精品解析：陕西省西安中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题

陕西省西安中学高2025届高三摸底考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 命题人：薛恒） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解. 【详解】集合，而， 所以. 故选：B 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 3. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举出反例，根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 随机变量的分布列如下表： －1 0 1 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列中概率和为1和期望的值可以计算出的值，代入方差公式可以计算方差. 【详解】解：，由表中数据可知，解得：.又，.所以. 故选：A 【点睛】本题考查分布列的性质以及期望、方差的公式，属于基础题. 5. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 若，，即， 所以实数a可取的最小整数值是. 故选：A. 6. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步.那么，大约需要经过（    ）天，甲的“日能力值”是乙的倍（参考数据：，，） A. 85 B. 100 C. 150 D. 225 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可. 【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为，天后，甲、乙的“日能力值”分别、， 依题意可得，即，两边取对数得， 因此， 所以大约需要经过天，甲的“日能力值”是乙的倍. 故选：B 7. 某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ） A. 124 B. 246 C. 114 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布乘法计数原理，根据排列及间接法计算. 【详解】设学校为，先把甲乙两人安排到不同学校，有种， 不妨设甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可， 利用间接法计算，有种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同安排方法. 故选：C 8. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解. 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算结果为1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AC：根据指数运算分析判断；对于B：根据对数运算分析判断；对于D：利用换底公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 10. 设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（ ） A. ab的最大值为 B. a2＋4b2的最小值为 C. 的最小值为8 D. 2a＋4b的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用均值不等式对选项进行逐一求解，可判断出正误，得出答案. 【详解】，得，当且，时取等号，故正确； ，当且仅当，时取等号，故正确； ，当且仅当时取等号，故错误； ，当且仅当，时取等号，故正确， 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值. 11. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则（ ） A. 从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为 B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为 C. 从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4 D. 从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据古典概型公式，结合组合公式，依次判断选项. 【详解】A.在第一次取到白球的条件下，则甲袋中还有2个白球和4个红球，所以第二次取到红球的概率为，故A正确； B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率，故B错误； C.设红球个数为，，则数学期望，故C正确； D.第一种情况，若是从甲袋中取到2个白球放入乙袋，则概率，第二种情况，若是从甲袋中取到1个白球和1个红球放入乙袋，则概率，第三种情况，若是从甲袋中取到2个红球放入乙袋，则概率，所以从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式的常数项为______. 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的常数项为, 故答案为： 13. 已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平均数和方差的定义建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 由，得， 所以. 故答案为：5 14. 定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定定义构造不等式，按分类讨论并结合函数大致图象，建立关系式求解即得. 【详解】由给定的定义知，为满足的整数解的和， 当时，在同一坐标系内作出函数和的大致图象，如图： ，， 因此的解集包含，，不符合题意； 当时，，由，解得或， 在内有3个整数解，即，因此，符合题意； 当时，作出函数和的大致图象，如图， 若，又，且，所以不等式的整数解为． 只需满足，即，解得． 所以时，实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. （1）求的解析式； （2）设，若在上是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式； （2）首先表示出，从而确定其对称轴，依题意得到或，解得即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上， 则可设，， 即， 由的图象过点，可得，解得， 所以，即. 【小问2详解】 因为，对称轴， 因为在上是单调函数，所以或，解得或， 即实数的取值范围. 16. 甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为． （1）求，的值； （2）乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望． 【答案】（1）， （2）分布列为： 【解析】 【分析】（1）借助相互独立事件的乘法公式可得方程组，解出该方程组即可得； （2）得出的所有可能取值后计算相应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得其期望. 【小问1详解】 由题意可得，解得； 【小问2详解】 的可能取值为， ，， ，， 则其分布列为： . 17. 随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据： 周平均锻炼时间少于5小时 周平均锻炼时间不少于5小时 合计 50岁以下 80 120 200 50岁以上（含50） 50 150 200 合计 130 270 400 （1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？ （2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.025 0.01 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能 （2）的分布列为： 1 2 3 ，【解析】 【分析】（1）由列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论； （2）抽取的8人中，周平均锻炼时长少于和不少于5小时的人数，得出所有可能的取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式求得数学期望. 【小问1详解】 解：零假设周平均锻炼时长与年龄无关联. 由列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 解：抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有人，不少于5小时的有人，则所有可能的取值为， 所以； 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 所以数学期望. 18. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若最小值为，求m的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可； （2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可； （3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可. 【小问1详解】 设， ，，， 其对称轴方程为，故函数在上单调递增， 所以， 故所求值域为； 【小问2详解】 ∵函数的最小值为，， 若，在R上单调递增，没有最小值； 若时，可知当时，y取得最小值； 即，解得或舍去， 综上，； 【小问3详解】 由题意，有实数解， 即，可得， 要使此不等式有解，只需即可， （当且仅当时取等号）， ， ，解得， 即实数a的取值范围为. 19. “爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：. （1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 （附：刻画回归效果的相关指数，.） （2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小； （附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式；） （3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望. （附：随机变量服从正态分布，则，.） 【答案】（1）回归模型②刻画的拟合效果更好，72.93亿元； （2）投入20亿元时，公司的实际收益的更大 （3）2.4305万元. 【解析】 【分析】（1）根据公式比较可得模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好.根据模型②的回归方程计算可得结果； （2）用最小二乘法求出当时， y与x满足的线性回归方程，再通过计算比较可得答案； （3）根据正态曲线的对称性和两个特殊区间的概率求出分布列，根据数学期望公式计算可得结果. 【详解】（1）由表格中的数据，有，即， 所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好. 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为 （亿元）； （2）由已知可得：，， 所以， 所以当亿元时，y与x满足的线性回归方程为：， 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值， 所以当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元， 所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大； （3）因为， 所以，， 因为， 所以， 所以， 设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 5 所以每台发动机获得奖励的数学期望为：（万元）. 【点睛】本题考查了用最小二乘法求线性回归方程，并利用回归方程进行预测，考查了正态曲线的对称性和两个特殊区间的概率，考查了求离散型随机变量的数学期望，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安中学高2025届高三摸底考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 命题人：薛恒） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 随机变量的分布列如下表： －1 0 1 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 6. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步.那么，大约需要经过（    ）天，甲的“日能力值”是乙的倍（参考数据：，，） A. 85 B. 100 C. 150 D. 225 7. 某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ） A. 124 B. 246 C. 114 D. 108 8. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算结果为1的有（ ） A. B. C. D. 10. 设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（ ） A. ab的最大值为 B. a2＋4b2的最小值为 C. 的最小值为8 D. 2a＋4b的最小值为 11. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则（ ） A. 从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为 B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为 C. 从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4 D. 从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式的常数项为______. 13. 已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________． 14. 定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. （1）求的解析式； （2）设，若在上是单调函数，求实数的取值范围. 16. 甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为． （1）求，的值； （2）乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望． 17. 随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据： 周平均锻炼时间少于5小时 周平均锻炼时间不少于5小时 合计 50岁以下 80 120 200 50岁以上（含50） 50 150 200 合计 130 270 400 （1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？ （2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.025 0.01 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若最小值为，求m的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 19. “爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：. （1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 （附：刻画回归效果的相关指数，.） （2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小； （附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式；） （3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望. （附：随机变量服从正态分布，则，.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $