精品解析：2024年四川省成都市邛崃市九年级第一次模拟考试数学试题

2021级初三第一次模拟考试 数 学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 在0，，3，2024四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2024 2. 2023年10月11日，中国宣布成功构建255个光子的量子计算原型机“九章三号”．这项成果再度刷新光量子信息技术世界纪录，根据发表的最优算法，“九章三号”1微秒可算出的最复杂样本，当前全球最快的超级计算机“前沿”（）约需200亿年．将数据200亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 黄金周期间，到成都国家A级景区走一走、坐一坐，邀一群好友、品一壶好茶，慢度假期美好时光成为不少市民和外地朋友来蓉打卡的旅游新风尚．截至2023年3月，全市共有国家A级景区94家，其中部分区市县的A级景区数目如下表所示：这组数据的众数和中位数分别是（ ） 区市县 崇州 大邑 都江堰 金堂 彭州 蒲江 邛崃 新津 国家A级景区 7 6 4 6 3 4 8 4 A. 4，5 B. 4，6 C. 5，5 D. 6，4 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，点C为弦的中点，连接，，，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图，二次函数的图象与x轴交于，下列说法正确的是（ ） A. B. 顶点坐标为 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知，则______． 10. 若点都在反比例函数的图象上，则______（填“”或“”）． 11. 如图，已知，要使，只需添加的一个条件是______（答案不唯一，写出1个即可）． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线，交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，，则的值为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式：． 15. 如图，在某景区的山上有，，三个缆车站，表示连接缆车站的钢缆．已知，，所处位置的海拔分别为，钢缆与水平线的夹角为，钢缆与水平线的夹角为，求钢缆和的总长度．（结果精确到1米；参考数据：） 16. 2024成都世园会将于4月26日开幕．本届世园会为突出花卉园艺特色，将举办月季、盆景、插花花艺、花园建造等8项国际竞赛．某校为了解学生对世界园艺界“奥林匹克”的了解程度，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成下面的两幅统计图： （1）本次调查的学生共有 人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“不了解”对应的圆心角度数； （3）在“非常了解”里选4人，有两名男生，两名女生，若从中随机抽取两人赠送世园会门票，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 17. 如图，是的直径，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，交于点，与交于点，是的切线，交延长线于，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与y轴交于点，与反比例函数的图象的交点为，C两点． （1）求点B的坐标及反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）当时，在反比例函数图象上是否存在点Q，使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则代数式的值为_____． 20. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则k的值为_____． 21. 大约两千四百年前，墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，解释了小孔成像的原理；小强根据原理自制了一个小孔成像装置，纸筒的长为，蜡烛长为，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒前端小孔_____cm的地方；他进一步探究发现：树荫下的圆形光斑就是太阳通过树叶中间小孔在地面上成的像，他查到太阳到地面的距离约为m，太阳的直径约为m，则一个直径为的光斑到它对应的小孔间距为_____cm． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．将线段沿射线方向平移t ()个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图象恰好经过C，D两点，正比例函数与反比例函数交于C，E两点，连接，若刚好经过点B，且的面积为6，则t为_____． 23. 如图，在等边中，，D是上一点，（n为正整数），E是上一点，F是射线上一点，，连接，设中点为M，点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长为_____（用含n的代数式表示）． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 四月里最香甜的那抹味道，一定是樱桃；在这个生机盎然的季节里，樱桃也悄然变红．为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．学校原计划在果园种100棵樱桃树，一棵樱桃树平均结1000个樱桃，现准备多种一些樱桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵樱桃树，每棵樱桃树的产量就会减少5个，但多种的樱桃树不能超过100棵． （1）设多种x棵樱桃树，樱桃产量一共y个，求y（个）与x（棵）的函数关系式； （2）如果要在节约成本的情况下，使产量增加，那么应多种多少棵樱桃树? 25. 如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）无论a取何值，抛物线一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段上一点，连接，当为直角三角形时，求点H的坐标； （3）在（2）的条件下，点P是线段上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（），使得以为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 如图，在矩形中，，将矩形绕点C旋转，得到矩形． 【初步感知】 （1）如图1，将矩形绕点C顺时针旋转，当时，连接，． ①求证：， ②求出，，的数量关系（直接写出结论，不必证明）； 【深入探究】 （2）将矩形绕点C旋转，当且点E落在直线上时，试探究线段，，的数量关系，并写出证明过程； 【拓展运用】 （3）如图2，将矩形绕点C旋转顺时针旋转，点G落在上，与，分别交于点Q，P，当F，D，Q三点共线时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021级初三第一次模拟考试 数 学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 在0，，3，2024四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较的方法，即可求解． 【详解】解：，则最小的数为， 故选：B． 2. 2023年10月11日，中国宣布成功构建255个光子的量子计算原型机“九章三号”．这项成果再度刷新光量子信息技术世界纪录，根据发表的最优算法，“九章三号”1微秒可算出的最复杂样本，当前全球最快的超级计算机“前沿”（）约需200亿年．将数据200亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：200亿． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了积的乘方，平方差公式，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 故A不合题意． ∵不是同类项，无法计算， ∴B不合题意． ∵， ∴C不合题意． ∵， ∴D合题意． 故选：D． 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴不一定成立，一定成立，，不一定成立， 故选：B． 5. 黄金周期间，到成都国家A级景区走一走、坐一坐，邀一群好友、品一壶好茶，慢度假期美好时光成为不少市民和外地朋友来蓉打卡的旅游新风尚．截至2023年3月，全市共有国家A级景区94家，其中部分区市县的A级景区数目如下表所示：这组数据的众数和中位数分别是（ ） 区市县 崇州 大邑 都江堰 金堂 彭州 蒲江 邛崃 新津 国家A级景区 7 6 4 6 3 4 8 4 A. 4，5 B. 4，6 C. 5，5 D. 6，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义解答即可；本题考查了求中位数和众数等等，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】根据题意，数据排序为， 中位数是第4个，5个数据的平均数， 中位数， 出现了4次，出现的次数最多， 众数4， 故选：A． 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故选：D． 7. 如图，中，点C为弦的中点，连接，，，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理，得到，利用勾股定理计算即可，本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】∵点C为弦的中点，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 8. 如图，二次函数的图象与x轴交于，下列说法正确的是（ ） A. B. 顶点坐标为 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用二次函数的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于， ， ． 选项的结论不正确，不符合题意； ， 该抛物线的顶点坐标为， 选项的结论不正确，不符合题意； ， 抛物线的对称轴为直线， 选项的结论正确，符合题意； 由图象知：当时，随的增大而减小， 选项的结论不正确，不符合题意． 故选：C 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等比性质的应用，若，则，熟练掌握等比性质是解题的关键． 设，根据，可用表示出，代入要求的式子，即可得出答案． 【详解】解：设， 故答案为：． 10. 若点都在反比例函数的图象上，则______（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 将点坐标代入解析式求出、比较即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， 故答案为：． 11. 如图，已知，要使，只需添加的一个条件是______（答案不唯一，写出1个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加，可以用证明即可． 【详解】解：添加的一个条件是， 在和中， ， ∴ 故答案为：（答案不唯一） 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标以及轴对称的性质，根据点关于x轴对称的点，它们的横坐标是相等的，纵坐标是互为相反数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，点关于x轴对称的点的坐标为 故答案为：． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线，交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本作图，得到，结合得到，，根据勾股定理得到，根据比例式计算即可，本题考查了等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理和三角形相似的性质是解题的关键． 【详解】根据基本作图，得到， ∵ ∴，， ∴，， ∴，， 根据勾股定理得到， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据计算即可； （2）解不等式组的基本步骤解答即可， 本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，算术平方根，解不等式组，熟练掌握解不等式组，特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 15. 如图，在某景区的山上有，，三个缆车站，表示连接缆车站的钢缆．已知，，所处位置的海拔分别为，钢缆与水平线的夹角为，钢缆与水平线的夹角为，求钢缆和的总长度．（结果精确到1米；参考数据：） 【答案】钢缆和的总长度为1270米 【解析】 【分析】根据题意，计算，分别解直角三角形，计算即可，本题考查了解直角三角形的应用，准确找到适当的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：， 四边形是矩形， 分别为，， 故， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 钢缆和的总长度为1270米． 16. 2024成都世园会将于4月26日开幕．本届世园会为突出花卉园艺特色，将举办月季、盆景、插花花艺、花园建造等8项国际竞赛．某校为了解学生对世界园艺界“奥林匹克”的了解程度，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成下面的两幅统计图： （1）本次调查的学生共有 人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“不了解”对应的圆心角度数； （3）在“非常了解”里选4人，有两名男生，两名女生，若从中随机抽取两人赠送世园会门票，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】（1）40， 补图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键． （1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答． （2）利用样本容量计算出生活类的人数，利用扇形的知识计算求解可得到结论． （3）利用画树状图计算即可． 【小问1详解】 ∵(人)， ∴了解较少人数为：（人）， 故答案为：40． 【小问2详解】 根据题意，得． 【小问3详解】 列表分析如下： A1 A2 B1 B2 A1 (A1，A2) (A1，B1) (A1，B2) A2 (A2，A1) (A2，B1) (A2，B2) B1 (B1，A1) (B1，A2) (B1，B2) B2 (B2，A1) (B2，A2) (B2，B1) 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女有8种可能的结果， P(一男一女)． 17. 如图，是的直径，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，交于点，与交于点，是的切线，交延长线于，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：是的切线，是的直径， ， 又， ， 又， （2）半径为． 【解析】 【分析】（1）由切线性质得，结合可得，根据圆周角定理得后即可得证； （2），由垂径定理得，垂直平分，可得，再根据可证，根据相似三角形性质可得，即，由勾股定理求得长后，再根据正切值和勾股定理可求得的长，即得到圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 垂直平分， ，， ， 又， ， ， 又为的直径， ， 在中，， ， ， ， 或（舍）， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查的知识点是切线性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、用正切值求边长，解题关键是熟练掌握圆周角定理、垂径定理． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与y轴交于点，与反比例函数的图象的交点为，C两点． （1）求点B的坐标及反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）当时，在反比例函数图象上是否存在点Q，使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），反比例函数的表达式为 （2） （3）存在，点Q坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式，再把点B坐标代入一次函数解析式求出点B的坐标，最后把点B坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再根据进行求解即可； （3）分点Q在点B上方和下方两种情况，过点B作， 通过证明和相似，利用相似三角形的性质求出点的坐标，进而求出直线的解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：与y轴交于点， ， 将代入，得， ， ， 将代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：一次函数图象与反比例函数图象交于点B，C， 联立，解得或， ， 点C的坐标为， 过点C作轴于点E，过点B作轴于点F， ； 【小问3详解】 ）解：与x轴交于，与y轴交于点A， ， ， ， ①如图2，过点B作，过点H作y轴的平行线交x轴于点N，过点B作x轴的平行线交延长线于点M， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∴ ， 将代入， 解得， ， 直线与反比例函数图象交于点， 由，解得（舍正）， ， ②如图，过点B作，过点H作x轴平行线交y轴于点N，过点B作y轴平行线交延长线于点M， 同理可证明， ∴， 同理可得， 同理可得， 直线与反比例函数图象交于点， 由，解得（舍正）， ， 综上所述：点Q坐标为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先将所求式子化简，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 20. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，代入计算即可.本题考查了根与系数关系定理，根的判别式，熟练掌握定理，是解题的关键. 【详解】（1）∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 解得. 故答案为：. 21. 大约两千四百年前，墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，解释了小孔成像的原理；小强根据原理自制了一个小孔成像装置，纸筒的长为，蜡烛长为，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒前端小孔_____cm的地方；他进一步探究发现：树荫下的圆形光斑就是太阳通过树叶中间小孔在地面上成的像，他查到太阳到地面的距离约为m，太阳的直径约为m，则一个直径为的光斑到它对应的小孔间距为_____cm． 【答案】 ①. 60 ②. 225 【解析】 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ， ， ，即， 解得， 即蜡烛应放在距离纸筒前端小孔（物距）是． 当太阳到地面的距离约为m，太阳的直径约为m，则一个直径为2.1cm的光斑到它对应的小孔间距为，则 ， 解并检验得： 故答案为：，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．将线段沿射线方向平移t ()个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图象恰好经过C，D两点，正比例函数与反比例函数交于C，E两点，连接，若刚好经过点B，且的面积为6，则t为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，得 ，解得，，继而得到，；结合直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．继而得到点，根据平移性质，得到向右平移个单位长度，向上平移个单位长度的平移变换，且，确定变换后，结合反比例函数的性质，确定，继而得到，过点C作轴于点F，过点D作轴于点N，交直线于点M，利用分割法表示三角形的面积，解方程求得，计算即可，本题考查了方程组的解法，平移，矩形的判定和性质，熟练掌握平移的思想，分割法计算面积是解题的关键． 