精品解析：山东省滨州市滨城区第六中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

滨城区第六中学教育集团2024－2025学年第一学期 开学考九年级数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 5. 如图，分别切与点A，B，切于点C，分别交于点M，N，若，则的周长是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　 　） A. B. C. D. 7. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，下列结论：①；②；③；④；上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ___________． 10. 若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为__________． 11. 为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程天，每天安排场比赛，则应邀请______个球队参赛． 12. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 13. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 14. 温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米． 15. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为______． 16. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为______． 三、解答题（本题共6小题，共72分） 17. 解方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） （3）； （4）． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）若点为轴上一点，则的最小值为____________． 19. 我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 20. 在中，，平分交于点E，D是边上一点，以为直径的经过点E，且交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 21. 戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒． （1）若每盒售价降低x元，则日销量可表示为___________盒，每盒口罩的利润为___________元． （2）若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？ （3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 22. 如图1，已知是的内接三角形，为直径，，D为上一点． （1）当点D为的中点时，连接，求和的大小； （2）如图2，过点D作的切线，与AB的延长线交于点P，且，连接，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨城区第六中学教育集团2024－2025学年第一学期 开学考九年级数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数解析式得出，开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性判断即可得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数， ，开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 3. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项判断 符号，即可求解． 【详解】解：A、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； C、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由二次函数图象，可得 ，，一次函数图象，可得 ，，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到 符号是解题的关键． 4. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 5. 如图，分别切与点A，B，切于点C，分别交于点M，N，若，则的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，然后根据三角形周长的定义进行计算． 【详解】解：∵直线分别与相切于点A、B、C， ∴， ∴的周长． 故选：D． 6. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质证得，再根据圆周角定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 7. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，然后求出与的关系，计算，与的比，正确画出图形得到相应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，则， ， 是边上的高，， ． ． 即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为． 故选：A． 8. 已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，下列结论：①；②；③；④；上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口向下，可得；结合抛物线的对称轴为直线，可得，；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得，可判断①不符合题意；由图象的对称性可得函数与x轴的另一个交点在与之间，可得，可判断②符合题意；③符合题意；由时，y有最大值，可得当时，，可判断④符合题意． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，所以①不符合题意； 由图象的对称性可得函数与x轴的另一个交点在与之间， ∴， ∴， ∴，所以②符合题意； ∴，所以③符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，y有最大值， ∴当时，， ∴，所以④符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，即经整理后，如果方程含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，掌握此概念是关键，千万不要忘记二次项系数不为零．根据一元二次方程的概念，最高项系数为2，二次项系数不为零，由这两点即可确定a的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 10. 若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】扇形的圆心角为，半径为， 则弧长 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长计算，熟记弧长公式是解题的关键． 11. 为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程天，每天安排场比赛，则应邀请______个球队参赛． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应邀请个球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），个球队比赛总场数为，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设应邀请个球队参赛， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 即应邀请个球队参赛， 故答案为：． 12. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 【答案】8 【解析】 【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【详解】解：设每个支干长出x根小分支， 根据题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴每个支干长出8根小分支， 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 13. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【详解】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 14. 温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接， ， 设半径为米，则米， ∵跨度为24米，， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴这个弧形石拱桥设计的半径为米， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，首先配方得出二次函数顶点式，进而利用二次函数平移规律得出答案，正确利用配方法求出二次函数顶点式的形式是解题关键． 【详解】解：， 则将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为：，即． 故答案为：． 16. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置． 由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点、点关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点， 则、， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴， 即点A的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题共6小题，共72分） 17. 解方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是熟练掌握因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程的步骤． （1）首先把二次项系数化为1，再把一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解； （2）首先找出方程中的，，，再利用求根公式代入计算即可； （3）把方程右边化为0，再利用因式分解法把方程左边分解因式，再解即可； （4）利用十字相乘法分解因式，即可解答； 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 其中， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ； 【小问4详解】 解：， ， ． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）若点为轴上一点，则的最小值为____________． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则的最小值即为，由勾股定理可得答案． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求， ． 【小问3详解】 作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接， 则的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上几何变换的性质是解题的关键． 19. 我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 【答案】（1）该公司投递快递总件数的月增长率为； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件． 【解析】 【分析】（1）设该公司投递快递总件数的月增长率为x，利用4月快递总件数=2月快递总件数，即可得出一元二次方程，解方程取正值即可得出结论； （2）已求得每月的增长率，利用5月快递总件数=4月快递总件数，求解出具体数值并与45万件比较得出结论． 【小问1详解】 设该公司投递快递总件数的月增长率为x， 依题意得：， 或 ，（不符合题意，舍去） 即增长率为， 答：该公司投递快递总件数的月增长率为 【小问2详解】 4月份投递快递总件数33.8万件，月增长率为，则5月份投递快递总件数为： ， 因为，即5月份投递快递总件数不能达到45万件， 答：若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用题中的平均增长率问题，如何正确根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 20. 在中，，平分交于点E，D是边上一点，以为直径的经过点E，且交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可证明，即得出，结合题意可证，即得出是的切线； （2）连接，过点O作于点M，易证四边形为矩形，即得出，，．设，则，根据勾股定理可列出关于x的方程，解之，即得出，，结合含30度角的直角三角形的性质可证明为等边三角形，得出，即可求出和的长，再求出，最后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点O作于点M， ∴四边形为矩形， ∴，，． 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积计算等知识，综合性强，较难．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 21. 戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒． （1）若每盒售价降低x元，则日销量可表示为___________盒，每盒口罩的利润为___________元． （2）若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？ （3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 【答案】（1）， （2）60 （3）当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元 【解析】 【分析】（1）利用日销售量降低的价格，每盒口罩的利润=售价-进价，即可求出结论； （2）根据日利润=日销售量×每盒口罩利润解答即可； （3）根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 由题意可知：每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒， ∴降低x元，销售量增加盒， 那么日销售量为盒，每盒口罩利润为元， 故答案为：，； 【小问2详解】 设每盒售价降低x元，根据题意可知： ， 解得：（舍去），， ∴售价应定为元， 答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为60元； 【小问3详解】 设当每盒售价定为x元时，商家获得的利润为W元， 由题意可知：， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，W有最大值，即元， ∴售价应定为元， 答：当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，熟练掌握题干中的等量关系是解答本题的关键． 22. 如图1，已知是的内接三角形，为直径，，D为上一点． （1）当点D为的中点时，连接，求和的大小； （2）如图2，过点D作的切线，与AB的延长线交于点P，且，连接，求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用圆周角定理得到，则利用互余可计算出；再根据圆周角定理由点D为的中点得到，所以； （2）连接，如图，先根据平行线的性质得到，再根据切线的性质得到，则可计算出，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，所以，然后计算的度数． 【小问1详解】 如图1，连接， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵D为的中点， ∴． ∴． ∴ 【小问2详解】 如图2，连接， ∵，， ∴，． 设． ∴． ∵为的切线， ∴． ∴． ∵， ∴． 即， 解得：． ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $