精品解析：甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

西北师大附中2024—2025学年第一学期高三年级开学考试 高三数学 （范围：集合与不等式、函数、导数） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合，再求交集. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：C 2. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式、根式以及零次方的性质列式求解. 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：D. 3. 若正数x，y满足 则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解. 【详解】由题设及，可得 . 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为4. 故选：C. 4. 吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，估计时，气球的膨胀率为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助复合函数求导法则求导后，代入计算即可得. 【详解】，则， 当时，． 故选：A． 5. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论. 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 7. 已知函数，若､､均不相等且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据，不妨，求出的范围即可． 【详解】解：作出函数的图象如图， 不妨设，则 所以， 则． 故选：． 8. 设，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小． 【详解】令，， 则，，， 而，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，，即. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由对数型复合函数的定义域和值域为求出，，得到A正确，B错误，再由集合的交与并判断CD. 【详解】A选项，当时，，解得，故定义域不是， 当时，由得， 故要想的定义域为，实数的取值范围为， 故，A正确； B选项，当时，能取到所有正数，满足要求， 当时，要想能取到所有正数， 需且，解得， 综上，，故，B错误； CD选项，所以，，C错误，D正确. 故选：AD． 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为20 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知结合二次函数的最值与基本不等式对选项一一验证即可. 【详解】因为， 所以，则， 所以． 又因为所以．故A错误； ． 当且仅当时等号成立．故B正确； ， 当且仅当．即时等号成立． 所以的最小值为16．故C错误； ， 当且仅当．即时等号成立．故的最小值为，故D正确． 故选：BD． 11. 已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意分析可知为偶函数，，且的周期为8，利用赋值法结合题意逐项分析判断. 【详解】已知函数，的定义域均为， 因为，， 可得， 又因为为奇函数，则， 可得，即为偶函数， 则，即， 可得， 所以，可知的周期为8. 对于选项A：因为， 令，则，， 可得，，故A正确； 对于选项B：因为， 令，可得，故B正确； 对于选项C：因为，且为偶函数， 则， 令，可得， 又因为， 令，则，， 可得，可得， 但由题设条件无法推出，故C错误； 对于选项D：因为的周期为8，故，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数性质以及函数单调性限定出不等式取值范围可得结论. 【详解】因为是奇函数，所以等价于， 又函数在定义域上是减函数， 需满足，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 13. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数是奇函数结合得出函数的周期，再应用数形结合转化为零点是函数的交点横坐标，最后应用对称性即可求出零点和. 【详解】奇函数，对于都有， ，则，即， 则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称， 作出函数与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为， 所以，，，， 则，故在内所有的零点之， 故答案为:． 14. 定义在上的函数满足，，若，则______，______. 【答案】 ①. 0 ②. -100 【解析】 【分析】根据得到，，从而得到，即的一个正周期为4，故，用赋值法得到，求出，再求出关于对称，关于对称，结合，求出，，结合函数的正周期，求出的值. 【详解】由可得：， 即，将替换为得： ，两式相减得：， 即的一个正周期为4， 因为，所以， 又中令得：， 所以， 中令得：，故， 故； 由知：关于对称， 因为的最小正周期为4，所以， 故，即关于对称， 因为，所以， ， 由知：， 所以，则， 因为的最小正周期为4， 所以 . 故答案为：0，-100 【点睛】设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2）-7 【解析】 【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则求解即可，解答过程注意避免符号错误； （2）直接利用对数的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足:，都有，则称这个函数是点A的“界函数”. （1）若函数是点的“界函数”，求需满足的关系； （2）若点在函数的图象上，是否存在使得函数是点B的“界函数”? 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（2）存在， 【解析】 【分析】 （1）（2）根据点在函数的图象上，从而得出，，都有，从而讨论时，得出函数在，上的值域为，从而可得出的范围；同理，讨论和时，求出函数的值域，让该值域是集合的子集，从而可得出的范围． 【详解】（1）由函数是点的“界函数”，且函数为增函数， 当时，值域为， 因为， 所以， （2）在函数的图象上， ， ，，都有， ①，即时，在，上单调递增， ， ， ，解得，又， 这种情况不合题意； ②，即时， 由，可得或， 且， ，解得， ③，即时，在，上单调递减， ， ， ，解得，又， 这种情况不合题意， 综上得，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：考查了对“界函数”定义的理解，二次函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，二次函数值域的求法，子集的定义，考查了计算和推理能力，属于难题． 17. 定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． （1）求、； （2）试判断函数的单调性： （3）如果，试求的取值范围． 【答案】（1）；； （2）在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可求； （2）由已知可得，设；可得，结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【小问1详解】 取得，； ；； 【小问2详解】 令，可得， 设，则，所以，即， 在上单调递增； 【小问3详解】 根据满足的条件②及，由得，； 根据为增函数得：； 再由的定义域，便得到不等式组； 解得，的取值范围为． 18. 已知函数． （1）对任意函数恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）函数恒成立问题结合二次函数的性质与图象分类讨论得出参数范围； （2）分，，，，，五种情况得出解集． 【小问1详解】 因为对任意函数恒成立， 即对任意恒成立，所以，， 当时，在上单调递减，所以， 所以，不满足对任意恒成立； 因为， 当时，令，解得，， 当时，，即，在上单调递减， 所以，，不满足对任意恒成立； 当时，，即， 则所以， 所以，解得或，又因为，所以； 当时，，，满足在上恒成立， 当时，，即， 则在上单调递增，所以， 满足在上恒成立， 综上所述，，即的取值范围为； 【小问2详解】 当时，，由，解得 当时，令，解得，． 当时，，即，， 由，解得；当时，，即， ，解得或；当时，， 由，解得；当时，，即，由，解得或； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 19. 已知函数，其中． （1）若在单调递增，求a的取值范围； （2）若有三个极值点，记为，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数恒为非负，即可将问题转化为在上恒成立，构造函数，求导即可求解最值求解； （2）根据与有两个交点结合图象可得，进而得，构造函数和，求导确定函数的单调性求解最值即可. 【小问1详解】 由题可得， 由题，有在上恒成立, 即在上恒成立， 在上恒成立， 令， 由，解得；由，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ， 所以； 【小问2详解】 由题知，有3个根，显然1为其中一个根，则有两根． 即有两根，亦即与有两个交点． 由（1）作出大致图象如下： 则有．故由， 令 ① 又 ② 由①②，解得， 故, 令，则， 设， 设 则当时单调递减，故当，故， 因此，故在单调递增， 因此， 故，在单调递增，而， 因此由可得， 故,即. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明 不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中2024—2025学年第一学期高三年级开学考试 高三数学 （范围：集合与不等式、函数、导数） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. D. 3. 若正数x，y满足 则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 4. 吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，估计时，气球的膨胀率为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 7. 已知函数，若､､均不相等且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为20 D. 的最小值为 11. 已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为__________. 13. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______． 14. 定义在上的函数满足，，若，则______，______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1） （2）． 16. 在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足:，都有，则称这个函数是点A的“界函数”. （1）若函数是点的“界函数”，求需满足的关系； （2）若点在函数的图象上，是否存在使得函数是点B的“界函数”? 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 17. 定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． （1）求、； （2）试判断函数的单调性： （3）如果，试求的取值范围． 18. 已知函数． （1）对任意函数恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集. 19. 已知函数，其中． （1）若在单调递增，求a的取值范围； （2）若有三个极值点，记为，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $