专题03 一次函数与方程、不等式重难点题型专训（9大题型+18道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题03 一次函数与方程、不等式重难点题型专训（9大题型+18道拓展培优） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两条直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 一次函数与方程、不等式综合 知识点一：一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点二：一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 知识点三：一次函数与二元一次方程组 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】如图为函数（k、b为常数，）的图象，则关于x的方程的解为（）    A． B． C． D．无法确定 1．已知一次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（   ） A．， B．y随的增大而减小 C．当时， D．方程的解是 2．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是 ． 3如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，点D，且这两个函数图象交于点P，． (1)直接写出C，D两点的坐标，C（______，______），D（______，______）； (2)求四边形的面积； (3)连接，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】在直角坐标系中，有两点，在x轴上有一动点，当周长最小时，n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 1．对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（　　） A．y随着x的增大而减小 B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上 C．图象与y轴交于点（0，b） D．当时，y＜0 2．已知函数，且关于、的二元一次方程有两组解，则的取值范围是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点，且与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例3】如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（    ）    A．或 B． C． D． 1．一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 2．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 3．综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例4】取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：   x … －2023 0 2023 … y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；  ②当时；  ③；  ④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．已知一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出m的取值范围 3．已知一次函数的图像平行于，且过点，求： (1)这个一次函数的解析式． (2)当时，求的值，当时，求的值 (3)画出该一次函数的图象． (4)根据图像回答：当取何值时，？； 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例5】在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，则m的取值为（    ） A． B． C． D． 1．如图，两直线与相交于点 ，下列错误的是（   ） A．时， B．当时， C．且时， D．时，且 2．如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ． 3．如图，直线为，为长方形，点A在轴上，点在轴上，点为，平移直线，得到直线． (1)则______，当经过点时，______； (2)当与线段交于点，与交于点． 要保证与一定有交点，求的取值范围； 用表示的长． 【经典例题六 两条直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 1．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点P．下列说法错误的是（    ） A．， B．关于x的方程的解为 C．当时， D．关于x的不等式的解集是 2．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点C，直线分别与x轴，y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 3．如图，直线：与直线：相交于点． (1)求点的坐标； (2)点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例7】对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 1．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 2．已知一次函数与的图象如图所示． （1）写出关于x，y的方程组的解为 ． （2）若，写出x的取值范围 ． 3．如图1，是直角三角形，，，，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着方向运动到A点停止，设，点P的运动时间为x秒． (1)直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出y的一条性质 (3)结合作出的图像直接写出它与函数相交时x的值．（保留一位小数，误差不超过） 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例8】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 1．一次函数，，点是，与轴围成的三角形内一点（含边界），令，的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点，，若点在一次函数的图象上，则的面积为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点是线段上一动点，若直线把的面积分成：的两部分，请求点的坐标； (3)直线上有一个点，过作轴的垂线交直线于点，当时，求出点的坐标． 【经典例题九 一次函数与方程、不等式综合】 【例9】一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（　　）    A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9 1．在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ． ①的面积总为； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 3．已知函数，其中为常数，该函数图象记为． (1)当时， ①若点在图象上，则______； ②若点在图象上，则______； ③当时，则的取值范围是______． (2)直线与图象交于点，与直线交于点，当时，求的取值范围． (3)已知点，点，当图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围． 1．如图是关于x的函数的图象，则不等式的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 2．一次函数与的图象如图所示，则下列结论： ①，②；③随的增大而增大；④当时，；⑤；其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，已知直线与直线在第一象限交于点．若直线与轴的交点为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程组的解为；③方程的解为；④当时，．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线 相交于点 P，则下列结论错误的是（     ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 6．数形结合是非常重要的数学思想方法，请你利用数形结合思考并判断下面问题：如图，在平面直角坐标系中，若直线（为常数）与直线（为常数且）相交于点，则下列结论错误的是（　　） A．方程的解是 B．不等式与不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 7．已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 8．已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 9．直线与直线的交点是 ，故当x 时，直线上的点在直线上相应点的上方；当x 时，直线上的点在直线上相应点的下方． 10．如图，函数（）的图象经过点（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为 ． 11．根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 12．关于x的不等式组无解且一次函数的图象经过一、二、四象限，则a的取值范围值是 ． 13．已知与x成正比，且当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围为_______． (3)当时，求y的取值范围． 14．已知一次函数的图象经过点和． (1)求m的值； (2)当时，求x的取值范围． 15．如图, 的图象交x轴于点A，并与一次函数的图象交于点B，已知，点 B的横坐标为    (1)求一次函数的解析式； (2)请直接写出当时，自变量x的取值范围． 16．如图，直线与相交于点P，的函数表达式，点P的横坐标为，且交y轴于点． (1)求出点P的坐标； (2)求出直线的函数关系式； (3)求、与x轴所围成的的面积． 17．如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点，交y轴于点D． (1)求该一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)在轴上存在点，使得，求点坐标． 18．如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D．直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数与方程、不等式重难点题型专训（9大题型+18道拓展培优） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两条直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 一次函数与方程、不等式综合 知识点一：一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点二：一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 知识点三：一次函数与二元一次方程组 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】如图为函数（k、b为常数，）的图象，则关于x的方程的解为（）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 1．已知一次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（   ） A．， B．y随的增大而减小 C．当时， D．方程的解是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，以及一次函数的性质．根据图象可得，该一次函数的图象过一、二、三象限，进而可得k、b的值，以及与x轴交点，函数的增减性，即可得出答案． 【详解】解：由图象可得： A、，故A选项错误，不符合题意； B、y随x的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； C、当时，，故C选项错误，不符合题意； D、一次函数与x轴的交点为，即方程的解是，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系，利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可得解． 【详解】解：把点，点代入得，， 解得：， 一次函数的解析式为， 当时，， 图象不经过点；故①不符合题意； 由图象得：关于x的方程的解为，故②符合题意； 关于x的方程的解为，故③符合题意； 当时，，故④符合题意； 故答案为：②③④． 3如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，点D，且这两个函数图象交于点P，． (1)直接写出C，D两点的坐标，C（______，______），D（______，______）； (2)求四边形的面积； (3)连接，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标． 【答案】(1)4，0；0，4 (2)8 (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形的面积是解题的关键． （1）将代入一次函数中，可求得x的值，得出点A坐标，再由可得点C、D的坐标； （2）先求出直线的表达式为． 再求出点P的坐标为．最后求出四边形的面积； （3）设点Q为，分为两种情况：当点在点P的下方时和当点在点P的上方时，分别进行求解即可． 【详解】（1）将代入一次函数中，得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：4，0；0，4； （2）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，点D，由（1）可得 ∴， ∴直线的表达式为． 在一次函数中，令，则． ∴点B的坐标为． ∴解得 ∴点P的坐标为． ∴． （3）∵点Q在直线上，则设点Q为，则分为以下两种情况： 当点在点P的下方时，如图所示． ∵，点P的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得． ∴． ∴点的坐标为． 当点在点P的上方时，如图所示． ． ∴， ∴， 解得． ∴， ∴点的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】在直角坐标系中，有两点，在x轴上有一动点，当周长最小时，n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】C 【分析】此题考查轴对称--最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点．先作出点A关于x轴的对称点，再连接，求出直线的函数解析式，再把代入即可得． 【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接A'B交x轴于C，此时的值最小， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，，解得， ∴， 故选：C． 1．对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（　　） A．y随着x的增大而减小 B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上 C．图象与y轴交于点（0，b） D．当时，y＜0 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵k＜0， ∴y随x的增大而减小， A选项说法正确，不符合题意； 假设点（−1，−2）在这个函数的图象上，则−2＝−k＋b， ∴b＝k−2， ∵k＜0， ∴k−2＜0， ∴b＜0，这与b＞0不一致， B选项说法错误，符合题意， 令x＝0时，y＝b， ∴图象与y轴的交点为（0，b）， C选项说法正确，不符合题意； 当y＝kx+b＝0时，解得：， ∴一次函数y＝kx+b与x轴的交点坐标为（，0）， ∵y随x的增大而减小， 当时，y＜0； D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y＝kx＋b中，k与b对函数图象的影响是解题的关键． 2．已知函数，且关于、的二元一次方程有两组解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程，一次函数图象等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 先化简为，得出无论取何值，恒过，画出题中分段函数图象，结合随值不同，绕进行旋转，观察图象即可求解． 【详解】解：可化为， 无论取何值，恒过， 该函数图象随值不同，绕进行旋转， 作出题中，两个函数图象如下： ， 由图象可得，与轴的交点为， 当经过，时恰好与有两个交点，此时， 由图象可得，当时，的倾斜程度越缓，与只有一个交点，故的取值范围是， 当时，与平行，与只有一个交点，故的取值范围是， 综上所述，当时，关于，的二元一次方程有两组解． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点，且与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)75 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，用数形结合的思想解答． （1）先直线的解析式求出A点坐标，再根据点A与点C的坐标即可求得直线的解析式； （2）根据直线的解析式求得点B的坐标，根据直线的解析式求得点D的坐标，再根据点A的坐标即可求得的面积． 【详解】（1）∵直线与y轴交于点A， 当时，， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过，， ∴， 解得 ∴直线的解析式为； （2）∵直线与x轴交于点B， 当时，， ∴， ∵直线与x交于点D， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例3】如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（    ）    A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】∵直线和直线相交于点， ∴的解是：， 故选：． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解就是已知两条直线交点的横坐标的值． 1．一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式， 一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图像和性质，利用数形结合是解题的关键. 【详解】由图象可得：对于函数来说,随的增大而减小，故A正确，不符合题意； ∵ ∴函数 的图象经过第一，三， 四象限，不经过第二象限，故B正确，不符合题意； ∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为 ， ，故C正确，不符合题意； 当 时, ， 由图象可知 ，即，故D错误，符合题意； 故选: D. 2．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 3．综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称 (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，从最小值，对称性，增减性等方面总结即可； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据题意得： 结论1：函数有最小值，最小值为； 结论21：函数的图象关于直线对称； （4）解：方程的解为：，理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为， ∴关于的方程的解为：． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例4】取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：   x … －2023 0 2023 … y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；  ②当时；  ③；  ④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【详解】解：①由表格可知，时，，即，故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 故选：C 1．已知一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键． 一次函数的图象经过点，根据函数的图象即可写出不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 当时，， 所以，关于的不等式的解集为， 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出m的取值范围 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，先求出的解析式，分情况讨论：当直线过点C时和当直线与直线平行时，即可得到符合条件的m的取值范围． 【详解】解：将点和代入， 得， 解得：， 则函数的表达式为， 过点且平行于x轴的直线为， 函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C， ， 解得，， 即． 当直线过点C时，即把代入， 得， 解得， 当时，对于x的每一个值，的值大于的值， ， 解得， 当与直线平行时，， 此时，满足条件， 且当时，不满足条件，即， 故答案为：． 3．已知一次函数的图像平行于，且过点，求： (1)这个一次函数的解析式． (2)当时，求的值，当时，求的值 (3)画出该一次函数的图象． (4)根据图像回答：当取何值时，？； 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据题意，设这个一次函数的解析式为，又由过点，代入，代入可得b的值，即可得到答案； （2）在（1）求得的解析式中，令和，可得答案； （3）用两点法作出图象即可； （4）观察图象，可得答案． 【详解】（1）根据题意，设这个一次函数的解析式为， 又由过点， 代入， 可得， 则一次函数的解析式为； （2）由（1）得，一次函数的解析式为， 当时，代入得：， 当时，代入得：； （3）当时，， 当时，， 函数图像如图所示： （4）根据图象可得：当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查一次函数图象的运用及函数解析式的求法，解题时注意数形结合思想的运用． 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例5】在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，则m的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查一次函数的综合应用，根据无论x取何值，始终有，得到两条直线平行，且与轴的交点位置在与轴的交点位置的上方，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，， ∵无论x取何值，始终有， ∴两条直线平行，且与轴的交点位置在与轴的交点位置的上方， ∴，， ∴， ∴； 故选A． 1．如图，两直线与相交于点 ，下列错误的是（   ） A．时， B．当时， C．且时， D．时，且 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合及求解一元一次不等式的解集即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】、例如时，满足，但是不成立，故原选项错误，符合题意； 、当时，解得，故本选项正确，不符合题意； 、由得解得由，得，解得， ∴且时，，故本选项正确，不符合题意； 、时，直线落在轴的下方，即，直线与轴交于点，时，直线落在直线的上方， 即，故本选项正确，不符合题意； 故选：． 2．如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或等于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线不在下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 先利用确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线不在直线的上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：函数的图象过点， ， 解得， 由图象得：不等式的解集是：， 故答案为：． 3．如图，直线为，为长方形，点A在轴上，点在轴上，点为，平移直线，得到直线． (1)则______，当经过点时，______； (2)当与线段交于点，与交于点． 要保证与一定有交点，求的取值范围； 用表示的长． 【答案】(1)， (2)①要保证与一定有交点，则；② 【分析】（1）根据平移不变，根据长方形性质得到，代入解析式，即得值； （2）①分别代入A、的坐标，分别求得的值，即可求得的取值范围；②把代入求得纵坐标，进而即可求得． 【详解】（1）解：∵直线为， ∴， ∵为长方形，点为， ∴， ∵平移直线，得到直线， ∴当经过点时，， 故答案为：，； （2）①∵为长方形，点A在轴上，点为， ∴， 把A的坐标代入， 得，， 解得，； 把的坐标代入， 得，， 解得， ∴要保证与一定有交点，则； ②把代入， 得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数图形与几何变换，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，函数图象平移，函数与不等式，矩形的性质，是解题的关键． 【经典例题六 两条直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程和一次函数的关系，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为． 即：方程组的解为． 故选：A． 1．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点P．下列说法错误的是（    ） A．， B．关于x的方程的解为 C．当时， D．关于x的不等式的解集是 【答案】D 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．根据正比例函数和一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：A、因为正比例函数经过二、四象限，所以，一次函数的图象与的交点在原点上方，，说法正确，本选项不符合题意； B、关于x的方程，即的解为，原说法正确，本选项不符合题意； C、当时，，说法正确，本选项不符合题意； D、关于x的不等式的解集是，说法错误，本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点C，直线分别与x轴，y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数，分别求出直线，直线与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】解：当时，解得， 当时，解得， ∴， 即最大值与最小值之差为， 故答案为：． 3．如图，直线：与直线：相交于点． (1)求点的坐标； (2)点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 【答案】(1) (2)2或0 【分析】此题主要考查两条直线相交的问题，一次函数与一元一次方程，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式即可． （1）把点坐标代入可得的值； （2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得的值． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ； （2）解：把分别代直线与直线， ∵， ∴当时，， ， 当时， ． 综上，的值为2或0． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例7】对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据图像可知，这个最大值在两函数的交点处取得． 【详解】解：分别画出函数、的图像如下：    则函数y的图像如图中粗线所示， 由图可知，交点处取得y的最大值， 联立方程组得：， 解得：， ∴当时，函数有最大值． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 1．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 2．已知一次函数与的图象如图所示． （1）写出关于x，y的方程组的解为 ． （2）若，写出x的取值范围 ． 【答案】 【分析】（1）方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标； （2）不等式的解就是当一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围． 【详解】解：（1）方程组的解就是一次函数与的交点坐标的横纵坐标， 由图知，； （2）不等式的解就是找到图中一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围， 由图知，． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组和不等式的关系，解题的关键是能够理解方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标，以及利用函数图象解不等式的方法． 3．如图1，是直角三角形，，，，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着方向运动到A点停止，设，点P的运动时间为x秒． (1)直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出y的一条性质 (3)结合作出的图像直接写出它与函数相交时x的值．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)图见解析，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 (3)或 【分析】（1）分两种情况，点P在上，点P在上，分别根据三角形的面积公式求出结果即可； （2）描点再顺次连接可得函数图象，由图象可得函数的一条性质； （3）观察图象可得答案． 【详解】（1）解：当点P在上时，，此时， 当点P在上时，，此时， 综上分析可知：； （2）解：把代入得：， 则图象经过点， 把代入得：， 则图象经过点， ∴连接点和，连接点和，且点和除外，如图所示： 根据函数图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； （3）解：根据函数图象可知，作出的图像与函数的交点的横坐标约为，， 即此时或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，画一次函数图象，直线的交点坐标，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质． 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例8】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出的值，从而得到点的坐标，再根据点的纵坐标得到点到轴的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：令，则， 解得， 所以，点的坐标为， ∵点的纵坐标是， ∴点C到轴的距离为， ∴的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了两条直线相交的问题，根据直线解析式求出点的坐标是解题的关键． 1．一次函数，，点是，与轴围成的三角形内一点（含边界），令，的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题主要考查两条直线相交的问题，掌握一次函数图象的性质，点坐标的特点，明确点在交点处面积最大是解题的关键． 根据题意可求出点的坐标，可得，根据两条直线的交点处，图形的面积最大，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：一次函数，令，则；令，则； 一次函数与轴的交点为， ∵点是，与轴围成的三角形内一点（含边界）， ∴， 如图所示， ∴当点在点处，的值最大，即点在直线的图象上， ∴， ∴， 解得，， ∴交点坐标为：， ∴点在一次函数的图象上， ∴， 解得，， 故选：． 2．已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点，，若点在一次函数的图象上，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】将两一次函数的解析式联立，求出点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出、、的坐标，然后根据的面积的面积的面积求解． 【详解】解：由，解得，则． 一次函数与的图象与轴分别交于点，， ，． 点在一次函数的图象上， ，解得， ． 的面积的面积的面积 ． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点是线段上一动点，若直线把的面积分成：的两部分，请求点的坐标； (3)直线上有一个点，过作轴的垂线交直线于点，当时，求出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，点在函数图像上的坐标特点，注意分类讨论． （1）首先求出A、C两点的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）求出的面积；设，，分两种情况考虑：当：：时；②当：：时；由面积关系求出m的值，即可求得点G的坐标； （3）设，则，从而求得，由即可求得n的值，从而得到点P的坐标． 【详解】（1）解：在中，令，得；令，得； ∴，， 点． 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：，，． ， ， 设，， 当：：时，即， ， ， ； ②当：：时，即， ， ， ． 综上，点的坐标为或； （3）解：设，则， ， ， ， 或， 或． 【经典例题九 一次函数与方程、不等式综合】 【例9】一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（　　）    A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9 【答案】D 【分析】先利用正比例函数解析式,确定A点坐标;然后利用函数图像，写出一次函数y=kx+b（k≠0）的图像，在正比例函数图像上方所对应的自变量的范围. 【详解】解：把A（m，﹣3）代入y＝x得m＝﹣3，解得m＝﹣9， 所以当x＞﹣9时，kx+b＞x， 即kx﹣x＞﹣b的解集为x＞﹣9． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合. 1．在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了两直线与y轴围成的图形面积问题．熟练掌握一次函数图象和性质，三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，是解题关键． 设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D，求出，，得到，根据，与y轴围成的三角形的面积为5，得到，代入求得，代入，即得． 【详解】解：设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D， ∵中，时，；中，时，． ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 代入， 得，， 解得，． 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ． ①的面积总为； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 【答案】 【分析】画出草图，再根据选项逐一解答进行排除即可． 【详解】：如图，    由题意可知，当时，，∴点 当时，由得，，解得：， 由得，，解得：， 则， ∴， 故正确； ：由得，与图像交点为和， 当时，总有， ∴，解得：， 故正确； ：当时，则，如图，    由，解得：， 由，解得：， ∴解集为：， 故正确； ：如图，    当与的图象只有一个公共点时，或，故不正确； 故选：． 【点睛】此题考查一次函数的图象及其性质，解题的关键是结合图象进行分析． 3．已知函数，其中为常数，该函数图象记为． (1)当时， ①若点在图象上，则______； ②若点在图象上，则______； ③当时，则的取值范围是______． (2)直线与图象交于点，与直线交于点，当时，求的取值范围． (3)已知点，点，当图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②；③ (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，一元一次不等式组的应用； 当时， ①将点代入，即可求解； ②分别讨论时，时，代入解析式，求得对应的的值， ③分当时，，当时，，分别求得函数值，进而即可求解； （2）与直线交于点，则，进而分类讨论与时对应的点坐标，根据，解不等式组，即可求解； （3）将分别代入两个解析式，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ①将点代入，即， 故答案为：． ②当时，，解得： 当时，，解得， 故答案为：． ③当时， 时，，当时， 当时， 当时，，当时， ∴当时， （2）解：∵与直线交于点 ∴ 当时，点在上，则 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当时，点在上，则 当时，即时， ∴ 解得： 当时， 解得： 综上所述，或 （3）解：当在时， 解得：， 当在 解得： ∴时与有交点 当点在上时，， 当在上时，， ∴时，与有2个交点 ∴当图象与线段只有一个交点时，或． 1．如图是关于x的函数的图象，则不等式的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合的思想方法．从图象可以得到函数的增减性以及与x轴的交点，从而得到的解集． 【详解】解：函数的图象，与x轴的交点是，且函数值y随自变量x的增大而增大， ∴不等式的解集是． 故选：B． 2．一次函数与的图象如图所示，则下列结论： ①，②；③随的增大而增大；④当时，；⑤；其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程和不等式的关系，由一次函数的图象可得，，，即可判断①②③；由交点的横坐标为可判断④⑤；掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，，故①正确； ∵一次函数的图象与轴的交点位于轴的负半轴上， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴随的增大而减小，故③错误； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴当时，， 即，故⑤正确； 由图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方， ∴当时，，故④正确； 综上，正确的个数有个， 故选：． 3．如图，已知直线与直线在第一象限交于点．若直线与轴的交点为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，两条直线的交点就是两条直线的解析式构成的方程组的解．首先根据直线与轴的交点为，求出、的关系；然后求出直线、直线的交点坐标，根据直线、直线的交点横坐标、纵坐标都大于0，求出的取值范围即可． 【详解】解：直线与轴的交点为， ， ， 解得， 直线与直线的交点在第一象限， ， 解得． 故选：D 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程组的解为；③方程的解为；④当时，．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像，结合一次函数的性质和图象，逐一判断即可解答，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：①由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势， 所以y的值随着x值的增大而减小，故①正确； ②由函数图象可知，一次函数一次函数与的图象交点坐标为， 所以方程组的解为，故②正确； ③由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为， 所以方程的解为，故③正确； ④由函数图象可知，直线过点， 所以当时，，故④错误； 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线 相交于点 P，则下列结论错误的是（     ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 【答案】C 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的关系，利用函数图象解不等式，数形结合是解题的关键．根据图象可直接判断A，B，C，求出与x轴的交点可判断D． 【详解】A．由图象可得直线与的图象交于点， ∴方程的解是，故正确； B．由图象可知，不等式和不等式的解集相同，都是，故B正确； C．方程组的解是，故选项错误； D．将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴时，直线在x轴下方且在直线上方， ∴的解集是，故正确； 故选：C． 6．数形结合是非常重要的数学思想方法，请你利用数形结合思考并判断下面问题：如图，在平面直角坐标系中，若直线（为常数）与直线（为常数且）相交于点，则下列结论错误的是（　　） A．方程的解是 B．不等式与不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【详解】A． 方程的解是，说法正确，不符合题意； B．不等式与不等式的解集相同，说法正确，不符合题意； C．不等式组的解集是，原说法错误，符合题意； D．方程组的解是，说法正确，不符合题意； 故选：C． 7．已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键．由二元一次方程组 的解为 ，得出二元一次方程组的解为 ，从而可得出交点坐标． 【详解】解：二元一次方程组 的解为 ， 即的解为 ， 函数和的图象的交点坐标为， 故答案为：． 8．已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．依据题意，两个函数图象的交点横坐标为，则可得纵坐标为，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 【详解】解：由题意，一次函数与为常数，的图象的交点的横坐标是， 交点的纵坐标为． 方程组的解为． 故答案为：． 9．直线与直线的交点是 ，故当x 时，直线上的点在直线上相应点的上方；当x 时，直线上的点在直线上相应点的下方． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的相交问题，根据解二元一次方程组，可得交点坐标，根据图象法，可得答案． 【详解】解：联立方程组， 解得， 如图： 观察图象，可得交点坐标是， 故当时，直线上的点在直线上相应点的上方； 当时，直线上的点在直线上相应点的下方， 故答案为：，，． 10．如图，函数（）的图象经过点（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先确定直线的解析式，再解不等式组求解集即可． 本题考查了待定系数法，解不等式组，熟练掌握待定系数法，灵活解不等式组是解题的关键． 【详解】解：在中，令时，则， ∴， ∴， 由图可得：不等式的解集为． 故答案为：． 11．根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练运用了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 利用直线与x轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．利用直线与y轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．结合两条直线的交点坐标为和图象来求得解集． 【详解】解：∵直线与x轴的交点是，且随着x的增大而减小， ∴当时，，即不等式的解集是； ∵直线与y轴的交点是，且随着x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集是； 由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是， 当函数的图象在的上面时，有；当时，， 所以当时，； 故答案为：；；． 12．关于x的不等式组无解且一次函数的图象经过一、二、四象限，则a的取值范围值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟知一元一次不等式的解法及一次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给不等式组无解，可求出的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、四象限，确定取值范围即可． 【详解】解：解不等式得， ． 不等式组无解， ， 解得． 一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 解得． 综上所述，， 故答案为：． 13．已知与x成正比，且当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围为_______． (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：正比例的定义，一元一次不等式的解法，不等式的性质，理解题意是关键． （1）由题意设，把，代入得，从而可得答案； （2）当时，可得，再解不等式即可； （3）由，再结合不等式的性质可得答案； 【详解】（1）解：由题意设， 把，代入得， 解得， ∴， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得：； （3）解：当， ∴， ∴， ∴． 14．已知一次函数的图象经过点和． (1)求m的值； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求得即可； （2）利用一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴． （2）解：∵，随的增大而减小． 当时，，解得； 当时，，解得． ∴当时，的取值范围为． 15．如图, 的图象交x轴于点A，并与一次函数的图象交于点B，已知，点 B的横坐标为    (1)求一次函数的解析式； (2)请直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象求解不等式解集等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键． （1）根据题意得出、，然后利用待定系数法代入即可确定函数解析式； （2）结合图象及交点求不等式解集即可． 【详解】（1）解：， 点的横坐标为，且在一次函数的图象上， ∴ ，                                            将，代入得，解得， 一次函数解析式为 （2）由图象可知，当时，直线的图象在的图象的上方，所以时，自变量的取值范围为． 16．如图，直线与相交于点P，的函数表达式，点P的横坐标为，且交y轴于点． (1)求出点P的坐标； (2)求出直线的函数关系式； (3)求、与x轴所围成的的面积． 【答案】(1)点 (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求直线的解析式直线的交点坐标以及三角形的面积； （1）将点的横坐标代入到已知的直线中即可求得结果； （2）根据的解析式求出点的坐标，再设出的解析式，利用待定系数法就可以求出的解析式． （2）当时，设、分别交轴于点、，求出、与轴的交点坐标，就可以求出的值，再利用点的纵坐标就可以求出的面积． 【详解】（1）解：把，代入，得， 点 （2）设直线的函数表达式为，把、分别代入， 得， ，． 直线的函数表达式为． （3）把代入，得， ； 同理，把代入中，得， ， 又 ． 17．如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点，交y轴于点D． (1)求该一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)在轴上存在点，使得，求点坐标． 【答案】(1) (2)2.5 (3)； 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先把A点和B点坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）先确定D点坐标，然后根据进行计算． （3）先求出点的坐标，然后列方程解题即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得： ， ； （2）当 时，， ， ， ， ∴ ； （3）令，则，解得， ∴点的坐标为 设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 18．如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D．直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)点D坐标为 (2) (3)点P坐标为 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求一次函数表达式、两直线的交点问题、坐标与图形，正确求得函数表达式和交点坐标是解答的关键． （1）令直线的解析表达式求解点D坐标即可； （2）根据图象所给点A、B坐标，利用待定系数法求解直线的表达式即可； （3）先求得点C坐标，进而求得，然后利用坐标与图形得到点P的纵坐标是3，进而代入直线的表达式中求解x值即可． 【详解】（1）解：由，当，得，解得， 所以点D坐标为； （2）解：设直线的解析表达式为， 由图象知直线经过和， 得方程组，解得， 直线的解析表达式为； （3）解：由，解得，则． ∴， ∵． ∴． 与底都是，由面积相等得高相等．则高就是C到边的距离． 即C纵坐标的绝对值，则P到距离为． ∴P纵坐标的绝对值3，又点P不与点C重合． ∴点P纵坐标是3． 由，解得， 所以点P坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $$