精品解析：河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解分式不等式求出集合，再化简集合，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】由，等价于，解得或， 所以或， 又， 所以. 故选：C 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可得到其共轭复数，最后根据复数代数形式的加减运算法则计算可得. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式直接求解即可. 【详解】. 故选：D. 4. 某地区为研究居民用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温，并得到了如下数据： 气温 3 6 9 12 用电量度 24 20 14 10 由表中数据得到的经验回归方程为，若，则的值为（ ） A. 27 B. 29 C. 34 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】求出中心点坐标，代入方程求解． 【详解】由已知，， 所以，解得， 故选：B． 5. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，再根据双曲线的定义求出，从而求出离心率. 【详解】设，因为为等边三角形，则，， 又， 所以双曲线的离心率. 故选：A 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用对数复合函数单调性及定义域求参. 【详解】因为单调递增 令， 又因为为单调增区间，所以是单调递增， 所以,所以, 又因为,所以, 所以. 故选：D. 7. 已知函数在处取得极小值，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】由导数为0求得，然后利用单调性再确定是极小值点即得． 【详解】由已知， 因此，或， 若，则， 时，，递增，时，，递减，是极大值点，不合题意， 若，则， 时，，递减，时，，递增，是极小值点，符合题意，因此 故选：C 8. 有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作和）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具和必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（ ） A. 2400种 B. 3600种 C. 2880种 D. 4220种 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用捆绑法进行排列，再求出分配道具的总情况数，最后根据分步乘法即可得到答案. 【详解】因为女生必须站在一起，且3名女生的站位是固定的， 所以4名男生､3名女生的排列方法为种， 然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：共有种， 则总方法数为. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则（ ） A. 圆柱和圆锥的体积之比为3 B. 圆柱的底面半径和高之比为 C. 圆锥的母线和高之比为2 D. 圆柱和圆锥的表面积之比为 【答案】ABC 【解析】 【分析】设圆柱和圆锥的底面半径为，高为，根据体积公式判断A；求出圆锥的母线，由侧面积相等得到，即可判断B、C；再由表面积公式判断D. 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为，高为，则，， 所以，故A正确； 圆锥的母线，又圆柱和圆锥的侧面积相等，所以， 所以，则，即圆柱的底面半径和高之比为，故B正确； 所以圆锥的母线，则圆锥的母线和高之比为，故C正确； 圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 所以，故D错误. 故选：ABC 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 是的极大值点 【答案】BD 【解析】 【分析】计算可判断A；计算可判断B；由判断C，求出函数的导函数，即可判断D. 【详解】对于A：函数的定义域为， 但是， 所以不是偶函数，则函数图象不关于轴对称，故A错误； 对于B：因为 ， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C：因为， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D：因为，所以， 则，且当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递增，所以在处取得极大值，故D正确. 故选：BD 11. 已知，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数运算法则和基本不等式可知A正确；根据，将BC中的不等式转化为关于的函数的形式，结合对勾函数单调性和基本不等式可确定BC正误；根据对数运算性质可知D正确. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，， ， 在上单调递增，， ，，B错误； 对于C，由B知：，， ， ，， （当且仅当，即时取等号）， ，，即，C正确； 对于D，，， 若，则，即， ，，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】先由向量的坐标运算及相等求参，再根据数量积坐标公式计算即可. 【详解】因为所以, 所以, 所以, . 故答案为：. 13. 已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到点在圆上，再由表示点与点连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出的最值，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 在四棱锥中，底面为菱形，，点到的距离均为2，则四棱锥的体积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先可得为等边三角形，过点作底面的垂线，与底面交于点，作，分别垂直于，，即可证明平面，从而得到，，依题意可得，即可求出，再由锥体的体积计算可得. 【详解】因为且底面为菱形，所以为等边三角形， 过点作底面的垂线，与底面交于点，作，分别垂直于，， 因为，所以，又平面，平面， 所以，，平面，所以平面， 平面，所以，，则， 因为点到的距离均为，所以，则， ， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是证明，，从而得到. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值； （2）若函数无零点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出，再由求出； （2）令可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，依题意与无交点，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 又，则， 又曲线在点处的切线方程为， 所以，解得. 【小问2详解】 令，即， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，且当时， 依题意与无交点，所以， 所以要使函数无零点，则的取值范围为. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 不妨设，则，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， 又，所以，因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以是平面的一个法向量， 又因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 某工厂生产的产品分为一等品､二等品和三等品.已知该工厂生产一等品的概率为，生产二等品的概率为，生产三等品的概率为.一等品在出厂时，通过质量检测的概率为；二等品在出厂时，通过质量检测的概率为；三等品在出厂时，通过质量检测的概率为. （1）已知随机抽取的10件产品中，通过质量检测的有8件，其中有2件二等品和1件三等品.现在从这8件通过检测的产品中随机抽取3件，设其中一等品的数量为，求分布列和期望， （2）求随机抽取的一件产品通过质量检测的概率， （3）若随机抽取的一件产品通过了质量检测，求该产品为一等品的概率 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望； （2）设事件表示产品通过质量检测，表示产品为一等品，表示产品为二等品，表示产品为三等品，利用全概率公式计算可得； （3）利用条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 因为通过质量检测的8件产品中，有2件二等品和1件三等品，则一等品的数量为件， 所以的可能取值为，，，， 则，， ，， 所以的分布列为： 所以； 【小问2详解】 设事件表示产品通过质量检测，表示产品为一等品，表示产品为二等品，表示产品为三等品， 则，，，，，， 所以 ， 即随机抽取的一件产品通过质量检测的概率为； 【小问3详解】 依题意所求概率为. 18. 已知是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，求点到直线的距离的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，从而得到点的坐标为，再根据点是抛物线上任一点，代入方程，整理可得； （2）设，，，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到，同理可得，从而得到直线的方程为，再由点到直线的距离公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 设，因为为的中点，所以点的坐标为， 又点是抛物线上任一点，所以， 整理得，即的方程为； 【小问2详解】 设，，，则，，， 由抛物线的方程为，即，则， 所以的方程为，即， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 则点到直线的距离 ， 当且仅当，即时取等号， 所以点到直线的距离的最小值为. 19. 定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. （1）已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. （2）已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）证明:因为为“线性数列”，所以， 所以，即，解得， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）（i）证明:因为，则， 令，即，解得，所以， 因为， 所以，所以数列为“线性数列”； （ii）证明:因为，则， 所以 ， 因为，，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，则，即可求出、，从而得到，结合等比数列的定义证明即可； （2）（i）首先求出，令，求出、，再计算即可证明； （ii）由（i）可得，利用裂项相消法求出，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题解答关键是理解“线性数列”的定义，第二问的第一小问关键是，从而计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某地区为研究居民用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温，并得到了如下数据： 气温 3 6 9 12 用电量度 24 20 14 10 由表中数据得到的经验回归方程为，若，则的值为（ ） A. 27 B. 29 C. 34 D. 36 5. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处取得极小值，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 8. 有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作和）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具和必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（ ） A. 2400种 B. 3600种 C. 2880种 D. 4220种 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则（ ） A. 圆柱和圆锥的体积之比为3 B. 圆柱的底面半径和高之比为 C. 圆锥的母线和高之比为2 D. 圆柱和圆锥的表面积之比为 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 是的极大值点 11. 已知，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知向量，若，则__________. 13. 已知实数满足，则的最大值为__________. 14. 在四棱锥中，底面为菱形，，点到的距离均为2，则四棱锥的体积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值； （2）若函数无零点，求的取值范围. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 某工厂生产的产品分为一等品､二等品和三等品.已知该工厂生产一等品的概率为，生产二等品的概率为，生产三等品的概率为.一等品在出厂时，通过质量检测的概率为；二等品在出厂时，通过质量检测的概率为；三等品在出厂时，通过质量检测的概率为. （1）已知随机抽取的10件产品中，通过质量检测的有8件，其中有2件二等品和1件三等品.现在从这8件通过检测的产品中随机抽取3件，设其中一等品的数量为，求分布列和期望， （2）求随机抽取的一件产品通过质量检测的概率， （3）若随机抽取的一件产品通过了质量检测，求该产品为一等品的概率 18. 已知是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，求点到直线的距离的最小值. 19. 定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. （1）已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. （2）已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $