专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+18道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+18道拓展培优） 题型一 正比例函数的定义 题型二 正比例函数的图象 题型三 正比例函数的性质 题型四 根据一次函数的定义求参数 题型五 求一次函数自变量或函数值 题型六 列一次函数解析式并求值 题型七 一次函数的图象问题 题型八 已知函数经过的象限求参数范围 题型九 一次函数图象与坐标轴交点问题 题型十 一次函数的平移问题 题型十一 一次函数的增减性求参数 题型十二 比较一次函数值的大小 题型十三 一次函数的规律探究问题 题型十四 求一次函数解析式 题型十五 一次函数的图象与性质综合 知识点一：正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点二：正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点三：待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)； (2)代——； (3)求——k； (4)写—— 知识点四：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点五：一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 知识点六：一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 知识点七：求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【经典例题一 正比例函数的定义】 【例1】已知函数，（m ，n是常数）是正比例函数，的值为（  ） A． 或0 B． C．0 D． 1．下列各关系中成正比例的有（    ） ①圆的周长与半径； ②速度一定，路程与时间； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高； ④长方形的面积一定时，长与宽． A．个 B．个 C．个 D．个 2．若是正比例函数，则m的值为 ． 3．已知与成正比例，且当时，，求关于的函数解析式． 【经典例题二 正比例函数的图象】 【例2】七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则的值为（   ） A． B． C． D．1 1．若正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．2 B． C． D．0或 2．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为    3．复兴号动车匀速行驶时，路程和时间关系如下表： 时间/分 0 1 2 3 4 5 6 …… 路程/千米 0 4 8 12 16 20 24 …… (1)把动车行驶的时间和路程对应的点在图中描出来，并连线． (2)复兴号动车行驶的路程和时间成_____比例关系，写出判断依据． (3)动车行驶20分钟可行驶多少千米？（列式解答） 【经典例题三 正比例函数的性质】 【例3】如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．下列关于正比例函数的结论中，正确的是（    ） A．当时，函数值为2 B．随的增大而增大 C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点 2．将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是 ． 3．已知和成正比例，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求a的值． 【经典例题四 根据一次函数的定义求参数】 【例4】若点在函数的图象上，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 1．已知一次函数的图象交轴于点，经过点和点，若，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．或 2．已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数的图象上，求的值． 【经典例题五 求一次函数自变量或函数值】 【例5】关于直线，下列说法不正确的是（   ） A．点在上 B．经过定点 C．必定经过第一、三象限 D．当时，随的增大而增大 1．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、四象限 C．y的值随x值的增大而增大 D．当时， 2．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为1时，则输出y的值为      3．已知：y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点在这个函数的图像上，求m的值． 【经典例题六 列一次函数解析式并求值】 【例6】对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） 0 1 2 3 2 5 8 12 14 A．2 B．5 C．8 D．12 1．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别是（0，3）、（－4，3），M是线段AB的中点，直线l 的解析式是y=kx+b． （1）当直线l直线y=－2x平行，且经过点M时，此时直线l 的解析式为 ； （2）当直线l过点D（0，1）时，若这条直线l与线段MB有交点，则k的取值范围是 ． 3．已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 【经典例题七 一次函数的图象问题】 【例7】下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　） A．B． C． D． 1．在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数图象的位置不可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论： ① ； ② ； ③ 当时，； ④． 其中正确的是 （只填写序号）． 3．已知一次函数与直线 平行，且过点 (1)求这个一次函数的解析式； (2)判断点 是否在这个函数图象上； (3)将这个一次函数图象向下平移1个单位长度，请直接写出平移后的函数解析式，并在给出的坐标系中画出平移后的函数图象． 【经典例题八 已知函数经过的象限求参数范围】 【例8】过点的直线不经过第三象限，若，则p的范围是（   ） A． B． C． D． 1．已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则代数式可化简为（   ） A． B． C． D． 2．如图为一次函数的图象，则m的取值范围为 ． 3．已知函数，m为常数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【经典例题九 一次函数图象与坐标轴交点问题】 【例9】若直线 与直线 关于直线 对称，则 值分别为（   ） A． B． C． D． 1．在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）的图象经过点，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象经过点 B．函数值随的增大而减小 C．函数图象不经过第三象限 D．函数图象与坐标轴围成三角形的面积为 2．规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数的图象经过点，则直线与轴的交点坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，且满足，请直接写出点的坐标． 【经典例题十 一次函数的平移问题】 【例10】在平面直角坐标系中，将正比例函数的图像向上平移3个单位长度后得到一次函数的图像，下列关于一次函数的说法中，错误的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．图像与轴、轴均交于正半轴 D．点在该函数的图像上 1．在平面直角坐标系中，直线（a为常数且）沿y轴向上平移6个单位长度后，与x轴交于点A与y轴交于点B．若的面积为3，则a的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．6或 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由的图象平移得到，且经过点．当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，则m的取值范围 ． 3．在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格： … 1 2 … … 4 3 3 0 … (1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行． 【经典例题十一 一次函数的增减性求参数】 【例11】若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．当时，一次函数有最大值，则实数的值为（    ） A．1 B．1或 C．2 D．2或 2．已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 ． 3．已知一次函数． (1)求该一次函数的图象与x轴交于时的k值； (2)当k为何值时，y随x的增大而减小？ (3)当k为何值时，该一次函数的图象经过一、三、四象限？ 【经典例题十二 比较一次函数值的大小】 【例12】若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练】 1．已知，是直线上的两个点，且，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 3．已知y关于x的函数． (1)若该函数是正比例函数，求k的值； (2)若． ①写出该函数图象经过的象限； ②若点，在该函数的图象上，且，比较与的大小关系． 【经典例题十三 一次函数的规律探究问题】 【例13】如图，正方形、正方形、正方形、…、正方形的顶点A、、、…、和O、C、、、…、分别在一次函数的图象和x轴上，若正比例函数则过点，则系数k的值是（   ）．    A． B． C． D． 1．如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…，照此规律运动，动点依次经过点，则当动点到达处时，运动的总路径的长为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ． 3．含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，， 【探究】 (1)点的坐标是______； (2)点的坐标是______； (3)点的坐标是______（为正整数）． 【经典例题十四 求一次函数解析式】 【例14】如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的表达式为 B．点不在该函数图象上 C．点，在图象上，若，则 D．将图象向上平移1个单位得到直线 1．一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（　　） A． B． C． D．以上都不对 2．如图，射线射线与的平分线交于点E，，点P是射线上的一动点，连结并延长交射线于点Q．若，，则y关于x的函数表达式为 ．    3．在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． (1)求的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【经典例题十五 一次函数的图象与性质综合】 【例15】关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 1．在直角坐标系中，已知两点、以及动点、，则当四边形的周长最小时，比值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是 ． 3．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”． (1)若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ； (2)若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值； (3)若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围． 1．已知直线，若，，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知的顶点的坐标分别为，若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 4．若函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，把正方形放在直角坐标系内，其中点的坐标分别为、，将直线沿轴向左平移个单位，则直线扫过正方形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“零点”，例如都是“零点”．当时，直线上有“零点”，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 8．将直线向上平移2个单位长度后的直线与轴的交点坐标为 ． 9．已知一次函数的图象向上平移个单位后，与轴、轴分别相交于两点，则的面积等于 ． 10．一次函数（为整数）的图象在第一象限内只有个横、纵坐标均为整数的点，则的值为 ． 11．如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，．    （1）点的坐标为 ． （2）若以线段为边，在第一象限内作等腰，使，则直线的函数表达式为 ． 12．如图，已知点在直线上，点坐标为，若点在轴上，且点到，两点距离和最短，则点的坐标为 ． 13．已知函数． (1)若函数的图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值； (3)若这个函数是一次函数，且随着的增大而增大，且不经过第二象限，求的取值范围． 14．已知一次函数的图像经过点，正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数解析式； (2)若将直线进行平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为15，求平移后的直线解析式． 15．如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标（要求写过程）． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求四边形的面积． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，点的横坐标为，在轴上有一点（>），过点作轴的垂线，分别交函数和的图像于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若，求a的值； (3)在（2）的条件下，求四边形OMCP的面积． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图像相交于点，点的横坐标为．      (1)直接写出点的坐标及一次函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)为射线上一点，过点作轴的平行线交于点，当时，请求出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+18道拓展培优） 题型一 正比例函数的定义 题型二 正比例函数的图象 题型三 正比例函数的性质 题型四 根据一次函数的定义求参数 题型五 求一次函数自变量或函数值 题型六 列一次函数解析式并求值 题型七 一次函数的图象问题 题型八 已知函数经过的象限求参数范围 题型九 一次函数图象与坐标轴交点问题 题型十 一次函数的平移问题 题型十一 一次函数的增减性求参数 题型十二 比较一次函数值的大小 题型十三 一次函数的规律探究问题 题型十四 求一次函数解析式 题型十五 一次函数的图象与性质综合 知识点一：正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点二：正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点三：待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)； (2)代——； (3)求——k； (4)写—— 知识点四：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点五：一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 知识点六：一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 知识点七：求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【经典例题一 正比例函数的定义】 【例1】已知函数，（m ，n是常数）是正比例函数，的值为（  ） A． 或0 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数． 【详解】∵函数，（m ，n是常数）是正比例函数， ∴， 解得，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式． 