1.3 等式性质与不等式性质-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

@第一章 集合、常用逻辑用语与不等式  >Fe2 数学应用背景下的逻辑推理问题 【题目呈现】 (1)关于x 的方程x2+ax+ b=0,有下列四个命题: 甲:x=1是该方程的根; 乙:x=3是该方程的根; 丙:该方程两根之和为2; 丁:该方程两根异号. 若只有一个假命题,则该命题是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (2)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四 名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下:甲说:“罪犯 在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是 丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是罪犯”; 丁说:“乙说的是事实”,经过调查核实,四人中 有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这 四人 中 只 有 一 人 是 罪 犯,由 此 可 判 断 罪 犯 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【素养解读】 此类题是基于数学知识背景 下的逻辑推理问题,实际考查中,也可能基于数 学文化、生产生活等,体现对逻辑推理素养及批 判性思维能力的考查.逻辑推理是指从一些事 实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养. 主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推 理形式主要有归纳、类比推理,一类是从一般到 特殊的推理,推理形式主要有演绎推理. 2" 1.关于区间I=(a,+∞),有下列四个命题: 甲:小于1的数都不在区间 Ⅰ 内; 乙:区间I内不存在两个数互为倒数; 丙:区间I内存在小于1的数; 丁:区间I内每个数的平方都大于它本身. 若只有一个假命题,则该命题是 . 2.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,四人在成绩 公布前作出如下预测: 甲预测说:我不会获奖,丙获奖; 乙预测说:甲和丁中有一人获奖; 丙预测说:甲的预测是对的; 丁预测说:获奖者在甲、乙、丙三人中. 成绩公布后表明,四人的预测中有两人的预 测与结果相符,另外两人的预测与结果不符, 已知有两人获奖,则获奖者可能是 . 学习至此,请完成课时作业2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.3 等式性质与不等式性质 5A>! 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据,会比较两个实数的大小. 2.掌握等式性质. 3.理解不等式的概念及不等式的性质,掌握不等式性质的简单应用. 009 hh AMc
-  -@) 1.比较实数a,b大小的基本事实 (1)作差法 ①a-b>0⇔a b; ②a-b=0⇔a b; ③a-b<0⇔a b. (2)作商法 ①ab >1 (a∈R,b>0)⇔a b(a∈R, b>0); ②ab =1 (a∈R,b≠0)⇔a b(a∈R, b≠0); ③ab <1 (a∈R,b>0)⇔a b(a∈R, b>0). 2.等式的基本性质 (1)对称性:a=b⇔ ; (2)传递性:a=b,b=c⇒ ; (3)可加性:a=b⇔ ; (4)可乘性:a=b⇒ ; (5)可除性:a=b,c≠0⇒ . 3.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔ ;a<b⇔ 可逆 传递性 a>b,b >c⇒ ; a<b,b<c⇒ 同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a >b,c>0⇒ ; a>b,c<0⇒ c的符号 同向可加性 a>b,c>d⇒ 同向 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ 同向,同正 可乘方性 a >b >0,n ∈ N,n ≥ 2⇒an >bn 同正 可开方性 a>b>0,n∈N,n≥2⇒ n a > n b 同正 常用结论与知识拓展 1.不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b,ab>0⇒ 1 a < 1 b ; ②a<0<b⇒ 1 a < 1 b ; ③a>b>0,d>c>0⇒ a c > b d ; ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒ 1 b < 1 x < 1 a. (2)有关分数的性质 若a>b>0,m >0,则 ①真分数性质:b-ma-m< b a < b+m a+m (b-m>0), 即真分数越加越大,越减越小; ② 假分数性质:a+mb+m < a b < a-m b-m (b-m > 0),即假分数越加越小,越减越大. 2.若a<x<b,c<y<d,则a-d<x-y< b-c. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)a>b⇔ac2>bc2. ( ) (2)a=b⇔ac=bc. ( ) (3)若a<b<0,则 1 a < 1 b. ( ) (4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( ) (5)若a>b,c>d,则ac>bd. ( ) 2.(教材改编题)若M=2x2+7x+6,N=(x+ 1)(x+4),则M 与N 的大小关系是 . 3.(教材改编题)能够说明“若a,b,m 均为正数, 则b+m a+m< b a ”是真命题的一组数a,b可以为 a= ,b= .(写出一组即可) 4.(教材改编题)已知-1<a<2,-3<b< 5,则a+2b的取值范围是 . 5.(多选题)已知a>b>0,c<0,则下列四个 不等式中,一定成立的是 ( ) A.ca > c b B.ac<bc C.a>b-c D.a(b-c)>b(a-c) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 010 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 A /c5%1@ 考点1 实际问题情境下不等关系的建立 【例1】 刘老师沿着某公园的 环形道(周长大于1 km)按 逆时针方向跑步,他从起 点出发,并用软件记录了 运动轨迹,他每跑1 km,软 件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已 知刘老师共跑了11 km,恰好回到起点,前 5 km的记录数据如图所示,则刘老师总共跑 的圈数为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解决有关不等关系的实际问题时,应抓住关键 字(词),例如“要”“必须”“不少于”“大于”等,从而建 立相应的方程或不等式模型. 【对点训练1】 铁路总公司关于乘车行李规定 如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸 长、宽、高之和不超过130 cm,且体积不超过 72 000 cm3,设携带品外部尺寸长、宽、高分 别记为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学 关系式可表示为 ( ) A.a+b+c<130且abc<72 000 B.a+b+c>130且abc>72 000 C.a+b+c≤130且abc≤72 000 D.a+b+c≥130且abc≥72 000 考点2 不等式的性质 【例2】 (1)(多选题)下列命题为真命题的是 ( ) A.若ac2≥bc2,则a≥b B.若a<b<0,则a2>ab>b2 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c D.若a>b,则 1 a < 1 b (2)(多选题)(2024·江苏无锡四校高三上学期 调研)若a<b且ab≠0,则下列结论成立 的是 ( ) A.1a > 1 b B.a 3<b3 C.a|a|<b|b| D.2a <3b 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 判断不等式正误的常用方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等 式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提 条件. (2)利用特殊值法排除错误答案. (3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性 质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、 幂函数等函数的单调性来比较. 【对点训练2】 (1)(2023·重庆第十八中模拟) 若a<b<0,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.1a-b> 1 b B.a 2<ab C.|b| |a|< |b|+1 |a|+1 D.an >bn (2)(多选题)(2023·江西南昌高三月考)已知 a>b≥2,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.b2<3b-a B.a3+b3>a2b+ab2 C.ab>a+b D.12+ 2 ab> 1 a+ 1 b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 011 hh 考点3 求代数式的取值范围 【例3】 (1)(多选题)已知3<a<6,1<b<5, 则 ( ) A.ab ∈ 6 5 ,3 B.ab ∈ 3 5 ,6 C.a-2b∈ (-4,1) D.a-2b∈ (-7,4) (2)已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则 2x-3y 的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用待定系数法求代数式的取值范围的步骤 已知 M1 <f1(a,b)<N1,M2 <f2(a,b)< N2,求g(a,b)的取值范围. (1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b). (2)根据恒等变形求得待定系数p,q. (3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a, b)的取值范围.同向不等式的两边可以相加,但这 种转化不是等价变形,如果多次使用这种转化,就有 可能扩大代数式的取值范围. 【对点训练3】 (1)已知2≤x≤3,6≤y≤9, 则3x 2y 的取值范围是 . (2)(多选题)已知实数x,y满足-1≤x+y≤ 3,4≤2x-y≤9,则 ( ) A.1≤x ≤4 B.-2≤y≤1 C.2≤4x+y≤15 D.13≤x-y≤6 考点4 作差法与作商法比较大小 【例4】 (1)设p=1+2x4,q=2x3+x2,则p, q的大小关系是 . (2)若a= ln 3 3 ,b= ln 4 4 ,c= ln 5 5 ,则a,b,c的大 小关系是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 比较大小的常用方法 (1)作差法:① 作差;② 变形;③ 定号;④ 得出 结论. (2)作商法:① 作商;② 变形;③ 判断商与1的 大小关系;④ 得出结论. (3)单调性法:构造函数,利用函数的单调性比 较大小. 【对点训练4】 (1)若a<0,b<0,则p= b2 a+ a2 b 与q=a+b的大小关系为 . (2)(2023·皖中名校第一次联考)已知a>b> c,且a+b+c=0,求证: a c-a> a b-a . 学习至此,请完成课时作业3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 012 参 考 答 案 (2)λ≤- 1 8 解析:“∃x∈[1,4],使λx2+x-2> 0成 立”的 否 定 是 “∀x ∈ [1,4],使 λx2+x-2≤0”为真命题,即λ ≤ 2-x x2 ;令f(x)= 2-x x2 =2 1x - 1 4 2 - 1 8 ,由 x ∈ [1,4],得 1 x ∈ 1 4 ,1 ,所 以 f(x)min = f(4)= - 1 8 ,所以λ≤- 1 8. 对点训练5:(1)(-∞,0] 解析:命题p:∃x∈[1,4], a x +x>4 是假命题,即命题 ∀x ∈ [1,4], a x + x≤4是真命题,也即a≤-x2+4x在 [1,4]上 恒 成 立,令f(x)= -x2 + 4x = -(x-2)2+4,因为x∈[1,4], 所以 当 x =4时 函 数 取 最 小 值,即 f(x)min =f(4)=0,所以a≤0,故a 的取值范围是(-∞,0]. (2)0(答案不唯一) 解析:由 题 意 得􀱑p:∀x ∈ R,x2 - 4ax+3≥0为真命题,当a =0时, x2-4ax+3=x2+3≥0恒成立,满 足题意. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)A 因为1×3>0,1+3≠ 2,又四个命题三真一假,故甲、乙必有 一个是假,由 甲 为 假 易 知,符 合 题 意, 由乙为假推出矛盾.故选A. (2)乙 解析:四人供词中,乙、丁意见一致,或 同真或同假,若 同 真,即 丙 偷 的,而 四 人有两人说的是真话,甲、丙说的是假 话,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中” 是假话,即乙、丙、丁没偷,相互矛盾; 若同假,即 不 是 丙 偷 的,则 甲、丙 说 的 是真话,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人 之中”,丙说:“甲、乙两 人 中 有 一 人 是 罪犯”是真话,可知罪犯是乙. 素养检测:1.丙 解析:由题意得,根据甲和丙两个命题 可知甲和丙互相矛盾,故两 个 命 题 必 然一真一假;又因为只有一个假命题, 所以乙和丁都为真命题;根 据 乙 和 丁 可知I= (a,+∞)⊆(1,+∞),故丙 为假命题. 2.甲、丙或甲、乙 解析:∵“甲预测说:我不会获奖,丙获 奖”,而 “丙 预 测 说:甲 的 预 测 是 对 的”,∴ 甲和丙的说法要么同时与结果 相符,要么同时与结果不符,若甲和丙 的说法同时与结果相符,则 获 奖 者 为 乙、丙或丙、丁,丁 或 乙 的 预 测 也 与 结 果相符,这与“四人的预测中有两人的 预测与结果相符,另外两 人 的 预 测 与 结果不符”相矛盾,故错误;若甲和丙 的说法同时与结果不符,则乙、丁的预 测成立,所 以 甲 获 奖,丁 不 获 奖;丙 获 奖,乙不获 奖 或 乙 获 奖,丙 不 获 奖.即 获奖的两人为甲、丙或甲、乙. 1.3 等式性质与不等式性质 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)① > ② = ③ < (2)① > ② = ③ < 2.(1)b=a (2)a=c (3)a±c=b±c (4)ac=bc (5) a c = b c 3.b<a b>a a>c a<c ac> bc ac<bc a+c>b+d ac>bd 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2.M >N 3.(答案不唯一)1 2 解析:因为命题“若a,b,m 均为正数, 则 b+m a+m < b a ”是真命题,所以b a - b+m a+m = (b-a)m a(a+m)> 0,因为a,b,m 均为正数,所以可得0<a<b,不妨取 a=1,b=2.(答案不唯一) 4.(-7,12) 解析:∵-3<b<5, ∴-6<2b<10,又 -1<a<2, ∴-7<a+2b<12. 5.ABD 对于 A,∵a >b>0,c<0, ∴b-a <0,ab >0,∴ c a - c b = bc-ac ab = c(b-a) ab >0 ,即c a > c b , 故A正确;对于B,∵a >b>0,c< 0,∴ac<bc,故B正确;对于C,取a= 2,b=1,c= -3,则a=2<b-c= 4,故C错误;对于D,∵a>b>0,c< 0,∴b-a <0,∴a(b-c)-b(a- c)=ab-ac-ab+bc=c(b-a)> 0,即a(b-c)>b(a-c),故D正确. 故选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:8 解析:设公园的环形道的周长为t,刘 老师总共跑的圈数为x(x ∈N*),则 由题意 1<t<2, 2t<3, 3t>4, 4t>5, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以43 <t< 3 2 , 所以 2 3 < 1 t < 3 4 ,因此xt=11,所以 22 3 <x = 11 t < 33 4 ,又x ∈N*,所以 x =8,即刘老师总共跑的圈数为8. 对点训练1:C 例2:(1)BC 对于 A,由ac2 ≥bc2,若 c=0,不一定有a≥b,故A错误;对于 B,若a<b<0,所以a-b<0,故a2- ab=a(a-b)>0,ab-b2 =b(a- b)>0,所以a2>ab>b2,故B正确; 对于C,由c>d 得-d>-c,又a> b,所以a-d>b-c,故C正确;对于 D,由于a>b,无法确定ab的正负,所 以 1 a - 1 b = b-a ab 的正负无法确定, 故 1 a 与 1 b 的 大 小 无 法 确 定,故 D错 误.故选BC. (2)BC 对于A,取a= -1,b=1,满 足a<b,此时 1 a = -1<1= 1 b ,A错 误;对于B,a <b,由 不 等 式 性 质 知, a3 <b3 成立,B正确;对于C,当a< 0<b时,a|a|<0<b|b|,当0< a<b,0<|a|<|b|,则a|a|<b|b|, 当a <b <0时,-a >-b >0, |a|>|b|>0,则-a|a|>-b|b|> 0,于是a|a|<b|b|,因此若a<b 且ab≠0,则a|a|<b|b|成立,C正 确;对于D,取a = -3,b= -2,满足 a<b,而2a = 1 8 > 1 9 =3 b,D错误. 故选BC. 对点训练2:(1)C 取a= -2,b= -1, n=0,逐个检验,可知 A,B,D均不正 确;对于C,|b| |a|< |b|+1 |a|+1 ⇔ |b|(|a|+1)<|a|(|b|+1)⇔ |a||b|+|b|<|a||b|+|a|⇔ |b|<|a|,∵a <b<0,∴|b|< |a|成立.故选C. (2)BC a>b≥2,取a=3,b=2,则 b2 <3b-a不成立,故A不成立;a3+ b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a- b)= (a-b)2(a+b)>0,故B成立; ab-a-b =a(b-1)-b = (b- 1)a- b b-1 = (b-1) a- 1+ 1 b-1 >0,故C成立;取a=3,b= 2,12+ 2 ab= 1 a + 1 b ,故D不成立.故 选BC. 例3:(1)BD ∵1<b <5,∴ -10< -2b<-2, 1 5 < 1 b <1 ,又3<a<6, ∴-7<a-2b<4, 3 5 < a b <6 ,即 a b ∈ 3 5 ,6 ,a-2b∈(-7,4),∴B, D正确. (2)(3,8) 解析:设2x-3y=λ(x+y)+μ(x- y)= (λ+μ)x+(λ-μ)y, 则 λ+μ =2, λ-μ = -3 ⇒ λ = - 1 2 , μ = 5 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 2x -3y = - 1 2 (x +y)+ 5 2 (x-y),而 -2<- 1 2 (x+y)< 1 2 ,5< 5 2 (x -y)< 15 2 ,所 以3< 2x-3y<8,即2x-3y∈ (3,8). 对点训练3:(1) 13 ,3 4 解析:∵2≤x ≤3,∴6≤3x ≤9, 又 ∵6≤y≤9,∴12≤2y≤18, ∴ 118≤ 1 2y≤ 1 12.∴ 1 3 ≤ 3x 2y ≤ 3 4. (2)AC 因为 -1≤x+y ≤3,4≤ 2x-y≤9,所以3≤3x ≤12,所以 1≤x ≤4,故A正确;因为 -6≤-2x-2y≤2, 4≤2x-y≤9, 所 以 -2 ≤ -3y≤11,解得- 11 3 ≤y≤ 2 3 ,故B 错 误;因为4x+y=2(x+y)+(2x- y),-2≤2(x+y)≤6,4≤2x-y≤ 9,所以2≤4x+y≤15,故C正确;x- y = - 1 3 (x +y)+ 2 3 (2x -y), -1≤- 1 3 (x+y)≤ 1 3 ,8 3 ≤ 2 3 (2x- y)≤6,所以 5 3 ≤x-y≤ 19 3 ,故D错 误.故选AC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -441- hh 例4:(1)p≥q 解析:p-q=2x4+1-2x3-x2 = 2x3(x-1)-(x+1)(x-1)= (x- 1)(2x3-x-1)= (x-1)(x3-x+ x3-1)=(x-1)[x(x-1)(x+1)+ (x - 1)(x2 + x + 1)]= (x - 1)2(x2+x +x2 +x +1)= (x - 1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x2+ x)+1]= (x -1)2 2 x2 +x + 1 4 -2×14+1 = (x-1)2 2 x+ 1 2 2 + 1 2 ≥0,故p≥q. (2)c<b<a 解析:a-b= ln 3 3 - ln 4 4 = 4ln 3-3ln 4 12 = ln 81-ln 64 12 >0 ,b - c = ln 4 4 - ln 5 5 = 5ln 4-4ln 5 20 = ln 1 024-ln 625 20 >0 ,所以c<b<a. 对点训练4:(1)p≤q 解析:解法1(作差法):p-q = b2 a + a2 b -a-b = b2-a2 a + a2-b2 b = (b2 - a2) · 1 a - 1 b = (b2-a2)(b-a) ab = (b-a)2(b+a) ab ,∵a < 0,b < 0,∴a+b<0,ab>0,又(b-a)2 ≥ 0,∴p≤q. 解法2(作商法):∵p = a3+b3 ab = (a+b)(a2-ab+b2) ab ,∴ p q = a2-ab+b2 ab ≥ 2ab-ab ab =1 ,当且仅 当a=b时等号成立.∵q<0,∴p≤q. (2)证明:因为a>b>c,且a+b+ c=0,所以a>0,c<0, 所以c<b<a⇒c-a<b-a<0, 所以(c-a)(b-a)>0⇒ 1 (c-a)(b-a)> 0, 所以 - (c-a)>- (b-a)>0⇒ -(c-a)· 1 (c-a)(b-a)>- (b- a)· 1(c-a)(b-a)> 0, 所以 1 a-b> 1 a-c> 0, 所 以 1 b-a < 1 c-a < 0⇒ ab-a < a c-a , 故 a c-a> a b-a . 1.4 基本不等式 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)a>0,b>0 (2)a=b 2.(1)2ab (2)2 3.a+b2 4. (1)2 P (2)S 2 4 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.④ 3.25 m2 4.4π 解析:四个角均为直角的 四 边 形 是 矩 形,设长为a,宽为b,周长为C,设圆的 半径为r,则2πr =C,a+b = C 2 , ∴S1 =πr2 = C2 4π ,S2 =ab,∴ S1 S2 = C2 4πab≥ C2 4π· a+b2 2 = C2 πC2 4 = 4 π , 当且仅当a =b = C 4 时,等号成立. ∴ S1 S2 的最小值为 4 π. 5.AD 对于A,C,因为a>0,b>0,所 以a+b=4≥2 ab,即 ab≤2,当 且仅当a=b=2时等号成立,故0< ab≤4,则 1 ab≥ 1 4 ,故A正确,C错误; 对于B,代入a =b =2, 1 a + 2 b = 1 2 +1= 3 2 <2 ,故B错误;对于D, a2+b2≥ (a+b)2 2 =8 ,当且仅当a= b=2时等号成立,故D正确.故选AD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)116 解析:因为a>0,b>0,4a+b=1,所 以1=4a+b≥2 4ab=4 ab,当且 仅当4a=b= 1 2 ,即a= 1 8 ,b= 1 2 时,等号成立.所以 ab ≤ 1 4 ,ab≤ 1 16 ,则ab的最大值为116. (2)4 解析:∵a >0,b >0,∴a+b >0, ab=1,∴ 1 2a+ 1 2b+ 8 a+b = ab 2a+ ab 2b + 8 a+b = a+b 2 + 8 a+b ≥ 2 a+b2 × 8 a+b = 4,当且仅当a+ b=4时取等号,结合ab=1,解得a= 2- 3,b=2+ 3,或a=2+ 3,b= 2- 3时,等号成立. 对点训练1:(1)92 (2)4 例2:ABD 对于 A,因为x < 1 2 ,所以 2x-1<0,1-2x >0,所 以2x + 1 2x-1= (2x-1)+ 1 2x-1+ 1= - (1-2x)+ 1 1-2x +1≤ -2 (1-2x)· 1 1-2x + 1= -1(当 且仅当x =0时等号成立),此时2x+ 1 2x-1 有最大值 -1,故 A正确;对于 B,因为x >-2,所以x+2>0,所以 x+6 x+2 = x+2+4 x+2 = x+2 + 4 x+2 ≥2 x+2· 4 x+2 = 4,当 且 仅 当 x+2 = 4 x+2 ,即 x =2时取等号,故B正 确;对 于C, y=4x(3-2x)=2·2x·(3-2x)≤ 2· 2x+3-2x2 2 = 9 2. 当且仅当 2x =3-2x,即x = 3 4 时取等号,所 以当x = 3 4 时,ymax = 9 2 ,故C错误; 对于D,x 2-x+9 x-1 = (x-1)2+(x-1)+9 x-1 = - -(x- 1)+ - 9 x-1 +1≤-29+1= -5,当且仅当 - (x-1)= - 9 x-1 , 即x= -2时,等号成立,故D正确.故 选ABD. 对点训练2:(1)14 解析:因 为0<x < 1 2 ,所 以 y = x 1-4x2 = x2(1-4x2) = 1 2 4x 2(1-4x2)≤ 1 2 × 4x2+1-4x2 2 = 1 4. 当且仅当4x2 = 1-4x2,即x = 2 4 时取等号.则y = x 1-4x2 的最大值为 1 4. (2)72 解析:由题意可知a+ 8 2a+1= a+ 1 2+ 4 a+ 1 2 - 1 2≥2 a+ 1 2 × 4a+12 - 1 2 = 7 2 ,当且仅当a+ 1 2 = 4 a+ 1 2 , 即a= 3 2 时等号成立.所以a+ 8 2a+1 的最小值为 7 2. 例3:(1)2+ 3 解析:因 为3a+b =2ab,所 以 3 2b+ 1 2a =1 ,又a>0,b>0,故a+b= (a+b) 3 2b+ 1 2a =2+3a2b+ b2a ≥ 2+ 3,当且仅当 3a 2b= b 2a 时取等号,则 a+b的最小值为2+ 3. (2)26 解析:1 a + 1 b =1 ,变形为ab=a+ b⇒(a-1)(b-1)=1,则 3 a-1+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -442-