1.1 集合-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合 5A>! 1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,了 解全集与空集的含义. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的 含义,能求给定子集的补集. 4.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. AMc
-  -@) 1.集合的概念 (1)集合中元素的三个特征: 、 、 . (2)元素与集合的关系是 或 两种,用符号 或 表示. (3)集合的表示法: 、 、 . (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 " N为自然数集(即非负整数集),包含0,而 N* 和N+ 的含义是一样的,表示正整数集,不包含0. 2.集合的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集 合A 中 都是集合B 中的元素,就称 集合A 为集合B 的子集,记作 (或 B ⊇A). (2)真子集:如果集合A ⊆B,但存在元素 x∈B,且 ,就称集合A 是集合B 的 真子集,记作 (或B ⫌A). (3)相等:若A ⊆B,且 ,则A=B. (4)空集:不含任何元素的集合叫做空集,记 为 ⌀,空集是 的子集,是 的真子集. 3.集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 表示 符号 表示 A ∪B= A ∩ B = {x|x∈A, 且x ∈B} ∁UA ={x|x ∈ U,且x ∉A} 性质 A∪⌀=A; A ∪A=A; A ∪B= B ∪A; A ∪B=A ⇔ A∩⌀=⌀; A ∩A=A; A ∩B= B ∩A; A ∩B=A ⇔ A ∪ (∁UA)=U; A ∩ (∁UA)= ; ∁U(∁UA)= ; ∁U(A ∩B)= (∁UA)∪(∁UB); ∁U(A ∪B)= (∁UA)∩ (∁UB) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 001 hh 4.区分下列集合的表示含义 集 合 {x|f(x)=0}{x|f(x)>0} {x|y= f(x)} {y|y= f(x)} {(x,y)|y= f(x)} 含 义 方程f(x)= 0的解集 不等式f(x) >0的解集 函数 y = f(x) 的 定义域 函数 y = f(x) 的 值域 函 数 y = f(x)图 象 上的点 常用结论与知识拓展 1.若有限集A 中有n个元素,则A 的子集有2n 个, 真子集有2n -1个,非空子集有2n -1个,非空真子集 有2n -2个. 2.A ⊆B⇔A ∩B=A⇔A ∪B=B⇔(∁UA)⊇ (∁UB)⇔A ∩ (∁UB)=⌀. 3.用card(A)表示有限集合A 中元素的个数.对 任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+ card(B)-card(A ∩B). -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)任何一个集合都至少有两个子集.( ) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x, y)|y=x2+1}. ( ) (3)若{x2,1}={0,1},则x=0或x=1. ( ) (4)集合{(2,3)}与集合{(3,2)}表示同一 集合. ( ) (5)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组 成的集合是{(1,4)}. ( ) 2.(教材改编题)设全集为R,A={x|3≤x< 7},B={x|2<x <10},则∁R(A ∪B)= ,(∁RA)∩B= . 3.(教材改编题)已知集合A ={m +2,2m2+ m},若3∈A,则m 的值为 . 4.已知全集为R,集合M ={x|-3<x <3}, N ={x|x ≥a},并且M ⊆ ∁RN,则a的取 值范围是 . 5.(多选题)已知集合M ={x|x-a=0},N= {x|ax-1=0},若M ∩N=N,则实数a的 值可以为 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 集合的含义与表示 【例1】 (1)如果集合A={x|ax2+ax+1=0} 至多有一个元素,那么实数a 的取值范围 是 . (2)(2023·山东滨州联考)已知集合A={a+ 2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2 023a 的值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素 是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合; 然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么, 从而准确把握集合的含义;利用集合元素的限制条 件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意 检验集合中的元素是否满足互异性. 【对点训练1】 (1)设集合A={x|(x-a)2< 1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为 . (2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0, b a ,b ,则 a2 023+b2 024= . 考点2 集合间的基本关系 【例2】 (1)若A={x|x=4n+1,n∈Z},B= {x|x=4n-3,n∈Z},C={x|x=8n+ 1,n∈Z},则A,B,C 之间的关系为 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 002 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 A.C⫋B ⫋A B.A ⫋B ⫋C C.C⫋A=B D.A=B=C (2)已知集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B= {x|-m<x<m}.若A⊆B,则m 的取值 范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.判断两集合关系的常用方法:一是元素特征 法:即先化简集合,再从表达式中寻找两集合的关 系;二是列举法:表示各集合,一一列举元素观察关 系;三是利用Venn图或数轴法表示集合间的关系. 2.已知两个集合间的关系求参数时,对子集是 否为空集要进行分类讨论,若集合元素是一一列举 的,根据集合间的关系,转化为方程(组)求解,此时 注意集合中元素的互异性.若集合表示的是不等式 的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需 注意端点值能否取到.若不等式或方程最高次系数 含参数,则需讨论参数是否为零. 【对点训练2】 (1)(2023·新课标Ⅱ卷改编)设 集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若 A ⊆B,则a= . (2)设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax- 1=0}.若B ⊆A,则实数a组成的集合为 ( ) A.13 ,1 5 B.-13,15 C.0,13 ,1 5 D.0,-13,15 考点3 集合的运算 命题角度1 集合的运算 【例3】 (1)(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集 合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x= 3k+2,k∈Z},∁U(M ∪N)= ( ) A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.⌀ (2)(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M = {x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x| x ≥2}= ( ) A.∁U(M ∪N) B.N ∪ (∁UM) C.∁U(M ∩N) D.M ∪ (∁UN) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 集合基本运算的求解策略 首先看集合能否化简,能化简的先化简.当集合 是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元 素进行运算,也可借助Venn图运算;当集合是用不 等式表示时,可运用数轴求解.对于端点处的取舍, 可以单独检验. 记忆口诀:交集元素仔细找,属于A 且属于B; 并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集U 是大范 围,去掉U 中A 元素,剩余元素成补集. 【对点训练3】 (1)(2023· 湖北武汉江汉区摸 底)已知集合U={2,3,4,5,7},A={2,3}, B={3,5,7},则A ∩ (∁UB)= . (2)(2023·山东济南摸底)设集合 A ={x| x2<9},B={-2,0,2,3},则A ∪B= ( ) A.{x|-3<x <3} B.{x|-3<x ≤3} C.{x|x ≤3} D.{-2,0,2} 命题角度2 利用集合的运算求参数的值(范围) 【例4】 (1)设集合S={x||x-2|>3},T= {x|a<x<a+8},S∪T=R,则a的取 值范围是 . (2)(2023·重庆西南大学附中模拟)已知集合 A={x|ax-1=0},B={x ∈N*|1≤ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 003 hh x<4},且A∪B=B,则实数a的所有值构 成的集合是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用集合的运算求参数的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间 的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得 到不同集合中元素之间的关系;若集合中的元素是 用不等式(组)表示的,则一般利用数轴解决,要注意 端点值能否取到. (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不 等式(组)问题求解. (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围. 【对点训练4】 (1)(2023·福建德化一中模拟) 已知集合M ={x∈Z|x2-2x≤0},N = {x|x≥a},若M ∩N 有且只有2个元素, 则a的取值范围是 . (2)已知集合A={-2,1} ,B={x|ax=2},若 A ∩B =B,则实数a 的值组成的集合 为 . 命题角度3 抽象集合的运算 【例5】 (1)设A,B,I 均为非空集合,且满足 A ⊆B ⊆I,则下列各式中错误的是 ( ) A.(∁IA)∪B=I B.(∁IA)∪ (∁IB)=I C.A ∩ (∁IB)=⌀ D.(∁IA)∩ (∁IB)=∁IB (2)(2024·天津一中模拟)某班共48人,其中 25人喜爱篮球运动,20人喜爱乒乓球运动, 16人对这两项运动都不喜爱,则既喜爱篮球 运动又喜爱乒乓球运动的人数为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 涉及抽象集合的运算问题,可利用集合的包含 关系或者画出Venn图,结合Venn图求解. 【对点训练5】 (1)(2023·重庆巴蜀中学模拟) 如图,U 是全集,M,N,P 是U 的三个子集, 则阴影部分所表示的集合是 . (2)“四书五经”是中国传统文化瑰宝,是儒家思 想的核心载体,其中“四书”指《大学》《中 庸》《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生 阅读“四书”的情况,随机调查了200位学 生,其中阅读过《大学》的有60位,阅读过 《论语》的有160位,阅读过《大学》或《论语》 的有180位,阅读过《大学》且阅读过《论语》 及《中庸》的有20位,则该校阅读过《大学》 及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与 该校学生总数比值的估计值是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋  >Fe2 数学探索背景下的“集合的新定义”问题 【题目呈现】 (1)(2024·广东梅州摸底)A 是正整数集的非空子集,称集合B={|u-v|| u,v∈A 且u≠v}为集合A 的生成集.当A= {1,3,6}时,集合A的生成集B= ;若A 是由5个正整数构成的集合,则其生成集B中元 素个数的最小值为 . (2)若数集S 的子集满足:至少含有2个元 素,且任意2个元素之差的绝对值大于1,则称该 子集为数集S 的超子集.已知集合An ={1,2, 3,…,n}(n∈N*,n≥3),记An 的超子集的个 数为an,则a9= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 004 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【素养解读】 解决以集合为背景的新定义 问题,要抓住两点: ① 准确转化.解决新定义问题时,一定要读 懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合 题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或 定义相混淆. ② 方法选取.对于新定义问题,可恰当选用 特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合 集合的相关性质求解. 2" 1.给 定 集 合 S = {1,2,3,4,5,6,7,8},对 于 x ∈S,如果x+1∉S且x-1∉S,那么x 是S 的一个“好元素”,由S 的3个元素构成 的所有集合中,不含“好元素”的集合共有 个. 2.若集合M 至少含有两个元素(实数),且M 中 任意两个元素之差的绝对值都大于2,则称M 为“成功集合”,已知集合S={1,2,3,…,10}, 则S 的子集中共有 个“成功集合”. 学习至此,请完成课时作业1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.2 常用逻辑用语 5A>! 1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件、充分条件、充要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关 系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词 对存在量词命题进行否定. AMc
-  -@) 1.充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q,则 p 是q 的 条件,q 是p 的 条件 p 是q的 条件 p⇒q且q ⇒p p 是q的 条件 p ⇒q且q⇒p p 是q的 条件 p⇔q p 是q的 条件 p ⇒q且q ⇒p 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词有:所有的、任意一个、任给一 个、每一个、一切等,用符号“ ”表示;存在 量词有:存在一个、至少有一个、有些、有一 个、 有的、某一个等,用符号“ ”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称量词命 题.“对M 中任意一个x,p(x)成立”用符号 简记为 . (3)含有存在量词的命题,叫做存在量词命 题.“存在M 中的元素x,p(x)成立”用符号 简记为 . 3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x ∈M,p(x) ∃x ∈M,p(x) " 含有一个量词的命题的否定规律是“改量 词,否结论”. 全称量词命题的否定是存在量词命 题,存在量词命题的否定是全称量词命题;对省略了 全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量 词再对其进行否定. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 005 参 考 答 案 ! 第一章 集合、常用逻辑 用语与不等式 1.1 集合 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 (4)N N*(或N+) Z Q R 2.(1)任意一个元素 A ⊆B (2)x ∉A A ⫋B (3)B ⊆A (4)任何集合 任何非空集合 3.{x|x∈A,或x∈B} B⊆A A⊆ B ⌀ A 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.{x|x≤2或x≥10} {x|2<x< 3或7≤x <10} 3.- 3 2 4.a≥3 5.ABC 由M ∩N =N,得N ⊆M,当 N =⌀时,a=0;当N ≠⌀时, 1 a = a,解得a= ±1,故a的值为±1,0.故 选ABC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)0≤a≤4 解析:若a =0,此时A = ⌀,符合题 意;若a≠0,要使集合至多有一个元 素,则Δ=a2-4a≤0,故0<a≤4. 综上,0≤a≤4. (2)1 解析:① 若a+2=1,即a = -1,则 (a+1)2 =0,a2+3a+3=1,不满足 集合中元素的互异性; ② 若(a+1)2=1,则a= -2或a=0, 当a= -2时,则a+2=0,a2+3a+ 3=1,不满足集合中元素的互异性; 当a=0时,则a+2=2,a2+3a+3= 3,满足题意; ③ 若a2+3a+3=1,则a = -1或 a= -2,由 ①②,可知均不满足集合 中元素的互异性.综上,实数a 的值为 0,故2 023a 的值为1. 对点训练1:(1)(1,2] 解析:由 题 意 得 (2-a) 2 <1, (3-a)2 ≥1, 解 得 1<a<3, a≤2或a≥4. 所以1<a≤2. (2)0 解析:由题意知a≠0,因为{1,a+b, a}= 0, b a ,b .所以a+b =0,则 b a = -1 ,所 以a = -1,b =1.故 a2 023+b2 024 = -1+1=0. 例2:(1)C 解法1:集合B 中元素x = 4n-3=4(n-1)+1,n∈Z,故集合 A =B,而集合C 中元素x =4×2n+ 1,n∈Z,故C⫋A,所以C⫋A =B, 故选C. 解法2:列举A = {…,-7,-3,1,5, 9,…},B = {…,-7,-3,1,5,9,…}, C = {…,-7,1,9,…}.因此C⫋A = B,故选C. (2)[3,+∞) 解析:由题得A = {x|-1<x<3}, 若A⊆B,在数轴上标出两集合,如图,可 得 -m≤-1, m≥3, 所以m≥3.故m 的取值 范围是[3,+∞). 对点训练2:(1)1 解析:因为A⊆B,则有:若a-2=0, 解得a=2,此时A = {0,-2},B = {1,0,2},不符合题意;若2a-2=0,解 得a =1,此 时 A = {0,-1},B = {1,-1,0},符 合 题 意;综 上 所 述, a=1. (2)C 因为A = {3,5},又B ⊆A, 所以当B = ⌀ 时,则方程ax-1=0 无解,则a=0;当B≠⌀时,则a≠0, 由ax-1=0,得x = 1 a ,所以1 a =3 或 1 a =5 ,即a = 1 3 或a = 1 5. 故 选C. 例3:(1)A 因为整数集 Z= {x|x = 3k,k∈Z}∪ {x|x =3k+1,k ∈ Z}∪{x|x=3k+2,k∈Z},U =Z, 所以∁U(M ∪N)= {x|x =3k,k∈ Z},故选A. (2)A 由 题 意 可 得 M ∪ N = {x| x <2},则∁U(M ∪N)= {x|x ≥ 2},故A正确;∁UM = {x|x≥1},则 N ∪ (∁UM)= {x|x>-1},故B错 误;M ∩N = {x|-1<x <1},则 ∁U(M ∩N)= {x|x ≤-1或x ≥ 1},故C错误;∁UN = {x|x ≤-1或 x≥2},则M ∪(∁UN)= {x|x<1 或x ≥2},故D错误.故选A. 对点训练3:(1){2} (2)B 例4:(1)-3<a<-1 解析:因为S = {x <-1或x >5}, T ={x|a<x<a+8},集合S,T 在 数轴 上 的 表 示 如 图 所 示.因 为 S ∪ T =R,所以 a<-1 , a+8>5, 可得 -3< a<-1. (2)0,1,12 ,1 3 解析:由题意得B = {1,2,3},当a=0 时,A =⌀,满足A∪B=B.当a≠0 时,A= x x = 1 a ,要使A∪B= B,则1a =1 或 1 a =2 或 1 a =3 ,即 a=1或a= 1 2 或a= 1 3 ,所以实数 a 的 所 有 值 构 成 的 集 合 是 0,1, 1 2 ,1 3 . 对点训练4:(1)0<a≤1 解析:M = {x ∈Z|x2-2x ≤0}= {x ∈ Z|x(x -2)≤0}= {0,1, 2},∵M ∩ N 有 且 只 有 2 个 元 素,∴0<a≤1. (2){0,-1,2} 解析:因为A∩B=B,故B⊆A,已知 A = {-2,1}的子集有 ⌀,{-2},{1}, {-2,1},当B = ⌀ 时,显然有a=0; 当B = {-2}时,-2a=2⇒a= -1; 当B = {1}时,a·1=2⇒a =2;当 B = {-2,1}时,a不存在,所以实数a 的值组成的集合为{0,-1,2}. 例5:(1)B 对于A,∵A⊆B⊆I,∴(∁IB) ⊆ (∁IA),∴(∁IA)∪B =I,故A正 确;对 于B,由 A知(∁IB)⊆ (∁IA), ∴(∁IA)∪(∁IB)=∁IA,故B错误;对 于C,由 A知(∁IB)⊆ (∁IA),∴A ∩ (∁IB)= ⌀,故C正确;对于D,由A知 (∁IB)⊆ (∁IA),∴(∁IA)∩ (∁IB)= ∁IB,故D正确.故选B. (2)13 解析:某班共48人,其中25人喜爱篮球 运动,20人喜爱乒乓球运动,16人对这 两项运动都不喜 爱,设 两 项 运 动 都 喜 爱的人数为x,作出Venn图, 可得25-x+x+20-x+16=48, 解得x =13,则既喜爱篮球运动又喜 爱乒乓球运动的人数为13. 对点训练5:(1)(∁UM)∩ (∁UN)∩P 解析:根据题意,阴影部分为集合 M, N 分别在全集上的补集的公共部分和 集合P 的交集,即阴影部分为(∁UM)∩ (∁UN)∩P. (2)0.1 解析:如 图,阅 读 过《大 学》且 阅 读 过 《论语》的人数是160+60-180=40, 阅读过《大 学》及《论 语》但 未 阅 读 过 《中庸》的学生人数是40-20=20,故 由 样 本 估 计 总 体,可 得 所 求 比 值 为 20 200=0.1. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1){2,3,5} 4 解析:若A = {1,3,6},则|1-3|= 2,|1-6|=5,|3-6|=3,所以B= {2,3,5};若A 是由5个正整数构成的 集合,不妨设x1 >x2 >x3 >x4 > x5,可得x1-x5 >x2-x5 >x3- x5 >x4-x5,即B 中至少有4个元 素,例 如 A = {1,2,3,4,5},则|1- 2|=|2-3|=|3-4|=|4-5|= 1,|1-3|=|2-4|=|3-5|=2, |1-4|=|2-5|=3,|1-5|=4, 此时B = {1,2,3,4}有4个元素,所以 生成集B 中元素个数的最小值为4. (2)79 解析:集 合 {1,2,3,…,k,k +1,k + 2}(k∈N*,k≥3)的超子集可以分为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -439- hh 两类,第一类是超子集中不含k+2,这 类超子集有ak+1 个,第二类是超子集 中含k+2,这类超子集为{1,2,3,…, k}(k∈N*,k≥3)的超子集与{k+2} 的并集有ak 个,或{1,2,3,…,k}(k∈ N*,k≥3)的单元素子集与集合{k+ 2}的并集有k个,所以共有ak +k个, 所以ak+2=ak+1+ak+k,由题意a3= 1,a4 =3,所以a5 =a4+a3+3=7, a6 =a5+a4+4=14,a7=a6+a5+ 5=26,a8 =a7+a6+6=46,a9 = a8+a7+7=79. 素养检测:1.6 解析:由题意知这3个元素一定是连续 的3个整数,故不含“好元素”的集合有 {1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6}, {5,6,7},{6,7,8},共6个. 2.49 解析:设集合{1,2,…,n}(n≥2)的子 集中有an 个“成功集合”,则a2=a3= 0,a4=1,对于n≥5时,可将满足要求 的子集分为 两 类:一 类 是 含 有n 的 子 集,去掉n 后剩下小于n-2的单元素 子集或{1,2,…,n-3}满足要求的子 集,前者有n-3个,后者有an-3 个;另 一类是不含n 的子集,即{1,2,…,n- 1}满足要求的子集,有an-1 个.于是, an =(n-3)+an-3+an-1,从而根据递 推关系 得,a5 =3,a6 =6,a7 =11, a8 =19,a9 =31,a10 =49. 1.2 常用逻辑用语 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.充分 必要 充分不必要 必要不 充分 充要 既不充分也不必要 2.(1)∀ ∃ (2)∀x ∈M,p(x) (3)∃x ∈M,p(x) 3.∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 基础检测 1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 2.既不充分也不必要 3.a∈ (-∞,1) 4.存在一个等边三角形,它不是等腰三 角形 5.AC 对于A,∀x ∈R,-x2 ≤0,所 以-x2-1<0,故A是全称量词命题 且为真 命 题;对 于 B,当 m =0时, nm =m 恒成立,故B是存在量词命题 且为真命题;对于C,任何一个圆的圆 心到其切线的距离都等于半径,故C是 全称量词命题且为真命题;对于D,因 为x2-2x+3= (x-1)2+2≥2,所 以 1 x2-2x+3 ≤ 1 2 < 3 4 ,故D是存 在量词命题且为假命题.故选AC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)B 由a2 =b2,则a = ±b,当 a= -b≠0时,a2+b2=2ab不成立, 充分性不成 立;由a2 +b2 =2ab,则 (a-b)2=0,即a=b,显然a2=b2成 立,必 要 性 成 立;所 以 “a2 =b2”是 “a2+b2=2ab”的必要不充分条件,故 选B. (2)C 解法1:充分性:因为xy ≠0, 且x+y =0,所以x = -y, 所以 x y + y x = -y y + y -y = - 1- 1= -2,所以充分性成立; 必要性:因为xy≠0,且 x y + y x = -2 , 所以x2+y2 = -2xy,即x2+y2+ 2xy =0,即(x +y)2 =0,所以x + y =0,所以必要性成立. 所以“x+y=0”是“ x y + y x = -2 ”的 充要条件. 解法2:充分性: 因为xy≠0,且x+ y =0, 所以 x y + y x = x2+y2 xy = x2+y2+2xy-2xy xy = -2xy xy = -2,所以充分性成立; 必要性:因 为xy ≠0,且 x y + y x = -2, 所以 x y + y x = x2+y2 xy = x2+y2+2xy-2xy xy = (x+y)2-2xy xy = (x+y)2 xy - 2= -2, 所以 (x+y)2 xy = 0,所以(x+y)2=0, 所以x+y =0,所以必要性成立. 所以“x+y=0”是“ x y + y x = -2 ”的 充要条件.故选C. 对点训练1:(1)B 当sin2α+sin2β=1 时,例 如α = π 2 ,β =0,但sin α + cos β≠0,即sin2α+sin2β=1推不出 sin α+cos β=0;当sin α+cos β=0 时,sin2α +sin2β = (-cos β)2 + sin2β =1,即sin α+cos β=0能推出 sin2α+sin2β=1.综上可知,甲是乙的 必要条件但不是充分条件.故选B. (2)BD 由 题 意 知 p⇒q⇐r⇔s,p ⇒ r,r ⇒p,所以s是q 的充分不必要条 件,r是q的充分不必要条件,q 是s的 必要不充分条件,p 是s的既不充分也 不必要条件,故B,D正确.故选BD. 例2:(1)0 解析:因为“m >a”是“ m ≥ 6 3 ”的 必要不充分条件,所以 m m ≥ 63 是{m|m>a}的真子集,因为 m ≥ 6 3 等价于m ≥ 2 3 ,所以 m m ≥ 2 3 是 {m|m >a}的真子集,所以a< 2 3 , 所以实数a 能取的最大整数为0. (2)解:由题意,得集合A = {x|-2< x <5}. 若选择条件①:“x∈A”是“x∈B”成 立的充分不必要条件,则A 是B 的真 子集. 所以 m >0, 2-m ≤-2, 2+m ≥5. 解得m ≥4, 所以实数m 的取值范围是[4,+∞). 若选择条件 ②:因为“x ∈A”是“x ∈ B”成立的必要不充分条件,所以B 是 A 的真子集. 所以 m >0, 2-m >-2, 2+m <5, 解得0<m <3, 所以实数m 的取值范围是(0,3). 对点训练2:(1) 12 ,1 解析:由|x-2m|<1,即-1<x- 2m<1,解得2m-1<x<1+2m,因 为“1<x <2”是“|x-2m|<1”的 充分不必要条件,所以(1,2)真包含于 (2m-1,1+2m),所以 1+2m ≥2 , 2m-1≤1 (等号不能同时取得),解得1 2 ≤m ≤ 1,所以实数m 的取值范围为 12 ,1 . (2)0,12 解析:p 对 应 的 集 合 A = {x|y = ln(2x-1)≤0}= x 1 2 <x≤1 , q对应的集合B = {x|(x-a)[x- (a+1)]≤0}= {x|a≤x≤a+1}. 由q是p 的必要不充分条件,知 A ⫋ B,所以a≤ 1 2 且a+1≥1,因此0≤ a≤ 1 2. 例3:B 由题图可知B ⫋A,且A,B 非 空,则根 据 子 集 的 定 义 可 得,对 于 A, ∃x ∉ A,x ∈ B 不 正 确;对 于 B, ∀x ∉A,x ∉B 正确;对于C,∃x ∈ B,x ∉A 不正确;对于D,∀x ∉B, x ∈A 不正确.故选B. 对点训练3:C 对于A,取 M = {1,2}, N = {1},满足 M ∩N ≠ ⌀,而2∈ M,2∉N,A错误;对于B,取M = {1, 2},N ={1},满足M ∩N≠⌀,而1∈ M,1∈N,B错误;对于C,根据集合交 集的定义可知 ∃x ∈M,x ∈N,故C 正确;对于D,取M ={1},N ={1,2}, 满足 M ∩N ≠ ⌀,但 ∃x ∈M,x ∉ N 不成立,D错误.故选C. 例4:(1)∃x <0,x+ 1 x ≥-2 解析:命题“∀x<0,x+ 1 x <-2 ”为 全称量词命题,该命题的否定为“∃x < 0,x+ 1 x ≥-2 ”. (2)∀x ∈R,x+2>0 解析:命题p:“∃x∈R,x+2≤0”为 存在量 词 命 题,其 否 定 为“∀x ∈ R, x+2>0”. 对点训练4:(1)∀x ≤3,|x-2|>1 (2)∃a∈R,一元二次方程x2-ax- 1=0无实根 假 例5:(1)-3<m ≤0 解析:由 题 意 得 命 题 “∃x ∈ R,使 mx2-mx - 3 4 ≥0 ”是 假 命 题,故 “∀x∈R,使mx2-mx- 3 4 <0 ”是 真 命题,当m=0时,- 3 4 <0 成立,若 m ≠0,则 m <0且Δ =m2-4m × - 34 <0,解得 -3<m <0,综上 得 -3<m ≤0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -440-