1．下列各关系中成正比例的有（    ） ①圆的周长与半径； ②速度一定，路程与时间； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高； ④长方形的面积一定时，长与宽． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数关系，根据成正比例则比值固定解决此题． 【详解】①设圆的半径为，周长为，则固定不变，那么圆的周长与半径是正比例关系； ②，则速度一定，路程与时间是正比例关系； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高乘积固定，不是比值固定，不成正比例． ④长方形的面积一定时，长与宽乘积固定，不是比值固定，不成正比例． 故符合条件的有：①②， 故选：C． 2．若是正比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题时注意的系数不等于0这个条件．根据的次数为1，系数不等于0，计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 3．已知与成正比例，且当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查成正比例，根据与成正比例设，再代入求值即可． 【详解】∵与成正比例， ∴设， 当时，， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 【经典例题二 正比例函数的图象】 【例2】七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查求一次函数解析式，把图形补全得到一个边长为3的正方形，写出点A和点B的坐标，根据梯形面积是列出关于k的方程．解方程即可得到k的值．数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图，把图形补全得到一个边长为3的正方形，直线将这个正方形分成面积相等的两部分，每部分的面积为，则点A的坐标为，点B的坐标为， 根据直线下方梯形的面积得到， 解得， 故选：A 1．若正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．2 B． C． D．0或 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象的性质，即可进行解答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴B符合题意；A、C、D均不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象，解题的关键是掌握正比例函数，当时，图象经过第二、四象限，当时，图象经过第一、三象限． 2．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为    【答案】（答案不唯一） 【分析】分别求正比例函数经过点和时的值，即可找到的取值范围，从而可选择一个合适值． 【详解】解：当正比例函数经过点第一象限时，， 当正比例函数经过点时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数比例系数，利用数形结合求出正比例函数系数的范围是解题关键． 3．复兴号动车匀速行驶时，路程和时间关系如下表： 时间/分 0 1 2 3 4 5 6 …… 路程/千米 0 4 8 12 16 20 24 …… (1)把动车行驶的时间和路程对应的点在图中描出来，并连线． (2)复兴号动车行驶的路程和时间成_____比例关系，写出判断依据． (3)动车行驶20分钟可行驶多少千米？（列式解答） 【答案】(1)见解析 (2)正，理由见解析 (3)动车行驶20分钟可行驶80千米 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）根据表格中的数据，描点连线即可； （2）由（1）中的图可知，路程随时间的增大而增大，即可解答； （3）根据路程=速度×时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：∵ 路程随时间的增大而增大， ∴复兴号动车行驶的路程和时间成正比例关系． 故答案为：正． （3）解：（千米） 答：动车行驶20分钟可行驶80千米． 【经典例题三 正比例函数的性质】 【例3】如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设， 点在直线上， ， ， ， ， ， ， 点在上， ， ， 故选：D． 1．下列关于正比例函数的结论中，正确的是（    ） A．当时，函数值为2 B．随的增大而增大 C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质以及图象逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 当时，函数值为，故该选项不正确，不符合题意；     B. 随的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；     C. 它的图象经过二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，则它的图象一定不经过点，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， 当正比例函数经过点A时，， 当经过点C时，， 解得， ∵直线与正方形有两个公共点， ∴k的取值范围是， 故答案为：． 3．已知和成正比例，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求a的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由（1）中所求表达式，将代入解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：和成正比例， 设， 代入得，解得， ； （2）解：由（1）知， 点是该函数图象上的一点， 把点代入，得，解得． 【经典例题四 根据一次函数的定义求参数】 【例4】若点在函数的图象上，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将点代入函数，得到，即可求出代数式的值． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，代数式求值，解题关键是掌握函数的图象上的点符合函数解析式． 1．已知一次函数的图象交轴于点，经过点和点，若，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的定义，一次函数的性质；根据一次函数的定义及性质可知，再根据一次函数经过点和点得到，最后根据求出的取值范围即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象交轴于点， ∴， ∵当时，， 即， ∵经过点和点， ∴， 解得：，即 ∴ ∵， ∴， ∴， 综上，且， 故选：C． 2．已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键． 根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可． 【详解】解：是关于的一次函数， 且， 解得：， 一次函数解析式是， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）将代入一次函数解析式求出a的值即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 这个一次函数的解析式为：； （2）解：点在该一次函数的图象上， ， 解得：． 【经典例题五 求一次函数自变量或函数值】 【例5】关于直线，下列说法不正确的是（   ） A．点在上 B．经过定点 C．必定经过第一、三象限 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 对于A，B两选项，根据函数图象上的点一定满足函数解析式，分别将两点的横坐标代入解析式，计算y值看是否等于纵坐标，即可； 再利用一次函数的k值的正负决定图象经过的象限及增减性，即可判断C、D的正误． 【详解】A. 当时，，即点在l上，故A正确，不符合题意； B. 当时，，即经过定点，故B正确，不符合题意； C. 当时，，经过第一、二、四象限，故C不正确，符合题意； D. 当时，随的增大而增大，故D正确，不符合题意． 故选：C． 1．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、四象限 C．y的值随x值的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，直线经过的象限，一次函数与一元一次不等式等知识，掌握这些知识是解题的关键；根据上述知识，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，，即直线不经过点，故错误，不符合题意； B、由于，它的图象经过第二、三、四象限，故错误，不符合题意； C、由知，y的值随x值的增大而减小，故错误，不符合题意； D、当时，，且y的值随x值的增大而减小，则当时，，故正确，符合题意； 故选：D． 2．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为1时，则输出y的值为      【答案】0 【分析】本题考查一次函数与程序流程图，根据题意，求出的值，再将代入对应的函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：当时，， ∴， ∴当时，， ∴当时，； 故答案为：0． 3．已知：y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点在这个函数的图像上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值等知识．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入得，，可求，进而可得y与x之间的函数关系式； （2）将代入得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：将代入得，， 解得，． 【经典例题六 列一次函数解析式并求值】 【例6】对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） 0 1 2 3 2 5 8 12 14 A．2 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【分析】试算，将数表中两组值代入一般式中，确定函数解析式，再将其它值代入，若仅有一组不能满足解析式，即为所求． 【详解】解：将，代入，得， 解得，于是， 将其它数组代入，可知，满足解析式；不满足解析式． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式；掌握待定系数法是解题的关键． 1．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别是（0，3）、（－4，3），M是线段AB的中点，直线l 的解析式是y=kx+b． （1）当直线l直线y=－2x平行，且经过点M时，此时直线l 的解析式为 ； （2）当直线l过点D（0，1）时，若这条直线l与线段MB有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）由直线l：y＝kx＋b与直线y＝−2x平行，得出k＝−2，又因该直线过点M（−2，3），求出b的值，进而解决问题； （2）代入D的坐标求得b＝1，即可得到直线l为y＝kx＋1，然后求得直线经过B、M时的k的值，根据图形即可求得． 【详解】解：（1）线段AB两个端点的坐标分别是（0，3）、（−4，3），M是线段AB的中点， ∴M（−2，3）， ∵直线l：y＝kx＋b与直线y＝−2x平行， ∴k＝−2，即可设直线l为y＝−2x＋b， ∵直线l过点（−2，3）， ∴3＝−2×（−2）＋b， ∴b＝−1， ∴直线l的解析式为y＝−2x−1， 故答案为：y＝−2x−1； （2）∵直线l过点D（0，1）， ∴b＝1， ∴直线l为y＝kx＋1， 当经过点B时，则3＝−4k＋1，解得k＝， 当经过点M时，则3＝−2k＋1，解得k＝−1， ∴若这条直线l与线段MB有交点，则k的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像与系数的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 3．已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出即可； （2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）设与的表达式为， 把时，代入得， 解得， ∴与的关系式为， 即； （2）∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质． 【经典例题七 一次函数的图象问题】 【例7】下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A不可能，符合题意； B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B可能，不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C可能，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项D可能，不符合题意； 故选：A． 1．在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数图象的位置不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据、的取值，分别判断出两个函数图象所经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：若，，则正比例函数的图象经过一、三象限，一次函数的图象经过一、二、三象限； 若，，则正比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限； 若，，则正比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过一、三、四象限； 若，，则正比例函数的图象经过一、三象限，一次函数的图象经过二、三、四象限； 故在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数图象的位置不可能是 ， 故选：D． 2．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论： ① ； ② ； ③ 当时，； ④． 其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】①④/④① 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：因为正比例函数经过一、三象限， 所以，故①正确； 一次函数经过一、二、四象限， 所以，故②错误； 由图像可得，当时， 故③错误； 正比例函数与一次函数的图象交于点 则 则 故④正确； 故答案为：①④ 3．已知一次函数与直线 平行，且过点 (1)求这个一次函数的解析式； (2)判断点 是否在这个函数图象上； (3)将这个一次函数图象向下平移1个单位长度，请直接写出平移后的函数解析式，并在给出的坐标系中画出平移后的函数图象． 【答案】(1) (2)点不在函数图象上；点在函数图象上 (3)，图象见解析 【分析】（1）根据两函数图象平行，求出k值，再把点代入求出b值即可； （2）把点A、B的横坐标代入解析式，计算纵坐标，看是否相等即可判定； （3）根据平移规律：上加下减，左减右加，求出函数解析式，再用两点法画出图象即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与直线 平行， ∴， ∴ 把代入，得 ∴ ∴ （2）解：把代入，得 ∴点不在函数图象上； 把代入，得 ∴点在函数图象上． （3）解：将函数的图象向下平移1个单位长度， 平移后的函数解析式为：， 即． 平移后的函数图象如图所示， 【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数的图象平移，一次函数图象上点的坐标特征，画一次函数图象．熟练掌握一次函数图象平移规律是解题的关键． 【经典例题八 已知函数经过的象限求参数范围】 【例8】过点的直线不经过第三象限，若，则p的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据过点的直线不经过第三象限，可以得到和的关系，、的正负情况，再根据，即可用含的式子表示和用含的式子表示，然后即可得到相应的不等式组，再解不等式组即可． 【详解】 解：过点的直线不经过第三象限， ，，， ，， ， ， ， ，， ， 解得， 故选：C． 1．已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则代数式可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，明确题意、利用一次函数的性质得到m的取值范围是解题的关键． 根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到m的取值范围，然后取绝对值后计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，解得：， ∴． 故答案为：5． 2．如图为一次函数的图象，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，函数图象经过二、三、四象限是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．已知函数，m为常数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点与两条直线平行的条件，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）根据已知条件知，关于的函数的图象经过点，所以把代入已知函数解析式列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值； （2）函数的图象平行于直线，说明，由此求得的数值即可； （3）根据题意列不等式组即可得到结论． 【详解】（1）关于的函数的图象经过原点， 点满足函数的解析式， ， 解得． （2）函数的图象平行于直线， ，， ； （3）函数是一次函数，且不经过第二象限， 且， ， 的取值范围是． 【经典例题九 一次函数图象与坐标轴交点问题】 【例9】若直线 与直线 关于直线 对称，则 值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 先求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交点为， ∴点关于直线的对称点为， 把代入直线，可得， 解得， 则， 一次函数与y轴交点为， 关于直线的对称点为， 代入直线，可得， 解得． 故选：C． 1．在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）的图象经过点，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象经过点 B．函数值随的增大而减小 C．函数图象不经过第三象限 D．函数图象与坐标轴围成三角形的面积为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据待定系数法求出的值，得出函数解析式，再根据一次函数的图象和性质依次进行求解判断即可． 【详解】解：将点代入到函数（为常数）中， 则， 解得： 故函数解析式为． A.当时：， 故A是正确的； B.∵， ∴函数值随的增大而增大， 故B是错误的； C.∵， ∴函数图象为上升的直线， ∴函数图象必然经过第三象限， 故C是错误的； D.由解析式可得函数图象与坐标轴的交点为：，， ∴函数图象与坐标轴围成三角形的面积为， 故D是错误的； 故选：A． 2．规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数的图象经过点，则直线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据“特征数”的定义得到，图象经过点，求出，得到，当时，，解得，即可求出答案． 【详解】解：由题意得“特征数”是的一次函数是， ∵图象经过点， ∴， 解得， ∴直线为， 当时，，解得， ∴直线与轴的交点坐标是． 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，且满足，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， 时，，即点坐标为， 将，代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，有，解得， 点的坐标为， 设点的坐标为， ， ， 解得：， 点的坐标为或． 【经典例题十 一次函数的平移问题】 【例10】在平面直角坐标系中，将正比例函数的图像向上平移3个单位长度后得到一次函数的图像，下列关于一次函数的说法中，错误的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．图像与轴、轴均交于正半轴 D．点在该函数的图像上 【答案】D 【分析】 本题考查一次函数图像与性质，涉及一次函数图像的平移等知识，现根据题意，通过函数图像平移得到，由一次函数图像与性质逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：将正比例函数的图像向上平移3个单位长度后得到一次函数的图像， 一次函数为， A、由一次函数为得到，该选项正确，不符合题意； B、由一次函数为得到，随的增大而减小，该选项正确，不符合题意； C、由一次函数为得到、，图像过一、二、四象限，即图像与轴、轴均交于正半轴，该选项正确，不符合题意； D、由一次函数为，当时，，点不在该函数的图像上，该选项错误，符合题意； 故选：D． 1．在平面直角坐标系中，直线（a为常数且）沿y轴向上平移6个单位长度后，与x轴交于点A与y轴交于点B．若的面积为3，则a的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．6或 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的平移和性质，根据平移得到直线，求出，利用三角形的面积得到，求出a的值即可. 【详解】解：直线（a为常数且）沿y轴向上平移6个单位长度后，得到直线, 当时，，当时，， ∵直线（a为常数且）沿y轴向上平移6个单位长度后，与x轴交于点A与y轴交于点B． ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得或， 经检验，或是方程的解且符合题意， 故选：D 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由的图象平移得到，且经过点．当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用和数形结合． 【详解】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴． ∵一次函数的图象过点， ∴． ∴这个一次函数的表达式为． 解不等式得， 由题意得：1， 即． 故m的取值范围． 故答案为：． 3．在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格： … 1 2 … … 4 3 3 0 … (1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据当时，或1，得到和有一个点不在该函数图象上，再根据待定系数法求出一次函数的解析式，求出当时x的值，即可得到答案； （2）根据描点法进行画图即可； （3）根据斜率相同，两直线平行，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，或1， ∴和有一个点不在该函数图象上，和在该函数图象上， 设一次函数的解析式为， 则， 解得：，， ∴一次函数的解析式为， 当时，，解得， ∴点不在该图象上， 故答案为：； （2）解：一次函数的图象如下所示， （3）解：∵当一次函数斜率相同时，两直线平行，一次函数的解析式为 ∴正比例函数的解析式为：． 【点睛】本题考查求一次函数的解析、描点法画一次函数的图象和一次函数图象的性质，解题的关键是求出一次函数的解析式． 【经典例题十一 一次函数的增减性求参数】 【例11】若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次项的系数决定函数的增减性质，掌握此性质是解题的关键． 根据一次函数的性质可确定一次项系数的符号，从而可确定m的取值范围． 【详解】解：当时，，则y随x的增大而减小， ∴， 解得： 故选：D． 1．当时，一次函数有最大值，则实数的值为（    ） A．1 B．1或 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式得出该函数随的增大而减小，结合题意得出当时，，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴该函数随的增大而减小， ∵当时，一次函数有最大值， ∴当时，， 解得：， 故选：D． 2．已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．根据一次函数图象的性质进行分类讨论是解题关键．利用一次函数的性质，分和两种情况考虑，可分别得出与的值，再代入解二元一次方程组即可求得与的值，最后求得结果． 【详解】解：若，，；，， ∴， 解得:， ∴此时一次函数解析式为； 若，，；，， ∴， 解得: ， ∴此时一次函数解析式为； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 3．已知一次函数． (1)求该一次函数的图象与x轴交于时的k值； (2)当k为何值时，y随x的增大而减小？ (3)当k为何值时，该一次函数的图象经过一、三、四象限？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象的性质等等： （1）将代入一次函数中进行求解即可； （2）根据随的增大而减小可知，一次项的系数小于0，列不等式可解答； （3）若一次函数的图象经过一、三、四象限，可知且，由此列不等式可解答． 【详解】（1）解：把代入得： ； （2）解：由题意得：， ， 当时，随的增大而减小； （3）解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ， 解得， 当时，该一次函数的图象经过一、三、四象限． 【经典例题十二 比较一次函数值的大小】 【例12】若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵点，点都在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：． 【变式训练】 1．已知，是直线上的两个点，且，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质和，是直线上的两个点，且，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：直线， 随的增大而减小，当时，， ，是直线上的两个点，且， 若，则可能大于，也可能小于，故无法判断的正负，选项A、B均不符合题意； 若，则，故，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 故选：C． 2．已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据的图象经第二、四象限，判断出，可知的图象中，y随x值的增大而减小，由此可解．解题的关键是根据经过的象限判断出k值的正负． 【详解】解：∵（）的图象经第二、四象限， ∴， ∴的图象中，y随x值的增大而减小， 若，则， ∴，， ∴． 反之，也成立，即， 故答案为：． 3．已知y关于x的函数． (1)若该函数是正比例函数，求k的值； (2)若． ①写出该函数图象经过的象限； ②若点，在该函数的图象上，且，比较与的大小关系． 【答案】(1) (2)①该函数图象经过第一、三、四象限；② 【分析】本题考查了正比例函数的定义、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质． （1）根据正比例函数的定义即可求得的值； （2）①当时，，根据一次函数的系数及常数项即可判断该函数图象经过的象限；②由，可知随增大而增大，结合可得结论． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴且，即且， ∴； （2）①当时，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限； ②∵， ∴随增大而增大， 则当时，． 【经典例题十三 一次函数的规律探究问题】 【例13】如图，正方形、正方形、正方形、…、正方形的顶点A、、、…、和O、C、、、…、分别在一次函数的图象和x轴上，若正比例函数则过点，则系数k的值是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的图象和性质，求正比例函数解析式，点坐标规律探索．找出，，，……的坐标规律是解题关键．根据一次函数解析式可求出，结合正方形的性质可求出，进而得出，，，……，，即可求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵点A是直线与y轴的交点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 同理可得、，、，…… ∴，，，…… ∴的坐标是． ∴，即， 把代入，得：， 解得：． 故选：B． 1．如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…，照此规律运动，动点依次经过点，则当动点到达处时，运动的总路径的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键．点，，所在直线与y轴平行，横坐标相同，根据变化的情况分析可得：当动点到达点处时，运动的总路径的长为，据此即可求解． 【详解】解：由直线：可知，， 由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知， ，，，，， ，，，，，…， 由此可得，， ∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为， ∴当点到达处时，运动的总路径的长为． 故选：B． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律推理．过点作轴于点D，由直线求出，，从而得到和的长度，然后根据含30度角直角三角形的性质得出，从而求出，再根据勾股定理得出，从而得到，，，依此类推，第n个等边三角形的边长等于，据此即可求解． 【详解】 解：如图，过点作轴于点D， ∵直线与x、y轴交于B、C两点， ∴当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴第1个等边三角形的边长， 同理：第2个等边三角形的边长， 第3个等边三角形的边长， ……， 由此发现：第n个等边三角形的边长等于， ∴第2024个等边三角形的边长等于． 故答案为：． 3．含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，， 【探究】 (1)点的坐标是______； (2)点的坐标是______； (3)点的坐标是______（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过作轴于，由菱形的性质可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标； （2）过作轴于，四边形是菱形可证，是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标； （3）由（1）（2）的证明，同理可得，，进而可得． 【详解】（1）过作轴于，则， 四边形是含的菱形， ， 是等边三角形， ， ，， ，， ，， ， 在中，， ． 故答案为：． （2）过作轴于，则， 四边形是含的菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， 在中，， ； 故答案为：． （3）由（1）（2）同理可得，，，，则点， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由特殊到一般，得到的坐标规律； 【经典例题十四 求一次函数解析式】 【例14】如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的表达式为 B．点不在该函数图象上 C．点，在图象上，若，则 D．将图象向上平移1个单位得到直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次函数图像的性质成为解题的关键． 先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将代入解析式即可判断B选项；根据一次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项． 【详解】解：A．由题意可得：，解得，即函数解析式为，故A选项不符合题意； B．当时，，即点在该函数图像上，故B选项不符合题意． C．在中，y随x的增大而增大，则当时，，故C选项不符合题意． D． 图像向上平移1个单位得到直线，故D选项符合题意． 故选：D． 1．一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】 本题考查求一次函数解析式，涉及正方形性质、正方形周长等知识，根据题意，正方形各边长减少后，得到的新正方形的边长为，从而表示出周长即可得到答案，熟记正方形性质及周长求法是解决问题的关键． 【详解】解：一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的边长为， 得到的新正方形的周长为， 故选：C． 2．如图，射线射线与的平分线交于点E，，点P是射线上的一动点，连结并延长交射线于点Q．若，，则y关于x的函数表达式为 ．    【答案】 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．由，推出，由，，即可推出，再证明，证明，可得即可解决问题． 【详解】解：如图延长交于．    ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为： 3．在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． (1)求的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）通过待定系数法将，代入解析式求解． （2）解不等式，然后分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入解得， ， 解得； （2）解：∵ ∴一次函数解析式为， 不等式得，， 当时，， ， 当时，，不合题意，舍去； 解得：． 【经典例题十五 一次函数的图象与性质综合】 【例15】关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①根据一次函数定义即可求解；②，即可求解；③图像经过二、三、四象限，则，，解关于的不等式组即可；④函数图像与轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【详解】解：①根据一次函数定义：形如的函数为一次函数， ， ， 故①正确； ②， 无论取何值，函数图像必经过点， 故②正确； ③图像经过二、三、四象限， ， 解不等式组得：， 故③正确； ④令，则， 函数图像与轴的交点始终在正半轴， ， ， 经分析知：， 解这个不等式组得， 故④正确． ①②③④都正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点．解答此题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． 1．在直角坐标系中，已知两点、以及动点、，则当四边形的周长最小时，比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于x轴的对称点、点关于y轴的对称点，连接，则就是四边形的周长最小值，求得直线的表达式，求得点C和点D的坐标，即可求得比值 【详解】作点关于x轴的对称点、点关于y轴的对称点，连接，与坐标轴的交点就是点与点，此时满足四边形的周长最小 ∵， ∴当点、、和四点共线时，四边形的周长最小， 设直线的表达式为：，且， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为： ∴，， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了线段问题(轴对称综合题)和待定系数法求一次函数的解析式，解决问题的关键是两点之间线段最短 2．如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】或或 【分析】分别利用当直线过点时，k值最小，当直线过点时，k值最大，即可求出线段与直线有交点时，k的取值范围，据此即可求解． 【详解】解：当直线过点时，k值最小， 则，解得， 当直线过点时，k值最大， 则，解得， 故线段与直线有交点时，k的取值范围为， 故线段与直线没有交点时，k的取值范围为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键． 3．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”． (1)若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ； (2)若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值； (3)若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围． 【答案】(1)1，2 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可； （2）利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义求得“阶和点”，再利用待定系数法解答即可； （3）利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论． 【详解】（1）解：点是关于的正比例函数的点， ， ， 点到两坐标轴的距离之和等于， 点是关于的正比例函数的“阶和点”， ． 故答案为：；； （2）设一次函数图象的“阶和点”为，则，， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ，， 一次函数图象的“阶和点”为， ， ； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ，， 一次函数图象的“阶和点”为， ， ． 综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，的值为或； （3）由题意得：， ， 关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， 设为关于的一次函数的图象的“阶和点”， ， 当在第一象限时，， ， ， ， ，， ，符合题意， 当在第一象限时，； 当在第三象限时，， ， ， ， ， ， ； 当在第三象限时，； 当在第四象限时，， ， ， ． 当在第四象限时，． 关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”， 以上三个条件中同时满足其中两个即可， 当满足不满足时，； 当满足不满足时，； 当满足不满足时，的值不存在， 综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键． 1．已知直线，若，，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，根据k、b之间的关系确定其符号是解题的关键． 先根据、得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限即可解答． 【详解】解：∵、， ∴， ∴直线经过二、三、四象限，即不经过第一象限． 故选：A． 2．若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质，当时，y随x的增大而减小解答即可． 本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，已知的顶点的坐标分别为，若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质，平移的性质是解题的关键． 结合图形可知，一次函数的图象沿轴向上运动时，最先经过点，最后经过点， 所以当一次函数的图象经过点时，有最小值；当一次函数的图象经过点时，有最大值；由此即可求解． 【详解】解：的顶点的坐标分别为， ∴， 将代入中， 解得； 将代入中， 解得； ∴若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为， 故选：A． 4．若函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式组，由该函数图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得， 故选：C． 5．如图，把正方形放在直角坐标系内，其中点的坐标分别为、，将直线沿轴向左平移个单位，则直线扫过正方形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形、一次图像的平移等知识，结合题意确定平移后的新直线解析式是解题关键．设直线与轴交于点，与交于点，根据题意可得，，，并确定点的坐标，结合平移的性质可得新的直线解析式，并确定新的直线经过点，然后根据求解即可． 【详解】解：如下图，设直线与轴交于点，与交于点， ∵四边形为正方形，点的坐标分别为、 ∴，，， 对于直线， 令，可得，解得，即， 令，可得，即， ∴，， ∵将直线沿轴向左平移个单位， ∴新的直线解析式为， 令，可得， ∴新的直线经过点， ∴直线扫过正方形的面积． 故选：D． 6．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“零点”，例如都是“零点”．当时，直线上有“零点”，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与图象的关系，掌握待定系数法及转化思想是解题的关键． 由题意：当时，直线上有“零点”，所以直线与线段有交点，求出直线经过A、B两点时m的值即可判断． 【详解】解：由题意得：直线与线段有交点，其中， 当直线经过时，， 当直线经过时，， ∴m的取值范围为：， 故选：B． 7．当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数的定义，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数定义可得，且，再解即可； （2）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：，且， 由可得， 由可得， 由此可得：， （2）一次函数的， 随的增大而增大， ， ． 故答案为：；． 8．将直线向上平移2个单位长度后的直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移，直线与坐标轴的交点；掌握平移规律是解题关键． 根据坐标的平移规律：纵坐标向上平移加，向下平移减；求得平移后的直线即可解答． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度，所得直线为：， 令，则， 平移后的直线与轴的交点坐标为：． 故答案为：． 9．已知一次函数的图象向上平移个单位后，与轴、轴分别相交于两点，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据“上加下减”得平移规律即可求出点坐标，从而求得的长，最后根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象向上平移个单位， ∴平移后得解析式为， 当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴的面积等于， 故答案为：． 10．一次函数（为整数）的图象在第一象限内只有个横、纵坐标均为整数的点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与方程的关系． 由一次函数解析式可得直线与坐标轴的交点，结合图象求解． 【详解】解：将代入得， 直线与轴交点坐标为， 将代入得， 解得， 直线与轴交点坐标为． 如图， 可得， 故答案为：． 11．如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，．    （1）点的坐标为 ． （2）若以线段为边，在第一象限内作等腰，使，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． （1）在中，当时，，解得，即可得到点A的坐标； （2）求出点B的坐标是，作轴于点D，证明，则，得到，则C的坐标是．利用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）在中，当时，，解得， ∴点A的坐标是， 故答案为： （2）在中，当时，， ∴点B的坐标是， 如图，作轴于点D，    ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴， 则C的坐标是． 设直线的函数表达式为．把点A、C的坐标代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为 故答案为： 12．如图，已知点在直线上，点坐标为，若点在轴上，且点到，两点距离和最短，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，求一次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及利用轴对称的性质，确定点C的位置． 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C，先把代入，求出b的值，得出点A的坐标，再得出点的坐标，用待定系数法求出的函数解析式为，即可求出点C的坐标． 【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C， 把代入得， 解得：， ∴， ∴， 设的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．已知函数． (1)若函数的图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值； (3)若这个函数是一次函数，且随着的增大而增大，且不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)1 (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点与两条直线平行的条件; （1）根据已知条件知，关于的函数的图象经过点，所以把代入已知函数解析式列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值； （2）函数的图象平行于直线，说明，由此求得的数值即可； （3）根据题意列不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：关于的函数的图象经过原点， 点满足函数的解析式， ， 解得． （2）函数的图象平行于直线， ， ； （3）函数是一次函数，且随着的增大而增大，且不经过第二象限，求的取值范围． 且， ， 的取值范围是． 14．已知一次函数的图像经过点，正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数解析式； (2)若将直线进行平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为15，求平移后的直线解析式． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，图象的平移，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积的计算，熟练的求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先确定平移后的函数解析式，然后求解一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴交点坐标为， 设直线的解析式为：，把和代入得： ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）设平移后的直线解析式， 则与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴与坐标轴围成的三角形面积为， 解得：， ∴平移后的直线解析式为或． 15．如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标（要求写过程）． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法和步骤． （1）把代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）先求出点D的坐标，再根据的面积，即可解答； （3）设，先求出点C的坐标，再根据的面积为6，得出，求出，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， ∴，则， ∴的面积； （3）解：设， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵的面积为6， ∴，即， 解得：， 当点P在点C左边时：， 当点P在点C右边时：， ∴或． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将的坐标代入求出的值，进而得出直线的解析式，再求出点的坐标，最后利用待定系数法计算即可得出解析式； （2）先求出，再由计算即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令，则，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，点的横坐标为，在轴上有一点（>），过点作轴的垂线，分别交函数和的图像于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若，求a的值； (3)在（2）的条件下，求四边形OMCP的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图像及性质，求函数值，熟练掌握一次函数的图像及性质是解题的关键． （1）点在直线的图象上，且点的横坐标为，得到点的坐标为，，再把代入即可求得的值，即可求得； （2）先确定点坐标为，则再表示出点坐标为点坐标为，所以然后解方程即可； （3）根据四边形的面积等于求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，可得， 所以的坐标为， 把代入，解得， 所以直线的函数表达式是． （2）解：把代入得， 所以点的坐标为， 因为， 所以， 因为轴， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以， 所以； （3）解：如图，过点作于点， 由（）知，点的坐标为，坐标为， 四边形的面积的面积的面积． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图像相交于点，点的横坐标为．      (1)直接写出点的坐标及一次函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)为射线上一点，过点作轴的平行线交于点，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题为一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数，一次函数与一元一次不等式的关系，函数图像上点的坐标特点等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质，明确一次函数与一元一次不等式的关系是解题关键． （1）先求出点坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）先将不等式变形，再根据一次函数与不等式的关系即可求解； （3）先求出，设点，点，列出关于的方程，即可求解． 【详解】（1）解：点的横坐标为，且点在正比例函数的图像上， ， ， 将，代入一次函数得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：由得， 由函数图得得：当时，， 不等式的解集为； （3）解：把x=0代入得， 点， ， ， ， 设点， 轴， 点， ， 解得：， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$