1.4 基本不等式-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

@第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.4 基本不等式 5A>! 1.掌握基本不等式 ab ≤ a+b 2 (a,b>0)及其推导过程. 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. AMc
-  -@) 1.基本不等式 ab ≤ a+b 2 (1)基本不等式成立的条件: . (2)等号成立的条件:当且仅当 时取 等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥ (a,b∈R). (2)ba + a b ≥ (a,b同号). (3)ab≤ a+b 2 2 (a,b∈R). (4)a 2+b2 2 ≥ a+b 2 2 (a,b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 3.“四个平均数” 给定两个正数a,b,数 称为a,b的算 术平均数;数 ab 称为a,b 的几何平均数; 2 1 a+ 1 b 和 a 2+b2 2 分别叫做a,b的调和平均 数和平方平均数.“四个平均数”可构成不等 式链: 2 1 a+ 1 b ≤ ab ≤ a+b 2 ≤ a2+b2 2 . 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y>0. (1)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y 时,x+y 有最小值,是 (简记:积定 和最小). (2)如果和x+y是定值S,那么当且仅当x= y时,xy有最大值,是 (简记:和定积 最大). -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)两个不等式a2+b2≥2ab与 a+b 2 ≥ ab 成立的条件是相同的. ( ) (2)已知ab≠0,则 b a + a b ≥2. ( ) (3)函数f(x)=sin x+ 4 sin x 的最小值为4. ( ) (4)“x >0且y>0”是“ x y + y x ≥2 ”的充分 不必要条件. ( ) (5)若x >0,y>0且x+y=xy,则xy的 最小值为4. ( ) 2.(教材改编题)已知a,b∈(0,1)且a≠b,下 列各式中最大的是 .(填序号) ①a2+b2;②2 ab;③2ab;④a+b. 3.(教材改编题)若把总长为20 m的篱笆围成 一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 . 4.(教材改编题)已知圆和四边形(四个角均为 直角)的周长相等,面积分别为S1,S2,则 S1 S2 的最小值为 . 5.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列 不等式恒成立的是 ( ) A.1ab≥ 1 4 B. 1 a+ 2 b ≥2 C.ab ≥2 D.a2+b2≥8 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 013 hh A /c5%1@ 考点1 用基本不等式求最值 命题角度1 直接用基本不等式求最值 【例1】 (1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,则 ab的最大值为 . (2)已知a>0,b>0,且ab=1,则 1 2a+ 1 2b+ 8 a+b 的最小值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 在利用基本不等式求最值时,要注意一正,二 定,三相等.基本不等式具有“积式”与“和式”的互 化功能,为了达到求最值的目的,有时需多次使用基 本不等式,但不要忽视每次取等号的条件应是相同的. 【对点训练1】 (1)(2023·河北武邑中学检测) (3-a)(a+6)(-6<a<3)的最大值为 . (2)(2023·河北衡水检测)若a,b∈R,ab>0, 则a 4+4b4+1 ab 的最小值为 . 命题角度2 利用配凑法求最值 【例2】 (多选题)(2023·湖南岳阳模拟)下列说 法正确的有 ( ) A.若x< 1 2 ,则2x+ 1 2x-1 的最大值为-1 B.若x >-2,则 x+6 x+2 ≥4 C.若0<x< 3 2 ,则函数y=4x(3-2x)的 最大值为9 D.若x <1,则 x2-x+9 x-1 的最大值为-5 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 配凑法的运用技巧 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通 过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定 值”或“积为定值”的形式 如:凑成x+ax(a>0), b a + a b 的形式等 ,然后利用基本不等式求解最值. 拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件. 【对点训练2】 (1)(2023·福建福州检测)若 0<x < 1 2 ,则y=x 1-4x2 的最大值 为 . (2)(2023·广东惠州调研)若a >0,则a+ 8 2a+1 的最小值为 . 命题角度3 常值代换法求最值 【例3】 (1)已知a>0,b>0,3a+b=2ab,则 a+b的最小值为 . (2)(2023·河北保定高三月考)已知实数a> 0,b>0,且 1 a+ 1 b=1 ,则 3 a-1+ 2 b-1 的最 小值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 014 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 常值代换法:当式子中含有两个变量,且条件和 所求的式子分别为整式和分式时,当整式或分式有 一个为定值时,即 ①已知a>0,b>0,x>0,y> 0,若ax+by=1,则有 1 x + 1 y = (ax +by) 1x + 1 y =a+b+ by x + ax y ≥ a+b+2 ab =(a + b)2.② 已知a>0,b>0,x >0,y >0,若 a x + b y = 1,则有x+y=(x+y) ax +by =a+b+ ay x + bx y ≥ a+b+2 ab=(a + b)2. 由上可知,构造 (ax+by)· mx +ny (a,b,m, n 为常数)的结构,利用(ax +by)· mx +ny = am+bn+ bmy x + anx y ≥ am+bn+2 abmn 当 且仅当bmy x = anx y 时等号成立 求解最值是非常奏 效的. 【对点训练3】 (1)已知正数x,y满足x+2y= 3,则 xyx+8y 的最大值为 . (2)已知a+b+c=1,其中a,b,c>0,则 1 a+ 9 b+c 的最小值为 . 命题角度4 利用消元法、换元法求最值 【例4】 (2023·福建厦门联考)已知x>0,y> 0,x+3y+xy=9,则x+3y 的最小值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用消元法、换元法求最值的技巧 当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常 是考虑利用已知条件消去部分变量,凑出“和为常 数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值. 有 时也常利用换元法将式子恰当变形,简化式子,再利 用基本不等式求解. 【对点训练4】 (1)(多选题)(2022·新高考 Ⅱ 卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则( ) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 (2)若a>0,b>0,且ab=a+2b+6,则a+ 2b的最小值为 . 考点2 利用基本不等式解决实际问题 【例5】 经济订货批量模型,是目前大多数工 厂、企业等最常采用的订货方式,即某种物 资在单位时间的需求量为某常数,经过某段 时间后,存储量消耗下降到零,此时开始订 货并随即到货,然后开始下一个存储周期, 该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的 存储问题,具体如下:年存储成本费T(元) 关于 每 次 订 货 x(单 位)的 函 数 关 系 为 T(x)= Bx 2 + AC x ,其中A 为年需求量,B 为 每单位物资的年存储费,C为每次订货费.某 化工厂需用甲醇作为原料,年需求量为6 000 吨,每吨存储费为120元/年,每次订货费为 2 500元. (1)若该化工厂每次订购300吨甲醇,求年存 储成本费; (2)每次需订购多少吨甲醇,可使该化工厂 年存储成本费最少? 最少费用为多少? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 015 hh 基本不等式的实际应用问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用 基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及 其取值范围. (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取 不到,可利用函数的单调性求解. 【对点训练5】 已知快递公司要从A 地往B 地 送货,A,B 两地的距离为100 km,按交通法 规,A,B 两地之间的公路车速x 应限制在 60~120 km/h(含端点),假设汽车的油耗为 42+ 7x2 400 元/h,司机的工资为70元/h (设汽车为匀速行驶),若燃油费用与司机工 资都由快递公司承担. (1)试建立行车 总 费 用y(元)关 于 车 速 x(km/h)的函数关系式; (2)若不考虑其他费用,以多少车速行驶,快 递公司所要支付的总费用最少? 最少费用 为多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋   >Fe2 柯西不等式 柯西不等式是法国著名的数学家、物理学 家、天文学家柯西(Cauchy,1789—1857)发现 的,故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中 一个非常重要的不等式,除了用柯西不等式来 证明一些不等式成立外,柯西不等式还常用于 选择、填空求最值的问题中,借助柯西不等式的 技巧可以达到事半功倍的效果. 1.二维形式的柯西不等式 设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立. 推广 一 般 情 形:设a1,a2,…,an,b1,b2,…, bn∈R,则(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+ b2n)≥ (a1b1+a2b2+…+anbn)2(当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1)a2+b2· c2+d2 ≥|ac+bd|(a,b, c,d∈R,当且仅当ad=bc时,等号成立). (2)a2+b2·c2+d2 ≥|ac|+|bd|(a,b,c, d∈R,当且仅当|ad|=|bc|时,等号成立). (3)(a+b)(c+d)≥(ac+ bd)2(a,b,c, d≥0,当且仅当ad=bc时,等号成立). 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 设α,β 为平面上的两个向量,则|α||β|≥ |α·β|,其中当且仅当β是零向量,或存在实 数k,使α=kβ 时等号成立. 4.二维形式的三角不等式 设 x1,y1,x2,y2 ∈ R,那 么 x21+y21 + x22+y22 ≥ (x1-x2)2+(y1-y2)2. 设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,那么 (x1-x2)2+(y1-y2)2 + (x2-x3)2+(y2-y3)2 ≥ (x1-x3)2+(y1-y3)2. 【题目呈现】 (1)若正数m,n,p 满足m+ n+p =4,且(m2+n2)mn+(p2+n2)pn+ (m2+p2)mp≥λmnp,则实数λ的取值范围为 . (2)已知x >0,y >0, x2 4 +y 2 =1,则 2 2x+ 2y 的最大值是 . (3)已 知a1,a2,…,an 都 是 实 数,求 证: 1 n (a1+a2+…+an)2≤a21+a22+…+a2n. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 016 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 2" 1.已知正实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,正实 数a,b,c满足a2+b2+c2=9,则ax+by+ cz的最大值为 . 2.已知3x2+2y2=6,则2x +y 的最大值为 . 3.函数y=2 1-x + 2x+1 的最大值为 . 4.已知ai>0,且a1+a3=1,a2+a5=2,a4+ a6=3,证明: (1)2+ 1 a1 1+1a3 ≥7+26; (2)a1+2a2+ 2(a3+a4)+ 3(2a5+a6) <7. 学习至此,请完成课时作业4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.5 一元二次方程、不等式 5A>! 1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数. 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助二次函数求 解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. AMc
-  -@) 1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的不等式,称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ =b2-4ac Δ>0 Δ =0 Δ<0 二次 函 数 y = ax2+bx+c(a >0)的图象 方程ax2+bx+ c = 0(a > 0) 的根 有两个不相等 的实数根x1, x2(x1 <x2) 有两个相等 的 实 数 根 x1 = x2 = - b 2a 没有实数根 续表 判别式 Δ =b2-4ac Δ>0 Δ =0 Δ<0 ax2+bx+c> 0(a>0)的解集 x x≠- b 2a R ax2+bx+c< 0(a>0)的解集 " 当Δ <0时,不等式ax2+bx +c> 0(a≠0)的解集为R还是 ⌀,要注意区别. 3.分式不等式与整式不等式 (1)f (x) g(x)> 0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0); (2)f (x) g(x)≥ 0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0) 且g(x)≠0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 017 hh 例4:(1)p≥q 解析:p-q=2x4+1-2x3-x2 = 2x3(x-1)-(x+1)(x-1)= (x- 1)(2x3-x-1)= (x-1)(x3-x+ x3-1)=(x-1)[x(x-1)(x+1)+ (x - 1)(x2 + x + 1)]= (x - 1)2(x2+x +x2 +x +1)= (x - 1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x2+ x)+1]= (x -1)2 2 x2 +x + 1 4 -2×14+1 = (x-1)2 2 x+ 1 2 2 + 1 2 ≥0,故p≥q. (2)c<b<a 解析:a-b= ln 3 3 - ln 4 4 = 4ln 3-3ln 4 12 = ln 81-ln 64 12 >0 ,b - c = ln 4 4 - ln 5 5 = 5ln 4-4ln 5 20 = ln 1 024-ln 625 20 >0 ,所以c<b<a. 对点训练4:(1)p≤q 解析:解法1(作差法):p-q = b2 a + a2 b -a-b = b2-a2 a + a2-b2 b = (b2 - a2) · 1 a - 1 b = (b2-a2)(b-a) ab = (b-a)2(b+a) ab ,∵a < 0,b < 0,∴a+b<0,ab>0,又(b-a)2 ≥ 0,∴p≤q. 解法2(作商法):∵p = a3+b3 ab = (a+b)(a2-ab+b2) ab ,∴ p q = a2-ab+b2 ab ≥ 2ab-ab ab =1 ,当且仅 当a=b时等号成立.∵q<0,∴p≤q. (2)证明:因为a>b>c,且a+b+ c=0,所以a>0,c<0, 所以c<b<a⇒c-a<b-a<0, 所以(c-a)(b-a)>0⇒ 1 (c-a)(b-a)> 0, 所以 - (c-a)>- (b-a)>0⇒ -(c-a)· 1 (c-a)(b-a)>- (b- a)· 1(c-a)(b-a)> 0, 所以 1 a-b> 1 a-c> 0, 所 以 1 b-a < 1 c-a < 0⇒ ab-a < a c-a , 故 a c-a> a b-a . 1.4 基本不等式 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)a>0,b>0 (2)a=b 2.(1)2ab (2)2 3.a+b2 4. (1)2 P (2)S 2 4 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.④ 3.25 m2 4.4π 解析:四个角均为直角的 四 边 形 是 矩 形,设长为a,宽为b,周长为C,设圆的 半径为r,则2πr =C,a+b = C 2 , ∴S1 =πr2 = C2 4π ,S2 =ab,∴ S1 S2 = C2 4πab≥ C2 4π· a+b2 2 = C2 πC2 4 = 4 π , 当且仅当a =b = C 4 时,等号成立. ∴ S1 S2 的最小值为 4 π. 5.AD 对于A,C,因为a>0,b>0,所 以a+b=4≥2 ab,即 ab≤2,当 且仅当a=b=2时等号成立,故0< ab≤4,则 1 ab≥ 1 4 ,故A正确,C错误; 对于B,代入a =b =2, 1 a + 2 b = 1 2 +1= 3 2 <2 ,故B错误;对于D, a2+b2≥ (a+b)2 2 =8 ,当且仅当a= b=2时等号成立,故D正确.故选AD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)116 解析:因为a>0,b>0,4a+b=1,所 以1=4a+b≥2 4ab=4 ab,当且 仅当4a=b= 1 2 ,即a= 1 8 ,b= 1 2 时,等号成立.所以 ab ≤ 1 4 ,ab≤ 1 16 ,则ab的最大值为116. (2)4 解析:∵a >0,b >0,∴a+b >0, ab=1,∴ 1 2a+ 1 2b+ 8 a+b = ab 2a+ ab 2b + 8 a+b = a+b 2 + 8 a+b ≥ 2 a+b2 × 8 a+b = 4,当且仅当a+ b=4时取等号,结合ab=1,解得a= 2- 3,b=2+ 3,或a=2+ 3,b= 2- 3时,等号成立. 对点训练1:(1)92 (2)4 例2:ABD 对于 A,因为x < 1 2 ,所以 2x-1<0,1-2x >0,所 以2x + 1 2x-1= (2x-1)+ 1 2x-1+ 1= - (1-2x)+ 1 1-2x +1≤ -2 (1-2x)· 1 1-2x + 1= -1(当 且仅当x =0时等号成立),此时2x+ 1 2x-1 有最大值 -1,故 A正确;对于 B,因为x >-2,所以x+2>0,所以 x+6 x+2 = x+2+4 x+2 = x+2 + 4 x+2 ≥2 x+2· 4 x+2 = 4,当 且 仅 当 x+2 = 4 x+2 ,即 x =2时取等号,故B正 确;对 于C, y=4x(3-2x)=2·2x·(3-2x)≤ 2· 2x+3-2x2 2 = 9 2. 当且仅当 2x =3-2x,即x = 3 4 时取等号,所 以当x = 3 4 时,ymax = 9 2 ,故C错误; 对于D,x 2-x+9 x-1 = (x-1)2+(x-1)+9 x-1 = - -(x- 1)+ - 9 x-1 +1≤-29+1= -5,当且仅当 - (x-1)= - 9 x-1 , 即x= -2时,等号成立,故D正确.故 选ABD. 对点训练2:(1)14 解析:因 为0<x < 1 2 ,所 以 y = x 1-4x2 = x2(1-4x2) = 1 2 4x 2(1-4x2)≤ 1 2 × 4x2+1-4x2 2 = 1 4. 当且仅当4x2 = 1-4x2,即x = 2 4 时取等号.则y = x 1-4x2 的最大值为 1 4. (2)72 解析:由题意可知a+ 8 2a+1= a+ 1 2+ 4 a+ 1 2 - 1 2≥2 a+ 1 2 × 4a+12 - 1 2 = 7 2 ,当且仅当a+ 1 2 = 4 a+ 1 2 , 即a= 3 2 时等号成立.所以a+ 8 2a+1 的最小值为 7 2. 例3:(1)2+ 3 解析:因 为3a+b =2ab,所 以 3 2b+ 1 2a =1 ,又a>0,b>0,故a+b= (a+b) 3 2b+ 1 2a =2+3a2b+ b2a ≥ 2+ 3,当且仅当 3a 2b= b 2a 时取等号,则 a+b的最小值为2+ 3. (2)26 解析:1 a + 1 b =1 ,变形为ab=a+ b⇒(a-1)(b-1)=1,则 3 a-1+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -442- 参 考 答 案 2 b-1= 3b+2a-5 (a-1)(b-1)= 3b+2a- 5,因为1a + 1 b =1 ,所以3b+2a = (3b+2a) 1 a + 1 b =5+3ba +2ab ≥ 5+26,当且仅当 3b a = 2a b 时等号成 立.故 3a-1+ 2 b-1 的最小值为26. 对点训练3:(1)16 解析:∵ 正数x,y 满足x +2y =3, ∴ 1 y + 8 x = 1 3 (x+2y) 1 y + 8 x = 1 3 10+ x y + 16y x ≥ 13 × 10+ 2 x y ·16y x = 13 ×(10+8)=6. 当且仅当 16y x = x y ,即x =4y=2时 取等号,则 xy x+8y= 1 1 y + 8 x ≤ 1 6 ,其 最大值为 1 6. (2)16 解析:因为a+b+c=1,a,b,c>0,则 1 a + 9 b+c = [a + (b+c)] 1a + 9 b+c =10+b+ca + 9ab+c≥10+ 2 b+ca · 9a b+c = 16, 当 且 仅 当 b+c a = 9a b+c ,即a= 1 4 ,b+c= 3 4 时取等 号,所 以1 a + 9 b+c 的 最 小 值 为16. 例4:6 解析:由已知得9- (x+3y)= 1 3 · x·3y ≤ 1 3 · x+3y 2 2 ,当且仅当 x =3y,即x =3,y=1时取等号,即 (x+3y)2+12(x+3y)-108≥0. 令x+3y =t,则t>0且t2+12t- 108≥0,得t≥6,即x+3y 的最小值 为6. 对点训练4:(1)BC 由x2+y2-xy= 1可 变 形 为 (x +y)2 -1=3xy ≤ 3x+y2 2 ,解得-2≤x+y≤2,当 且仅当x =y= -1时,x+y= -2, 当且仅当x =y=1时,x+y=2,故 A错误,B正确;由x2+y2-xy=1可变 形为(x2+y2)-1=xy≤ x2+y2 2 ,解 得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1 时取等号,故C正确;因为x2+y2- xy=1变形可得 x-y2 2 + 3 4y 2 = 1,设x-y2 =cos θ,32y =sin θ,所 以x=cos θ+ 1 3 sin θ,y= 2 3 sin θ,因 此x2+y2=cos2θ+ 5 3sin 2θ+ 2 3 sin θ· cos θ =1+ 1 3 sin 2θ - 1 3cos 2θ + 1 3 = 4 3+ 2 3sin2θ- π 6 ∈ 23,2 , 所以当x = 3 3 ,y = - 3 3 时满足等 式,但是x2+y2 ≥1不成立,故D错 误.故选BC. (2)12 解析:因为ab=a+2b+6,所以a· 2b=2(a+2b)+12,因为a>0,b> 0,所 以 a·2b ≤ a+2b 2 2 ,所 以 2(a+2b)+12≤ a+2b 2 2 ,整理得 (a+2b)2-8(a+2b)-48=(a+2b- 12)(a+2b+4)≥0.所以a+2b≥12 或a+2b≤-4(a>0,b>0,故舍去), 故a+2b的最小值为12,当且仅当a= 2b=6时,等号成立. 例5:解:(1)由题意可得A =6 000,B = 120,C =2 500,所 以 年 存 储 成 本 费 T(x)=60x+ 15 000 000 x . 若该化工厂每次订购300吨甲醇,所以 年存储成本费为T(300)=60×300+ 15 000 000 300 =68 000(元). (2)因为年存储成本费T(x)=60x+ 15 000 000 x ,x >0, 所以T(x)≥2 60x× 15 000 000 x = 60 000, 当且仅当60x = 15 000 000 x ,即x = 500时,取等号. 所以每次需订购500吨甲醇,可使该化 工厂年存储成本费最少,最少费用为 60 000元. 对点训练5:解:(1)由车速为x km/h,知 时 间 为100 x h,依 题 意 可 得 y = 100 x 42+ 7x2 400+70 =7x4 +11 200 x , x ∈ [60,120]. (2)y= 7x 4+ 11 200 x ≥2 7x 4 ·11 200 x = 280,当且仅当7x4 = 11 200 x ,即x =80 时取等号,所以以80 km/h的车速行 驶,快递公司所要支付的总费用最少, 最少费用为280元. 􀪋􀪋􀪋􀪋   􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)(-∞,8] 解析:不等式化为 m2+n2 p + p2+n2 m + m2+p2 n ≥λ , 左 边 = m 2+n2 4p + p2+n2 4m + m2+p2 4n (m+n+p)≥ (m+n) 2 8p + (p+n)2 8m + (m+p)2 8n (m+n+p)≥ 1 8 (m+n+p+n+m+p)2 = 1 8× 64=8,所以λ≤8,则实数λ的取值范 围为(-∞,8]. (2)2 解析:由 柯 西 不 等 式 得 x 2 4 +y 2 · (12 +12)≥ x 2 ×1+y×1 2 = x 2 +y 2 ,所以1×2≥ x 2 +y 2 , 当 x 2 =y ,即x = 2,y= 2 2 时等号 成立.所以x2 +y≤ 2 ,即 2 2x+ 2y 的最大值是2. (3)证明:根据柯西不等式,有 (12+12+…+12􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 n个 )(a21 +a22 + … + a2n)≥(1×a1+1×a2+…+1×an)2, 所以1 n (a1+a2+…+an)2 ≤a21+ a22+…+a2n. 素养检测:1.3 解析:(ax+by+cz)2 ≤ (a2+b2+ c2)·(x2+y2+z2)=9,∴ax+by+ cz≤3,当且仅当a=3x,b=3y,c= 3z时取“=”,∴ax+by+cz的最大值 为3. 2. 11 解析:令a1 = 3x,a2 = 2y,b1 = 2 3 ,b2 = 2 2 ,代入柯西不等式(a1b1+ a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22),∴(2x+ y)2 ≤ (3x2+2y2) 4 3 + 1 2 =6× 11 6 =11 ,∴- 11≤2x+y≤ 11, ∴2x+y 的最大值为 11. 3.3 解析:由题意得 - 1 2 ≤x ≤1 ,函数 y =2 1-x + 2x+1= 2× 2-2x +1· 2x+1≤ (2)2+12· ( 2-2x)2+( 2x+1)2 = 3× 3=3,当且仅当 2-2x·1= 2· 2x+1,即2-2x =4x+2,即 x =0时取等号,所以函数y 的最大值 为3. 4.证明:(1)因为a1+a3 =1,所以 2+ 1 a1 1+1a3 = 2+a1+a3a1 · 1+ a1+a3 a3 = 3+a3a1 2+a1a3 = 7+ 3a1 a3 + 2a3 a1 ≥7+2 3a1 a3 × 2a3 a1 = 7+26.当且仅当 3a1 a3 = 2a3 a1 ,即a1 = 6-2,a3 =3- 6时取等号. (2)由柯西不等式得,[(a1 +2a2)+ (a3+a4)+(2a5+a6)](1+2+3)≥ [ a1+2a2 + 2(a3+a4)+ 3(2a5+a6)]2, 所以 a1+2a2 + 2(a3+a4)+ 3(2a5+a6)≤ 6[(a1+a3)+2(a2+a5)+(a4+a6)]= 6×(1+4+3)= 48, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -443- hh 当且仅当 a1+2a2 = a3+a4 2 = 2a5+a6 3 时取等号. 所以 a1+2a2 + 2(a3+a4)+ 3(2a5+a6)≤ 48<7. 1.5 一元二次方程、不等式 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 2.{x|x<x1,或x>x2} {x|x1< x <x2} ⌀ ⌀ 基础检测 1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 2.{x|x<-1或x≥1} 3.24 4.[0,4) 5.BD 不等式ax2+bx+c>0的解集 为(-∞,-2)∪(3,+∞),则-2,3是 方程ax2+bx+c=0的两实数根,且 a>0,则- b a =1 ,c a = -6 ,a>0, 即b= -a,c= -6a,a>0,A错误; 不 等式bx+c>0化为-ax-6a>0, 解得x <-6,即不等式bx+c>0的 解集是{x|x <-6},B正确;a+b+ c= -6a <0,C错误;不等式cx2 - bx+a<0化为-6ax2+ax+a<0, 即6x2-x-1>0,解得x<- 1 3 或 x > 1 2. 所以不等式cx2-bx+a<0 的解 集 为 - ∞,- 13 ∪ 12, +∞ ,D正确.故选BD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:解:(1)原不等式等价于3x2-6x+ 2≥0.∵Δ =12>0,∴ 方程3x2 - 6x+2=0有两个不相等的实数根,解 得x1 = 3- 3 3 ,x2 = 3+ 3 3 ,画出函 数y=3x2-6x+2的图象,如图1所 示,由图可得原不等式的解集为 x x ≤ 3- 3 3 或x ≥ 3+ 3 3 . 图1 图2 (2)∵Δ=0,∴ 方程9x2-6x+1=0 有两个相等的实数根,解得x1=x2= 1 3. 画出函数y =9x2-6x+1的图 象,如图2所示.由图可得原不等式的 解集为 x x ≠ 1 3 . 图3 (3)原 不 等 式 可 化 为 x2-6x+10<0, ∵Δ= -4<0,∴方程 x2-6x+10=0无实 数根,画 出 函 数 y = x2-6x+10的图象,如 图3所示,由图象可得 原不等式的解集为 ⌀. (4)原不等式等价于 x 2+2x-1>-1, x2+2x-1≤2, 即 x 2+2x >0,① x2+2x-3≤0,② 由 ① 得x(x+2)>0,∴x <-2或 x >0;③ 由 ② 得(x+3)(x-1)≤0,∴-3≤ x ≤1.④ 画出数轴,如图4所示,③④ 取交集. 图4 可得 原 不 等 式 的 解 集 为{x|-3≤ x <-2或0<x ≤1}. 对点训练1:(1)(-1,2) (2)x -1<x < 1 2 解析:因为ax2+bx+c>0(a≠0)的 解集是{x|-1<x <2},所以 -1,2 是方程ax2+bx+c=0的两实数根, 且a < 0,由 根 与 系 数 的 关 系,得 -1+2= - b a , -1×2= c a , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以b = -a,c = -2a,所以不等式cx2+bx+a<0⇒ -2ax2-ax+a<0,即2x2+x-1< 0,解 得 -1<x < 1 2 ,所 以 不 等 式 cx2+bx+a<0的解集为 x -1< x < 1 2 . 例2:解:原不等式可 化 为ax2 + (a- 2)x-2≥0,即(ax-2)(x+1)≥0. ① 当a=0时,原不等式化为x+1≤ 0,解得x ≤-1. ② 当a >0时,原不等式化为 x - 2 a (x+1)≥0,解得x≥2a 或x≤-1. ③ 当a <0时,原不等式化为 x - 2 a (x+1)≤0. 当2 a >-1 ,即a<-2时,解得-1≤ x ≤ 2 a ; 当2 a = -1 ,即a= -2时,解得x = -1满足题意; 当2 a <-1 ,即 -2<a<0时,解得 2 a ≤x ≤-1. 综上所述,当a =0时,不等式的解集 为{x|x ≤-1}; 当a>0时,不等式的解集为 x x ≤-1或x ≥ 2 a ; 当-2<a<0时,不等式的解集为 x 2a ≤x ≤-1 ; 当a= -2时,不等式的解集为{-1}; 当a<-2时,不等式的解集为 x -1≤x ≤ 2 a . 对点训练2:解:将不等式x2-(a+a2)x+ a3 >0变形为(x-a)(x-a2)>0. 当a<0时,a<a2,∴ 原不等式的解 集为{x|x <a或x >a2}; 当a=0时,a=a2=0,∴原不等式的 解集为{x|x ≠0}; 当0<a<1时,a>a2,∴原不等式的 解集为{x|x <a2 或x >a}; 当a=1时,a=a2=1,∴原不等式的 解集为{x|x ≠1}; 当a>1时,a<a2,∴ 原不等式的解 集为{x|x <a或x >a2}. 综上所述,当a<0或a>1时,原不等 式的解集为{x|x <a或x >a2}; 当a=0时,原不等式的解集为{x| x ≠0}; 当0<a <1时,原不等式的解集为 {x|x <a2 或x >a}; 当a=1时,原不等式的解集为{x| x ≠1}. 例3:[0,1] 解析:当k=0时,不等式kx2-6kx+ k+8≥0可化为8≥0,恒成立, 当k≠0时,要满足关于x 的不等式 kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒 成立,只需 k>0, Δ=36k2-4k(k+8)≤0, 解得0<k≤1. 综上所述,k 的取值范围是[0,1]. 对点训练3:(-4,0) 例4:-∞, 6 7 解析:要使f(x)<-m+5在x∈[1, 3]上恒成立,即m x- 1 2 2 + 3 4m- 6<0在x ∈ [1,3]上恒成立.有以下 两种解法: 解法1:令 g(x)= m x- 1 2 2 + 3 4m-6 ,x ∈ [1,3].当 m >0时, g(x)在 [1,3]上 单 调 递 增,所 以 g(x)max =g(3),即7m-6<0,所以 m < 6 7 ,所以0<m < 6 7 ;当m =0 时,-6<0恒成立;当m<0时,g(x) 在[1,3]上单调递减,所以g(x)max = g(1),即m-6<0,所以m <6,所以 m < 0.综 上 所 述,m 的 取 值 范 围 是 -∞, 6 7 . 解法2:因为x2-x+1= x-12 2 + 3 4 >0 ,又因为m(x2-x+1)-6< 0在x ∈ [1,3]上恒成立,所以 m < 6 x2-x+1 在x ∈ [1,3]上恒成立. 令y = 6 x2-x+1 ,因 为 函 数 y = 6 x2-x+1 = 6 x- 1 2 2 + 3 4 在[1, 3]上的最小值为67 ,所以只需m < 6 7 即可.所以m 的取值范围是 -∞, 6 7 . 对点训练4:- 2 2 ,0 解析:由 题 意,得 函 数f(x)=x2 + mx-1在[m,m+1]上的最大值小于 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -444-