精品解析：浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

2024年九年级数学暑假作业检查试题卷 练习范围：八下全册、九上第一章、九上第四章1-2节，总分120分，考试时长：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 有害垃圾 B. 可回收物 C 厨余垃圾 D. 其他垃圾 3. 下列各式成立的是（ ）． A B. C. D. 4. 用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A. B. a与b不平行 C. D. 5. 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ） A. 25元 B. 20元 C. 30元 D. 40元 6. 下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 在对称轴右侧部分是下降的 7. 如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边中点．若菱形的面积为24，，则的长为( ) A. B. C. D. 9. 如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在直角坐标系中，点（﹣3，1）关于原点对称点的坐标是_________． 12. 若，则的值为______． 13. 已知某组数据方差为，则的值为______． 14. 已知点，，在函数的图象上，比较，，大小______（用“”连接）． 15. 如图，在正方形中，点E，F分别在的延长线上，连接，与交于点G．已知，．，则______． 16. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表 x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： ①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． ③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根； ④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确结论是______． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值． （2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 19. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事．现有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如图． 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 文化水平 口头表达 组织策划 圆圆 芳芳 ▲ ▲ （1）在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81．这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分． （2）请你计算芳芳的总评成绩． （3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事．试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由． 20. 在中，点M是边的中点，平分，．的延长线交于点E，． （1）求证：； （2）求的长． 21. 在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，． （1）求的值和一次函数表达式． （2）当时，直接写出的取值范围． （3）若点在函数的图象上，点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 22. 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元． （1）求2021年至2023年日租金的平均增长率． （2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元． ①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车． ②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用) 23. 在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 24. 已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年九年级数学暑假作业检查试题卷 练习范围：八下全册、九上第一章、九上第四章1-2节，总分120分，考试时长：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴x-3≥0， ∴x≥3． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0． 2. 推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 有害垃圾 B. 可回收物 C. 厨余垃圾 D. 其他垃圾 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知． 【详解】A选项 既是轴对称图形也是中心对称图形 B选项 不是轴对称图形也不是中心对称图形 C选项 是轴对称图形而不是中心对称图形 D选项 不是中心对称图形也不是轴对称图形 故选A 【点睛】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 下列各式成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 4. 用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A. B. a与b不平行 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交， 故选：B 5. 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ） A. 25元 B. 20元 C. 30元 D. 40元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键，根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将写成顶点式的形式即可得到答案． 【详解】解：将写为顶点式的形式得：， ∴当时，取最大值， ∴要想获得最大利润，则销售单价为元， 故选：A． 6. 下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 在对称轴右侧部分是下降 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案. 详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确； B、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确； C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确； D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=， ∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键. 7. 如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断四边形为平行四边形得到，再利用平行线分线段成比例，由得到，然后利用比例性质得到，从而可得到的长． 【详解】∵，，， 四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．正确构造出是解答本题关键． 8. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边中点．若菱形的面积为24，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质和面积，可以得到的长，从而可以得到的长，然后根据勾股定理可以得到的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长． 【详解】解：四边形是菱形， ， 菱形面积为，， ，， ， ， ， 为边中点， ， 故选：A． 9. 如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】解：依题意，设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 ∵ ∴， 又∵， 故， ∴， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接相交于于点，根据折叠的性质可得，进而得出四边形是平行四边形，设，则，，在中，利用勾股定理列出方程，求得，进而可得． 【详解】解：连接相交于于点， 将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处， ，，， ， 又将沿折叠，点恰好落在上的点处，， ，，，， ， ， ， ， ， 又四边形是矩形，， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则，， ，， ， ，， 在中，， 即， 化简方程解得，， ， 舍去， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质等知识，掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在直角坐标系中，点（﹣3，1）关于原点对称点的坐标是_________． 【答案】（3，﹣1） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点（﹣3，1）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣1）． 故答案为：（3，﹣1）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 若，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，用表示出是解题的关键．根据等式用表示出，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：7 13. 已知某组数据的方差为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差和算术平均数的定义．由题意知，这组数据为3、4、7、10，再根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为3、4、7、10， 所以这组数据的平均数为，即的值为 故答案为：6． 14. 已知点，，在函数的图象上，比较，，大小______（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征．函数图像上点坐标都满足该函数解析式．把点的坐标分别代入函数解析式，代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】解：点，，在函数的图象上， ，， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点E，F分别在的延长线上，连接，与交于点G．已知，．，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．在上截取，连接，，过点作于，设，先证明和全等得，，，进而得，由此可证明和全等，则，中，，列出方程，求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，，过点作于，如图所示： 设， 四边形为正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 中，， ， 解得：， ， 故答案为：3 16. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表 x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： ①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． ③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根； ④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【详解】∵x=﹣1时y=﹣1，x=0时，y=3，x=1时，y=5， ∴， 解得， ∴y=﹣x2+3x+3， ∴ac=﹣1×3=﹣3＜0，故①正确； 对称轴为直线， ∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误； 方程为﹣x2+2x+3=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3， ∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，正确，故③正确； ﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0正确，故④正确； 综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④ 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及一元二次方程的解法是解本题的关键． （1）原式利用二次根式的运算法则进行化简，计算即可求出值； （2）方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）分解因式得： 所以或 解得：， 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值． （2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系； （1）利用根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可； （2）先利用根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得，； 即b的值为或； 【小问2详解】 当时，方程化为， 根据根与系数的关系得， 所以． 19. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事．现有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如图． 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 文化水平 口头表达 组织策划 圆圆 芳芳 ▲ ▲ （1）在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81．这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分． （2）请你计算芳芳的总评成绩． （3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事．试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由． 【答案】（1），， （2）芳芳的总评成绩为分 （3）不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，中位数，众数，平均数； （1）分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案． 【小问1详解】 解：七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：，，，，，，， 所以这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是（分）； 故答案为：，，； 【小问2详解】 （分）， 答：芳芳的总评成绩为分； 【小问3详解】 不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，理由如下： 由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分， 所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选． 20. 在中，点M是边的中点，平分，．的延长线交于点E，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）证明可得； （2）由全等三角形的性质得，进而得到，再证明是的中位线即可求出的长． 【小问1详解】 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ， 点是边的中点，点D是边的中点， 是的中位线， ， 21. 在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，． （1）求的值和一次函数表达式． （2）当时，直接写出的取值范围． （3）若点在函数的图象上，点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1），一次函数的解析式为 （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题； （1）先将点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式后，再将点坐标代入反比例函数解析式，最后把，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题． （2）根据函数图象，以及，两点坐标，即可解决问题． （3）设出点的坐标，再根据所给平移方式表示出点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式即可解决问题． 【小问1详解】 解：将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以点的坐标为． 将，两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 由函数图象可知， 当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， 所以当时，的取值范围是：或． 【小问3详解】 因为点在函数的图象上， 所以令点的坐标为， 则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点坐标可表示为， 即点的坐标为． 因为点在函数的图象上， 所以， 解得， 所以点的坐标为或． 22. 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元． （1）求2021年至2023年日租金的平均增长率． （2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元． ①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车． ②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用) 【答案】（1） （2）①，； ②或元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式； （1）设年至年日租金的平均增长率为，利用年每辆汽车的日租金年每辆汽车的日租金年至年日租金的平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①利用每辆汽车的日租金每辆汽车日租金上涨的钱数，可用含的代数式表示出每辆汽车的日租金；利用实际能租出的数量每辆汽车日租金上涨的钱数，即可用含的代数式表示出实际能租出的数量； ②利用日收益总租金各类费用，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 小问1详解】 解：设年至年日租金的平均增长率为， 根据题意得：， 解得： (不符合题意，舍去)． 答：2年至年日租金的平均增长率为； 【小问2详解】 ①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元， 实际能租出辆． 故答案为：，； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元． 23. 在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】（1）四边形是平行四边形 （2）四边形为矩形时或 （3）当时，四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等可得 则 即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解. 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得： ∵四边形是矩形， ， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； 【小问3详解】 如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用. 24. 已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 【答案】（1），； （2）面积最大值为，； （3）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标； （）连接，求出直线的表达式为，过点作轴的垂线，交于点，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：连接， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 过点作轴的垂线，交于点， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$