精品解析：2024年福建省泉州市德化县初中学业水平仿真模拟考试数学试题

2024年福建省初中学业水平仿真模拟考试 数 学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 2. 如图，榫卯结构是我国一项精湛的木工技艺，该榫卯零件的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年福建交通建设精品工程不断涌现，平潭海峡公铁大桥获评国家优质工程金奖，大桥全长16.323公里，全桥钢结构用量1240000吨，将数据“1240000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为反比例函数图像上的一点，轴，的面积为，则水墨蜻蜓在反比例函数图像上的落点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等边中，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 中国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首古诗：“巍巍古寺在山中，不知寺内有多僧？三百六十四只碗，恰好用尽不用争，三人共餐一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，算出寺内几多僧？”其大意是，某古寺用餐，3个和尚吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问有多少个和尚？根据题意，可以设和尚的个数为，则得到的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 近年来，福建走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（ ） A. 年收入的中位数为4.5 B. 年收入的众数为5 C. 年收入的平均数为4.4 D. 年收入的方差为6.4 9. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为（ ） A. 20cm B. 24cm C. 32cm D. 40cm 10. 我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，数轴上的三个点中，表示负数的是点_______． 12. 如图，在矩形中，点在边上，且平分．若，则的长为_______． 13. 如图，在等腰直角中，，尺规作图如下：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交边于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧分别交于点E，F，连接与分别交于点G，H，则___________． 14. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为______． 15. 若，，则代数式的值为__________． 16. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，将抛物线W沿y轴向上平移得到抛物线，抛物线与y轴交于点D，当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则的长为_________________． 三、解答题（本题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 如图，点E，F分别在平行四边形的边上，且． 求证：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，为的直径，为的弦，，为的中点，连接，，交于点． （1）求的度数； （2）若，求扇形的面积． 22. 的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下． 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，详解下列问题． （1）学生代表成绩比较整齐的是 年级．（填“七”或“八”） （2）补全条形统计图． （3）若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 23. 阅读下列材料，回答问题． 任务：利用浮球测量一个玻璃栈道的高，玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上． 工具：如图2，工具有一把皮尺（测量长度小于）、一台测角仪及一架无人机．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪的功能是测量俯角的大小． 例如：如图3，测角仪可测得的度数，测角仪的高度忽略不计． 小明利用无人机测量玻璃栈道的高，其测量和求解过程如下． 测量过程：如图4，任选玻璃栈道上的一点M，从桥边（与桥高度相同）释放无人机，无人机竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机的下降速度为，下降时间为． 求解过程：由题意，知， ∴四边形为① ， ∴② m． （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容． （2）小明求得用到的几何知识是 ． （3）请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用） 要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 24. 如图，二次函数的图像的顶点为，点在二次函数的图像上，为二次函数图像上的一动点． （1）求二次函数的表达式． （2）如图1，当点的横坐标为时，连接，为线段上的一动点，过点作轴，交抛物线于点，作轴，交轴于点，求的最大值． （3）如图2，连接并延长，交一次函数的图像于点，过点作轴，交二次函数的图像于点，连接．小林发现，在点运动的过程中，直线始终经过某个定点，请直接写出该定点的坐标，不必说明理由． 25. 如图1，在中，，为的平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）如图2，在（2）的条件下，是线段上的一点，连接并延长，交边于点是边上的一点，连接，，于点，交的延长线于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年福建省初中学业水平仿真模拟考试 数 学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2的相反数是-2. 故选：B. 2. 如图，榫卯结构是我国一项精湛的木工技艺，该榫卯零件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，底层是一个较大的矩形，上层中间是一个小矩形． 故选：A． 3. 2023年福建交通建设精品工程不断涌现，平潭海峡公铁大桥获评国家优质工程金奖，大桥全长16.323公里，全桥钢结构用量1240000吨，将数据“1240000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方，根据合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方分别计算判断即可，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 解：、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 故选：． 5. 如图，为反比例函数图像上的一点，轴，的面积为，则水墨蜻蜓在反比例函数图像上的落点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，根据的几何含义可得的值，从而根据判断即可，解题的关键是熟练掌握反比例函数中的几何意义． 【详解】解：∵垂直于轴，的面积为，， ∴， ∴， ∵， ∴水墨蜻蜓在反比例函数图象上的落点的坐标可能是， 故选：． 6. 如图，在等边中，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、垂直的定义、平行线的性质、含的直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质求出，结合垂直的定义、平行线的性质求出，根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 中国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首古诗：“巍巍古寺在山中，不知寺内有多僧？三百六十四只碗，恰好用尽不用争，三人共餐一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，算出寺内几多僧？”其大意是，某古寺用餐，3个和尚吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问有多少个和尚？根据题意，可以设和尚的个数为，则得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设和尚的个数为位，根据共有三百六十四只碗，三人共餐一碗饭，四人共尝一碗羹列出方程． 【详解】设和尚的个数为x位． 可列方程 ； 故答案为B． 【点睛】本题考查由实际问题列一元一次方程，解题的关键是理解题意找出等量关系列方程． 8. 近年来，福建走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（ ） A. 年收入的中位数为4.5 B. 年收入的众数为5 C. 年收入的平均数为4.4 D. 年收入的方差为6.4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差、平均数、众数和中位数，根据众数、中位数、平均数及方差的定义逐一计算即可． 【详解】解：这组数据排列为3、4、4、4、4、4、5、5、5、6， 所以这组数据的众数为4，中位数为， 平均数为， 方差为， 故选：C． 9. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为（ ） A. 20cm B. 24cm C. 32cm D. 40cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直定义可得，再根据已知易得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴钢梁的长为24cm， 故选：B． 10. 我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 连接，先求出，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点作的切线， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，数轴上的三个点中，表示负数的是点_______． 【答案】M 【解析】 【分析】本题考查的是数轴，正数和负数，根据数轴的概念和数轴上各点的分布即可得出答案． 【详解】解：由数轴可知，取右方向为正方向，可得：在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数， ∵M点在原点的左侧，N点，P点在原点的右侧， ∴表示负数的是点M， 故答案为：M． 12. 如图，在矩形中，点在边上，且平分．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，过点作，根据角平分线的性质可得，结合矩形的性质可得，进而得出即可解答． 【详解】解：过点作，如图， 四边形是矩形， ，，， ， 平分． ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在等腰直角中，，尺规作图如下：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交边于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧分别交于点E，F，连接与分别交于点G，H，则___________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的作法与性质，等腰直角三角形的性质，熟记线段垂直平分线的作法与性质是解题的关键． 由作图可知，垂直平分，由等腰直角三角形的性质结合三角形外角的性质即可得出结果． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为______． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，根据题意画出树状图求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，树状图如图所示， ， ∴两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为：， 故答案为：． 15. 若，，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过因式分解提取公因式ab，即可把代数式变换为，再代入值进行计算即可. 【详解】 故答案为：-20. 【点睛】本题考查代数式的化简求值，把代数式应用因式分解的方式变换是解题的关键. 16. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，将抛物线W沿y轴向上平移得到抛物线，抛物线与y轴交于点D，当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程的根与系数的关系，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．设向上平移得到抛物线的解析式为，利用，得到，利用抛物线与x轴有且只有一个交点，求得；设，，则α，β是方程的根，利用一元二次方程的根与系数的关系解答即可得出结论． 【详解】解：∵与y轴交于点C， ∴， ∴． 设向上平移得到抛物线的解析式为， ∵抛物线与y轴交于点D， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴有且只有一个交点， ∴， ∴． ∴抛物线W的解析式为， 设，则α，β是方程的根， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的化简、绝对值的性质、负整数指数幂化简，再合并即可． 【详解】解：原式 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 19. 如图，点E，F分别在平行四边形的边上，且． 求证：． 【答案】证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，进而结论得证． 【详解】略 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，先把括号内的式子通分，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，为的直径，为的弦，，为的中点，连接，，交于点． （1）求的度数； （2）若，求扇形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，扇形的面积，准确识图，熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解决问题的关键． （1）连接，则，根据点为的中点得，进而得，据此可得的度数； （2）先求出半径为3，再根据得，然后根据扇形的面积公式可得出答案． 【小问1详解】 解：连接，如下图所示： ∵为的直径，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积为：． 22. 的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下． 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，详解下列问题． （1）学生代表成绩比较整齐的是 年级．（填“七”或“八”） （2）补全条形统计图． （3）若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 【答案】（1）七 （2） 补全条形统计图如下： （3）160人 【解析】 【分析】（1）根据方差的意义判断即可； （2）根据七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，求出2分和3分的人数，即可补全条形统计图； （3）用400乘以参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴学生代表成绩比较整齐的是七年级． 故答案为：七． 【小问2详解】 解：∵七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人， ∴2分和3分的人数分别有1人和4人； 【小问3详解】 解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有（人）， （人）， 答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有160人． 【点睛】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、方差、用样本估计总体等知识点，读懂统计图、从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 23. 阅读下列材料，回答问题． 任务：利用浮球测量一个玻璃栈道的高，玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上． 工具：如图2，工具有一把皮尺（测量长度小于）、一台测角仪及一架无人机．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪的功能是测量俯角的大小． 例如：如图3，测角仪可测得的度数，测角仪的高度忽略不计． 小明利用无人机测量玻璃栈道的高，其测量和求解过程如下． 测量过程：如图4，任选玻璃栈道上的一点M，从桥边（与桥高度相同）释放无人机，无人机竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机的下降速度为，下降时间为． 求解过程：由题意，知， ∴四边形为① ， ∴② m． （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容． （2）小明求得用到的几何知识是 ． （3）请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用） 要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 【答案】（1）①矩形 ②vt （2）矩形的对边相等 （3）a 【解析】 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，结合物理知识，熟练运用矩形的判定与性质以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键． （1）根据矩形的判定和性质以及物理知识解答即可； （2）根据矩形的性质解答即可； （3）根据正切锐角的三角函数值的定义来解答即可． 【小问1详解】 解：由题意，知， 四边形为矩形， ． 故答案为：矩形，； 【小问2详解】 小明根据矩形的对边相等来设计方案； 故答案为：矩形的对边相等； 【小问3详解】 在的一侧取一点，用测角仪测量，再取一点，测量的长，以及，如图： ， ，， ，， 又， ． 24. 如图，二次函数的图像的顶点为，点在二次函数的图像上，为二次函数图像上的一动点． （1）求二次函数的表达式． （2）如图1，当点的横坐标为时，连接，为线段上的一动点，过点作轴，交抛物线于点，作轴，交轴于点，求的最大值． （3）如图2，连接并延长，交一次函数的图像于点，过点作轴，交二次函数的图像于点，连接．小林发现，在点运动的过程中，直线始终经过某个定点，请直接写出该定点的坐标，不必说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点，点代入,用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，然后设点的坐标为，则点，得出，然后根据二次函数的性质以及的取值范围求出最大的最大值； （3）设点的坐标为，直线的表达式为，把点，坐标代入解析式，求出直线的表达式为然后再求出点坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，然后得出直线恒过定点． 【小问1详解】 解：把点和点代入， 得， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 为二次函数图象上的点，且点的横坐标为， ，即点． 设直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点，， ， ，， 当时，取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 定点． 理由：设点的坐标为，直线的表达式为， 将点，代入得， 解得， 直线的表达式为， 令，解得， 将代入，得， 点， 设直线的表达式为， 将点，点代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 即直线恒过定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点，二次函数的性质，二次函数的最值等知识，关键是求出函数解析式． 25. 如图1，在中，，为的平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）如图2，在（2）的条件下，是线段上的一点，连接并延长，交边于点是边上的一点，连接，，于点，交的延长线于点，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （2）由勾股定理可求的长，通过证明，即可求解； （3）由相似三角形的性质可求，由锐角三角函数可求的值，可求的长，由锐角三角函数和勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作，交于，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $