精品解析：河北省盐山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

盐山中学2023级高二开学考试 数学试卷 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 二､多选题：本题共1小题，共6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5 C. 已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数 D. 甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 10. 已知点，，，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，第11小题13分，第12、13小题15分，第14、15小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足． （1）求复数z的模； （2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 12. 已知，， （1）若，求的值； （2）若，求的值． 13. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数； （2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在内的概率. 14. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 15. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐山中学2023级高二开学考试 数学试卷 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 2. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 5. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙 甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 7. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0）， ＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2）， ∴点A到直线BC的距离为： d＝ ＝1×＝． 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题. 二､多选题：本题共1小题，共6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5 C. 已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数 D. 甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数据的平均数、中位数、百分位数、分层抽样的方差的计算方法逐一分析选项即可. 【详解】对A，由古典概型计算公式可得每个个体被抽到的概率是，故正确； 对B，已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5， 则，即，解得， 则数据的中位数为，故正确； 对C，已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名， 将数学成绩从小到大排列，小明成绩为第36名， 又由，则小明成绩的百分位数是80，故错误； 对D，由题意得甲班和乙班这60人的数学成绩的平均数为， 甲班和乙班这60人的数学成绩的方差为， 故错误. 故选：. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 10. 已知点，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出三角形的边长，再用余弦定理计算出，进而得到，再套用三角形面积公式即可求解. 【详解】点，， ，，, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，第11小题13分，第12、13小题15分，第14、15小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足． （1）求复数z的模； （2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数及其共轭复数、复数的相等、复数的模运算即可得解. （2）利用复数的运算、复数的相等、复数的几何意义运算即可得解. 【小问1详解】 解：设，则， ∴， ∴，， ∴，则； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， 由题意，复数在复平面内对应的点在第二象限， ∴，解得：， 即实数m的取值范围为． 12. 已知，， （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行求出，将所求式子转换为含有的式子即可； （2）由向量垂直求得，进一步根据角的范围即可求解. 【小问1详解】 当时，，，，此时与不平行， 所以，， ，，， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， 即， ， ，， ， ． 13. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数； （2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在内的概率. 【答案】（1），中位数约为，平均数约为75； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于 求出a的值，再估计中位数和平均数. （2）求出抽取的6人中在的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得， 成绩在的频率依次为， 显然本次竞赛成绩的中位数，则，解得， 本次竞赛成绩的平均数为， 所以，中位数约为，平均数约为75. 【小问2详解】 由（1）知，成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取人，记为1，2，3，4，在中随机抽取人，记为a，b， 从6人中随机抽取2人的样本空间为，共15个样本点， 设事件“至少有1人的成绩在内”，则，有9个样本点， 因此， 所以至少有1人的成绩在内的概率. 14. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 15. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $