专题01 函数重难点题型专训（12大题型+18道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题01 函数重难点题型专训（12大题型+18道拓展培优） 题型一 函数的概念 题型二 函数的解析式 题型三 求自变量的取值范围 题型四 求自变量的值或函数值 题型五 用表格表示变量间的关系 题型六 用关系式表示变量间的关系 题型七 用图象表示变量间的关系 题型八 函数图象的识别 题型九 从函数的图象获取信息 题型十 用描点法画函数图象 题型十一 动点问题的函数图象 题型十二 函数的三种表示方法 知识点一：变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 知识点二：自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点三：函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 知识点四：函数的图像 【经典例题一 函数的概念】 【例1】下列是关于变量x，y的关系式：①②；③；④.其中是的函数的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 1．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（  ） A．圆的面积公式 中，是的函数 B．同一物质，物体的体积是质量的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式 中是的函数 2．如图，是体检时的心电图，其中横坐标表示时间，纵坐标表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中， （填“是”或“不是” 的函数． 3．已知一块边长为的正方形草地． (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少（），再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则_____（填“是”或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为． ①写出y与x之间的函数关系式； ②当时，求y的值． 【经典例题二 函数的解析式】 【例2】若点是x轴上的一个动点，它与x轴上表示3的点的距离是y，则y关于x的函数解析式为(   ) A． B． C． D． 1．一个长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 2．要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用米长的篱笆围成的另外三边，如图所示的矩形．为了方便进出，在边上留了一个米宽的小门．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 ．    3．已知海拔每上升千米，气温下降，假设某时刻A地地面温度为，高出地面千米处的温度为． (1)求关于的函数解析式． (2)已知A地某山顶高出地面约米，求这时山顶的温度． (3)此刻有一架飞机恰好飞过A地上空，若测得飞机周围温度为，求飞机距离地面的高度． 【经典例题三 求自变量的取值范围】 【例3．函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 1．已知是关于的函数，函数图象如图，则当时，自变量的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 2．在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下一个圆环的面积为，则与的函数关系式为 ，其中自变量的取值范围是 ． 3．如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 【经典例题四 求自变量的值或函数值】 【例4】按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（    ）    A．−3 B．−2 C．0 D．2 1．对于正数x，规定，例如，的值是（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 2．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长．则弹簧总长y（）关于所挂物体质量x（）的函数表达式为，当所挂物体的质量为时弹簧的长度为 ． 3．某数学学习小组在研究函数时，对函数的图像和性质进行了探究．探究过程如下： x … 0 1 3 4 5 6 … y … m 0 n 5 3 2 … (1)x与y的几组对应值如上表，其中______，______； (2)在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图像； (3)观察图像，我们可以认为函数的图像可由函数的图像向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到； (4)根据函数图像，当时，自变量x的取值范围为______． 【经典例题五 用表格表示变量间的关系】 【例5】某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 1．高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了． 2．小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧长度与所挂物体质量的部分对应值如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 30 32 34 36 38 40 当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为 kg． 3．游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？ 【经典例题六 用关系式表示变量间的关系】 【例6】汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，与的表达式为（        ） A． B．y C． D． 1．下面的四个问题中都有两个变量： ①正方形的面积与边长； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用形如(其中是常数，)的式子表示的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．如图，在正方形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段运动，当点N运动到点D时，点M，N同时停止运动，设的面积为y，运动时间为x（s），请写出y与x之间函数关系式 ．    3．甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，且当乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，且根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)乙在地时距地面的高度为______米；的值为______； (2)请求出甲在登山全程中，距离地面高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式； (3)已知段对应的函数关系式为，则登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？（直接写出答案） 【经典例题七 用图象表示变量间的关系】 【例7】晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（    ）． A． B． C． D． 1．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 2．如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 3．如图1，两地之间有一条笔直的道路，地位于两地之间，甲从地出发驾车驶往地，乙从地出发驾车驶向地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达地．图2中线段和折线段分别表示甲、乙两人与地的距离与甲行驶的时间的变化关系，其中与交于点． (1)在图2中表示的变量是______，因变量是______； (2)乙比甲晚出发______，两地相距______； (3)请直接写出甲的速度为______； (4)______，______； (5)在图2中点表示的含义是______； (6)请直接写出当______时，甲、乙相距． 【经典例题八 函数图象的识别】 【例8】如图所示，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过10分钟漏完，H是沙漏中沙面下降的高度，则H与下落时间t（分钟）的函数关系用图象表示应该是（如图所示）（    ） A．B． C． D． 1．近年，“李子坝轻轨站”成为了外地游客来渝必打卡之地．如图，列车匀速通过站台（站台长大于列车长）时，列车进入站台的时间x与其在站台内的长度y之间的关系用图像描述可能是（　　） A． B． C． D． 2．育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 h才能追上七（1）班． 3．下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 【经典例题九 从函数的图象获取信息】 【例9】某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向勾速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（       ）    A．甲步行的速度为75米/分钟 B．起点到终点的距离为5940米 C．甲走完全程用了79分钟 D．乙步行的速度为90米/分钟 1．如图，甲、乙分别从相距的，两点同时开始沿线段运动，运动过程中甲与点的距离与时间的关系图象如图，乙与点的距离与时间的关系图象如图，已知甲全程的平均速度为，且两图象中，下列叙述正确的是（   ） A．甲从点到点的运动速度是从点到点的运动速度的倍 B．乙从点到的运动速度小于 C．甲、乙全程的平均速度一样 D．甲、乙在运动过程中共相遇次 2．甲、乙两船沿直线航道匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为，则与t的函数关系如图．下列说法：①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③甲、乙两船航行0.6小时相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是．其中正确的说法的是 ． 3．小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书，途中小凡从路边超市买了一些学习用品，如图反映了他们两人离开学校的路程s（千米）与时间t（分钟）的关系， 请根据图象提供的信息回答问题： (1)和中，_______描述小凡的运动过程； (2)________谁先出发，先出发了_______分钟； (3)_______先到达图书馆，先到了______分钟； (4)小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少千米/时？（不包括中间停留的时间） 【经典例题十 用描点法画函数图象】 【例10】变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 1．小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 2．描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 3．有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 m 0 2.64 … 其中_______． (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象． (3)观察函数图象，写出一条该函数的性质：__________． (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个互不相等的实数根； ②若关于x的方程有3个互不相等的实数根，则a的取值范围是______． 【经典例题十一 动点问题的函数图象】 【例11】如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，点P运动的路程为，图2是点P运动时，的面积随变化的图象，则a的值为（    ） A．2.5 B．4 C．5 D．10 1．如图（1），在中，，，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y（当A，B，P点共线时，不妨设），y与x之间的函数关系的图象如图（2）所示，则图（2）中a的值为（    ）    图（1）                                        图（2） A．16 B．15 C．14 D．13 2．如图1所示，在矩形中，动点从点出发，沿矩形的边由运动，设点运动的路程为，的面积为，把看作的函数，函数图象如图所示，则的面积为 ． 3．已知动点从点出发沿图1的边框按的路径运动（边框拐角处都互相垂直），相应的的面积与点移动路程的关系图象如图2，根据图象信息回答下列问题： (1) ， ；当时，点应运动到图1的顶点 处； (2)根据以上信息，求的值； (3)当时，求的值． 【经典例题十二 函数的三种表示方法】 【例12】李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油 1．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（    ） A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B．刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的车速为 D．当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 2．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是 ． 3．结合一次函数的学习经验，探究函数：的图像和性质，请完善下面的研究过程． (1)自变量的取值范围为______； (2)化简函数解析式： ①当时，______； ②当时______； ③当时______； (3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像； (4)若关于的方程：有两个解，请直接写出的取值范围是______． 1．下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C． D． 2．某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 3．一个寻宝游戏场景的俯视图如图（1）所示，为同一平面内的通道．小星沿着通道寻找宝物，为记录小星的行进路线，在的中点处放置了一台定位仪．设小星行进的时间为，小星与定位仪之间的距离为，若小星匀速行进，且表示与的函数关系的图像大致如图（2）所示，则小星的行进路线可能为（    ）    A． B． C． D． 4．2023环万峰林国际山地自行车赛9月20日在贵州省黔西南布依族苗族自治州兴义市鸣笛开赛，来自海内外的1000余名选手齐聚万峰林，展开一场精彩的追逐竞赛．自行车爱好者驾甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往万峰林观看比赛，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论正确的是（    ） A．A，B两城相距 B．甲车的平均速度是，乙车的平均速度是 C．乙车先出发，先到达B城 D．甲车在追上乙车 5．、两地相距2400米，甲、乙两人准备从地出发去地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达地后，停止运动．甲乙之间的距离与甲运动时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．乙每分钟比甲多走 B．乙出发后两人相遇 C．乙到达 B 地时，甲距离 B 地还有 D．相遇前，甲走或时两人相距 6．如图，某出租车公司提供了甲、乙两种出租车费用y（元）与出租车行驶路程x（千米）之间的关系， ①若行驶路程少于120千米，则所收费用两出租车甲比乙便宜20元； ②若行驶路程超过200千米，则所收费用乙比甲便宜12元； ③若所收费用出租车费用为60元，则乙比甲行驶路程多； ④若两出租车所收费用相差10元，则行驶路程是145千米或185千米． 其中正确的说法有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x的值为5，则输出的因变量y的值为 ．    8．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 9．甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为，他们行进的路程与甲出发后的时间之间的函数图象如图所示．根据图象判断，下列说法： ①甲的速度为；②乙比甲晚出发；③乙的速度为；④乙出发后20分钟赶上了甲． 其中正确的是 ． 10．一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围） ． 11．如图，一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市（三者在同一直线上），分别表示汽车、摩托车离A地的距离随时间变化的图象，则以下结论：①摩托车比汽车晚到；②A，B两地的距离为；③摩托车的速度为，汽车的速度为；④汽车出发后与摩托车相遇，此时距离B地；⑤相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．其中，正确的结论有 （填序号）． 12．如图所示，，两地相距千米，甲于某日下午时骑自行车从地出发驶往地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从地出发驶往地，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行路程与该日下午时间之间的关系根据图象回答下列问题： （1）请你根据图象上的数据填空，甲骑自行车在全程的平均速度是 ，乙骑摩托车的速度是 ． （2）乙出发大约用时 就追上甲？ 13．列方程组解应用题：我市某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间，为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元． (1)该旅游团住了三人间，双人间普通客房各住了多少间？ (2)若双人间共住了x人，总费用为y元，写出y与x的函数关系式． 14．游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/时 1 2 3 4 游泳池的存水量/ 858 780 702 624 (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是______； (2)设放水时间为小时，游冰池的存水量为，写出关于的函数关系式（不要求写自变量范围），并求出当时，游泳池的存水量． 15．如图，圆柱的高是，底面半径是，体积是，当r由小到大变化时，V也随之发生了变化． (1)在这个变化中，自变量是_______，因变量是_______． (2)体积V与底面半径r的关系式为_______． (3)当底面半径由变化到时，圆柱的体积增加了多少立方厘米？ 16．甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，甲、乙两车距A地的路程（）与乙车行驶的时间（）的图象如图所示 (1)求乙车到达B地时的行驶时间； (2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程； (3)求乙车到达B地前，甲、乙两车相距时，乙车行驶的时间． 17．圆柱的底面半径为，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_____________； (2)设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系式是______________； (3)当h从变化到时，圆柱的体积如何变化？ 18．如图所示，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm． (1)观察图形，填写如表． 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度y/cm 4.2 5.9 … (2)请你写出y与x之间的关系式． (3)如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成连接(安装到自行车上)后，总长度是多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 函数重难点题型专训（12大题型+18道拓展培优） 题型一 函数的概念 题型二 函数的解析式 题型三 求自变量的取值范围 题型四 求自变量的值或函数值 题型五 用表格表示变量间的关系 题型六 用关系式表示变量间的关系 题型七 用图象表示变量间的关系 题型八 函数图象的识别 题型九 从函数的图象获取信息 题型十 用描点法画函数图象 题型十一 动点问题的函数图象 题型十二 函数的三种表示方法 知识点一：变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 知识点二：自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点三：函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 知识点四：函数的图像 【经典例题一 函数的概念】 【例1】下列是关于变量x，y的关系式：①②；③；④.其中是的函数的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 【答案】B 1．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（  ） A．圆的面积公式 中，是的函数 B．同一物质，物体的体积是质量的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式 中是的函数 【答案】D 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，据此即可判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、圆的面积公式 中，是的函数，该选项正确，不合题意； 、同一物质，物体的体积是质量的函数，该选项正确，不合题意； 、光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数，该选项正确，不合题意； 、表达式 中，给定一个的值，有两个的值与之对应，所以不是的函数，该选项错误，符合题意； 故选：． 2．如图，是体检时的心电图，其中横坐标表示时间，纵坐标表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中， （填“是”或“不是” 的函数． 【答案】是 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应， 是的函数． 故答案为：是． 【点睛】本题考查了函数的理解即两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应,正确理解定义是解题的关键． 3．已知一块边长为的正方形草地． (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少（），再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则_____（填“是”或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为． ①写出y与x之间的函数关系式； ②当时，求y的值． 【答案】(1)是 (2)①；②当时，y的值为1225 【分析】（1）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为，计算面积，根据函数定义判断即可． （2）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为，计算面积即可．本题考查了函数的定义，求函数值，熟练掌握定义，规范求函数值是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为， 则， 是x的函数， 故答案为：是． （2）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为， ①； ②当时，． 【经典例题二 函数的解析式】 【例2】若点是x轴上的一个动点，它与x轴上表示3的点的距离是y，则y关于x的函数解析式为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据距离的非负性判断即可． 【详解】根据题意，y关于x的函数解析式为， 故选D． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，距离的非负性，熟练掌握距离的非负性是解题的关键． 1．一个长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积求得长方形的另一条边长，然后根据长方形的周长公式进行即可求解， 本题考查了列函数关系式，理解题意求得长方形的另一条边长是解题的关键． 【详解】解：∵一个长方形的周长为，其中一条边长为， ∴另一条边长为：， 长方形面积为， 则． 故选：D． 2．要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用米长的篱笆围成的另外三边，如图所示的矩形．为了方便进出，在边上留了一个米宽的小门．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 ．    【答案】 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据题意和图形可以得到与的函数关系式，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】由题意得：， ∴， 故答案为：． 3．已知海拔每上升千米，气温下降，假设某时刻A地地面温度为，高出地面千米处的温度为． (1)求关于的函数解析式． (2)已知A地某山顶高出地面约米，求这时山顶的温度． (3)此刻有一架飞机恰好飞过A地上空，若测得飞机周围温度为，求飞机距离地面的高度． 【答案】(1) (2) (3)千米 【分析】本题考查求函数解析式，以及求自变量的值或函数值． （1）根据等量关系：高出地面x千米处的温度=地面温度高出地面的距离，列出函数关系式； （2）把给出的自变量高出地面的距离代入一次函数求得； （3）把给出的函数值高出地面x千米处的温度代入一次函数求得x． 【详解】（1）由题意得，y与x之间的函数关系式； （2）由题意得，， 则． 答：这时山顶的温度大约是； （3）由题意得，时，， 解得． 答：飞机离地面的高度为9千米． 【经典例题三 求自变量的取值范围】 【例3．函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据二次根式被开方数非负，以及分式分母不为零，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故选：B． 1．已知是关于的函数，函数图象如图，则当时，自变量的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象和数据即可求出答案． 【详解】解：时，即轴上方的部分， 自变量的取值范围分两个部分是，． 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 2．在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下一个圆环的面积为，则与的函数关系式为 ，其中自变量的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】根据圆环的面积半径为的圆的面积半径为的圆的面积，进行计算即可，由是线段，应大于0，且不能超过外圆的半径，可得自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意得： 半径为的圆的面积为：， 半径为的圆的面积为：， 与的函数关系式为：， 是线段，且不能超过外圆的半径， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的取值范围，熟练掌握圆环的面积半径为的圆的面积半径为的圆的面积是解题的关键． 3．如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 【答案】(1) (2)10 【分析】此题考查了应用函数概念解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列出函数解析式，并能进行相关的计算． （1）分别用x表示出两个正方形的面积，即可得出结果； （2）按照（1）结果代入x的值进行计算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 自变量x的取值范围是． （2）解：当时，． ∴当时，此时两正方形的面积和S为10． 【经典例题四 求自变量的值或函数值】 【例4】按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（    ）    A．−3 B．−2 C．0 D．2 【答案】B 【分析】直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入1时，得出y的值． 【详解】解：∵当输入x的值是3，输出y的值是， ∴，解得：， 故输入x的值是1时，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求函数值，正确得出b的值是解题关键． 1．对于正数x，规定，例如，的值是（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【答案】B 【分析】根据，，进而进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 且， ∴， =， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了运算的规律，分式的混合运算，函数值的计算，正确读懂运算的规律是解题的关键． 2．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长．则弹簧总长y（）关于所挂物体质量x（）的函数表达式为，当所挂物体的质量为时弹簧的长度为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数是解题的关键．将代入即可得到答案． 【详解】解：将代入， 得， 故答案为：． 3．某数学学习小组在研究函数时，对函数的图像和性质进行了探究．探究过程如下： x … 0 1 3 4 5 6 … y … m 0 n 5 3 2 … (1)x与y的几组对应值如上表，其中______，______； (2)在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图像； (3)观察图像，我们可以认为函数的图像可由函数的图像向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到； (4)根据函数图像，当时，自变量x的取值范围为______． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)2，1 (4)或 【分析】（1）将和分别代入中即可求出m、n的值； （2）利用描点法画出函数图像即可； （3）根据函数的图像即可解答； （4）根据函数的图像即可解答． 【详解】（1）解：由得， 当时，， ； 当时，， ． 故答案为：，． （2）解：在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图像，如下图所示： （3）解：由图像可知：函数的图像可由函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到． 故答案为：2，1． （4）解：由函数图像可知：当时，自变量x的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的图像与性质，理解题意，灵活运用所学知识，并熟练掌握数形结合法解决问题是解题的关键． 【经典例题五 用表格表示变量间的关系】 【例5】某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【答案】D 【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义判断A即可；通过观察数据即可得出结论BC；根据C计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断D． 【详解】解：∵声速随温度的变化而变化， ∴自变量是温度，声速是温度的函数， ∴A正确，不符合题意； 从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢， ∴B正确，不符合题意； 从数据可知，温度每升高时，声速增加， ∴C正确，不符合题意； 由C可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 1．高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量，解题的关键是，熟练掌握自变量和因变量，表中数据及变化． 根据题目中表格给出的数据逐一判断，即可． 【详解】A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； ∵海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量， ∴A正确，不符合题意； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； ∵，，，， ∴海拔高度每上升，空气含氧量减少值不都是， ∴B错误，符合题意． C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； ∵在海拔高度为的地方空气含氧量是， ∴C正确，不符合题意； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了； 由B知，当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 2．小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧长度与所挂物体质量的部分对应值如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 30 32 34 36 38 40 当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为 kg． 【答案】24 【分析】根据表格中的数字规律，得到与的函数关系，将代入即可得到答案， 本题考查函数的表示方法，得到函数关系式是解题的关系． 【详解】解：由表中数据可以看出，对于每组数据，均有，将其整理得：与的函数关系为． 当时，， 故答案为：24． 3．游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？ 【答案】(1)自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量 (2)表格见解析 (3)小时 【分析】本题考查函数关系式， （1）根据自变量和因变量即可解答； （2）根据“游泳池的存水换水前存水放水速度×放水时间”即可解答； （3）根据“（换水前存水游泳池的存水）放水速度放水时间”即可解答； 理解题意，找准等量关系式是解题关键． 【详解】（1）解：由题意可知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量； （2）当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 表格如下： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 （3）（小时）， ∴当放水时间为小时时，游泳池的存水量为立方米． 【经典例题六 用关系式表示变量间的关系】 【例6】汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，与的表达式为（        ） A． B．y C． D． 【答案】C 【分析】直接利用油箱中的油量总油量耗油量进而得出x与y的关系式，再求出的求值范围，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列变量间的表达式以及自变量取值范围求法，正确得出x、y的表达式是解题关键． 1．下面的四个问题中都有两个变量： ①正方形的面积与边长； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用形如(其中是常数，)的式子表示的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意分别表示出变量之间的关系，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①正方形的面积与边长，则，故不符合题意； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长，则，即，故符合题意； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间，则，故符合题意； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长，则，故不符合题意； 综上所述，符合题意的有②③， 故选：C． 2．如图，在正方形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段运动，当点N运动到点D时，点M，N同时停止运动，设的面积为y，运动时间为x（s），请写出y与x之间函数关系式 ．    【答案】 【分析】根据点N的运动情况，写出y和x之间的函数关系式即可. 【详解】解：当点N在运动时， ∵， ∴， ∵动点M以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿线段运动， ∴，， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是运动型综合题，考查了函数表达式、正方形的性质、三角形的面积等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程. 3．甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，且当乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，且根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)乙在地时距地面的高度为______米；的值为______； (2)请求出甲在登山全程中，距离地面高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式； (3)已知段对应的函数关系式为，则登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？（直接写出答案） 【答案】(1)30，11 (2) (3)3分钟或10分钟或13分钟 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）分别求出甲的速度，乙提速前和提速后的速度，进一步求解即可； （2）根据甲的速度，结合图象，写出函数关系式即可； （3）分甲在乙前和甲在乙后以及乙到达山顶后，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲的速度为：（米/分钟）； 乙提速前的速度为：（米/分钟）； 提速后的速度为：（米/分钟）； ∴乙在地时距地面的高度为（米）； ， 故答案为：30，11； （2）∵甲的速度为：10米/分钟， ∴甲在登山全程中的函数关系式为：； （3）当， 解得：； 当时 解得： 当时， 解得：， 综上：当登山3分钟或10分钟，13分钟时，甲乙两人距地面的高度差为70米． 【经典例题七 用图象表示变量间的关系】 【例7】晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象识别，理解两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．根据路程随出发时间的变化而变化的情况进行判断即可． 【详解】解：根据题意，在前20分钟，离家的距离随时间增加而增加， 当时间为分钟时，路程保持不变， 当时间为分钟时，离家的距离随时间增加而增加，且比前20分钟时，增加的要快，因此只有D符合， 故选：D． 1．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 2．如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，弄清图象上的信息是解题的关键．根据图象得出，以及此时面积，利用三角形面积公式求出；再由图象得出，最后利用梯形面积公式计算梯形面积即可． 【详解】解：根据图象得：，此时 ，即 解得： 由图像可得： 故答案为：26． 3．如图1，两地之间有一条笔直的道路，地位于两地之间，甲从地出发驾车驶往地，乙从地出发驾车驶向地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达地．图2中线段和折线段分别表示甲、乙两人与地的距离与甲行驶的时间的变化关系，其中与交于点． (1)在图2中表示的变量是______，因变量是______； (2)乙比甲晚出发______，两地相距______； (3)请直接写出甲的速度为______； (4)______，______； (5)在图2中点表示的含义是______； (6)请直接写出当______时，甲、乙相距． 【答案】(1)甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离 (2) (3) (4) (5)乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地 (6)或或14 【分析】本题考查了函数的图象，从图象上获取信息，求出甲乙两人的速度是正确解答的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）由图象可得乙比甲晚出发两地相距(千米)； （3）根据点的坐标可求出甲，乙两人的驾车速度； （4）根据两车的速度可得答案； （5）根据点的坐标解答即可； （6）分两种情况，①时，②时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：在图2中表示的自变量是甲行驶的时间，因变量是甲、乙两人与地的距离； 故答案为：甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离； （2）解：由图象可知，乙比甲晚出发的是两地相距(千米)； 故答案为：； （3）解：甲的驾车速度为：； 故答案为：； （4）解：由题意可得，， 乙的驾车速度为：， 所以， 故答案为：； （5）解：在图2中点表示的含义是乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地； 故答案为：乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地； （6）解：分两种情况，①时， ， 解得：， ②时， 乙的速度为， ∴， ∴， 综上，当或6.5或14时，甲，乙相距． 故答案为：或或14． 【经典例题八 函数图象的识别】 【例8】如图所示，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过10分钟漏完，H是沙漏中沙面下降的高度，则H与下落时间t（分钟）的函数关系用图象表示应该是（如图所示）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力，解题关键是根据题意得出两个变量之间的关系．根据一个10分钟沙漏计时器，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，则该沙漏中沙面下降的高度逐渐增大，且增大的速度由慢变快，以此即可选择． 【详解】解：沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，则相同时间内，玻璃球内的含沙量的减少量相同， 从计时器开始计时到计时止，则该沙漏中沙面下降的高度逐渐增大，且增大的速度由慢变快，故选项D的图象符合题意． 故选：D 1．近年，“李子坝轻轨站”成为了外地游客来渝必打卡之地．如图，列车匀速通过站台（站台长大于列车长）时，列车进入站台的时间x与其在站台内的长度y之间的关系用图像描述可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实际问题中的函数图象，理解题意，明确各个时间段内y与x之间的关系是解题的关键．根据题意可以分为三个阶段，当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进站后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，由此得解. 【详解】解：根据题意可知，当列车开始进入时，y随着x增大而逐渐变大；当列车完全进站后，由于站台长大于列车长，所以列车完全进入后一段时间内y不变，在这个阶段，对应图象为一段平行于x轴的线段；当列车开始出站时，y随着x增大而逐渐变小． 故选：B． 2．育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 h才能追上七（1）班． 【答案】2 【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发1小时，已经走了4km，即七（1）班的速度为图中表示联络员追上七（1）班，用时h，可以算出联络员与七（1）班的速度差那么联络员的速度为联络员用了第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，即可计算出追上七（1）班所需时间． 【详解】解：由题意得： 七（1）班的速度为： 联络员与七（1）班的速度差为： 即联络员的速度为： 当七（2）班出发时， 联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和， 设七（2）班的速度为 列出方程： ， 解得： 即七（2）班的速度为， 则七（2）班追上七（1）班需要的时间为： 故填：2． 【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度． 3．下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)2.5，15； (2)1，20； (3)km/分． 【分析】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间； （2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的时间； （3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 【详解】（1）解：由纵坐标看出体育场离扎西家2.5千米，由横坐标看出扎西从家去体育场用了15分钟； （2）由纵坐标看出体育场离文具店（千米）， 由横坐标看出 扎西在文具店停留了（分）； 故答案为： 1；20； （3）由纵坐标看出文具店距扎西家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了100﹣65＝35分钟， 扎西从文具店回家的平均速度是（千米/分）， 答：扎西从文具店回家的平均速度是千米/分钟． 【点睛】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 【经典例题九 从函数的图象获取信息】 【例9】某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向勾速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（       ）    A．甲步行的速度为75米/分钟 B．起点到终点的距离为5940米 C．甲走完全程用了79分钟 D．乙步行的速度为90米/分钟 【答案】C 【分析】本题考查函数图象的应用，根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲步行速度（米/分钟），故A正确； 由图象知，乙用（分钟）时到达终点， 设乙步行的速度为x米/分， 根据题意得：， 解得， ∴乙步行的速度为90米/分，故D正确； 起点到终点的距离为（米），故B正确； 甲走完全程所用时间为：（分钟）， 故C错误； ∴结论错误的是C， 故选：C． 1．如图，甲、乙分别从相距的，两点同时开始沿线段运动，运动过程中甲与点的距离与时间的关系图象如图，乙与点的距离与时间的关系图象如图，已知甲全程的平均速度为，且两图象中，下列叙述正确的是（   ） A．甲从点到点的运动速度是从点到点的运动速度的倍 B．乙从点到的运动速度小于 C．甲、乙全程的平均速度一样 D．甲、乙在运动过程中共相遇次 【答案】C 【分析】本题以动点问题的函数图象考查学生对函数图象的理解，以及将图象意义转化为动点实际运动状态的能力．在解答问题时，一定要注意分析两个函数图象纵坐标所代表的意义．甲乙两个的运动路程与时间的图象，因为起始点不同，因而不易判断，如果根据题意将两个点运动的基准点变为同一个点，再根据题意，问题即可解决． 【详解】解：甲到所用时间为，从回到所用时间为， 路程不变， 甲从到的速度是从到运动速度的倍， A错误； ∵， ∴，，， 乙由到时间等于甲从到的时间，则乙由到的时间等于甲从到的时间，甲乙行完全程的时间相等，乙由到时间为其由到时间三倍， 甲全程平均速度， 乙全程平均速度也为， 乙由到时间为其由到时间三倍， 乙由到速度低于平均速度，则乙由到速度大于平均速度， B错误； 由已知，两个往返总时间，及总路程相等，则两个全程的平均速度相同， C正确； 根据题意，分别将甲、乙与点的距离与时间的函数图象画在下图中，两个函数图象交点即为两个相遇位置， 故可知，两个相遇两次，故D错误． 故选：C． 2．甲、乙两船沿直线航道匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为，则与t的函数关系如图．下列说法：①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③甲、乙两船航行0.6小时相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是．其中正确的说法的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了从函数获取信息．结合图形，分从乙走的全程及时间得出乙的速度；从而可知时，乙走的路程，进而得出甲走的路程，从而可知甲的速度；根据题中对d与时间t的关系可判断甲乙两船航行0.6小时是否相遇；由前面求得的甲乙速度可判断甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段． 【详解】解：乙船从B到C共用时3小时，走过路程为120千米， 因此乙船的速度是40千米/时，①正确； 乙船经过0.6小时走过千米，甲船0.6小时走过千米，所以甲船的速度是千米/时， 开始甲船距B点60千米，因此经过1小时到达B点，②正确； 航行0.6小时后，甲乙距B点都为24千米，但是乙船在B点前，甲船在B点后，二者相距48千米，因此③错误； 开始后，甲乙两船之间的距离越来越小，甲船经过1小时到达B点，此时乙离B地40千米， 航行2.5小时后，甲离B地：千米，乙离B地：千米，此时两船相距10千米，当时，甲乙的距离小于10，因此④正确； 综上所述，正确的说法有①②④． 3．小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书，途中小凡从路边超市买了一些学习用品，如图反映了他们两人离开学校的路程s（千米）与时间t（分钟）的关系， 请根据图象提供的信息回答问题： (1)和中，_______描述小凡的运动过程； (2)________谁先出发，先出发了_______分钟； (3)_______先到达图书馆，先到了______分钟； (4)小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少千米/时？（不包括中间停留的时间） 【答案】(1) (2)小凡，10 (3)小光，10 (4)小凡与小光从学校到图书馆的平均速度分别为10千米/时、7.5千米/时 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据可以解答本题； （2）根据函数图象中的数据可以解答本题； （3）根据函数图象中的数据可以解答本题； （4）根据函数图象中的数据结合平均速度等于路程除以运动时间求得小乐从学校到图书馆的平均速度； 【详解】（1）解：由题意知，途中小凡从路边超市买了一些学习用品，即此时时间变化但路程不变， ∴描述小凡的运动过程； 故答案为 （2）由图可得，和中，描述小凡的运动过程，描述小光的运动过程，小凡先出发，先出发了10分钟， 故答案为：小凡，10； （3）由图可得，小光先到达终点，先到了分钟， 故答案为：小光，10； （4）小凡从学校到图书馆的平均速度为千米/时， 小光从学校到图书馆的平均速度为千米/时 【经典例题十 用描点法画函数图象】 【例10】变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可． 【详解】解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为， 把x＝﹣5代入得，． 故选择：B． 【点睛】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题关键． 1．小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将各选项代入计算看是否在直线上即可. 【详解】A 选项，当 代入 故在直线上. B 选项，当 代入 故在直线上. C选项，当 代入 故在直线上. D选项，当 代入 故不在直线上. 故选D. 【点睛】本题主要考查直线上的点满足直线方程，是考试的基本知识，应当熟练掌握. 2．描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 3．有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 m 0 2.64 … 其中_______． (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象． (3)观察函数图象，写出一条该函数的性质：__________． (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个互不相等的实数根； ②若关于x的方程有3个互不相等的实数根，则a的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)①2，2；② 【分析】本题考查了函数值的计算，描点法画函数图象，图象的性质，图象与x轴的交点，熟练掌握所学相关知识是解题的关键． （1）求当时的函数值即可． （2）按照自变量从小到大的顺序用平滑的曲线依次连接起来即可． （3）结合函数的图象，根据自变量的属性，分段描述性质即可． （4）根据图象与x轴的交点、函数的图象的最高点和最低点可得出结论． 【详解】（1）解：当时， ． 故答案为：． （2）解：根据列表，描点，画图象如下： （3）解：观察函数图象， 当或时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小； 故答案为：当或时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； （4）解：①观察函数图象， 函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程有2个互不相等的实数根； 故答案为：2，2； ②由图象可知，当时，直线与函数图象有3个交点， a的取值范围是， 故答案为：． 【经典例题十一 动点问题的函数图象】 【例11】如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，点P运动的路程为，图2是点P运动时，的面积随变化的图象，则a的值为（    ） A．2.5 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键． 结合图形得，当点P运动到点E处时，运动路程为，即，由E为的中点，得到，当点P运动到点D处时，运动路程为，得，由为中位线，求出，根据的面积s为，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可求出长，求出a． 【详解】解：结合图形得， 当点P运动到点E处时，运动路程为a，即， ∵E为的中点， ∴， 当点P运动到点D处时，运动路程为， ∴， ∵为中位线， ∴， 此时的面积s为，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 1．如图（1），在中，，，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y（当A，B，P点共线时，不妨设），y与x之间的函数关系的图象如图（2）所示，则图（2）中a的值为（    ）    图（1）                                        图（2） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【分析】本题首先根据图2得到对应的信息，当点运动到点时，的面积和的面积相等为6，根据图中的10，可得到，然后根据，可得到，根据三角函数，可得到，然后代入，可得和的长度，即可求出的值． 本题考查动点问题和函数图象相结合，30度所对的直角边是斜边的一半，主要考查对函数图象的读图能力，动点问题的特定点的寻找和基本计算能力． 【详解】解：由图（2）可知，当点与点重合是时，的面积为6，当点运动到点时，共走的路程为10，即，过作交延长线于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 可解得，， 故， 故选． 2．如图1所示，在矩形中，动点从点出发，沿矩形的边由运动，设点运动的路程为，的面积为，把看作的函数，函数图象如图所示，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点函数图象，由图象得出当时，的值最大，此时点运动到点，说明，当时，的值最大，此时点运动到点，说明，再由三角形面积公式计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 当点在运动时，的值逐渐增大，即的面积逐渐增大， 当点在运动时，的值不变，即的面积不变， 当点在运动时，的值逐渐减小，即的面积逐渐减小， 函数图象上横坐标表示点运动的路程，当时，的值最大，此时点运动到点，说明，当时，的值最大，此时点运动到点，说明， ，， ， 故答案为：． 3．已知动点从点出发沿图1的边框按的路径运动（边框拐角处都互相垂直），相应的的面积与点移动路程的关系图象如图2，根据图象信息回答下列问题： (1) ， ；当时，点应运动到图1的顶点 处； (2)根据以上信息，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)4，8，C (2)15 (3)或 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象： （1）结合点Q的运动路径以及函数图象，即可求解； （2）根据题意得：当点应运动到图1的顶点C处时，的面积为，再根据三角形的面积公式计算，即可求解； （3）分两种情况：当点在上时，当点在上时，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； 当时，点应运动到图1的顶点C处； 故答案为：4；8；C （2）解：根据题意得：当点应运动到图1的顶点C处时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：15 （3）解：当点应运动到图1的顶点D处时，的面积为， 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，x的值为或． 【经典例题十二 函数的三种表示方法】 【例12】李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油 【答案】C 【分析】根据表格中信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意； B、时，耗油量为 ；100——200km时，耗油量为 ；故B正确，不符合题意； C、有表格知：该车每行驶耗油，则，故C错误，符合题意； D、当 时，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键． 1．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（    ） A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B．刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的车速为 D．当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 【答案】C 【分析】根据函数的表达式特点判定，结合变量关系判定，确定函数的解析式表达方式判定即可． 【详解】A、根据函数表达方式的特点，自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离，正确，不符合题意； B、根据表格，刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加，正确，不符合题意； C、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，解得，不正确，符合题意； D、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了函数的表达方式及其意义，正确理解各自表达方式的意义是解题的关键． 2．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是 ． 【答案】y=x+2x-2（x≥2） 【分析】根据题意得：第1个图：y=1+1+20，第2个图：y=3+2=2+1+21，第3个图：y=4+4=3+1+22，第4个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20， 第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21， 第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22， 第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23， … 以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2， y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2）， 故答案为：y=x+2x-2（x≥2）． 【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 3．结合一次函数的学习经验，探究函数：的图像和性质，请完善下面的研究过程． (1)自变量的取值范围为______； (2)化简函数解析式： ①当时，______； ②当时______； ③当时______； (3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像； (4)若关于的方程：有两个解，请直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)全体实数 (2)①；②；③ (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了函数的图像，函数的解析式，绝对值的化简，解绝对值方程． （1）根据函数的表达式，确定自变量取值范围是全体实数． （2）①根据正数的绝对值是它本身，化简即可． ②根据零的绝对值是零化简即可． ③根据负数的绝对值是它的相反数化简即可． （3）根据画图像的基本步骤画出图像即可． （4）利用数形结合思想，只需函数值大于2即可即，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得自变量取值范围是全体实数， 故答案为：全体实数． （2）解：∵， ∴①当时，， 故答案为：． ②当时， 故答案为：． ③当时． 故答案为：． （3）解：根据题意，画图像如下： ． （4）解：根据题意，方程有两个解的条件是函数值大于2，即， 故m的取值范围是． 1．下列选项中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 2．某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3千米以内收费8元，超过3千米，每增加1千米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 3．一个寻宝游戏场景的俯视图如图（1）所示，为同一平面内的通道．小星沿着通道寻找宝物，为记录小星的行进路线，在的中点处放置了一台定位仪．设小星行进的时间为，小星与定位仪之间的距离为，若小星匀速行进，且表示与的函数关系的图像大致如图（2）所示，则小星的行进路线可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图像在生活的应用，利用排除法首先排除B选项，再逐一分析A，C，D选项路线中y随x的变化情况，即可得结果． 【详解】解：根据函数图象与x轴有交点可知，小星一定经过点P，由此可排除B选项．对A，C，D选项的路线逐项分析，如下： 选项 路线 y随x的变化情况 是否与题中函数图象一致 A 减小→增大→减小→增大 否 C 减小→减小→增大 是 D 减小→增大→减小→增大 否 故选：C． 4．2023环万峰林国际山地自行车赛9月20日在贵州省黔西南布依族苗族自治州兴义市鸣笛开赛，来自海内外的1000余名选手齐聚万峰林，展开一场精彩的追逐竞赛．自行车爱好者驾甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往万峰林观看比赛，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论正确的是（    ） A．A，B两城相距 B．甲车的平均速度是，乙车的平均速度是 C．乙车先出发，先到达B城 D．甲车在追上乙车 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据函数图象，获取需要数据，逐个判断即可． 【详解】解：．由图可知A，B两城相距，该选项错误，不符合题意； ．甲车的平均速度，乙车的平均速度，该选项错误，不符合题意； ．由图可知乙车先出发，后到达B城，该选项错误，不符合题意； ．由图可知甲车在追上乙车，该选项正确，符合题意； 故选：D． 5．、两地相距2400米，甲、乙两人准备从地出发去地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达地后，停止运动．甲乙之间的距离与甲运动时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．乙每分钟比甲多走 B．乙出发后两人相遇 C．乙到达 B 地时，甲距离 B 地还有 D．相遇前，甲走或时两人相距 【答案】B 【分析】本题考查从函数图象获取信息．从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为，由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为，则乙的速度为：，进而求解． 【详解】解：A、从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为， 由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为， 则乙的速度为：， 故乙每分钟比甲多走，正确，本选项不符合题愿意； B、设乙追上甲，则， 解得：， 即乙出发15 时，两人相遇，故原说法错误，本选项符合题意； C、当时，甲运动的路程为：， 则乙到达地时，甲距离地还有，故本选项不符合题意； D、甲开始走4分钟，走的路程为， 此时两人相距， 甲走8分钟时，乙走了3分钟，此时两人的距离为， 故本选项不符合题意， 故选：B． 6．如图，某出租车公司提供了甲、乙两种出租车费用y（元）与出租车行驶路程x（千米）之间的关系， ①若行驶路程少于120千米，则所收费用两出租车甲比乙便宜20元； ②若行驶路程超过200千米，则所收费用乙比甲便宜12元； ③若所收费用出租车费用为60元，则乙比甲行驶路程多； ④若两出租车所收费用相差10元，则行驶路程是145千米或185千米． 其中正确的说法有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象和性质，解一元一次方程的实际应用，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题． 根据函数图象得出当时，，当时，；当时，，当时，，根据行驶路程少于120千米， 即可判断①；行驶路程超过200千米，则所收费用乙比甲便宜，即可判断②；若所收费用出租车费用为60元，求出，，即可判断③；若两出租车所收费用相差10元，进行分类讨论：当时，当时，分别列出方程求解即可判断④． 【详解】依题意得 解：由图可知：当时，， 当时，； 当时，， 当时，， ∴若行驶路程少于120千米，则所收费用两出租车甲比乙便宜元，故①正确； 行驶路程超过200千米，则所收费用乙比甲便宜元，故②正确； 若所收费用出租车费用为60元， ， 解得：， ， 解得：， ∴则乙比甲行驶路程多，故③正确； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； ∴若两出租车所收费用相差10元，则行驶路程是145千米或195千米 ∴正确的结论是①②③，共3个， 故选C． 7．如图是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x的值为5，则输出的因变量y的值为 ．    【答案】70 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，看懂题意是关键．把代入，如果结果大于12就输出，如果结果不大于12，就再算一次． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 输出因变量． 故答案为：70． 8．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键．根据函数的图象、结合图形求出、的值，根据长方形的周长公式得出长方形的周长． 【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变， 函数图象上横轴表示点运动的路程，时，不发生变化，说明，时，接着变化，说明， ，， 长方形的周长是：， 故答案为：16 9．甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为，他们行进的路程与甲出发后的时间之间的函数图象如图所示．根据图象判断，下列说法： ①甲的速度为；②乙比甲晚出发；③乙的速度为；④乙出发后20分钟赶上了甲． 其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，根据函数图象并计算即可判断①②③，设乙出发小时后赶上了甲，则，解方程即可判断④，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得： 甲的速度为，故①正确； 乙比甲晚出发，故②正确； 乙的速度为，故③错误； 设乙出发小时后赶上了甲，则， 解得：， 小时分钟，故乙出发后20分钟赶上了甲，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 10．一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围） ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据“油箱内剩油量油箱内原有油量耗油量”写出y与x的关系式，将代入y与x的关系式，求出x的最大值，从而写出x的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， 当时，得，解得， ， 与x的关系式为． 故答案为：． 11．如图，一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市（三者在同一直线上），分别表示汽车、摩托车离A地的距离随时间变化的图象，则以下结论：①摩托车比汽车晚到；②A，B两地的距离为；③摩托车的速度为，汽车的速度为；④汽车出发后与摩托车相遇，此时距离B地；⑤相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．其中，正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据到达目的地的时间，即可判断④；根据时，两函数图象的函数值即可判断②；根据速度等于路程除以时间即可判断③；汽车出发后行走的路程为60千米，摩托车行走的路程为40千米，而未出发时，汽车落后摩托车20千米，即可判断④． 【详解】解：观察横坐标，可知，汽车比摩托提前1小时到达目的地，①对； 观察纵坐标，可知A，B两地距离，②对； 根据图象可知汽车速度为，摩托车的速度为，③错； 汽车出发后行走的路程为60千米，摩托车行走的路程为40千米，而未出发时，汽车落后摩托车20千米，则汽车出发后与摩托车相遇，此时距离B地，④对； 故答案为：①②④． 12．如图所示，，两地相距千米，甲于某日下午时骑自行车从地出发驶往地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从地出发驶往地，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行路程与该日下午时间之间的关系根据图象回答下列问题： （1）请你根据图象上的数据填空，甲骑自行车在全程的平均速度是 ，乙骑摩托车的速度是 ． （2）乙出发大约用时 就追上甲？ 【答案】 【分析】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是正确识别函数图象，根据图象获取需要数据． （1）用总路程除以甲、乙的总时间，即可求出甲、乙的速度； （2）先求出甲在段时的速度，设乙出发t小时后追上甲，根据追上甲时，两人路程相同，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）甲骑自行车在全程的平均速度， 乙骑摩托车的速度， 甲在段时的速度， （2）设乙出发t小时后追上甲， ， 解得：， 故答案为：，，． 13．列方程组解应用题：我市某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间，为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元． (1)该旅游团住了三人间，双人间普通客房各住了多少间？ (2)若双人间共住了x人，总费用为y元，写出y与x的函数关系式． 【答案】(1)三人间普通房和双人间普通房分别住了10间、8间 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列函数关系式： （1）设三人间普通房和双人间普通房分别住了a间、b间，根据一共46人花费1310元列出方程组求解即可； （2）双人间共住了x人，则双人间有间，三人间有间，据此列出对应的关系式即可． 【详解】（1）解：设三人间普通房和双人间普通房分别住了a间、b间， 根据题意得，， 解得：， 答：三人间普通房和双人间普通房分别住了10间、8间： （2）解：根据题意得：． 14．游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/时 1 2 3 4 游泳池的存水量/ 858 780 702 624 (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是______； (2)设放水时间为小时，游冰池的存水量为，写出关于的函数关系式（不要求写自变量范围），并求出当时，游泳池的存水量． 【答案】(1)放水时间，游泳池的存水量 (2)关于的函数关系式为，当时，游泳池的存水量为 【分析】本题考查了函数的基础知识，涉及变量，求函数关系式等知识； （1）根据题意即可完成； （2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水，即存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式，将时间为8代入即可求得游泳池的存水量． 【详解】（1）解：由题意知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水， 故答案为：放水时间，游泳池的存水量； （2）解：∵换水前存水，且以每小时的速度将水放完， ∴关于的函数关系式为， ∵时，则， ∴游泳池的存水量为． 15．如图，圆柱的高是，底面半径是，体积是，当r由小到大变化时，V也随之发生了变化． (1)在这个变化中，自变量是_______，因变量是_______． (2)体积V与底面半径r的关系式为_______． (3)当底面半径由变化到时，圆柱的体积增加了多少立方厘米？ 【答案】(1)底面半径（或r），体积（或V） (2) (3) 【分析】本题考查变量之间的关系，理解自变量与因变量的定义是解题关键． （1）根据常量和变量的定义来判断自变量、因变量和常量； （2）圆柱体的体积等于底面积乘以高，底面积等于乘以半径的平方，将它用含有V和r的关系式表达出来即可； （3）利用圆柱的体积计算方法计算增加的体积即可． 【详解】（1）解：根据函数的定义可知，对于底面半径的每个值，体积按照一定的法则有一个确定的值与之对应，所以自变量是：半径，因变量是：体积． （2）解：根据圆柱体的体积计算公式：． （3）解：体积增加了． 16．甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，甲、乙两车距A地的路程（）与乙车行驶的时间（）的图象如图所示 (1)求乙车到达B地时的行驶时间； (2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程； (3)求乙车到达B地前，甲、乙两车相距时，乙车行驶的时间． 【答案】(1)乙车到达B地时的行驶时间为 (2)乙车到达B地时甲车距A地的路程是 (3)乙车到达B地前，甲、乙两车相距时，乙车行驶的时间是或 【分析】本题考查了图象、一元一次方程的应用，理解题意，能从图象中获取相关联信息，行程问题的数量关系的运用是解答的关键． （1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出乙车从A地到达B地的速度，进而可求得乙车到达B地的时间； （2）根据图形中的数据，可以先甲车的速度，然后即可计算出乙车到达B地时甲车距A地的路程； （3）根据题意可知，乙车返回时的速度为（千米/时），甲车行驶的时间为3.75小时，设乙车行驶的时间为小时，存在两种情况：甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米；甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米；然后即可列出相应的方程，再求解即可． 【详解】（1）由图象可得，乙车从A地到B地的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地的时间为：（小时）， （2）由（1）可知， 由图象可得，甲车的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地时甲车距A地的路程是（千米）， （3）甲车行驶的时间为小时， 设乙车行驶的时间为小时， 甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米：，解得； 甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米：，解得； 综上，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时． 17．圆柱的底面半径为，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_____________； (2)设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系式是______________； (3)当h从变化到时，圆柱的体积如何变化？ 【答案】(1)圆柱的高；圆柱的体积 (2) (3)体积增加 【分析】（1）根据函数的自变量，因变量分析解答即可； （2）根据圆柱的体积公式计算解答即可； （3）根据时，；时，；计算体积增加解答即可． 本题考查了函数的自变量，因变量，圆柱体积，正确额定义，掌握圆柱体积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得自变量是圆柱的高；因变量是圆柱的体积， 故答案为：圆柱的高；圆柱的体积． （2）解：根据题意，得． （3）解：根据题意，得当时，； 当时，； 故体积增加． 18．如图所示，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm． (1)观察图形，填写如表． 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度y/cm 4.2 5.9 … (2)请你写出y与x之间的关系式． (3)如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成连接(安装到自行车上)后，总长度是多少厘米？ 【答案】(1)7.6 (2) (3)136cm 【分析】本题主要考查了规律性图形问题——自行车链条长．熟练掌握链条总长度与每节链条两圆心间的长度和节数与重叠部分圆直径间的关系，闭环链条长度与每节链条两圆心间的距离和节数的关系，是解决问题的关键． （1）根据每节链条两个圆心之间的距离为； 得到4节链条的长度是4个再加上，计算填表即可； （2）结合（1）中链条长度的与节数的关系规律，归纳得到y与x之间的关系式； （3）自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短，为，将代入，可求得y值． 【详解】（1），填表： 链条节数节 2 3 4 … 链条长度 4.2 5.9 7.6 … 故答案为：7.6； （2）根据题意，得， 故y与x的关系式为． （3）∵自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8， ∴， ∴当时，． 故80节这样的链条总长度是． 学科网（北京）股份有限公司 $$