精品解析：重庆市第一中学校2025届高三上学期开学考试数学试卷

高2025届高三上期开学考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题专上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》此名言中的“善其事”是“利其器”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ） A. B. C. D. 8. 若存在实数，使得关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若正实数满足，则下列说法正确是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. C. 若，，，则 D. 函数有唯一零点 11. 定义在上的可导函数满足，若，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在处取得极大值 B. C 过原点可以作2条直线与曲线相切 D. 若在上恒成立，则实数的取值范围是 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______． 13. 已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______． 14. 已知函数，，用表示中较小者，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知定义在上的奇函数． （1）求实数的值： （2）若在上的值域为，求实数的值． 16. 甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得4分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜概率都是． （1）求比赛结束时恰好打了5局的概率： （2）若甲以比分领先时，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及期望． 17. 已知函数在时取得极值，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值． 18. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求抛物线的方程； （2）已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值； （3）若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围． 19. 如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，，以及轴围成的曲边梯形”的面积（其中． （1）若，且，求； （2）当时，证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2025届高三上期开学考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题专上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别解对数,指数不等式，求出，再求并集即可. 【详解】由于,即，即， 解得.则. 由于，即，则，则. 则. 故选：C. 2. 若幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数定义和单调性求参数即可. 【详解】根据幂函数定义和单调性,知道，解得，则. 故选：D 3. 子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》此名言中的“善其事”是“利其器”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意得到答案. 【详解】从逻辑上讲，工匠把活作好了，必然有锐利的工具，但有了锐利的工具，不一定能把活做好， “善其事”是“利其器”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求出切点和切线的斜率即得解. 【详解】因为， 所以， 联立可解得， 所以，. 故选：C 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由定义域排除D，由函数在时函数值正负排除B，由函数的奇偶性排除C，即得正确选项． 【详解】有，而由函数的部分图象得出定义域内有0，不合题意排除D选项； 函数的部分图象关于y轴对称是偶函数，而,不合题意排除B选项； 当时，， ， 由图可知有正有负，不合题意 排除C选项； 故选：A. 6. 已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，则原问题转化为在R上恒成立，分离参数得恒成立，构造函数，结合其奇偶性以及利用导数求其最值，即可求得答案. 【详解】由于，故， 函数是定义在上的增函数， 故在R上恒成立，即恒成立， 令，为偶函数， 故考虑时的情况，，令， 即在上单调递增，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 故，故， 实数的取值范围是， 故选：B 7. 已知函数定义域为，且的图象关于直线对称，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用已知条件得到关于对称，也关于对称，进而得到周期4.再用赋值法，得到.进而得到. 【详解】的图象关于直线对称，则. 即，令，则， 则也关于对称. 是奇函数，则，， 令，则，则也关于对称.且令，得. 由前面知道，且令，则. 且，令，则， 故周期为4.则.，，都不确定是否为0． 故选：B. 8. 若存在实数，使得关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意把不等式变形后将问题转化为的最小值大于的最大值，再利用导数讨论单调性即可求出结果； 【详解】因为，所以不等式可变形为， 令， 由题意可得函数和函数的图象， 一个在直线的上方，一个在直线的下方， 等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值. 由求导可得，令， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 由求导可得， 令，可得或， 当时，时，，单调递增； 时，，单调递减； 所以有最大值，无最小值，不符合题意， 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增； 此时， 所以，即，即， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够由已知对不等式两边同时除以后变形，再设出，然后把问题等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，求导分析即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：ABC． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. C. 若，，，则 D. 函数有唯一零点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于，求出导函数，由导函数的正负即可判断单调性；对于B，证明，再赋值，结合对数性质即可计算；对于C，变形，由，的范围即可证. 对于D，由的单调性大概得到函数图像趋势，结合零点存在性定理可判断. 【详解】的定义域为，在定义域上恒成立，所以的单调递增区间为和，故正确； 当趋近于0时，趋于，当趋近于1，且在1的左侧时，趋于. 当趋近于1，且在1的右侧时，趋于,当趋近于， 趋于. 故在和都有1个零点，共2个零点，故D错误. ，所以， 又，所以，故B错误； ， 因，所以，又，所以，即，故C正确. 故选：AC. 11. 定义在上的可导函数满足，若，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在处取得极大值 B. C. 过原点可以作2条直线与曲线相切 D. 若在上恒成立，则实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据导数的求导法则可得，即可利用导数求解A，根据对数的运算性质，结合基本不等式可判断B，求切点处的切线方程，代入原点坐标，即可求解C，分离参数，构造函数，求导，结合零点存在性定理可得函数的最小值，根据指对数的性质可得，即可代入求解D. 【详解】由可得， 又，故，其中为常数， 由于，故，所以， 因此，故， 当时，单调递减，当时，单调递增，故在处取得极大值，A正确， 由于，结合，故， 由于函数在时，单调递增，故，B错误， 对于C，设切点，则切线方程为， 将代入可得，解得，故过原点可以作1条直线与曲线相切，C错误， 对于D，由可得， 记，则， 由于均为上的单调递增函数，且恒为正，为上的单调递增函数， 故在为递增函数，，故存在唯一的，使得，即， 当单调递减，当单调递增，故 由得，令则， 故，因此，则，故，D正确， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：①根据得，②对于有唯一的实数根，令由，根据唯一性可得是求解D的关键. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由可得， 故， 故答案为：1 13. 已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设小万从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，利用全概率公式进行求解即可. 【详解】设小万从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B， 选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D， 则，，， 由全概率公式得 . 故答案为：. 14. 已知函数，，用表示中较小者，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的零点，可知必须有两个零点，且其零点与函数的零点不相等，由条件列不等式求的取值范围. 【详解】， 因为函数有一个零点，函数至多有两个零点， 又有三个零点， 所以必须有两个零点，且其零点与函数的零点不相等， 且函数与函数的零点均为函数的零点， 由可得，，所以， 所以为函数的零点， 即， 所以， 令，可得， 由已知有两个根， 设，则有两个正根， 所以，， 所以，故， 当时，有两个根， 设其根为，，则， 设，则，， 所以， 令，则， 则，， 且，， 所以当时，， 所以当时，为函数的零点，又也为函数的零点， 且与互不相等， 所以当时，函数有三个零点. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知定义在上的奇函数． （1）求实数的值： （2）若在上的值域为，求实数的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，，求出的值； （2）根据函数的单调性解不等式，结合函数定义域得到. 【小问1详解】 由题意，，故， ，由为奇函数得 ， 故，解得或(舍)， 故； 小问2详解】 ，故， 又，解得， 故. 16. 甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得4分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是． （1）求比赛结束时恰好打了5局的概率： （2）若甲以的比分领先时，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分两种情况甲胜或乙胜，如果第5局甲胜则前4局甲胜3局，若第5局乙胜则前4局乙胜3局，即可求出概率； （2）根据题意，分析接下去的对局数量，从而得到的可能取值，再利用独立事件的概率乘法公式求得各取值的概率，由此求得的分布列和数学期望． 【小问1详解】 第一种情况：比赛结束时恰好打了5局且甲获胜， 则概率为； 第二种情况：比赛结束时恰好打了5局且乙获胜， 则概率为； 所以比赛结束时恰好打了5局的概率为． 【小问2详解】 甲队以的比分领先，甲队目前的战绩两胜一负， 接下去的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛， 局数最多的情况是接下来的前三局甲队一胜两负，必须进行第四局才能结束比赛， 的可能取值为2，3，4， 又， ， ， 随机变量的分布列为： 2 3 4 ，即的数学期望为． 17. 已知函数在时取得极值，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合题意列出方程，即可求得答案； （2）将原问题转化为恒成立，令，，利用导数求解函数最值，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知的定义域为，， 由于函数在时取得极值，且满足， 故，且， 解得，则， 经验证函数在时取得极小值，适合题意 故； 【小问2详解】 由题意存在实数，使得成立， 即恒成立； 令，，则， 令，则在上恒成立， 故在单调递增， 又， 故存在唯一的使得，即， 则当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得，故整数最小值为5. 18. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求抛物线的方程； （2）已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值； （3）若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用题意求出焦点坐标求解就可以了； （2）找到距离之间关系，利用几何法求解即可； （3）利用内心的性质找到面积之间的关系，然后表示出面积，再利用函数关系求其范围即可. 【小问1详解】 由题可知，椭圆右焦点坐标为，抛物线焦点坐标为 所以, 所以抛物线方程为, 【小问2详解】 由题可知，为抛物线准线，所以点到的距离等于点到焦点的距离； 联立， 显然无实数根，故直线与抛物线相离，记点到的距离为, 所以的最小值为焦点到直线的距离为. 【小问3详解】 设点，已知点 所以的面积, 设的内切圆半径为, 则有, 所以, 所以, 因为点是抛物线上一点（不同于坐标原点）, 所以，, 所以, 经整理得：, 构造函数, 得, 显然单调增, 令，解得, 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递増； 所以, 所以. 【点睛】对于距离问题先用几何法找到其中关系；对于内心相关的面积问题，可以利用等面积法，得到不同部分面积之间的关系求解即可，当处理的式子比较复杂的时候，可以构造函数求解. 19. 如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，，以及轴围成的曲边梯形”的面积（其中． （1）若，且，求； （2）当时，证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义得到.（2）先由新定义的运算得到，再构造函数，利用导数分析单调性，证明结论.（3）先证明时，再利用结论，得，累加法可得答案. 【小问1详解】 因为，所以设， 又，代入上式可得，解得， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 设，，则恒成立， 所以在上单调递增，，所以. 【小问3详解】 令，当，， 在上单调递减，，时恒成立； 知当时，当且仅当时取等. ，， ，，， ， 累加得， 即， 得证. 【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与新定义的运算互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，利用导数分析其单调性；3、构造函数，求导证明，进而得到，利用累加法得出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$