2.1 函数的概念及其表示-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

第二章 函数的概念与基本初等函数 2.1 函数的概念及其表示 5A>! 1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象 的作用. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. AMc
-  -@) 1.函数的概念 (1)函数的定义 一般地,设A,B 是 ,如果对于 集合A 中的 ,按照某种确定的 对应关系f,在集合B 中都有 和它对应,那么就称f:A →B 为从集合A 到 集合B 的一个函数,记作y=f(x),x ∈A. F 直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的 图象有0个或1个交点. (2)函数的三要素 函数由 、 和对应关系三个 要素 构 成.在 函 数y =f(x),x ∈ A 中, 范围(即数集A)称为这个 函数的 , 组成的集合 {f(x)|x ∈A}称为函数的值域. 2.函数的表示法 解析法 图象法 列表法 用解析式表示两 个变量之间的对 应关系 用图象表示两个 变量之间的对应 关系 列出表格来表示 两个变量之间的 对应关系 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同 取值区间,有着不同的 ,这样的函数 叫做 . " 关于分段函数的3个注意点 (1)分段函数虽然由几个部分构成,但它表示同一 个函数. (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域 是各段值域的并集. (3)各段函数的定义域不可以相交. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)函数f(x)=x2-2x 与g(t)=t2-2t是 同一个函数. ( ) (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两 个函数是同一个函数. ( ) (3)函数f(x)的图象与直线x=1最多有一 个交点. ( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的. ( ) (5)函数y=|x|与函数y=(x)2表示同一 个函数. ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 022 @第二章 函数的概念与基本初等函数 2.(教材改编题)已知函数f(x)= x2+6,x≤0, 2x-1,x>0, 若f(x)=15,则x 的值可以为 . 3.(教材改编题)已知函数f(x)的定义域是 (-1,3),则函数y=f(x+1)-lg(x-1)的 定义域是 . 4.(教材改编题)已知f 1 x = 1x+1,则f(x)的 解析式为 . 5.(多选题)下列各组函数不是同一个函数的是 ( ) A.f(x)= x2-4 与 g(x)= x-2· x+2 B.f(x)=| x| x 与g(x)= 1,x ≥0 -1,x <0 C.f(x)=x+2与g(t)= 3 t3 +2 D.f(x)= x2-1 x-1 与g(x)=x+1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 函数的定义域 【例1】 (1)(2023·山东济南联考)函数f(x)= 1-4x2+ln(3x-1)的定义域为 . (2)已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则 函数g(x)=f (2x+1) x+2 的定义域为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以 函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出 不等式或不等式组求解;对于实际问题,定义域应使 实际问题有意义. 几种常见函数的定义域: (1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不 为零的实数集合. (2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被 开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时,函数的定义域是使真数 为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x ≠0}. (5)f(x)为指数式时,函数的定义域是使底数 大于0且不等于1的实数集合. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复 合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤ b求出. (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为g(x)在x ∈ [a,b]上的值域. 3.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若 用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符 号“∪”连接. 【对点训练1】 (1)函数y= 3tan x-1的定 义域为 . (2)已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1],则 f(2x+1) log2(x+1) 的定义域为 . 考点2 求函数的解析式 【例2】 (1)(2023·广东东莞三模)已知f(x + 1)=x+2 x,则f(x)= . (2)已知一次函数f(x)满足f(f(2x))=8x+ 3,则f(x)的解析式为 . (3)若函数f(x)满足f(x)-2f 1 x =x+2, 则f(2)= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 023 hh 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定 系数法. (2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式, 可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可 将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x 替代 g(x),便得f(x)的解析式. (4)构 造 法:已 知 关 于 f(x)与 f 1 x 或 f(-x)的解析式,可根据已知条件再构造出另外一 个等式,通过解方程组求出f(x). 【对点训练2】 (1)若f(x +1)=2x-3且 f(a)=5,则a= . (2)设定义在(0,+ ∞)上的函数g(x)满足 g(x)=2 x ·g 1 x -1,则 g(x)= . 考点3 分段函数 命题角度1 分段函数求值问题 【例3】 (1)已知函数f(x)= 1 3 x ,x ≥3, f(x+1),x <3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则f(2+log32)的值为 . (2)已 知 f(x)= 2-x,x ≤2, log0.5(x-1),x >2, 若 f(f(a))=-2,则实数a的值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关于分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值:先确定要求值的自变量属于哪一 段区间,然 后 代 入 该 段 的 解 析 式 求 值,当 出 现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数 定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记 要代入检验. 【对点训练3】 (2023·山东济宁二模)已知a∈ R,函数f(x)= log2(x2-3),x >2, 3x +a,x ≤2, f(f(5))=2,则a= . 命题角度2 分段函数与方程、不等式问题 【例4】 (1)设 f(x)= x,0<x <1, 2(x-1),x ≥1, 若 f(a)=f(a+1),则f 1 a = . (2)已知函数f(x)= ln x,x ≥1, 0,0≤x <1, x,x <0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 若f(2a- 1)-1 ≤ 0,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或 范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意 检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变 量的取值范围.尤其要注意,当分段函数的自变量范 围不确定时,应分类讨论. 【对点训练4】 (1)(2023·山东潍坊一中模拟) 设函数f(x)= x2-1,x≥2, log2x,0<x<2, 若f(m)= 3,则f 5 2-m = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 024 @第二章 函数的概念与基本初等函数 (2)(2023·辽宁葫芦岛二模)已知函数f(x)= x2-3x,x ≤3, 1 3x-1 ,x >3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则关于x 的不等式f(1- x)<f(2-x)的解集为 . 考点4 求函数的值域 【例5】 求下列函数的值域. (1)y= 4x-2 2x+1 ; (2)y=x+ 2x-1; (3)y= x2+7x+10 x+1 (x >-1). 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 求值域的方法 (1)分离常数法或反解法,形如y= af(x)+b cf(x)+d (ac≠0)(f(x)为常见的基本初等函数)的函数常 用分离常数法或反解法(即用y 表示f(x),然后借 助f(x)的取值范围求y 的取值范围). (2)换元法,形如y=ax±b± cx±d,通过换 元将它们转化为有理函数,通过求有理函数的值域 间接求原函数的值域.若函数的解析式可以看作是 一个关于基本初等函数的二次式,可以考虑换元法, 但是要注意换元后新元的取值范围.对比较复杂的 函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方 法求值域. (3)基本不等式法,先对解析式变形,使之具备 “一正二定三相等”的条件后,用基本不等式求出 值域. (4)单调性法,先确定函数的单调性,再由单调 性求值域. 【对点训练5】 求下列函数的值域: (1)y= 2x -1 2x +1 ; (2)f(x)=2x+1-4 x-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋   >Fe2 “同域函数”与“同族函数” 同域函数:若一个函数的定义域与值域均 为[m,n],则称该函数为[m,n]上的“同域函 数”,[m,n]称为同域区间. 同族函数:若一系列函数的解析式和值域相 同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”. 【题目呈现】 (1)(多选题)对于函数f(x), 若存在区间A =[m,n],使得{y|y=f(x), x ∈A}=A,则称函数f(x)为“同域函数”,区 间A 为函数f(x)的一个“同域区间”.下列四个 函数中,存在“同域区间”的“同域函数”是 ( ) A.f(x)=cos πx 2 B.f(x)=x2-1 C.f(x)=|x2-1| D.f(x)=log2(x-1) (2)(2024·江苏连云港海州区高三期中)若 一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域 不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解 析式为y=-x2,值域为{-2,-4,-6}的“同族 函数”共有 个. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 025 hh 2" 1.(多选题)若一系列函数的解析式和值域相 同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函 数”,例如函数y=x2,x ∈ [1,2]与函数y= x2,x ∈ [-2,-1]就是“同族函数”.下列可 用来构造同族函数的有 ( ) A.y=|x|-2 024 B.y=x 1 2 C.y=x2-x D.y= x2-2 024 x 2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定 义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函 数解析式为y=2|x|,值域为{1,2,4}的“同族 函数”有 个. 3.(2024·山东德州高三期中)如果一个函数的 定义域与值域均为[m,n],则称该函数为[m, n]上的同域函数,[m,n]称为同域区间.已知 函数f(x)= ax2-2ax+b+1在区间[1, 3]上是同域函数. (1)函数f(x)的解析式是 ; (2)若函数g(x)=k- f(x)- 3 2 (k≥0) 在x≤0时存在同域区间,则实数k的取值范 围是 . 学习至此,请完成课时作业6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.2 函数的单调性与最值 5A>! 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. AMc
-  -@) 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域 D 内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1 <x2 时,都有 ,那么就称函数f(x) 在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在 它的定义域上 时,我们就称它是增函数 当x1 <x2 时,都有 ,那么就称函数f(x) 在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在 它的定义域上 时,我们就称它是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性, 叫做y= f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数 M 满足 条件 (1)∀x∈D,都有 . (2)∃x0∈D,使得 (1)∀x∈D,都有 . (2)∃x0∈D,使得 结论 M 为最大值 M 为最小值 常用结论与知识拓展 函数单调性的等价定义 设任意x1,x2 ∈D(x1 ≠x2),则 (1)f (x1)-f(x2) x1-x2 >0(或(x1-x2)[f(x1)- f(x2)]>0)⇔f(x)在D 上单调递增. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 026 参 考 答 案 0,又抛物线f(x)=x2+mx-1开口 向上,所以只需 f(m)=m2+m2-1<0, f(m+1)= (m+1)2+m(m+1)-1<0, 即 2m 2-1<0, 2m2+3m<0, 解得- 22 <m<0. 例5:a -1≤a<- 1 2 或3 2 <a≤2 解析:令x2-(2a+1)x+2a=0,解得 x =1或x=2a.当2a>1,即a> 1 2 时,不等式x2-(2a+1)x+2a<0的 解集为{x|1<x<2a},则3<2a≤ 4,解得32 <a≤2 ;当2a=1,即a= 1 2 时,不等式x2-(2a+1)x+2a< 0无解,所以a = 1 2 不符 合 题 意;当 2a<1,即a< 1 2 时,不等式x2-(2a+ 1)x+2a<0的解集为{x|2a<x<1}, 则-2≤2a<-1,解得-1≤a<- 1 2. 综上,a的取值范围是 a -1≤a<-12 或 3 2 <a≤2 . 对点训练5:(1)3- 5 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 ∪ 1,3+ 52 􀭤􀭥 􀪁􀪁 解析:k=0时,不等式为-(x-1)< 0,解得x >1,不符合题意,若k<0, 则不等式的解集为 x x <k+ 1k 或 x >1 ,不符合题意,因此只有k>0, 不等式的解集为 x 1<x<k+1k , 因此2<k+ 1 k ≤3 ,解得3- 5 2 ≤ k≤ 3+ 5 2 且k≠1. (2)[-3,2) 解析:由 x2 -x -2>0,得 (x - 2)(x+1)>0,得x<-1或x>2,所 以x2-x -2>0的 解 集 为(- ∞, -1)∪ (2,+ ∞).由 2x2 + (5+ 2k)x+5k<0,得 x+52 (x+k)< 0,当-k<- 5 2 ,即k> 5 2 时,得-k< x <- 5 2 ,所 以2x2 + (5+2k)x + 5k<0的解集为 -k,-52 ,此解集 中不 含 -2,不 符 合 题 意;当 -k = - 5 2 ,即k = 5 2 时, x + 52 (x + k)<0化 为 x + 52 2 <0,所 以 2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为空 集,不符合题意;当 -k>- 5 2 ,即k< 5 2 时,得 - 5 2 <x<-k ,所以2x2+ (5+2k)x+5k<0的解集为 - 52, -k ,因为不等式组 x2-x-2>0, 2x2+(5+2k)x+5k<0 的解集 中 所含整数解只有-2,所以-2<-k≤ 3,得 -3≤k<2. 例6:(-∞,-1)∪ (3,+∞) 解析:不等式x2+px>4x+p-3可 化为(x-1)p+x2-4x+3>0, 由已知可 得[(x -1)p +x2 -4x + 3]min >0(0≤p≤4), 令f(p)= (x -1)p +x2 -4x + 3(0≤p≤4),可得 f(0)=x2-4x+3>0, f(4)=4(x-1)+x2-4x+3>0, ∴x <-1或x >3. 对点训练6:{x|x <-1或x >3} 解析:由t2-4≤0,得-2≤t≤2,所 以 -1≤1-t≤3.不等式x2+tx- t>2x-1对-2≤t≤2恒成立,即不 等式x2+(t-2)x+1-t>0对-2≤ t≤ 2恒 成 立,即 不 等 式 (x +t- 1)(x-1)>0对-2≤t≤2恒成立, 所以只需 x-1>0, x+t-1>0 或 x-1<0, x+t-1<0 对-2≤t≤2恒成立, 所以只需 x >1, x >1-t 或 x <1,x <1-t 对 -2≤t≤2恒成立. 因为 -1≤1-t≤3,所以x >3或 x <-1. 例7:(-∞,2] 解析:x2 -2x -1+m ≤0⇒m ≤ -x2+2x+1,设f(x)= -x2+2x+ 1(x ∈ [0,3]),f(x)= -x2+2x + 1= -(x-1)2+2,该二次函数的对称 轴为直线x=1,开口向下,当x∈[0, 3]时,f(x)max =f(1)=2,要想关于 x 的不等式x2-2x-1+m ≤0在区 间[0,3]内有解,只需m ≤f(x)max⇒ m ≤2,所 以 实 数 m 的 取 值 范 围 为 (-∞,2]. 对点训练7:(-∞,-3) 解析:若命题p为真命题,即∃x∈[-1, 3],x2-3≤a.设f(x)=x2-3,则由 二次函数图象与性质知,当x ∈ [-1, 3]时,f(x)最小值为f(0)= -3,所 以a≥-3.因为命题p为假命题,所以 a<-3,即a的取值范围为(-∞,-3). 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:解:令f(x)=x2+(m-3)x+ m, (1)由题意得 Δ=(m-3)2-4m≥0, 3-m>0, m>0, 解得0<m ≤1. (2)若方程x2+(m-3)x+m =0的 一个 根 大 于 1,一 个 根 小 于 1,则 f(1)=2m-2<0,解得m <1. (3)若方程x2+(m-3)x+m =0的 一个根在(-2,0)内,另一个根在(0, 4)内,则 f(-2)= -m+10>0, f(0)=m <0, f(4)=5m+4>0, 解得- 4 5 <m <0. (4)若方程x2+(m-3)x+m =0的 一个 根 小 于 2,一 个 根 大 于 4,则 f(2)=3m-2<0, f(4)=5m+4<0, 解得m<-45. (5)若方程x2+(m-3)x+m =0的 两个根都在(0,2)内,则 f(2)=3m-2>0, f(0)=m >0, 0<- m-3 2 <2 , Δ = (m-3)2-4m ≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得2 3 <m ≤1. 素养检测:解:(1)设函数f(x)=x2+ 2mx+2m+1,与x轴的交点分别在区 间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图(如 图1),得 f(0)=2m+1<0, f(-1)=2>0, f(1)=4m+2<0, f(2)=6m+5>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ m <- 1 2 , m ∈R, m <- 1 2 , m >- 5 6. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ∴- 5 6 <m <- 1 2. 图1 图2 (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0, 1)内(如图2),列不等式组 f(0)>0, f(1)>0, Δ≥0, 0<-m <1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ m >- 1 2 , m >- 1 2 , m ≥1+ 2或m ≤1- 2, -1<m <0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴- 1 2 <m ≤1- 2. 第二章 函数的概念与 基本初等函数 2.1 函数的概念及其表示 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y (2)定义域 值域 自变量的取值 定义域 所有函数值 3.对应关系 分段函数 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.8或-3 3.(1,2) 4.f(x)= x x+1 (x ≠0) 5.ABD 对于A,由x2-4≥0,得x ≤ -2或x ≥2,所以f(x)的定义域为 (- ∞,- 2] ∪ [2,+ ∞), 由 x-2≥0, x+2≥0, 得x≥2,所以g(x)的定 义域为[2,+∞),所以两函数的定义 域不相同,所以两函数不 是 同 一 个 函 数,故A符合题意;对于B,f(x)的定 义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的 定义域为 R,所以两函数的定义域不相 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -445- hh 同,所 以 两 函 数 不 是 同 一 个 函 数,故 B符合题意;对于C,f(x)的定义域为 R,g(t)的定义域为 R,g(t)= 3 t3 + 2=t+2,所以两函数的定义域相同, 对应关系也相同,所以这两 个 函 数 是 同一个函数,故C不符合题意;对于D, f(x) 的 定 义 域 为 (- ∞,1) ∪ (1,+∞),g(x)的定义域为R,所以两 函数的定义域不相同,所以两函数不是 同一个函数,故D符合题意.故选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)13 ,1 2 解析:要使函数f(x)= 1-4x2 + ln(3x-1)有意义, 则 1-4x 2 ≥0, 3x-1>0 ⇒ 13 <x ≤ 12. ∴ 函数f(x)的定义域为 1 3 ,1 2 . (2)- 9 2 ,-2 ∪ (-2,0] 解析:∵f(x)的定义域为[-8,1], ∴ -8≤2x+1≤1 , x+2≠0, 解 得 - 92 ≤ x≤0,且x≠-2.∴g(x)的定义域为 - 9 2 ,-2 ∪ (-2,0]. 对点 训 练 1:(1) π6 +kπ ,π 2 +kπ , k∈Z (2)(-1,0) 例2:(1)x2-1(x ≥1) 解析:已知f(x +1)=x+2 x,则 f(x+1)=(x)2+2 x+1-1= (x +1)2 -1,令t= x +1(t≥ 1),∴f(t)=t2-1(t≥1),∴f(x)= x2-1(x ≥1). (2)f(x)=2x+1或f(x)= -2x-3 解析:设f(x)=kx+b,则f(2x)= 2kx +b,故 f(f(2x))= f(2kx + b)=2k2x+kb+b. 因为f(f(2x))=8x+3, 所以 2k 2 =8, kb+b=3, 解得 k=2, b=1 或 k= -2,b= -3, 则f(x)=2x+1或f(x)= -2x-3. (3)-3 解析:由f(x)-2f 1 x =x+2,可 得f 1 x -2f(x)= 1x +2,联立两 式可得f(x)= - 1 3 x+ 2 x -2,代 入x =2可得f(2)= -3. 对点训练2:(1)3 解析:若f(x +1)=2x-3,设a= x +1,则a≥1,从而x = (a-1)2, 所以f(a)=2(a-1)2-3=2a2- 4a-1,a≥1,则2a2-4a-1=5,解 得a=3或a= -1(舍),故a=3. (2)23 x + 1 3 (x >0) 解析:因为定义在(0,+∞)上的函数 g(x)满足g(x)=2 x·g 1 x -1, 将x 换成1x ,可得g 1 x = 2xg(x)- 1,将其代入上式,可得g(x)=2 x· g 1 x -1=2 x · 2x ·g(x)- 1 -1= 4g(x)-2 x -1,所 以 g(x)= 2 3 x + 1 3 (x >0). 例3:(1)154 解析:因为2+log31<2+log32<2+ log33,即2<2+log32<3,所以f(2+ log32)=f(2+log32+1)=f(3+ log32),又3<3+log32<4,所 以 f(3+log32)= 1 3 3+log32 = 1 3 3 × 1 3 log32 = 1 27× (3-1) log32 = 1 27× 3 -log32 = 1 27×3 log3 1 2 = 1 27× 1 2 = 1 54 , 所以f(2+log32)= 1 54. (2)-3 解析:∵f(x)= 2-x ,x≤2, log0.5(x-1),x>2, 若f(f(a))= -2,令t=f(a),当 t≤2时,f(t)=2-t= -2,可得t= 4(舍),当t>2时,f(t)=log0.5(t- 1)= -2,可得t=5,即f(a)=5,可 得 a≤2, 2-a=5 或 a>2,log0.5(a-1)=5, 解得a = -3或无解,∴ 实数a 的值 为 -3. 对点训练3:-1 解析:因 为 5 >2,所 以 f(5)= log2(5-3)=1≤2, 所以f(f(5))=f(1)=3+a=2, 解得a= -1. 例4:(1)6 解析:因为当0<x <1时,f(x)= x 为增函数,当x ≥1时,f(x)= 2(x-1)为增函数,又f(a)=f(a+ 1),所以 a =2(a+1-1),所以a= 1 4. 所以f 1 a =f(4)=6. (2)a≤ e+1 2 解析:因为f(2a-1)-1≤0⇒f(2a- 1)≤1. ① 当2a -1≥1时,f(2a -1)= ln(2a-1)≤1⇒1≤a≤ e+1 2 . ② 当0≤2a-1<1时,f(2a-1)= 0≤1⇒ 1 2 ≤a<1. ③ 当2a-1<0时,f(2a-1)=2a- 1≤1⇒a< 1 2. 综上所述,a≤ e+1 2 . 对点训练4:(1)-1 解析:当 m ≥2时,m2-1=3,所以 m =2或m = -2(舍去);当0<m < 2时,log2m =3,所以m =8(舍去).所 以m=2.所以f 5 2-m =f 12 = log2 1 2 = -1. (2)(-∞,0) 解析:当x≤3时,f(x)=x2-3x 在 -∞, 3 2 上单调递减,在 32,3 上 单调递增,当x>3时,f(x)= 1 3x- 1是增函数,且13×3-1=0=f (3), 因此函数f(x)在 -∞, 3 2 上 单 调 递减,在 3 2 ,+∞ 上 单 调 递 增,而 1-x <2-x,则当1-x ≥ 3 2 ,即 x ≤- 1 2 时,恒有f(1-x)<f(2- x)成立,则x≤- 1 2 ;当x>- 1 2 时, 2-x< 5 2 ≤3 ,不等式化为(1-x)2- 3(1-x)<(2-x)2-3(2-x),解得 x <0,则 - 1 2 <x <0 ,所以不等式 f(1-x)<f(2-x)的解集为(-∞,0). 例5:解:(1)函数y= 4x-2 2x+1 的定义域为 x x ≠- 1 2 .因为y =4x-22x+1= 4x+2-4 2x+1 = 2- 4 2x+1 ,所以值域为 {y|y≠2}. (2)解法1:函数y=x+ 2x-1的 定义域为 1 2 ,+∞ ,令t= 2x-1, 则x = t2+1 2 ,所以y= t2+1 2 +t= 1 2 (t+1)2(t ≥0).因 为 函 数 y = 1 2 (t+1)2 在区间[0,+∞)上单调递 增,所以y∈ 1 2 ,+∞ . 解法2:函数y=x+ 2x-1的定义 域为 1 2 ,+∞ ,因为函数y =x + 2x-1 在区间 1 2 ,+∞ 上 单 调 递增,所以函数y =x+ 2x-1的 值域为 1 2 ,+∞ . (3)设t=x+1,因为x >-1,可得 t>0,且x =t-1, 故y = x2+7x+10 x+1 = (t-1)2+7(t-1)+10 t = t + 4 t +5 , 因为t+ 4 t ≥4 ,可得t+ 4 t +5≥9 , 当且仅当t =2,即 x =1时,等号 成立. 所以函数y= x2+7x+10 x+1 (x>-1) 的值域为[9,+∞). 对点训练5:解:(1)因为y = 2x -1 2x +1 = 1- 2 2x +1 ,定义域为R. 当x∈R时,2x +1>1, 1 2x +1 ∈(0, 1),- 2 2x +1 ∈(-2,0),所以y=1- 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -446- 参 考 答 案 2 2x +1 ∈ (-1,1).故值域为(-1,1). (2)设t= x-1≥0,x =t2+1, 所以g(t)=2(t2+1)+1-4t=2t2- 4t+3=2(t-1)2+1, 当t=1时,函数取得最小值1,所以函 数的值域是[1,+∞). 􀪋􀪋􀪋􀪋   􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)ABC A项,f(x)=cos πx 2 , x ∈ [0,1]时,f(x)∈ [0,1],所以该 函数存在同域区间;B项,f(x)=x2- 1,x ∈ [-1,0]时,f(x)∈ [-1,0], 所以该函数存在同域区间;C项,f(x)= |x2-1|,x∈[0,1]时,f(x)∈[0, 1],所 以 该 函 数 存 在 同 域 区 间;D项, f(x)=log2(x-1),判断该函数是否 有同域区间,即判断该函数和函数y= x 的图象是否有两个交点,而根据这两 个函数 的 图 象 可 以 看 出 不 存 在 交 点, 所以该函数不存在同域区间. (2)27 解析:由y=-x2=-2,可得x=± 2; 由y = -x2 = -4,可得x = ±2;由 y= -x2= -6,可得x= ±6.所以, 使得函数y= -x2 的值域为{-2,-4, -6}的定义域中至少含- 2,2中的 一个,至 少 含 -2,2中 的 一 个,至 少 含- 6,6中的一个,而- 2,2的放 法种数等价于集合{-2,2}的非空子 集个数,即- 2,2的放法种数为22- 1=3(种),同理可知,-2,2的放法种 数为3,- 6,6 的放法种数为3,因 此,函数解析式为y = -x2,值域为 {-2,-4,-6}的“同族函数”共有3× 3×3=27(个). 素养检测:1.ACD 函 数 y =|x |- 2 024与y= x2-2 024 x 是偶函数, 所以可构造“同族函数”,函数y =x 1 2 在定义域[0,+∞)上为增函数,所以 不能构造“同族函数”,函数y =x2- x,x ∈ 0, 1 2 与函数y =x2-x, x ∈ 1 2 ,1 的值域相同,所以是“同 族函数”.故选ACD. 2.9 解析:由2|x|=1,解得x=0,由2|x|= 2,解 得 x = ±1,由2|x|=4,解 得 x = ±2,下面分三步安排定义域, 要使值域里面有1,定义域里面必须有 0,有1种安排方法; 要使值域里面有2,定义域里面必须有 -1或1或二者都有,有3种安排方法; 要使值域里面有4,定义域里面必须有 -2或2或二者都有,有3种安排方法; 共有1×3×3=9(种)安排方法.故其 “同族函数”有9个. 3.(1)f(x)= 1 2x 2-x+ 3 2 (2)0≤k<1- 2 2 解析:(1)易 知 a ≠0,由 f(x)= ax2-2ax+b+1= a(x-1)2- a +b+1,所以函数f(x)= ax2- 2ax+b+1在[1,3]上单调递增,又 函数是同域函数,得 f(1)=1, f(3)=3, 即 f(1)= a -2a +b+1=1, f(3)=9a -6a +b+1=3, 解 得 a= 1 4 , b= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以f(x)= 1 2x 2-x+ 3 2. (2)由(1)得g(x)=k- 1 2x 2-x =k- 1 2 (x-1)2- 1 2 (k≥0),所以g(x)在(-∞,0]上单调 递增,设[c,d]是函数g(x)的同域区 间,得 g(c)=c, g(d)=d, 即 k- 1 2c 2-c =c, k- 1 2d 2-d =d, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得x 2-2(2k- 1)x+2k2 =0在(-∞,0]上的根为c 和d,则满足 Δ = [-2(2k-1)]2-4×2k2 >0, c+d =2(2k-1)<0, c·d =2k2 ≥0, k≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 k>1+ 2 2 或k<1- 2 2 , k< 1 2 , k≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得0≤k<1- 2 2. 2.2 函数的单调性与最值 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)f(x1)<f(x2) 单调递增 单调 递增 f(x1)>f(x2) 单调递减 单调递减 上升的 下降的 (2)单调递增 单调递减 区间I 2.f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)= M 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.(3,+∞) 3.a≤2 4.B 5.ABD 函数f(x)= -x 1 2 = - x 在 (0,+∞)上单调递减;f(x)=2-x = 1 2 x 在 (0,+ ∞)上 单 调 递 减; f(x)=ln|x|,当x>0时,f(x)= ln x 在(0,+∞)上单调递增;f(x)= 1 x2 在 (0,+ ∞)上 单 调 递 减. 故 选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)D 解 法1(排 除 法):取x1 = -1,x2 = 0,对 于 A,f(x1)= 1, f(x2)=0,所以 A不符合题意;对于 B,f(x1)= 3 2 ,f(x2)=1,所以B不 符合题意;对于C,f(x1)=1,f(x2)= 0,所以C不符合题意.故选D. 解法2(图象法):如图,在坐标系中分 别画出A,B,C,D四个选项中函数的大 致图象,即可快速直观判断D符合题 意.故选D. (2)[1,2] 解析:f(x)= x2-2x,x ≥2, -x2+2x,x <2. 画 出f(x)的大致图象(如图所示),由图 知f(x)的单调递减区间是[1,2]. 对点训练1:(-∞,-1]和(0,1] 解析:f(x)= - x2+2x+1,x≥0, -x2-2x+1,x<0 ⇒ -(x-1)2+2,x ≥0, -(x+1)2+2,x <0. 画 出 函 数 图 象如图所示,可知函数f(x)的单调递 增区间为(-∞,-1]和(0,1]. 例2:证明:证法1:设x1,x2是区间(-∞,0) 上的任意两 个 实 数,且 x1 <x2.则 f(x1)-f(x2)= 2x1- 1 x1 - 2x2- 1 x2 =2(x1 -x2)+ 1x2 - 1x1 = (x1-x2) 2+ 1x1x2 .由于x1<x2< 0,所以x1-x2<0,2+ 1 x1x2 >0,因此 f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故f(x)在(-∞,0)上是增函数. 证法2:因为f(x)=2x - 1 x ,所以 f'(x)=2+ 1 x2 .因为x∈(-∞,0),所以 f'(x)>0,即f(x)在(-∞,0)上是增 函数. 对点训练2:解:设x1<x2<1, f(x)=a· x-1+1 x-1 = a1+ 1 x-1 , f(x1)-f(x2)=a 1+ 1 x1-1 - a 1+ 1 x2-1 = a (x2-x1) (x1-1)(x2-1) , 由于x1<x2<1,所以x2-x1>0, x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-∞, 1)上单调递减; 当a <0时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-∞, 1)上单调递增. 例3:(1)2kπ+ π 3 ,2kπ+ π 2 ,k∈Z 解析:函数f(x)=log2(2sin x- 3) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -447-