精品解析：河北定州中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2025届高三年级开学调研检测（一） 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求集合，再根据交集的定义，即可求解. 【详解】由题意集合，， 所以. 故选：B. 2. 已知复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性求复数，再根据复数的除法运算公式，即可化简求解. 【详解】由题意得在复平面内所对应的点为，则所对应的点为，所以， 则，虚部为. 故选：A. 3. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】， 法一：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 法二：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 4. 函数图象上的点到直线距离的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，利用导数的几何意义求得切点，再求出切点到直线的距离，即得答案. 【详解】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为， 设切点为， 又因为，所以，解得， 所以切点， 又因为点到直线的距离为， 所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是. 故选：A. 5. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：以基底，表示，代入向量夹角公式计算即可； 法二：分别以所在的直线为轴，通过向量的坐标运算计算即可； 法三：由，将直线和夹角即为直线和所成角或其补角，通过余弦定理即可求解. 【详解】化为空间向量问题，以作为基底，则 ， 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于.进行向量运算 因为四面体为正四面体，所以且夹角均为， 所以 . 故选：C. 【法二】分别以所在的直线为轴 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2， 得 得. 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于. 进行向量运算得.. 故选：C 【法三】连接，易得， 则直线和夹角即为直线和所成角或其补角， 设正方体的棱长为2， 则中，， 由余弦定理得，. 故选：C 6. 设抛物线的焦点为，准线为，点上一点到的距离等于，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，求点的坐标，即可求三角形的面积. 【详解】如图：由题意得，到的距离为，， 即点在线段的垂直平分线上， 所以点的横坐标为2，不妨设点在轴上方，代入得，， 所以面积为. 故选：B 7. 平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算出，由整理得，由向量的数量积公式得到，即可得到最小值. 【详解】因为，，， ， 得，即， 即， 所以，即. 设与的夹角为，则，， ∴当时，最小值为. 故选：B. 8. 某楼梯有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级，，第11级），甲一步能上1级或2级台阶，最多可以一步上3级，且每一步上几级台阶都是随机的，则甲上这个楼梯没踩过第6级台阶的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一：首先设甲上到第级台阶共有种上法，列举前3项，再得到关于数列的递推关系式，从而得到数列的项，再求解甲踩过第6级台阶的方法，最后利用对立事件概率公式，即可求解； 法二：列举所有的走法，再利用古典概型概率公式，以及对立事件概率公式，即可求解. 【详解】法—：记甲上到第级台阶共有种上法，则， 上到第3级的方法为，每一步一级，或第一步一级第二步两级，或第一步两级第二步一级，或一步走三级，共四种上法，所以. 当时，学生甲上到第级台阶，可以从第级或第级或第级上去， 所以， 于是， 其中甲踩过第6级台阶的上台阶方法数，可分两步计算， 第一步，从第1级到第6级，共有种方法； 第二步，从第7级到第11级，相当于从第1级到第5级的方法数，共有种方法； 所以甲踩过第6级台阶的上台阶方法数有， 则甲没踩过第6级台阶的概率是. 故选：D. 法二： 11级楼梯，甲一步能上1级或2级台阶，最多可以一步上3级， 三步三级：走法为走法为. 两步三级：走法为， 走法为， 走法为； 一步三级：走法为， 走法为， 走法为， 走法为， 走法为； 零步三级：走法为， 走法为， 走法为， 走法为， 走法为， 走法为； 综上，上11级台阶共有. 同理，可得从第1级到第6级，共有24种方法；从第7级到第11级共有13种方法， 则甲没踩过第6级台阶的概率是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化为对立事件求概率，方法一的关键是找到数列的递推关系，或是列举，方法二的关键是不重不漏的列举所有的方法种数. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数定义域中任意的，有如下结论，①，②，③，④.下列函数能同时满足以上两个结论的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先对四个结论进行解读，得出函数的单调性，奇偶性，周期性和凹凸性，对选项一一判断，即得结果. 【详解】由①可得，函数在定义域内为增函数； 由②可得，，即函数为奇函数； 由③可得，函数的图象向下凸.； 由④可得，， 即，说明函数的周期为4. 对于A，函数不是奇函数，图象向上凸，也没有周期，故排除； 对于B, 函数是奇函数，且周期为,故符合要求； 对于C，函数在上单调递增，且其图象向下凸，故符合要求； 对于D，是奇函数，且在上单调递增，故符合要求. 故选：BCD. 10. 某机构抽样调查一批零件的尺寸和质量，得到样本数据，并计算得该批零件尺寸和质量的平均值分别为3和60，方差分别为4和400，且.则（ ）（参考公式：相关系数.回归直线的方程是：，其中） A. 样本数据的相关系数为 B. 样本数据关于的经验回归方程为 C. 样本数据所得回归直线的残差平方和为0 D. 若数据均满足正态分布，则估计 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件中的数据，以及公式，或公式的变形，即可求得相关系数，以及和，即可判断AB，根据残差平方和的定义，即可判断C，根据正态分布的对称性，以及原则，即可判断D. 【详解】A. ， ，故A正确； B. 由A可知，， ，所以，故B正确； C.残差平方和表示随机误差的效应，一组数据的残差平方和越小，其拟合程度越好，不一定等于0，故C错误； D.由题意可知，，，， ，利用对称性可知，，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数在上有最大值，无最小值，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 是离轴距离最近的对称轴 D. 的最小正周期为 【答案】CD 【解析】 【分析】首先化简函数的解析式，根据函数的形状，确定端点的取值范围，即可求的值，再根据函数的性质，判断选项. 【详解】. 当时，， 因为函数在上有最大值，无最小值， 所以存在，使得 整理得，，所以，解得. 又因为，故，得， A.，所以函数不是奇函数，故A错误； B.当时，，所以函数在上单调递减，故B错误； C.令，，则，，所以离轴距离最近的对称轴方程为，故C正确； D.的最小正周期为，故D正确. 故选：CD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，则，由勾股定理并整理得出含的齐次方程，求出离心率即可. 【详解】因为，则， 所以为直角三角形，又， 得，. 故答案为： 13. 若，则__________. 【答案】121 【解析】 【分析】把和代入展开式，两式相减可求. 【详解】 令，则， 令，则， 故. 故答案为：121 14. 如图，已知球内切于圆台（即球与该圆台的上､下底面以及侧面均相切），且圆台的上､下底面半径，则球与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出该几何体的轴截面，利用平面几何知识，分别计算出切痕所在平面圆的半径和上下两个圆台的高和，即可代入圆台体积公式计算即得. 【详解】 如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上､下底分别切于点， 圆台上､下底面的半径为.则. ，于是，在直角梯形中，易得 ，则， 设与交于点，则， ， . 故圆台体积为， 圆台体积为， 故切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角.所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若的内切圆半径为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用正弦定理，将边化为角，再结合三角函数恒等变换，即可化简求角； 法二：利用余弦定理，将余弦化为边，再根据余弦定理，即可求角； （2）首先根据余弦定理化简得到，再结合内切圆半径，集合等面积公式，得到，两式化简得到，即可求面积. 【小问1详解】 法—：因为，由正弦定理得， ， ， 即， 又，所以， 所以，又，即. 法二：因为，由余弦定理得 所以，又，即. 【小问2详解】 由余弦定理得，即① 设的内切圆半径为，由等面积公式得. 即. 整理得，即② 联立①②，解得， 所以的面积为. 16. 如图所示，在四面体中，平面是的中点，是的中点,点在线段上，且. （1）求证：平面. （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）法一，通过取中点，取的四等分点，使，证明，得到，可证平面；法二，连接并延长交于,过点作交于点,由证明，再由推出即可证得； （2）根据相关数据证明，利用条件建系，写出相关点坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 方法一：如图，取中点，因是中点， 且， 取的四等分点，使， 又，则，且 ， 四边形为平行四边形， ,又平面，且平面， 平面. 方法二： 如图，连接并延长交于，连接， 在中，过点作交于点, 因为是的中点，则， 又是的中点，则，得 在中，因，故， 又平面平面， 平面. 【小问2详解】 由，知. 以为坐标原点，过点与平行的直线为轴， 分别以所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系. 又，得， 则. 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，即； 设平面BCM的一个法向量为， 则，即，取，得 因为， 设二面角的平面角为，则, 所以二面角的正弦值为. 17. 已知双曲线的实轴长为4，离心率. （1）求的方程； （2）过上任意一点作圆的切线，求切线斜率最大时，与的渐近线围成的三角形面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可求解； （2）根据题意，联立直线与双曲线方程，即可得到的取值范围，当切线斜率最大时可得此时的值，再由弦长公式，结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，又， 所以，则双曲线的方程为. 【小问2详解】 设切线的方程为，则原点到的距离为1， 得，即. 由，得. 因为切线过上一点， 所以，方程有解. 得，化简得， 又，解得， 所以切线斜率最大为，此时直线为. 不妨取切线方程为， 设与的渐近线交于， 则的渐近线方程与联立得，， 则，得， 又原点到直线的距离为1，所以面积为， 即切线斜率最大时与的渐近线围成的三角形面积为. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程； （2）函数求导分解因式后，对参数分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性； （3）根据（2）的结论，对参数分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，即得函数的零点情况. 【小问1详解】 当时，函数， 又，则. 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知，的定义域为， 显然恒成立， ①若，则，此时在上单调递减； ②若，令，解得. 当时，，当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 若，由（2）知，至多有一个零点； 若，由（2）知，当时，取得最小值为. 设，则， 故在上单调递增，又. （i）当时，，故此时没有两个零点； （ii）当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则 故，即，又易知 则，即 因此在上也有一个零点. 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 19. 如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下： 边缘分布律 边缘分布律 1 （1）现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）； （2）若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立. （i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由； （ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例. 【答案】（1）有放回取球下的联合分布律和边缘分布律： 0 1 边缘分布律 0 1 边缘分布律 1 不放回取球下的联合分布律和边缘分布律： 0 1 边缘分布律 0 0.3 0.3 0.6 1 0.3 0.1 0.4 边缘分布律 0.6 0.4 1 （2） （i）由（1）知有放回取球下的联合分布律和边缘分布律中， ， ， 经检验，满足. 所以与相互独立. 在不放回摸球联合分布律中， ，不满足满足，，则与不是相互独立. （ii）任取分布律中的一行为， 另一行为，其中 因为二维离散型随机变量与相互独立，的联合分布律与边缘分布律满足， 所以 因为 所以，则分布律中任意两行对应成比例. 同理可证分布律中任意两列也对应成比例. 【解析】 【分析】（1）由定义计算二维离散型随机变量的联合分布律和边缘分布律，列出表格； （2）（i）由相互独立的定义验证数据即可；（ii）由二维离散型随机变量与相互独立，满足，验证分布律中任意两行（或任意两列）比例相同即可. 【小问1详解】 有放回取球下的联合分布律和边缘分布律： ， ， ， 0 1 边缘分布律 0 1 边缘分布律 1 不放回取球下的联合分布律和边缘分布律： ， ， ， 0 1 边缘分布律 0 0.3 0.3 0.6 1 0.3 0.1 0.4 边缘分布律 0.6 0.4 1 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解决“新定义”问题的方法： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级开学调研检测（一） 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数图象上的点到直线距离的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，准线为，点上一点到的距离等于，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A. 1 B. C. D. 8. 某楼梯有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级，，第11级），甲一步能上1级或2级台阶，最多可以一步上3级，且每一步上几级台阶都是随机的，则甲上这个楼梯没踩过第6级台阶的概率是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数定义域中任意的，有如下结论，①，②，③，④.下列函数能同时满足以上两个结论的有（ ） A. B. C. D. 10. 某机构抽样调查一批零件的尺寸和质量，得到样本数据，并计算得该批零件尺寸和质量的平均值分别为3和60，方差分别为4和400，且.则（ ）（参考公式：相关系数.回归直线的方程是：，其中） A. 样本数据的相关系数为 B. 样本数据关于的经验回归方程为 C. 样本数据所得回归直线的残差平方和为0 D. 若数据均满足正态分布，则估计 11. 已知函数在上有最大值，无最小值，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 是离轴距离最近的对称轴 D. 的最小正周期为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，且，则的离心率为__________. 13. 若，则__________. 14. 如图，已知球内切于圆台（即球与该圆台的上､下底面以及侧面均相切），且圆台的上､下底面半径，则球与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角.所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若的内切圆半径为，求的面积. 16. 如图所示，在四面体中，平面是的中点，是的中点,点在线段上，且. （1）求证：平面. （2）若，求二面角的正弦值. 17. 已知双曲线的实轴长为4，离心率. （1）求的方程； （2）过上任意一点作圆的切线，求切线斜率最大时，与的渐近线围成的三角形面积. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 19. 如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下： 边缘分布律 边缘分布律 1 （1）现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）； （2）若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立. （i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由； （ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $