1.5 一元二次方程、不等式-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

@第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 2" 1.已知正实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,正实 数a,b,c满足a2+b2+c2=9,则ax+by+ cz的最大值为 . 2.已知3x2+2y2=6,则2x +y 的最大值为 . 3.函数y=2 1-x + 2x+1 的最大值为 . 4.已知ai>0,且a1+a3=1,a2+a5=2,a4+ a6=3,证明: (1)2+ 1 a1 1+1a3 ≥7+26; (2)a1+2a2+ 2(a3+a4)+ 3(2a5+a6) <7. 学习至此,请完成课时作业4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.5 一元二次方程、不等式 5A>! 1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数. 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助二次函数求 解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. AMc
-  -@) 1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的不等式,称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ =b2-4ac Δ>0 Δ =0 Δ<0 二次 函 数 y = ax2+bx+c(a >0)的图象 方程ax2+bx+ c = 0(a > 0) 的根 有两个不相等 的实数根x1, x2(x1 <x2) 有两个相等 的 实 数 根 x1 = x2 = - b 2a 没有实数根 续表 判别式 Δ =b2-4ac Δ>0 Δ =0 Δ<0 ax2+bx+c> 0(a>0)的解集 x x≠- b 2a R ax2+bx+c< 0(a>0)的解集 " 当Δ <0时,不等式ax2+bx +c> 0(a≠0)的解集为R还是 ⌀,要注意区别. 3.分式不等式与整式不等式 (1)f (x) g(x)> 0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0); (2)f (x) g(x)≥ 0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0) 且g(x)≠0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 017 hh 4.简单的绝对值不等式 绝对值不等式|x|>a(a >0)的解集为 (-∞,-a)∪(a,+∞);|x|<a(a>0) 的解集为(-a,a).记忆口诀:大于号取两边, 小于号取中间. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)若方程ax2+bx+c=0无实数根,则不等 式ax2+bx+c>0的解集为R. ( ) (2)若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解 集为(x1,x2),则a<0. ( ) (3)若ax2+bx+c>0恒成立,则a>0且 Δ<0. ( ) (4)不等式x-ax-b ≥ 0等价于(x -a)(x - b)≥0. ( ) (5)x(x+2)2>0的解集是(-∞,-2)∪ (0,+∞). ( ) 2.(教材改编题)不等式 2x+1≤ 1的解集是 . 3.(教材改编题)若关于x 的不等式ax2+bx+ 2>0的解集为 x - 1 2<x < 1 3 ,则ab= . 4.(教材改编题)不等式mx2+mx+1>0对一 切x ∈R恒成立,则实数m 的取值范围是 . 5.(多选题)已知关于x 的不等式ax2+bx + c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下 列选项中正确的是 ( ) A.a<0 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} C.a+b+c>0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集为 -∞, - 1 3 ∪ 1 2 ,+∞ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 一元二次不等式的解法 命题角度1 不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式: (1)-3x2+6x ≤2; (2)9x2-6x+1>0; (3)x2<6x-10; (4)-1<x2+2x-1≤2. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标 准形式. (2)判:计算对应方程的判别式,根据判别式判 断方程有没有实根(无实根时,不等式的解集为 R 或 ⌀). (3)求:求出对应的一元二次方程的根. (4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不 等式的解集. 【对点训练1】 (1)不等式|x2-x|+1<3的 解集是 . (2)已知关于x 的不等式ax2+bx+c>0(a≠ 0)的解集是{x|-1<x <2},则不等式 cx2+bx+a<0的解集是 . 命题角度2 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 解关于x 的不等式ax2-2≥2x-ax (a∈R). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 018 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0,小 于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式 或二次项系数为正的一元二次不等式. (2)判断一元二次不等式所对应的方程实根的 个数,即讨论判别式Δ 与0的关系. (3)确定方程无实根或有两个相同实根时,可直 接写出解集;确定方程有两个相异实根时,要讨论两 实根的大小关系,从而确定解集形式. 【对点训练2】 解关于x 的不等式:x2-(a+ a2)x+a3>0(a∈R). 考点2 一元二次不等式恒(能)成立问题 命题角度1 在R上恒成立问题 【例3】 已知关于x 的不等式kx2-6kx+k+ 8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件 要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x 恒 成立 ⇔ a=b=0, c>0 或 a>0 , Δ<0. (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x 恒 成立 ⇔ a=b=0, c<0 或 a<0 , Δ<0. 【对点训练3】 已知x ∈R,不等式x2+(a- 2)x-2a+1>0恒成立,则a的取值范围为 . 命题角度2 在给定区间上的恒成立问题 【例4】 已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对 于x∈[1,3],f(x)<5-m 恒成立,则实数 m 的取值范围为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 在给定区间上的恒成立问题,常可用分离参数 的方法转化为函数值域问题,很多时候都可以减少 不必 要 的 讨 论,其 中:f(x)≤a 恒 成 立 ⇔a ≥ f(x)max;f(x)≥a 恒成立 ⇔a≤f(x)min. 【对点训练4】 若不等式x2+mx-1<0对于 任意x∈[m,m+1]都成立,则实数m 的取 值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 019 hh 命题角度3 有关一元二次不等式整数解问题 【例5】 若关于x 的不等式x2-(2a+1)x+ 2a<0恰有两个整数解,则a 的取值范围 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解有关整数解问题的关键是弄清整数解到底是 哪几个整数,再根据这几个整数解确定相应一元二 次方程的根的分布情况,从而确定参数的范围. 【对点训练5】 (1)若关于x 的不等式(kx - k2-1)(x-1)<0有且只有一个整数解,则 实数k的取值范围是 . (2)若不等式组 x2-x-2>0, 2x2+(5+2k)x+5k<0 的 解集中所含整数解只有-2,则k 的取值范 围是 . 命题角度4 给定参数范围的恒成立问题 【例6】 (2023·江苏宿迁模拟)若不等式x2+ px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则 x 的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 给定参数范围的恒成立问题,常采用变更主元 的方法,即交换主元与参数的位置,构造以参数为变 量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见的 是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0) 在[m,n] 上 恒 成 立 问 题, 若 f(x) > 0 恒 成 立 ⇔ f(m)>0, f(n)>0, 即直线上两点的函数值均大于零,则由 直线的特点可知,两点之间的所有点的函数值均大 于零.同理,若f(x)<0恒成立 ⇔ f(m)<0, f(n)<0. 【对点训练6】 (2024·河北沧州高三月考)已 知集合A={t|t2-4≤0},对于任意t∈A, 使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x 的取值范围是 . 命题角度5 不等式能成立或有解问题 【例7】 (2024·江苏镇江高三期中)若关于x的 不等式x2-2x-1+m≤0在区间[0,3]内 有解,则实数m 的取值范围为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一元二次不等式在给定区间上的有解问题,常 用分离参数的方法,通过 分 离 参 数 后 利 用:a > f(x)在区间[m,n]上有解,则a >f(x)min,a < f(x)在区间[m,n]上有解,则a<f(x)max(对于 a≥f(x),a≤f(x)可类似处理),有时也转化为 求解最值问题. 【对点训练7】 已知命题p:∃x ∈ [-1,3], x2-a-3≤0.若p 为假命题,则a的取值 范围为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 020 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式  >Fe2 直观想象核心素养下的一元二次 方程根的分布 一元二次方程根的分布一般要考虑以下几点: (1)对应二次函数的开口方向; (2)一元二次方程的根的判别式; (3)对应二次函数图象的对称轴与区间的 关系; (4)对应二次函数在区间端点处函数值的 符号. 只要能准确把握以上四点,这类问题就能 够顺利解决. 设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0).一 元二次方程根的分布情况如下表: 分布情况 两根都在 (m,n)内 两根有且仅有一 根在(m,n)内 一根在(m,n)内, 另一根在(p,q)内 大致图象 (a>0) 得出的 结论 Δ≥0, f(m)>0, f(n)>0, m <- b 2a<n 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 f(m)·f(n) <0 f(m)>0, f(n)<0, f(p)<0, f(q)>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 或 f(m)f(n)<0, f(p)f(q)<0 大致图象 (a<0) 得出的 结论 Δ≥0, f(m)<0, f(n)<0, m <- b 2a<n 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 f(m)·f(n) <0 f(m)<0, f(n)>0, f(p)>0, f(q)<0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 或 f(m)f(n)<0, f(p)f(q)<0 【题目呈现】 已知关于x 的方程x2 + (m-3)x+m=0,分别求满足下列条件的m 的 取值范围. (1)有两个正根; (2)一个根大于1,一个根小于1; (3)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0, 4)内; (4)一个根小于2,一个根大于4; (5)两个根都在(0,2)内. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 2" 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0) 内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的取 值范围. 学习至此,请完成课时作业5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021 hh 当且仅当 a1+2a2 = a3+a4 2 = 2a5+a6 3 时取等号. 所以 a1+2a2 + 2(a3+a4)+ 3(2a5+a6)≤ 48<7. 1.5 一元二次方程、不等式 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 2.{x|x<x1,或x>x2} {x|x1< x <x2} ⌀ ⌀ 基础检测 1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 2.{x|x<-1或x≥1} 3.24 4.[0,4) 5.BD 不等式ax2+bx+c>0的解集 为(-∞,-2)∪(3,+∞),则-2,3是 方程ax2+bx+c=0的两实数根,且 a>0,则- b a =1 ,c a = -6 ,a>0, 即b= -a,c= -6a,a>0,A错误; 不 等式bx+c>0化为-ax-6a>0, 解得x <-6,即不等式bx+c>0的 解集是{x|x <-6},B正确;a+b+ c= -6a <0,C错误;不等式cx2 - bx+a<0化为-6ax2+ax+a<0, 即6x2-x-1>0,解得x<- 1 3 或 x > 1 2. 所以不等式cx2-bx+a<0 的解 集 为 - ∞,- 13 ∪ 12, +∞ ,D正确.故选BD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:解:(1)原不等式等价于3x2-6x+ 2≥0.∵Δ =12>0,∴ 方程3x2 - 6x+2=0有两个不相等的实数根,解 得x1 = 3- 3 3 ,x2 = 3+ 3 3 ,画出函 数y=3x2-6x+2的图象,如图1所 示,由图可得原不等式的解集为 x x ≤ 3- 3 3 或x ≥ 3+ 3 3 . 图1 图2 (2)∵Δ=0,∴ 方程9x2-6x+1=0 有两个相等的实数根,解得x1=x2= 1 3. 画出函数y =9x2-6x+1的图 象,如图2所示.由图可得原不等式的 解集为 x x ≠ 1 3 . 图3 (3)原 不 等 式 可 化 为 x2-6x+10<0, ∵Δ= -4<0,∴方程 x2-6x+10=0无实 数根,画 出 函 数 y = x2-6x+10的图象,如 图3所示,由图象可得 原不等式的解集为 ⌀. (4)原不等式等价于 x 2+2x-1>-1, x2+2x-1≤2, 即 x 2+2x >0,① x2+2x-3≤0,② 由 ① 得x(x+2)>0,∴x <-2或 x >0;③ 由 ② 得(x+3)(x-1)≤0,∴-3≤ x ≤1.④ 画出数轴,如图4所示,③④ 取交集. 图4 可得 原 不 等 式 的 解 集 为{x|-3≤ x <-2或0<x ≤1}. 对点训练1:(1)(-1,2) (2)x -1<x < 1 2 解析:因为ax2+bx+c>0(a≠0)的 解集是{x|-1<x <2},所以 -1,2 是方程ax2+bx+c=0的两实数根, 且a < 0,由 根 与 系 数 的 关 系,得 -1+2= - b a , -1×2= c a , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以b = -a,c = -2a,所以不等式cx2+bx+a<0⇒ -2ax2-ax+a<0,即2x2+x-1< 0,解 得 -1<x < 1 2 ,所 以 不 等 式 cx2+bx+a<0的解集为 x -1< x < 1 2 . 例2:解:原不等式可 化 为ax2 + (a- 2)x-2≥0,即(ax-2)(x+1)≥0. ① 当a=0时,原不等式化为x+1≤ 0,解得x ≤-1. ② 当a >0时,原不等式化为 x - 2 a (x+1)≥0,解得x≥2a 或x≤-1. ③ 当a <0时,原不等式化为 x - 2 a (x+1)≤0. 当2 a >-1 ,即a<-2时,解得-1≤ x ≤ 2 a ; 当2 a = -1 ,即a= -2时,解得x = -1满足题意; 当2 a <-1 ,即 -2<a<0时,解得 2 a ≤x ≤-1. 综上所述,当a =0时,不等式的解集 为{x|x ≤-1}; 当a>0时,不等式的解集为 x x ≤-1或x ≥ 2 a ; 当-2<a<0时,不等式的解集为 x 2a ≤x ≤-1 ; 当a= -2时,不等式的解集为{-1}; 当a<-2时,不等式的解集为 x -1≤x ≤ 2 a . 对点训练2:解:将不等式x2-(a+a2)x+ a3 >0变形为(x-a)(x-a2)>0. 当a<0时,a<a2,∴ 原不等式的解 集为{x|x <a或x >a2}; 当a=0时,a=a2=0,∴原不等式的 解集为{x|x ≠0}; 当0<a<1时,a>a2,∴原不等式的 解集为{x|x <a2 或x >a}; 当a=1时,a=a2=1,∴原不等式的 解集为{x|x ≠1}; 当a>1时,a<a2,∴ 原不等式的解 集为{x|x <a或x >a2}. 综上所述,当a<0或a>1时,原不等 式的解集为{x|x <a或x >a2}; 当a=0时,原不等式的解集为{x| x ≠0}; 当0<a <1时,原不等式的解集为 {x|x <a2 或x >a}; 当a=1时,原不等式的解集为{x| x ≠1}. 例3:[0,1] 解析:当k=0时,不等式kx2-6kx+ k+8≥0可化为8≥0,恒成立, 当k≠0时,要满足关于x 的不等式 kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒 成立,只需 k>0, Δ=36k2-4k(k+8)≤0, 解得0<k≤1. 综上所述,k 的取值范围是[0,1]. 对点训练3:(-4,0) 例4:-∞, 6 7 解析:要使f(x)<-m+5在x∈[1, 3]上恒成立,即m x- 1 2 2 + 3 4m- 6<0在x ∈ [1,3]上恒成立.有以下 两种解法: 解法1:令 g(x)= m x- 1 2 2 + 3 4m-6 ,x ∈ [1,3].当 m >0时, g(x)在 [1,3]上 单 调 递 增,所 以 g(x)max =g(3),即7m-6<0,所以 m < 6 7 ,所以0<m < 6 7 ;当m =0 时,-6<0恒成立;当m<0时,g(x) 在[1,3]上单调递减,所以g(x)max = g(1),即m-6<0,所以m <6,所以 m < 0.综 上 所 述,m 的 取 值 范 围 是 -∞, 6 7 . 解法2:因为x2-x+1= x-12 2 + 3 4 >0 ,又因为m(x2-x+1)-6< 0在x ∈ [1,3]上恒成立,所以 m < 6 x2-x+1 在x ∈ [1,3]上恒成立. 令y = 6 x2-x+1 ,因 为 函 数 y = 6 x2-x+1 = 6 x- 1 2 2 + 3 4 在[1, 3]上的最小值为67 ,所以只需m < 6 7 即可.所以m 的取值范围是 -∞, 6 7 . 对点训练4:- 2 2 ,0 解析:由 题 意,得 函 数f(x)=x2 + mx-1在[m,m+1]上的最大值小于 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -444- 参 考 答 案 0,又抛物线f(x)=x2+mx-1开口 向上,所以只需 f(m)=m2+m2-1<0, f(m+1)= (m+1)2+m(m+1)-1<0, 即 2m 2-1<0, 2m2+3m<0, 解得- 22 <m<0. 例5:a -1≤a<- 1 2 或3 2 <a≤2 解析:令x2-(2a+1)x+2a=0,解得 x =1或x=2a.当2a>1,即a> 1 2 时,不等式x2-(2a+1)x+2a<0的 解集为{x|1<x<2a},则3<2a≤ 4,解得32 <a≤2 ;当2a=1,即a= 1 2 时,不等式x2-(2a+1)x+2a< 0无解,所以a = 1 2 不符 合 题 意;当 2a<1,即a< 1 2 时,不等式x2-(2a+ 1)x+2a<0的解集为{x|2a<x<1}, 则-2≤2a<-1,解得-1≤a<- 1 2. 综上,a的取值范围是 a -1≤a<-12 或 3 2 <a≤2 . 对点训练5:(1)3- 5 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 ∪ 1,3+ 52 􀭤􀭥 􀪁􀪁 解析:k=0时,不等式为-(x-1)< 0,解得x >1,不符合题意,若k<0, 则不等式的解集为 x x <k+ 1k 或 x >1 ,不符合题意,因此只有k>0, 不等式的解集为 x 1<x<k+1k , 因此2<k+ 1 k ≤3 ,解得3- 5 2 ≤ k≤ 3+ 5 2 且k≠1. (2)[-3,2) 解析:由 x2 -x -2>0,得 (x - 2)(x+1)>0,得x<-1或x>2,所 以x2-x -2>0的 解 集 为(- ∞, -1)∪ (2,+ ∞).由 2x2 + (5+ 2k)x+5k<0,得 x+52 (x+k)< 0,当-k<- 5 2 ,即k> 5 2 时,得-k< x <- 5 2 ,所 以2x2 + (5+2k)x + 5k<0的解集为 -k,-52 ,此解集 中不 含 -2,不 符 合 题 意;当 -k = - 5 2 ,即k = 5 2 时, x + 52 (x + k)<0化 为 x + 52 2 <0,所 以 2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为空 集,不符合题意;当 -k>- 5 2 ,即k< 5 2 时,得 - 5 2 <x<-k ,所以2x2+ (5+2k)x+5k<0的解集为 - 52, -k ,因为不等式组 x2-x-2>0, 2x2+(5+2k)x+5k<0 的解集 中 所含整数解只有-2,所以-2<-k≤ 3,得 -3≤k<2. 例6:(-∞,-1)∪ (3,+∞) 解析:不等式x2+px>4x+p-3可 化为(x-1)p+x2-4x+3>0, 由已知可 得[(x -1)p +x2 -4x + 3]min >0(0≤p≤4), 令f(p)= (x -1)p +x2 -4x + 3(0≤p≤4),可得 f(0)=x2-4x+3>0, f(4)=4(x-1)+x2-4x+3>0, ∴x <-1或x >3. 对点训练6:{x|x <-1或x >3} 解析:由t2-4≤0,得-2≤t≤2,所 以 -1≤1-t≤3.不等式x2+tx- t>2x-1对-2≤t≤2恒成立,即不 等式x2+(t-2)x+1-t>0对-2≤ t≤ 2恒 成 立,即 不 等 式 (x +t- 1)(x-1)>0对-2≤t≤2恒成立, 所以只需 x-1>0, x+t-1>0 或 x-1<0, x+t-1<0 对-2≤t≤2恒成立, 所以只需 x >1, x >1-t 或 x <1,x <1-t 对 -2≤t≤2恒成立. 因为 -1≤1-t≤3,所以x >3或 x <-1. 例7:(-∞,2] 解析:x2 -2x -1+m ≤0⇒m ≤ -x2+2x+1,设f(x)= -x2+2x+ 1(x ∈ [0,3]),f(x)= -x2+2x + 1= -(x-1)2+2,该二次函数的对称 轴为直线x=1,开口向下,当x∈[0, 3]时,f(x)max =f(1)=2,要想关于 x 的不等式x2-2x-1+m ≤0在区 间[0,3]内有解,只需m ≤f(x)max⇒ m ≤2,所 以 实 数 m 的 取 值 范 围 为 (-∞,2]. 对点训练7:(-∞,-3) 解析:若命题p为真命题,即∃x∈[-1, 3],x2-3≤a.设f(x)=x2-3,则由 二次函数图象与性质知,当x ∈ [-1, 3]时,f(x)最小值为f(0)= -3,所 以a≥-3.因为命题p为假命题,所以 a<-3,即a的取值范围为(-∞,-3). 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:解:令f(x)=x2+(m-3)x+ m, (1)由题意得 Δ=(m-3)2-4m≥0, 3-m>0, m>0, 解得0<m ≤1. (2)若方程x2+(m-3)x+m =0的 一个 根 大 于 1,一 个 根 小 于 1,则 f(1)=2m-2<0,解得m <1. (3)若方程x2+(m-3)x+m =0的 一个根在(-2,0)内,另一个根在(0, 4)内,则 f(-2)= -m+10>0, f(0)=m <0, f(4)=5m+4>0, 解得- 4 5 <m <0. (4)若方程x2+(m-3)x+m =0的 一个 根 小 于 2,一 个 根 大 于 4,则 f(2)=3m-2<0, f(4)=5m+4<0, 解得m<-45. (5)若方程x2+(m-3)x+m =0的 两个根都在(0,2)内,则 f(2)=3m-2>0, f(0)=m >0, 0<- m-3 2 <2 , Δ = (m-3)2-4m ≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得2 3 <m ≤1. 素养检测:解:(1)设函数f(x)=x2+ 2mx+2m+1,与x轴的交点分别在区 间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图(如 图1),得 f(0)=2m+1<0, f(-1)=2>0, f(1)=4m+2<0, f(2)=6m+5>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ m <- 1 2 , m ∈R, m <- 1 2 , m >- 5 6. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ∴- 5 6 <m <- 1 2. 图1 图2 (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0, 1)内(如图2),列不等式组 f(0)>0, f(1)>0, Δ≥0, 0<-m <1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ m >- 1 2 , m >- 1 2 , m ≥1+ 2或m ≤1- 2, -1<m <0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴- 1 2 <m ≤1- 2. 第二章 函数的概念与 基本初等函数 2.1 函数的概念及其表示 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y (2)定义域 值域 自变量的取值 定义域 所有函数值 3.对应关系 分段函数 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.8或-3 3.(1,2) 4.f(x)= x x+1 (x ≠0) 5.ABD 对于A,由x2-4≥0,得x ≤ -2或x ≥2,所以f(x)的定义域为 (- ∞,- 2] ∪ [2,+ ∞), 由 x-2≥0, x+2≥0, 得x≥2,所以g(x)的定 义域为[2,+∞),所以两函数的定义 域不相同,所以两函数不 是 同 一 个 函 数,故A符合题意;对于B,f(x)的定 义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的 定义域为 R,所以两函数的定义域不相 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -445-