精品解析：江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024-2025学年第一学期高三年级期初学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“，”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 已知a，b，c为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A B. 3 C. 2 D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要不充分条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 若，使得成立是假命题，则实数m的取值范围为 D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 B. 若函数有3个零点，则实数a取值范围是 C. 设函数的3个零点分别是，，（），则的取值范围是 D. 任意实数a，函数在内无最小值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知随机变量，且，则的值为________． 13. 设，，，则a，b，c的大小关系为________（用“＜”连接）． 14. 若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的表达式； （2）解关于x的不等式． 17. 随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取500人进行调查，得到如下表的统计数据： 周平均锻炼时间少于6小时 周平均锻炼时间不少于6小时 合计 60岁以下 80 120 200 60岁以上（含60） 60 240 300 合计 140 360 500 （1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？ （2）现从60岁以上（含60）的样本中按周平均锻炼时间是否少于6小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少于6小时的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据：，其中． α 0.025 0.01 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10828 18. 如图，四棱锥中，底面，，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 19. 设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”． （1）判断函数和是否为R上的“一阶有界函数”，并说明理由： （2）若函数为R上“一阶有界函数”，且在R上单调递减，设A，B为函数图象上相异的两点，直线的斜率为k，试判断“”是否正确，并说明理由； （3）若函数为区间上的“一阶有界函数”，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高三年级期初学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集的运算可得. 【详解】因， 故， 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案. 【详解】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称命题， 所以命题，的否定为：，. 故选：D. 3. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得或，分别确定，再进行验证. 【详解】因为，所以. 所以或. 若，此时，，不成立，故不合题意； 若，此时，，成立. 故. 故选：C 4. 已知a，b，c为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过不等式的性质和特例可排除ACD，根据不等式的性质判断B的真假. 【详解】对A：当时，；当时，.故A错误； 对B：因为，所以，故成立.故B正确； 对C：当时，.故C错误； 对D：若，则.故D错误. 故选：B 5. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对任意满足得出的对称轴为直线，结合函数在上单调递减得出在上单调递增，根据对称性及单调性求解不等式即可． 【详解】因为对任意满足，所以的对称轴为直线， 又函数在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：B． 6. 若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分情况求不等式的解集，再根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】设不等式的解集为，， 因为不等式成立的充分条件是，，所以， 所以，所以. 由，所以. 由可得. 故选：D 7. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，结合，可得，再结合基本不等式可求的最小值. 【详解】因为（），所以. 当时，，所以在上单调递增. 又. 由， 所以. 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A 8. 已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两边求导得，再根据为奇函数得，由对称性得出是周期为2的周期函数，即可求解． 【详解】由两边求导得，，即， 因为奇函数， 所以，即， 所以关于中心对称， 所以，变形得，且， 由，得，变形得， 所以，则， 所以是周期为2的周期函数，则， 故选：A． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要不充分条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 若，使得成立是假命题，则实数m的取值范围为 D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式性质及充分条件、必要条件的定义判断A；举例说明判断B；求出的范围判断C；利用集合的包含关系判断D. 【详解】对于A，由，，得；反之若，而，不能判断与的大小， 因此的一个必要不充分条件是，A正确； 对于B，当时，集合只有一个元素，B错误； 对于C，，使得成立，即，成立， 而函数在上单调递减，在上单调递增，当时，， 因此，由，使得成立是假命题，得，C错误； 对于D，由，得，由，得有4个子集，因此集合N的个数为4，D正确. 故选：AD 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基本不等式得，即可判断A；由基本不等式得，即可判断B；由基本不等式及指数运算即可判断C；根据基本不等式“1”的妙用，得出，即可判断D． 【详解】对于A，，即，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确； 故选：BCD． 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 B. 若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 C. 设函数的3个零点分别是，，（），则的取值范围是 D. 任意实数a，函数在内无最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组求解即可判断A；由函数有3个零点，得当时有2个零点，当时有1个零点，列出不等式组，求解即可判断B；根据B的结论，结合韦达定理，函数单调性即可求得的范围，即可判断 C；分类讨论的值，求得当时，函数的最小值与时的最小值比较，即可判断D． 【详解】对于A，若函数在上单调递增，则，解得，故A错误； 对于B，若函数有3个零点，则当时，有2个零点， 所以，解得， 当时，有1个零点，则， 所以，故B正确； 对于C，设函数的3个零点分别是，，（）， 由B知，，， 令，解得，即， 设，，得在上单调递减， 所以，故C正确； 对于D，当时，单调递增，， 当时，，对称轴为直线， ①当，即时，，无最小值； ②当，即时，， 若有最小值，则，解得，与矛盾，故无最小值； 综上任意实数a，函数在内无最小值，故D正确； 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知随机变量，且，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解. 【详解】由随机变量，且，可得， 根据正态分布曲线的对称性，可得. 故答案为：. 13. 设，，，则a，b，c的大小关系为________（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】通过比较和的大小关系即可. 【详解】因为，所以 所以 又因为，所以 所以， 所以 故答案为： 14. 若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同构法先把不等式化为，构造函数，利用函数单调性，转化为，再分离参数得，再求函数的最大值即可. 【详解】由， 又，所以. 设，则， 所以在上单调递增. 所以（）. 设（），则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 因为存在正实数x，使得不等式成立，所以. 即的最大值为：. 故答案为： 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由指数及对数函数单调性求解集合，再根据集合间的运算求解即可； （2）分类讨论，当和两种情况，根据，即可求解． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 因为集合，， 当时，，满足条件； 当时，，则，即， 综上所述，． 16. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的表达式； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集为，得出1，2是方程的根且，代入求解即可； （2）分类讨论，当，，，，，结合一元一次不等式及一元二次不等式的解法求解即可． 【小问1详解】 ∵的解集为， ∴1，2是方程的根且， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 当时，，∵，∴，∴； 当时，，即，即， 当时，，∴或； 当时，， （ⅰ）当时，无解； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，； 综上所述：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 17. 随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取500人进行调查，得到如下表的统计数据： 周平均锻炼时间少于6小时 周平均锻炼时间不少于6小时 合计 60岁以下 80 120 200 60岁以上（含60） 60 240 300 合计 140 360 500 （1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？ （2）现从60岁以上（含60）的样本中按周平均锻炼时间是否少于6小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少于6小时的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据：，其中． α 0.025 0.01 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能认为周平均锻炼时长与年龄有关联 （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）由表中数据结合所给公式计算，再与标准表中对比即可得到结果； （2）结合题意列出X所有可能的取值，分别计算其概率，列出分布列，再由期望公式求出期望即可； 【小问1详解】 提出假设：周平均锻炼时长与年龄无关联， 由列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联； 【小问2详解】 抽取的10人中，周平均锻炼时长少于6小时的有（人）， 不少于6小时的有（人）， 则X所有可能的取值为1，2，3， 所以，，， 所以随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 所以数学期望． 18. 如图，四棱锥中，底面，，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意推出，再由线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，由空间角的向量求法，列式计算，可得.答案 【小问1详解】 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以， 而平面，所以． 因为，所以， 又平面，故， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 以，为，轴，过点作平面垂直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系： 令，则，，， ，， ， 设平面的法向量，所以， 设，则，，所以， 设平面CPD的法向量为，所以， 设，则，，所以， 因为二面角A-CP-D的正弦值为，则余弦值为， 又二面角为锐角，所以， 解得，所以 19. 设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”． （1）判断函数和是否为R上的“一阶有界函数”，并说明理由： （2）若函数为R上的“一阶有界函数”，且在R上单调递减，设A，B为函数图象上相异的两点，直线的斜率为k，试判断“”是否正确，并说明理由； （3）若函数为区间上“一阶有界函数”，求a的取值范围． 【答案】（1）是R上的“一阶有界函数”；理由见解析 （2）错误，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“一阶有界函数”的定义即可判断选项； （2）根据函数为上的“一阶有界函数”，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合函数单调递增的式子，化简判断； （3）根据函数为区间上的“一阶有界函数”，求得．构造函数，利用导数判断函数的单调性，求得最小值从而求得． 【小问1详解】 ，在R上恒成立， 故是R上的“一阶有界函数”； ，，当时，， 故不是R上的“一阶有界函数”． 【小问2详解】 错误．若函数为R上的“一阶有界函数”，则， 又在R上单调递减，即，所以， 令，， 设，，其中 ，故； 又在R上单调递减，所以，， 故； 小问3详解】 函数， 若为区间上的“一阶有界函数”，则，对恒成立 则，，；，，， 则． 令，，其中， 因为，在区间上单调递增，所以区间上单调递增， ∵，，所以存在，使，即， 当时，，单调递减；当，，单调递增． 所以，在区间单调递减，在区间单调递增， 所以， 设， 则， 因，所以， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又，所以， 所以，∴， 综上：． 【点睛】关键点点睛：第二问构造函数，并作差判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$