精品解析：湖南省永州市祁阳二中2013-2014学年高二上学期10月月考理科数学试题

湖南省永州市祁阳二中2013年下学期高二10月月考 数学试卷（理科） 时量：120分钟；满分：120分 命题人：段新良 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A. 对任意实数x, 都有x > 1 B. 不存在实数x，使x1 C. 对任意实数x, 都有x1 D. 存在实数x，使x1 2. 数列的一个通项公式是（ ） A B. C. D. 3. 已知中，，则此三角形的最大内角的度数是（       ） A 120° B. 60° C. 90° D. 135° 4. 在等差数列中，，则 =（       ） A. 20 B. 38 C. 64 D. 76 5. 设,，则下列各不等式中恒成立的是( ) A. B. C. D. 6. 设集合， ，则“x∈A”是“x∈B”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设，满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 8. 已知数列中，，，，…，则数列 前项的和=( ) A. B. C. D. 9. 在中，若，则的形状一定是( ) A 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 10. 数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上． 11. 已知的三个内角成等差数列，且边，则的面积等于______． 12. 求不等式组表示的平面区域的面积等于_____________ 13. 递减等差数列的前项和满足，则欲使最大，则＝_____ 14. 设,则的最小值为________． 15. 如图，它满足①第行首尾两数均为，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第行（）第2个数是______. 三、解答题：本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）设原命题是“正方形的四条边相等”，把原命题改写成“若，则”的形式，并写出它的否命题，然后指出它们的真假. （2）若关于的不等式的解集为，求的值. 17. 已知为等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若等比数列满足，，求数列前项和公式． 18. 的内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角； （2）若，，求边. 19. 已知命题：方程的两个根都在上；命题：对任意实数，不等式恒成立，若命题“”是真命题，求的取值范围. 20. 某种汽车，购车费用是12万元，每年使用的保险费、汽油费约为0.88万元，年维修费用第一年是0.24万元，以后每年递增0.24万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？（提示：年平均费用=） 21. 设各项均为正数的等比数列中，，．设 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，，求证：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省永州市祁阳二中2013年下学期高二10月月考 数学试卷（理科） 时量：120分钟；满分：120分 命题人：段新良 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A. 对任意实数x, 都有x > 1 B. 不存在实数x，使x1 C. 对任意实数x, 都有x1 D. 存在实数x，使x1 【答案】C 【解析】 【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词． ∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是 “对任意实数x，都有x≤1” 故选C． 2. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为. 故选：B 3. 已知中，，则此三角形的最大内角的度数是（       ） A. 120° B. 60° C. 90° D. 135° 【答案】A 【解析】 【分析】设出三边，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】由三角形三边的比例，不妨设三边长分别为、、，最大内角即为所对的角；由余弦定理得， 所以最大角为120°， 故选：A． 4. 在等差数列中，，则 =（       ） A. 20 B. 38 C. 64 D. 76 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列性质求解即可. 【详解】由等差数列知，， 因此， 故选：D． 5. 设,，则下列各不等式中恒成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于A，由,，得，所以，故A不正确； 对于B，由，得，又，所以，即，故B 不正确； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以，故D不正确； 故选：C. 6. 设集合， ，则“x∈A”是“x∈B”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式求得集合A,B,再结合充分不必要条件的定义进行判断即可. 【详解】求解不等式可得：，， 据此可得“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件. 故选：A 7. 设，满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域并根据目标函数的几何意义可得，再由基本不等式计算可得其最小值. 【详解】根据题意画出可行域如下图中着色部分所示： 目标函数可化为， 由其几何意义可得当目标函数过图中点时，取得最大值， 即，可得， 所以，当且仅当时，等号成立； 即的最小值为4. 故选：A 8. 已知数列中，，，，…，则数列 的前项的和=( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简通项，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】由， 数列 的前项的和， 故选:A． 9. 在中，若，则的形状一定是( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由结合余弦定理化简可得解. 【详解】由结合余弦定理得， 所以的形状一定是直角三角形， 故选：D． 10. 数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与前n项和关系可得，然后利用等比数列求和公式即得. 【详解】∵， ∴， ∴， 当时，满足， ∴， ∴，， ∴数列是以1为首项，4为公比的等比数列， ∴. 故选：B. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上． 11. 已知的三个内角成等差数列，且边，则的面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由等差中项性质确定，再由三角形面积公式求面积. 【详解】的三个内角成等差数列，所以，又， 所以. 故答案为： 12. 求不等式组表示的平面区域的面积等于_____________ 【答案】36 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的对应图象的形状，即可求出对应的区域面积． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：三角形ABC． 由，解得A（﹣3，3），B（3，9），C（3，﹣3）， ∴|BC|＝9﹣（﹣3）＝12． 点A到直线BC的距离d＝3﹣（﹣3）＝6， ∴三角形的面积为． 【点睛】本题主要考查不等式组表示平面区域，根据线性规划的知识作出不等式组对应的平面区域即可求出面积，比较基础． 13. 递减等差数列的前项和满足，则欲使最大，则＝_____ 【答案】7或8 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由于等差数列是递减数列，故，由，结合等差数列前项和公式，可以得到关于之间的关系，最后利用二次函数的性质可以求出最大时的值. 【详解】设等差数列的公差为，由于等差数列是递减数列，故， ， ， 因为，，所以当或时，最大. 【点睛】本题考查了等差数列的前项和最大项问题，利用二次函数的性质是解题的关键. 14. 设,则的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【详解】法一：， 当且仅当时，等号成立. 法二：由柯西不等式可知， 当且仅当时，等号成立. 15. 如图，它满足①第行首尾两数均为，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第行（）第2个数是______. 【答案】 【解析】 【分析】设第行的第2个数为，可由题设的数据可得，故可求的通项. 【详解】设第行的第2个数为，故，且， 由累加法可得， 故，其中， 而也符合上式，故， 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）设原命题是“正方形的四条边相等”，把原命题改写成“若，则”的形式，并写出它的否命题，然后指出它们的真假. （2）若关于的不等式的解集为，求的值. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）改写命题并写出否命题，再判断真假. （2）利用给定的解集，借助方程求出的值. 【详解】（1）原命题可改写为：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.（真命题） 否命题是：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.（假命题） （2）不等式可化为：，其解集为， 则与是方程的根，即， 所以. 17. 已知为等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若等比数列满足，，求数列的前项和公式． 【答案】(1);(2). 【解析】 【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用．、 （1）设公差为，由已知得 解得 （2）， 等比数列的公比 利用公式得到和． 18. 的内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角； （2）若，，求边. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理代入计算，即可求解 【小问1详解】 ∵. ∴由余弦定理得. 故，因此. 【小问2详解】 ∵，∴， 故. 19. 已知命题：方程的两个根都在上；命题：对任意实数，不等式恒成立，若命题“”是真命题，求的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】解方程由命题p为真求出实数a的取值范围，再根据一元二次不等式恒成立问题求出命题q为真时实数a的取值范围，结合命题“”是真命题，列不等式组可解得. 【详解】由解得或， 因为方程的两个根都在上 则，解得， 若命题为真命题，则； 若对任意实数，不等式恒成立， 则，解得， 若命题真命题时，则； 因为命题“”是真命题，则为真命题且为真命题， 则，解得，即的取值范围是. 20. 某种汽车，购车费用是12万元，每年使用的保险费、汽油费约为0.88万元，年维修费用第一年是0.24万元，以后每年递增0.24万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？（提示：年平均费用=） 【答案】10年 【解析】 【分析】设出未知数，得到关系式，利用基本不等式进行求解. 【详解】设使用年时，汽车的年平均费用（万元）最少，依题意有： ， 当且仅当，即时取得最少值3.4， 故汽车使用10年时平均费用最省. 21. 设各项均为正数的等比数列中，，．设 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，，求证：； 【答案】（Ⅰ） . （Ⅱ）答案详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设数列的公比为，由题意有，解得，，； （Ⅱ）先由表示出，然后用错位相减法得到的值，同时亦可证明出的结果． 【详解】（Ⅰ）设数列的公比为， 由题意有，∴， ∴， ∴． （Ⅱ）∵，， 当时，， ∴． 相减整理得：， 综上所述 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$