【详解】根据题意，得 ， 解得，， ∴，； ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． ∴点， ∵将线段沿射线方向平移t ()个单位长度，得到对应线段， ∴根据平移性质，得到向右平移个单位长度，向上平移个单位长度的平移变换，且， ∴， ∵反比例函数的图象恰好经过C，D两点， ∴， 解得， ∴，， 过点C作轴于点F，过点D作轴于点N，交直线于点M， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ， ∵的面积为6， ∴， 整理，得 解得， 故或， 故答案为：或． 23. 如图，在等边中，，D是上一点，（n为正整数），E是上一点，F是射线上一点，，连接，设中点为M，点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长为_____（用含n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】作，延长到点，使，作，作中点，由，得到，结合，得到，设，则，在中， ，， 在中，，根据中位线得到，，，由，得到，，由，得到，，由，得到，即：，将时，的长度点M运动的路径长， 本题考查了，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理解三角形，解题的关键是：找到点M运动的路径长与的比例关系． 【详解】解：过点作，交于点，延长到点，使，过点作，垂足为，连接，，作中点，连接，，， ∵， ∴，， ∴，即：， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 设，则， 在中，，，， 在中，，， ∵是中点，是中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴， ∴，即：，整理得：， 当点E在点A时，，， 当点在点时，，， ∴点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 四月里最香甜的那抹味道，一定是樱桃；在这个生机盎然的季节里，樱桃也悄然变红．为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．学校原计划在果园种100棵樱桃树，一棵樱桃树平均结1000个樱桃，现准备多种一些樱桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵樱桃树，每棵樱桃树的产量就会减少5个，但多种的樱桃树不能超过100棵． （1）设多种x棵樱桃树，樱桃产量一共y个，求y（个）与x（棵）的函数关系式； （2）如果要在节约成本的情况下，使产量增加，那么应多种多少棵樱桃树? 【答案】（1） （2）要在节约成本的情况下，使产量增加，那么应多种40棵樱桃树 【解析】 【分析】（1）设多种x棵樱桃树，则樱桃树的数量为棵，每棵樱桃的产量为个，利用总产量＝数量×每棵产量，即可求得． （2）根据题意，总产量为，列方程，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，弄清题意，正确列式是解题的关键． 【小问1详解】 设多种x棵樱桃树，则樱桃树的数量为棵，每棵樱桃的产量为个， 则， ； 【小问2详解】 根据题意，总产量为， 得， ， ， 解得：（舍去）， 要在节约成本的情况下，使产量增加，那么应多种40棵樱桃树． 25. 如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）无论a取何值，抛物线一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段上一点，连接，当为直角三角形时，求点H的坐标； （3）在（2）的条件下，点P是线段上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（），使得以为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将A代入即可求解； （2）根据解析式确定抛物线必过定点和，，分为①当时，②当时，两种情况分别画图求解即可； （3）求出直线的解析式，设P，Q，分为①，②，两种情况分别求解即可； 【小问1详解】 解：将代入， 解得， ； 【小问2详解】 ， 当或者时，， 无论a为何值，抛物线必过定点和， 点M和点C重合， ， ①当时，如图1，为等腰直角三角形， ， ②当时，如图2，为等腰直角三角形， ； 图1 图2 【小问3详解】 直线的解析式为，过点A，C， 求得直线的解析式为， 设P，Q， M，H1， ①如图3，， ， 解得， P1， 根据菱形性质，可以得出Q1， ②如图4，， ， 解得， P2， 根据菱形性质，可以得出Q2， 综上所述：点Q的坐标为或． 图3 图4 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，菱形的判定与性质等知识解题的关键是用含字母的代数式便是相关点的坐标和相关线段的长度及方程思想的应用． 26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 如图，在矩形中，，将矩形绕点C旋转，得到矩形． 【初步感知】 （1）如图1，将矩形绕点C顺时针旋转，当时，连接，． ①求证：， ②求出，，的数量关系（直接写出结论，不必证明）； 【深入探究】 （2）将矩形绕点C旋转，当且点E落在直线上时，试探究线段，，的数量关系，并写出证明过程； 【拓展运用】 （3）如图2，将矩形绕点C旋转顺时针旋转，点G落在上，与，分别交于点Q，P，当F，D，Q三点共线时，直接写出的值． 【答案】（1）①证明：， ， ， ， ， ， ， ， ②； （2）点E落在直线上时，，点E落在线段上时，，理由如下： 结论①：（等价结果也正确）， 当，点E落在直线上时，连接，交于点H， 在中， ， 在与中， ， ， ， 点A，D，F三点共线， ， 设， 在中， ， 由，得出， 在中， ， （等价结果也正确）， 结论②：（等价结果也正确）， 当，点E落在线段上时，连接， 在中， ， 在与中， ， ， ， 点A，B，F三点共线， 在中，，， 设，， （等价结果也正确）， 综上所述：点E落在直线上时，， 点E落在线段上时，； （3） 【解析】 【分析】（1）①由，，得到，结合，，即可求解，②由，，，通过等量代换，即可求解， （2）①点E落在直线上时，连接，交于点H，在与中，由，，得到，点A，D，F三点共线，设，在中，得出，在中，，即可求解，②点E落在线段上时，连接，在与中，由，，得到，点A，B，F三点共线，在中，，，设，，即可求解， （3）作，延长交于点， 由，得到，，由，得到，由，得到，设，，则， ，，由，得，解得：，由，，，得到，由，得到，将，，代入，即可求解， 本题考查了，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：找到等量关系，列出等量关系式． 【详解】解：（1）①略 ②∵，，， ∴， ∴（等价结果也正确）； （2）略 （3）过点，作，交于点，延长交于点，连接、， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，，则：，，， ∴， ∵， ∴， ∴,即：，解得：，（舍）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，，即：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $