精品解析：2024学年上海市嘉定区四校联考3月自适应性练习数学试题

2024学年嘉定区四校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5．本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后 一、选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列实数中，比0小的数是（ ） A. B. 0.2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数、负数的大小比较，正数大于一切负数和0，0大于一切负数．正数大于负数和0，0大于负数，也就是负数小于0，据此即可求解． 【详解】解：因为小于0的数是负数， 所以比0小， 故选：A． 2. 已知是方程的解，那么实数m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方程的解．熟练掌握方程的解是解题的关键． 将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， 故选：D． 3. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集． 详解：解不等式x+1≥3，得：x≥2， 解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1， 将两不等式解集表示在数轴上如下： 故选B． 点睛：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了． 4. 一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　） A. 带其中的任意两块去都可以 B. 带1、4或2、3去就可以了 C. 带1、4或3、4去就可以了 D. 带1、2或2、4去就可以了 【答案】C 【解析】 【分析】带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，没有完整边，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形．即可得出答案 【详解】解：带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，所以A、B、D不符合题意，C符合题， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件． 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先判定四边形ADBE是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC=CD ，AD∥BC，BD＝2DO， 又∵BE=CD， ∴AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形，但不一定是菱形，故③错误， ∴AE＝BD， ∴AE＝2DO，故①正确； ∵四边形AEBD是平行四边形，四边形ABCD是菱形， ∴AE∥BD，AC⊥BD， ∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确； ∵四边形AEBD是平行四边形， ∴S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴S△ABO＝S菱形ABCD， ∴S四边形AEBO＝S△ABE＋S△ABO＝S菱形ABCD，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，解题时注意：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 6. 如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于两点，其对称轴为直线，且．直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点坐标，判断出的符号，即可判断A选项；当时，将代入即可得到b与a的关系，即可判断B选项；根据直线与抛物线的图象有两个交点，即可得,求出x值，在根据交点在图中位置，得到，即可判断C选项；先根据交点在右边，得到,即可得到，在通过根于系数关系判得，再根据，即可得到，即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ． ∵抛物线对称轴是直线， 且. ∵抛物线与y轴交于正半轴， ． ， 故A错误； 由图象可知：当时． ． 即． ．即 故B正确； 直线与抛物线的图象有两个交点， , 得． 由图象知， ， ∴C错误； , ． ∵交点在右边， , , ， ， ， , ， ， ， ． ∵直线经过一、二、四象限， ． ， ∴点A的坐标为． 直线当时，， 可得． ， 故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，二次函数的图象与系数的关系以及一次函数的性质是本题的重点． 二、填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 单项式的次数是_____． 【答案】5． 【解析】 【详解】试题分析：单项式的次数是5，故答案为5． 考点：单项式． 8 化简：÷＝_____． 【答案】x﹣1 【解析】 【分析】先利用平方差公式对第一项分子进行分解因式，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解． 【详解】解：原式＝ ＝x﹣1 故答案为：x﹣1． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟记法则和运算顺序是解决此题的关键． 9. 已知x，y满足二元一次方程组，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】观察方程组可发现，组中两个方程的系数差相等，可通过两方程相减直接得出，即可求出结果． 【详解】解： ，得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法、求代数式的值，解题的关键是注意整体思想的应用． 10. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 小明从《艾青诗选》《水汻传》《简爱》《儒林外史》四本书中随机挑选一本，其中拿到《水汻传》这本书的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．直接由概率公式求解即可． 详解】解：小明从《艾青诗选》、《水浒传》、《简爱》、《儒林外史》四本书中随机挑选一本， 拿到《水浒传》这本书的概率为， 故答案为：． 12. 小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，把一个内角多加一次即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个内角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个内角是的余数 即为 故答案为 13. 若抛物线与坐标轴有且只有两个交点，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线与两坐标轴有且只有两个交点知：抛物线与轴有且只有一个非原点的交点或抛物线与轴有两个交点，其中一个交点为原点，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线与两坐标轴有且只有两个交点， ①抛物线与轴有且只有一个非原点的交点， ∴， 解得：； ②抛物线与轴有两个交点，其中一个交点为原点， ∴， 解得：， ∴的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点．解题的关键是把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数：抛物线与轴有两个交点；抛物线与轴有一个交点；抛物线与轴没有交点．也考查了函数图像上点的坐标特征． 14. 如图，在中，线段是边上的中线，点是的中点，设向量，，那么向量____（结果用、表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的知识点，运用三角形法则是解题的关键． 先用的线性组合表示，再表示即可． 【详解】解：∵，线段是边上的中线， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的一边于点O，且经过点B，另一边经过点E，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题、多边形的内角和，根据多边形的内角和公式及五边形为正五边形得，再根据四边形中多边形的内角和得，进而可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：五边形为正五边形， ， ， ， 四边形中，， ， 故答案为：． 16. 如图，将放在直角坐标系内，其中，，点A，的坐标分别为，点关于轴的对称点为，当点恰好落在直线上时，则的值是 ______ ． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出点坐标，再根据点关于轴对称的点的坐标特征求出坐标，最后代入中，可求出的值． 【详解】解：点A，的坐标分别为， ，， 在中，， ， 点坐标为， 则点关于轴对称的点坐标为． 把代入中，得，解得． 故答案：． 【点睛】本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征、关于轴对称的点的坐标特征、勾股定理等知识点，求出点的横坐标是解答本题的关键． 17. 正方形与等边按如图所示方式叠放，顶点重合，点在边上，直线垂直，与直线和折线分别交于、两点，从点出发，运动至点停止，设移动的距离为，，运动过程中与的函数如图所示，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得即可求解． 【详解】解：根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即， 等边 是正方形， ，， ，则， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，从函数图像上获取信息是解题的关键． 18. 如图，在等腰中，，，D是线段上一动点，沿直线将折叠得到，连接．当是以为直角边的直角三角形时，则的长为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等边三角形的判定及性质，分类讨论：①当时，当点在的下方时和当点E在的上方时，作，利用勾股定理可求得，②当时，利用解直角三角形即可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：①当时， 如图1，当点在的下方时，作，交于点H． 由折叠而来，且， ，． 在中，，， ，． 在中， ，， ，则； 如图2，当点E在的上方时，作，交于点H． 同理，可求得，，， ； ②如图3，当时， ，， ． ， 是等边三角形， ． ， ． 在中，，， ， ． 综上所述，的长为或或． 三、解答题（满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 20. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到两个不等式的解集，再取解集的公共部分可得答案． 【详解】解： 由①得： 由②得： 不等式组的解集是：． 【点睛】本题考查的是解不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键． 21. 如图、分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座的长为，底座与支架所成的，且．篮板垂直于篮板底部支架，底部支架长，且平行于地面点、、在同一条直线上，支架段的长为，段的长为． （结果精确到，参考数据：，，，，） （1）求篮板底部支架与支架所成的角的度数． （2）求篮板顶端到地面的距离． 【答案】（1）篮板底部支架与支架所成的角的度数为； （2）篮板顶端到地面的距离约为． 【解析】 【分析】（1）根据题意得：，然后在中，根据锐角三角函数的定义可求出的值，再根据特殊角的三角函数值，即可解答； （2）延长交于点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 由题意得：， 在中，，， ， ， 篮板底部支架与支架所成的角的度数为； 【小问2详解】 延长交于点，过点作，垂足为， 由题意得：，，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， 篮板顶端到地面的距离约为． 22. 2024年3月4日，跳水世界杯蒙特利尔站女子十米台，中国队选手包揽冠亚军，出色的表现，再次向世界展示了中国跳水队的卓越实力．如图，建立平面直角坐标系xOy．如果运动员从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，那么从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 __________ __________ 6.25 ①求抛物线的解析式． ②补全表格． （2）信息一：运动员起跳后达到最高点B，点B到水面的高度为km，从到达最高点B开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息二：已知运动员在到达最高点后，在落水前至少需要的时间才能完成极具难度的跳水动作． ①请通过计算说明，在（1）这次训练中1，运动员能否顺利完成极具难度的跳水动作？ ②运动员进行第二次跳水训练，此时她们竖直高度与水平距离的关系为．若她在到达最高点后要顺利完成极具难度的跳水动作，则n的取值范围是__________． 【答案】（1）①抛物线的解析式为；②11.25，10 （2）①运动员不能顺利完成极具难度的跳水动作；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟知二次函数的相关性质，熟练解析相关抛物线是解题的关键． （1）①设二次函数的关系为设函数解析式为，代入点，，即可得到函数表达式； ②把分别代入，即可求出结果； （2）①由题意，得最高点B的坐标为，可得解析式，再将代入，对比即可解答； ②通过得到最高点，可得的解析式，再通过解不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：①设函数解析式为， 抛物线经过点，， 把点，代入， 得解得 抛物线的解析式为． ②把代入可得，； 把代入可得，； 故答案为：11.25；10． 【小问2详解】 （2）①由题意，得最高点B的坐标为， 她到水面的距离与时间之间满足． 当时，． ， 运动员不能顺利完成极具难度的跳水动作． ②解：， 最高点的坐标为， 运动员第二次跳水到水面的距离与时间之间满足． 当时，； 当时，运动员能够完成此动作， ， 解得， 当，运动员能顺利完成极具难度的跳水动作． 23. 如图，在中，，过点C作于点F，交于点M，且，连接，使，连接． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可推导出； （2）根据平行四边形、平行线的性质先证，再利用证明，推出，进而得出，可知是等腰直角三角形． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是熟练掌握上述性质或定理，逐步推导论证． 24. [问题背景]解方程：； [解决方法]建立函数， （1）求：该函数与坐标轴的交点及其顶点坐标 （2）设，则可以通过将抛物线______得到该函数，由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，所有根的和为______ （3）求解[问题背景] 【答案】（1），，，顶点坐标 （2）x轴下部分沿x轴翻折，4 （3）当时，方程无实数根；当时或时，方程有2个实数根；当，方程有3个实数根，当时，方程有4个实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，根据二次函数的图像和性质求解即可． （1）把二次函数化成顶点式，可求出顶点坐标，令，可求出函数与y轴的交点坐标，令，可求出函数与x轴的交点坐标． （2）画出函数图像可求解． （3）根据函数图像可求解． 【小问1详解】 解：， ∴该函数的顶点坐标为：， 令，则， ∴该函数与y轴的交点坐标为：， 令，则， 即， 解得：，， ∴该函数与x轴的交点坐标为：，． 【小问2详解】 ∵，则可以通过将抛物线 x轴下部分沿x轴翻折得到该函数，如下图： 由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，由二次函数的对称性质以及对称轴可知，4个不同根的和为4． 【小问3详解】 由（2）可知，顶点坐标变成， 令，根据函数与x坐标轴的交点，，以及定点坐标结合函数图像可知： 当时，方程无实数根； 当时或时，方程有2个实数根； 当，方程有3个实数根． 当时，方程有4个实数根． 25. 已知在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC，在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ=30°. （1）如图，当点P在边AB上时，如果BP=3，求线段PC的长； （2）当点P在射线BA上时，设，求y关于的函数解析式及定义域； （3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果与相似，求线段BP的长. 【答案】（1）；（2）（）；（3）或 【解析】 【分析】（1）如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，由勾股定理即可解决问题． （2）如图1中，作PH⊥BC于H，联结PQ，设PC交BD于O．证明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ，推出PQ=CQ=y，推出PC=y，在Rt△PHB中，BH=x，PH=x，根据PC2=PH2+CH2，可得结论． （3）分以下几种情形：①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．③如图④中，点P在AB的延长线上，直线PQ与BC的交点E在线段BC上．分别求解即可. 【详解】解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=4，AD∥BC， ∴∠A+∠ABC=180°， ∵∠A=120°， ∴∠PBH=60°， ∵PB=3，∠PHB=90°， ∴BH=PB•cos60°=，PH=PB•sin60°=， ∴CH=BC-BH=4-=， ∴PC==． （2）如图1中，作PH⊥BC于H，联结PQ，设PC交BD于O． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠CBD=30°， ∵∠PCQ=30°， ∴∠PBO=∠QCO， ∵∠POB=∠QOC， ∴△POB∽△QOC， ∴， ∴， ∵∠POQ=∠BOC， ∴△POQ∽△BOC， ∴∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ， ∴PQ=CQ=y， ∴PC=y， 在Rt△PHB中，BH=x，PH=x， ∵PC2=PH2+CH2， ∴3y2=（x）2+（4-x）2， ∴y=（0≤x＜8）. （3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E． 此时∠CQE=120°， ∵∠PBC=60°， ∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等， 此时△QCE与△BCP不可能相似． ②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E． 则∠CQE=∠ABC=∠QBC+∠QCP=60°=∠CBP， ∵∠PCB＞∠E， ∴只可能∠BCP=∠QCE=75°， 作CF⊥AB于F，则BF=2，CF=2，∠PCF=45°， ∴PF=CF=2， 此时PB=2+2. ③如图4中，若点P在AB的延长线上，直线PQ与BC的交点E在线段BC上， 因为∠EQC=∠PBC=120°， 要使与相似， 只有∠QCE=∠PCE=15°， 此时∠BPC=45°， 过点C作CF⊥AB于F， 可得BF=2，CF=2=PF, 此时PB=PF-BF=2-2. 综上所述，满足条件的PB的值为2+2或2-2． 【点睛】本题考查相似形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年嘉定区四校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5．本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后 一、选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列实数中，比0小数是（ ） A. B. 0.2 C. D. 1 2. 已知是方程解，那么实数m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 把不等式组中每个不等式解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　） A. B. C. D. 4. 一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　） A. 带其中的任意两块去都可以 B. 带1、4或2、3去就可以了 C. 带1、4或3、4去就可以了 D. 带1、2或2、4去就可以了 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于两点，其对称轴为直线，且．直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 单项式的次数是_____． 8. 化简：÷＝_____． 9. 已知x，y满足二元一次方程组，那么值是______． 10. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 11. 小明从《艾青诗选》《水汻传》《简爱》《儒林外史》四本书中随机挑选一本，其中拿到《水汻传》这本书的概率为__________． 12. 小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为________． 13. 若抛物线与坐标轴有且只有两个交点，则的值为__________． 14. 如图，在中，线段是边上的中线，点是的中点，设向量，，那么向量____（结果用、表示）． 15. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的一边于点O，且经过点B，另一边经过点E，则的度数为________． 16. 如图，将放在直角坐标系内，其中，，点A，的坐标分别为，点关于轴的对称点为，当点恰好落在直线上时，则的值是 ______ ． 17. 正方形与等边按如图所示方式叠放，顶点重合，点在边上，直线垂直，与直线和折线分别交于、两点，从点出发，运动至点停止，设移动的距离为，，运动过程中与的函数如图所示，则的长为______． 18. 如图，在等腰中，，，D是线段上一动点，沿直线将折叠得到，连接．当是以为直角边的直角三角形时，则的长为__________． 三、解答题（满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解不等式组： 21. 如图、分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座的长为，底座与支架所成的，且．篮板垂直于篮板底部支架，底部支架长，且平行于地面点、、在同一条直线上，支架段的长为，段的长为． （结果精确到，参考数据：，，，，） （1）求篮板底部支架与支架所成的角的度数． （2）求篮板顶端到地面的距离． 22. 2024年3月4日，跳水世界杯蒙特利尔站女子十米台，中国队选手包揽冠亚军，出色的表现，再次向世界展示了中国跳水队的卓越实力．如图，建立平面直角坐标系xOy．如果运动员从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，那么从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 __________ __________ 6.25 ①求抛物线的解析式． ②补全表格． （2）信息一：运动员起跳后达到最高点B，点B到水面的高度为km，从到达最高点B开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息二：已知运动员在到达最高点后，在落水前至少需要的时间才能完成极具难度的跳水动作． ①请通过计算说明，在（1）这次训练中1，运动员能否顺利完成极具难度的跳水动作？ ②运动员进行第二次跳水训练，此时她们竖直高度与水平距离的关系为．若她在到达最高点后要顺利完成极具难度的跳水动作，则n的取值范围是__________． 23. 如图，在中，，过点C作于点F，交于点M，且，连接，使，连接． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 24. [问题背景]解方程：； [解决方法]建立函数， （1）求：该函数与坐标轴的交点及其顶点坐标 （2）设，则可以通过将抛物线______得到该函数，由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，所有根的和为______ （3）求解[问题背景] 25. 已知在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC，在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ=30°. （1）如图，当点P在边AB上时，如果BP=3，求线段PC的长； （2）当点P在射线BA上时，设，求y关于的函数解析式及定义域； （3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果与相似，求线段BP的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $