+∞) 解析:由 题 意 知,当 x >0时,函 数 f(x)=x+ 4 x ≥2 x ·4 x =4 ,当 且仅当x =2时取等号;当x ≤0时, f(x)=2x +a∈(a,1+a],因此要使 f(x)有最小值,则必须有a≥4. 􀪋􀪋􀪋􀪋   􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:ABD 对于 A,当x >0时, x+ 1 x ≥2 (当且仅当x =1时取等 号),∴f(x)>1恒成立,∴1是f(x) 的一 个 下 界,故 A 正 确;对 于 B, ∵f'(x)=ln x+1(x>0),∴当x∈ 0,1e 时,f'(x)<0;当x∈ 1e,+∞ 时,f'(x)>0,∴f(x)在 0, 1 e 上 单 调递 减,在 1 e ,+∞ 上 单 调 递 增, ∴f(x)≥f 1 e = -1e,∴f(x)有 下界,又当x 越来越大时,f(x)趋向 于 + ∞,∴f(x)无 上 界,综 上 所 述, f(x)=xln x 有下界,无上界,故B正 确;对于C,∵x2 >0,ex >0,∴ ex x2 > 0,∴f(x)有 下 界,故 C 错 误;对 于 D,∵sin x ∈ [-1,1],∴ - 1 x2+1 ≤ sin x x2+1 ≤ 1 x2+1 ,又 -1 x2+1 ≥-1, 1 x2+1 ≤1,∴ -1< sin x x2+1 < 1, ∴f(x)既有上界又有下界,故D正确. 故选ABD. 素养检测:AD 对 于 A, x x2+1 = |x| x2+1 ,当x =0时,| x| x2+1 =0,当 x ≠0时,| x| x2+1 = 1 |x|+ 1 |x| ≤ 1 2 |x|· 1 |x| = 1 2 ,当且仅当|x|= 1 |x| ,即x = ±1时等号成立,即对于 任意x∈R,0≤ x x2+1 ≤ 1 2 ,所以 存在常数M >0,使得|f(x)|≤M 成 立,故y= x x2+1 为有界函数;对于B, 当x ∈R时,由指数函数的性质可知 y =2x 可 以 无 穷 大,所 以 对 于 任 意 x ∈ R,不 存 在 常 数 M > 0,使 得 |f(x)|≤M 成立,故y=2x 不为有 界函数;对于C,当x∈R时,由指数函 数的性质可知y =2x 可以无穷大,所 以y =16-2x 可以无穷小,所以不存 在常数 M >0,使得|f(x)|≤M 成 立,故y=16-2x 不为有界函数;对于 D,当x ∈R时,0≤x-[x]<1,则 0≤|x - [x]|<1,所 以 存 在 常 数 M >0,使得|f(x)|≤ M 成 立,故 y =x-[x]为有界函数.故选AD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -448-