精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

2024—2025学年度第一学期高三第一次月考试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式集合，再由交集定义运算． 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键． 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断. 【详解】，则，有. 故选：A 3. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案. 【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数， 则，解得：，当时，，， 则，所以函数为奇函数，即充分性成立； “函数为奇函数”， 则，即， 解得：，故必要性不成立， 故选：A． 4. 已知，则等于（ ） A. 1 B. － C. D. － 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角诱导公式以及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为， 所以， 又因为， 故选:D. 5. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得是以为顶角的等腰三角形，列出关于的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果. 【详解】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形， 则有：，，， 所以，又因为，即，， 可得：，解得，故离心率为． 故选：B． 6. 将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ） A. 2720 B. 3160 C. 3000 D. 2940 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知：共有两种分配方式，一种是，一种是，结合分堆法运算求解. 【详解】共有两种分配方式，一种是，一种是， 故不同的安排方法有. 故选：D. 7. 已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系且，，，进而确定的轨迹圆，再利用向量数量积的坐标表示并结合所得表达式的几何意义求范围即可. 【详解】如下图构建平面直角坐标系，且，，， 所以在以为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为， 而，故， 综上，只需求出定点与圆上点距离平方的范围即可， 而圆心与的距离，故定点与圆上点的距离范围为， 所以. 故选：B 8. 已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性以及函数恒成立问题，令，则由对任意都有可得在上单调递增，然后利用参变量分离的方法求出的范围即可． 【详解】由条件对任意都有，化为， 构造，则在上单调递增， 在上恒成立， ，即在上恒成立， 令， ，， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，故B，C，D错误. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】运用基本不等式，应注重条件的满足“一正”，如A，B项排除；同时应关注等号成立条件是否满足，如D项；有时还要进行拼凑项，如C项. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选:CD. 10. 已知前项和为的正项等比数列中，，，，则（    ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等比数列的性质和通项公式，逐项计算后可判断选项A、B、C；对于选项D，由，令，利用 研究数列的增减性即可得出. 【详解】设等比数列的公比为q，由，有， 联立方程解得或（舍去）， 有，可得． 对于A选项，由，， 有，故A选项错误； 对于B选项，，故B选项正确； 对于C选项，由，有，故C选项正确； 对于D选项，由， 令，有， 当时, 即， 而， 故数列中的最大项为或，故D选项错误， 故选：BC． 11. 四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（ ） A. 不存在点，使得 B. 的最小值为 C. 四棱锥的外接球表面积为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理可判断A选项，根据平面知识两点间距离最短，把几何图形展开成平面图形可判断B选项，易知四棱锥的外接球的直径为可判断C选项，把点线距转化为线线距，由线面平行的判定定理，把线线距转化为点面距可判断D选项. 【详解】对于A：连接，且，如图所示，当在中点时， 因为点为的中点，所以，因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为为正方形，所以. 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以A错误； 对于B：将和所在的平面沿着展开在一个平面上，如图所示， 则的最小值为，直角斜边上高为，即， 直角斜边上高也为，所以的最小值为，所以B正确； 对于C：易知四棱锥的外接球直径为， 半径，表面积，所以C正确； 对于D：点到直线的距离的最小值即为异面直线与的距离， 因为，且平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，过点作， 因为平面，所以,又,且, 故平面，平面，所以，因为， 且，平面，所以平面，所以点到平面的距离， 即为的长，如图所示， 在中，，，可得， 所以由等面积得，即直线到平面的距离等于，所以D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的模和向量的数量积的定义，求向量夹角的余弦值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则向量，夹角的余弦值为 故答案为：. 13. 设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，根据题中条件求出的值，结合函数的周期性可求得的值. 【详解】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数， 则，， 所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称， 所以，，， 所以，，则， 所以，函数是周期为的周期函数， 当时，，则，，， ，，， ，， 所以，， 又因为，所以，. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 14. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或．画出函数图象，数形结合得答案． 【详解】设，则， 由，解得， 当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数． 当时，函数取得极大值也是最大值为（）． 方程化为． 解得或． 如图画出函数图象：可得的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、，分别是内角，，的对边，，． （1）求； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） ；（2）2. 【解析】 【分析】 （1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合余弦定理可求； （2）由已知结合三角形的面积公式即可直接求解． 【详解】（1）由及正弦定理可得，， 所以， 即， 所以， 所以， 因为， 所以， 由余弦定理可得，， （2）由（1）知， 因为的面积为，所以，解可得， 则 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题． 16. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面ABCD，，，，E为棱CP上一点. （1）证明：平面平面ADP； （2）若，求平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1） 由题意可知， 因为底面ABCD，平面ABCD，所以， 又，所以平面ADP， 又平面ABE，所以平面平面ADP. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直证明面面垂直； （2）建立坐标系，利用空间向量即可求二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知为等边三角形，且. 连接AC，作于F，连接BF， 则有，且平面ABCD， 因为，所以， 所以，故E为CP的中点. 以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. 设平面ABE的一个法向量， ，， 则，即，可取. 设平面CDP的一个法向量，，， 则，即，可取. 则， 即所求角的正弦值为. 故平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值为. 17. 已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）满足条件的k不存在，理由为： 记，．将代入得， ， 则，解得或， 设PQ的中点为M，则，． 由，得， ∴， ∴，得或， 由于或， 故，均使方程没有两相异实根， ∴满足条件的k不存在． 【解析】 【分析】（1）根据斜率定义得到，求出过点，的直线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，进而得到，得到椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，设PQ的中点为M，由得到，由斜率关系得到方程，求出或，经过检验，均不合要求. 【小问1详解】 因为过点，的直线倾斜角为， 所以，即， 过点，的直线方程为， 故原点到该直线的距离为，解得， 故，所以椭圆的方程是． 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程. （2）讨论函数的单调性； （3）设函数．证明：存在实数，使得曲线 关于直线对称. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 证明：函数， 函数的定义域为． 若存在，使得曲线关于直线对称， 则关于直线对称，所以 由 ． 可知曲线关于直线对称． 【解析】 【分析】（1）求出切点，求导，由导数的几何意义得到切线斜率，进而得到切线方程； （2）求定义域，求导，分，两种情况，得到函数的单调性； （3）求的定义域，根据对称得到，再得到，从而得到关于直线对称. 【小问1详解】 切点为. 因为，所以切线的斜率为， 所以曲线在处的切线方程为， 化简得； 【小问2详解】 由题意可知，则的定义域为， ，， 当时，，则在上单调递减； 当时，令，即，解得， 若，； 若，， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 略 【点睛】知识点点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称. 19. 若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项． （2）已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和． 【答案】（1），，，，，，， （2）当时取得最大值，且 （3） 这样的对称数列有： ①，，，，，，，，，，； ②，，，，，，，，，，； 对于①，； 对于②以； 【解析】 【分析】（1）设前项的公差为，由求出公差，从而得到，，再根据对称性得到其余项； （2）首先利用等差数列求和公式求出，则，再由二次函数的性质计算可得； （3）依题意列出满足该条件的对称数列，再分、两种情况利用等比数列求和公式及分组求和法计算可得. 【小问1详解】 因为，，，成等差数列，，，设前项的公差为， 所以，所以，， 又数列是项数为的对称数列， 所以，，，， 所以的项依次为，，，，，，，. 【小问2详解】 因为构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 又，，，， 所以， 所以当时取得最大值，且. 【小问3详解】 因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为， 所以这样的对称数列有： ①，，，，，，，，，，； ②，，，，，，，，，，； 因为， 对于①，当时； 当时 ， 所以； 对于②，当时； 当时 ， 所以； 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第三问关键是得到数列的两种形式，再分、两种情况分别求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高三第一次月考试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 4. 已知，则等于（ ） A. 1 B. － C. D. － 5. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ） A. 2720 B. 3160 C. 3000 D. 2940 7. 已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知前项和为的正项等比数列中，，，，则（    ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 11. 四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（ ） A. 不存在点，使得 B. 的最小值为 C. 四棱锥的外接球表面积为 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______． 13. 设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则______. 14. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、，分别是内角，，的对边，，． （1）求； （2）若的面积为，求． 16. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面ABCD，，，，E为棱CP上一点. （1）证明：平面平面ADP； （2）若，求平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值. 17. 已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程. （2）讨论函数的单调性； （3）设函数．证明：存在实数，使得曲线 关于直线对称. 19. 若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项． （2）已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $