精品解析：河南省南阳市南召县2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024年秋期九年级开学摸底练习 数 学 一、选择题（每小题3分； 共30分） 1. 若分式有意义，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分母不为零，分式有意义进行选择即可． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义， 故选：C． 2. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 如图，枫叶遮盖了一点P，则点P的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 根据图形可得点P在第四象限，再根据第四象限内的点的坐标符号为（＋，－）进而得出答案． 【详解】解：由图形可得：点的坐标可能是． 故选：C． 4. 某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为分，其中，期中考试成绩占，期末考试成绩占，小海同学这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是分、分，则小海这个学期的体育综合成绩是（　　） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，利用加权平均数计算公式计算即可求解，掌握加权平均数计算公式是解题的关键． 【详解】解：小海这个学期的体育综合成绩为分， 故选：． 5. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】根据平移的性质，得到， 故选：C． 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质： 比较反比例函数值或自变量的大小，先把，，都代入，算出，，的值，再作比较，即可作答． 【详解】解：∵，，都在反比例函数的图象上， ∴把，，都代入， 得 ∴ 故选：A 7. 如图，菱形的对角线交于点O，，，将绕点O顺时针方向旋转得到，连接．若点D的对应点E恰好落在线段上，则的面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，先由菱形对角线互相垂直平分得到，，再由旋转的性质可得，则三点共线，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O，，， ∴，， ∵将绕点O顺时针方向旋转得到，点D的对应点E恰好落在线段上， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， 故选：B． 8. 已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：C． 9. 如图，射线、分别表示买牛肉和买猪肉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：千克）的关系，已知买牛肉每千克所需的费用比买猪肉每千克所需的费用的倍少元，设买猪肉每千克所需的费用为元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题的关键．设买猪肉每千克所需的费用为元，则每千克牛肉需要元，再结合图像列出方程即可． 【详解】解：设买猪肉每千克所需的费用为元，则每千克牛肉需要元， 根据题意可得：， 故选：D． 10. 如图，是正方形对角线上一点，，，分别为垂足，若，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，连接，，由四边形是正方形，则，点与点关于对称，故有，，然后证明四边形是矩形，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，点与点关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分； 共15分） 11. 写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可． 【详解】∵无论字母x取何值，x2+1＞0， ∴x2+1≠0， ∴是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一个代数式使分母不等于零． 12. 名学生的鞋号由小到大是： ， 这组数据的平均数、中位数和众数中，指标______是鞋厂最感兴趣的（填“平均数”或“中位数”或“众数”）． 【答案】众数 【解析】 【分析】本题考查了众数，众数是数据中出现最多的数，即代表销售量最多的鞋号，据此即可求解，掌握众数的意义是解题的关键． 【详解】解：这组数据的平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是众数， 故答案为：众数． 13. 直线向下平移个单位所得到的直线不经过的象限是______． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数的图象，根据一次函数图象的平移规律求出平移后直线的解析式，再根据解析式即可求解，掌握一次函数图象平移规律和性质是解题的关键． 【详解】解：把直线向下平移个单位得到的函数解析式为， ∵，， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为_________． 【答案】16 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质和角平分线的定义得出四边形ABEF是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ， ． ∵BF平分， ， ， ， 同理可得， ， ∵四边形ABEF是平行四边形． ∴四边形ABEF是菱形， ， ， ， ， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查平行四边形和菱形的性质，掌握平行四边形和菱形的性质及勾股定理是关键． 15. 如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点在坐标轴上，，的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，，轴，进而可得，又由，可得，，设点的坐标为，则，，由四边形是矩形得，即得到，得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，轴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设点的坐标为，则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 三、解答题 分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分 10分）： 甲： 7， 6， 9， 6， 7， 10， 8， 8， 9， 9； 乙： 8， 8， 6， 7， 9， 7， 9， 8， 8， 9． ②服务质量得分统计图（满分 10 分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 m n 7 乙 8 8 7 根据以上信息； 回答下列问题： （1）填空： ______，比较大小： ______ （2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？ 请说明理由． 【答案】（1）， （2）小刘应选择甲公司，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数和方差的概念即可解答； （2）综合分析表中的统计量，即可解答； 本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10， 从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8， 所以这组数据的中位数为，即， 从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于， 从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定， 即； 故答案为：8，． 【小问2详解】 解：小刘应选择甲公司，理由如下： 配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好， 服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司． 18. 已知等腰三角形周长为20． （1）写出底边长关于腰长的函数解析式（为自变量）； （2）写出自变量的取值范围； （3）在直角坐标系中，画出函数图象． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的周长=两腰之和+底边的长，建立等式就可以求出函数解析式． （2）根据三角形的三边关系建立不等式，就可以求出自变量的取值范围． （3）运用描点法，通过列表、描点、连线的步骤，就可以画出函数的图象． 【小问1详解】 解：等腰三角形周长为20，底边长为，腰长为， ， 移项，得：， 底边长关于腰长的函数解析式是：； 【小问2详解】 由题意得：， 解得：， 自变量的取值范围是； 【小问3详解】 （1）（2）中已求出函数解析式为， 取值时，要在之间，若，则；若，则， ，这两点是取不到的， 用空心表示两点，连接两个空心点，即为所求图象，如图： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的运用．对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义，此时的函数图象可能是线段或射线等． 19. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2） 解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3） 解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式 的解集； （3）尺圆作图：过点作轴，交于点（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出梯形的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； （2）； （3）如图所示，直线即为所求；梯形的面积为． 【解析】 【分析】（）把代入可求出反比例函数的表达式，进而求出点坐标，再利用待定系数法可求出一次函数解析式； （）根据函数图象解答即可求解； （）作即可得到直线，再求出点坐标即可求出梯形的面积； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的几何应用，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，当时，， ∴关于的不等式 的解集为； 【小问3详解】 解：如图所示，直线即为所求； 设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标相同， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样． （1）求甲乙两种类型笔记本的单价． （2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少． 【答案】（1）甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元 （2）最低费用为11000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键． 对于，设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题； 对于，设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 乙类型的笔记本单价为元， 答：甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元； 【小问2详解】 设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了件， 购买的乙的数量不超过甲的3倍， ∴且，， 解得， 根据题意得， ， 随a的增大而减小，∴时，w最小值为（元）， 答：最低费用为11000元． 22. 【教材呈现】 下图是华师版八年级下册数学教材第页练习的部分内容： 如图，如果直线 那么的面积和的面积是相等的．请你证明这个结论． 【方法探究】 如图，在中，点在边上，若则与之间的关系为___________： 【方法应用】 如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与 交于点 ．若 求的面积． 【答案】教材呈现：证明见解析；方法探究：；方法应用：． 【解析】 【分析】教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则，可得四边形是平行四边形，得到，再根据三角形的面积公式即可求证； 方法探究：过点作于，过点作的延长线于点， 同理教材呈现可得，再根据三角形的面积公式即可求解； 方法应用：连接，由教材呈现可得，，由轴可得，，得到，再根据勾股定理得，进而根据菱形的性质得，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 即的面积和的面积相等； 方法探究：如图，过点作于，过点作的延长线于点， 同理教材呈现可得， ∵，， ∴， 故答案为：； 方法应用：连接，由教材呈现可得，， ∵轴，函数的图象经过点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积，反比例函数比例系数的几何意义，勾股定理，菱形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23. [特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点． （1）证明：． （2）[初步探究]如图2，在正方形中，点为边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：． （3）[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）过点作交于点，交于点，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得证； （3）连接，由（2）可知：，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 又点分别为的中点， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 证明：过点作交于点，交于点． 四边形是平行四边形 ， ， ； 【小问3详解】 连接，由折叠可知 由（2）可知 点是的中点， 在Rt中，由勾股定理得 的长为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，折叠问题，以及勾股定理，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期九年级开学摸底练习 数 学 一、选择题（每小题3分； 共30分） 1. 若分式有意义，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，枫叶遮盖了一点P，则点P的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 4. 某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为分，其中，期中考试成绩占，期末考试成绩占，小海同学这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是分、分，则小海这个学期的体育综合成绩是（　　） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 5. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线交于点O，，，将绕点O顺时针方向旋转得到，连接．若点D的对应点E恰好落在线段上，则的面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 36 8. 已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 或 9. 如图，射线、分别表示买牛肉和买猪肉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：千克）的关系，已知买牛肉每千克所需的费用比买猪肉每千克所需的费用的倍少元，设买猪肉每千克所需的费用为元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是正方形对角线上一点，，，分别为垂足，若，，则的长是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分； 共15分） 11. 写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________． 12. 名学生的鞋号由小到大是： ， 这组数据的平均数、中位数和众数中，指标______是鞋厂最感兴趣的（填“平均数”或“中位数”或“众数”）． 13. 直线向下平移个单位所得到的直线不经过的象限是______． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为_________． 15. 如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点在坐标轴上，，的面积为，则______． 三、解答题 分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分 10分）： 甲： 7， 6， 9， 6， 7， 10， 8， 8， 9， 9； 乙： 8， 8， 6， 7， 9， 7， 9， 8， 8， 9． ②服务质量得分统计图（满分 10 分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 m n 7 乙 8 8 7 根据以上信息； 回答下列问题： （1）填空： ______，比较大小： ______ （2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？ 请说明理由． 18. 已知等腰三角形周长为20． （1）写出底边长关于腰长的函数解析式（为自变量）； （2）写出自变量的取值范围； （3）在直角坐标系中，画出函数图象． 19. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式 的解集； （3）尺圆作图：过点作轴，交于点（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出梯形的面积． 21. 某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样． （1）求甲乙两种类型笔记本的单价． （2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少． 22. 【教材呈现】 下图是华师版八年级下册数学教材第页练习的部分内容： 如图，如果直线 那么的面积和的面积是相等的．请你证明这个结论． 【方法探究】 如图，在中，点在边上，若则与之间的关系为___________： 【方法应用】 如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与 交于点 ．若 求的面积． 23. [特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点． （1）证明：． （2）[初步探究]如图2，在正方形中，点为边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：． （3）[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $