精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县朗洞镇初级中学2023—2024学年九年级下学期开学数学试题

榕江县朗洞中学2023-2024学年度九年级下学期2月质量监测 数学 试卷 （时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 在下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对四个选项分别进行判断，即可得出结论． 【详解】A、C、D三个选项的图形都是中心对称图形，B不是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义并能运用定义对图形进行准确判断是解题的关键． 2. 下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据中心对称图形与轴对称图形的概念可得，A、 C、D均是中心对称图形，B只是轴对称图形，故答案选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握此概念是解题的关键． 3. 如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ） A. 150° B. 120° C. 90° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】先确定旋转角，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正确理解旋转角是解题的关键． 4. 在中，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值和三角形内角和定理，根据特殊角三角函数值求出的度数，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故选：D． 5. 如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作PA⊥x轴于A，利用求出OA，再根据勾股定理求出PA即可得到点P的坐标. 【详解】过点P作PA⊥x轴于A， ∵， ∴， ∴=4， ∵点在第二象限， ∴点P的坐标是（-3,4） 故选：B. 【点睛】此题考查三角函数，勾股定理，直角坐标系中点的坐标特点，解题中注意点所在象限的坐标的符号特点. 6. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，连接、，过作于点，根据正六边形的特点得到，，进而证明是等边三角形，则，据此可得答案． 【详解】解：连接、，过作于点，如图所示， ∵多边形是正六边形，正六边形的周长是12， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径是2， 故选：B． 7. 如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可． 【详解】连接DC， ∵ ∴∠DOC=90°，OD=1， ∴∠DCO=30°， ∴∠OBD=30°， 故选B． 【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°． 8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝2，则AC的长是(　 ) A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查解直角三角形,设AC=x,在Rt△ACD中, 已知∠C=90°,∠DAC=30°, BD=2,因为tan∠DAC=,所以CD=ACtan∠DAC=xtan30°=x,BC=CD+BD=, 根据勾股定理可得:=,解得:x=,即AC= 9. 如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（　　） A. 3米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解． 【详解】设直线AB与CD的交点为点O， ∴， ∴AB=， ∵∠ACD=60°， ∴∠BDO=60°， 在Rt△BDO中，tan60°=， ∵CD=6， ∴AB=×CD=6． 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P点坐标为（1，1）， 则OP与x轴正方向的夹角为45°， 又∵， 则∠BAO=45°，为等腰直角形， ∴OA=OB， 设OC=x，则OB=3OC=3x， 则OB=OA=3x， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键． 11. 如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据题意得出恰有三个面被涂色的有8个，再利用概率公式求出答案． 【详解】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面被涂色的为棱长为3的正方体顶点处的8个小正方体； 故取得的小正方体恰有三个面被涂色．的概率为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面被涂色．小立方体的个数是解题关键． 12. 小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形(阴影)区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率、等边三角形的性质、三角形的外接圆，根据针扎到其内接等边三角形(阴影)区域的概率为正三角形的面积与圆的面积比，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设扎到阴影区域的正三角形的概率为，圆的半径为， 记圆的圆心为点，过作于，连接、、， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 在中，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得，结合解答即可． 本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键． 【详解】解：根据，得， 故． 故答案为：． 14. 在中，若与互为相反数，则_______. 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 15. 如图所示，已知的外接圆的半径为3，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键．作直径，连接，利用圆周角定理，三角函数解答即可． 【详解】解：作直径，连接， 则， 则， 故答案为：． 16. 如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝_________海里（计算结果不取近似值）． 【答案】## 【解析】 【分析】过点D作DE上AB，垂足为E，根据题意求得，进而求得90°，然后在Rt△ACB中， 利用锐角三角函数的定义求出AC的长，设DE=x海里，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC，DC的长，最后根据AC=52海里，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】如图：过点D作DE上AB，垂足为E， 依题意得，， ， =90°， 在中， ， 设海里， 在中，海里， ， ， 在中，海里， 海里， 海里， 海里， 海里， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文h字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用公式法解一元二次方程； （2）用配方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ，，， ∵， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：， 移项，得． 配方，得， 即， 解得， 即， ． 18. （1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=8，求AB和AC的长； （2）在△ABC中，∠C=90°，a=，b=3，解这个直角三角形． 【答案】（1），；（2），， 【解析】 【分析】（1）利用∠A=60°及其正弦值和正切值，即可求出AB和AC的长． （2）利用勾股定理求出的长，再利用正余弦即可求出直角三角形的另外两个角的度数． 【详解】（1）解：在中，，且， ，． （2）解：在中，由勾股定理可知：， ，， ， ． 【点睛】本题主要是考查了应用锐角三角函数值解直角三角形，熟练掌握三角函数对应的各边之比以及特殊角的三角形函数值，这是解决本题的关键． 19. 如图所示，把一张矩形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求矩形卡片的周长（精确到，参考数据：，）． 【答案】矩形的周长约为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和解直角三角形，作于点E，于点F，求的度数，在中，求出的值，在中，求出的值，可计算出矩形的周长，从而可解决问题 【详解】解：如图所示，作于点E，于点F， ∵，， ∴． 根据题意，得． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∴矩形的周长约为 20. 如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行，为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以的速度沿着河岸向东步行后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：） 【答案】82m 【解析】 【分析】作AD⊥BC于D，根据题意证明AD=CD，设AD=CD=xm，则m，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，作AD⊥BC于D， 由题意得∠EBA=∠DAB=60°，∠FCA=∠DAC=45°， ∴AD=CD， 设AD=CD=xm，由题意得BC=1.5×40=60m， 在Rt△ABD中，m， ∴， 解得 答：此河段的宽度为82m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数表示出线段，列出方程是解题关键． 21. 如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． （1）求的长； （2）求的正切值． 【答案】（1）7 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解； （2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ， ∴． 【小问2详解】 解：过点A作于点F，如图所示． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 22. 为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为和桥墩底部B处的俯角为，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为，测得C、D两点之间的距离为，直线、在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】103米 【解析】 【分析】延长DC交AB于点E，设CE=x米，由题意可得AB⊥DE，解Rt△AEC求得AE，解Rt△BEC求得BE，解Rt△AED求得DE，根据CD=DE-CE列方程求得x即可； 【详解】解：延长DC交AB于点E，设CE=x米， ∵AB、CD在同一平面内，AB⊥水平地面，点C、D在同一水平地面， ∴AB⊥DE， Rt△AEC中，∠ACE=60°，EC=x米，则AE=EC•tan∠ACE=米， Rt△BEC中，∠BCE=40°，EC=x米，则BE=EC•tan∠BEC=0.84x米， Rt△AED中，∠D=30°，AE=米，则DE=AE÷tan∠D=3x米， ∵CD=DE-CE=3x-x=80米， ∴x=40米， ∴AB=AE+BE=米， ∴桥墩的高度为103米； 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握正切三角函数的相关概念是解题关键． 23. 如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，可得，即，根据同弧所对的圆周角相等，以及已知条件可得，等量代换后即可得，进而得证； （2）连接，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，由垂径定理可得，进而可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， 平分， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 是的直径， ，， 即， ∵， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键． 24. “五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m． （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）； （2）下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：，，，） 【答案】（1）遮阳宽度约为 （2）点下降的高度约为 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦可得的长，由此即可得； （2）设点下降到点，过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再分别解直角三角形可得的长，然后根据线段和差即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：是轴对称图形， ， ，， ， ， 答：遮阳宽度约为． 【小问2详解】 解：如图，设点下降到点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， ，即， 当时，， 当时，， 则， 答：点下降的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、轴对称图形、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 25. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系∶如图1．sinα= ，cosα= ，tanα= ；一般地，当a、β为任意角时，sin（a+β）与sin（a-β）的值可以用下面的公式求得∶sin(a+β)=sin acos β+cos asinβ ；sin(a—β)=sin acos β-cos asinβ ．例如∶sin 15°=sin（45°-30）=sin 45°cos 30°-cos 45"sin 30°= 任务∶ （1）计算∶sin 75°=_____ （2）如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=2一2，求 AB和BC的长． 【答案】（1）；（2）AB= ，BC= 【解析】 【分析】（1）根据题目中给的公式计算即可； （2）过点A作AD⊥BC，根据题目中的三角函数值即可求得AB和BC的长． 【详解】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°） ＝sin30°cos45°+cos30°sin45° ＝ ＝， 故答案为：． （2）解：过点A作AD⊥BC于D，在BC上找一点E，使BE=AE， ∵∠C＝45°，AC=2一2， ∴∠DAC＝45°， ∴AD＝CD， ，即， ∴AD＝， ∵∠B＝15°，，即， ∴AB＝， ∵BE=AE， ∴∠B＝∠EAB＝15°， ∴∠AED＝30°， ∴AE＝2AD＝， ，即， ∴ED＝， CB＝． 【点睛】本题考查了解直角三角形和三角函数公式，解题关键是理解题目中的三角函数公式并运用它求值，恰当构建直角三角形求边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榕江县朗洞中学2023-2024学年度九年级下学期2月质量监测 数学 试卷 （时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 在下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ） A. 150° B. 120° C. 90° D. 60° 4. 在中，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝2，则AC的长是(　 ) A. B. 2 C. 3 D. 9. 如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（　　） A. 3米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 11. 如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形(阴影)区域的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 在中，，则________． 14. 在中，若与互为相反数，则_______. 15. 如图所示，已知的外接圆的半径为3，，则______． 16. 如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝_________海里（计算结果不取近似值）． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文h字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. （1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=8，求AB和AC的长； （2）在△ABC中，∠C=90°，a=，b=3，解这个直角三角形． 19. 如图所示，把一张矩形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求矩形卡片的周长（精确到，参考数据：，）． 20. 如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行，为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以的速度沿着河岸向东步行后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：） 21. 如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． （1）求的长； （2）求的正切值． 22. 为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为和桥墩底部B处的俯角为，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为，测得C、D两点之间的距离为，直线、在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩的高度．（结果保留整数，参考数据：） 23. 如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 24. “五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m． （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）； （2）下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：，，，） 25. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系∶如图1．sinα= ，cosα= ，tanα= ；一般地，当a、β为任意角时，sin（a+β）与sin（a-β）的值可以用下面的公式求得∶sin(a+β)=sin acos β+cos asinβ ；sin(a—β)=sin acos β-cos asinβ ．例如∶sin 15°=sin（45°-30）=sin 45°cos 30°-cos 45"sin 30°= 任务∶ （1）计算∶sin 75°=_____ （2）如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=2一2，求 AB和BC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $