25.3 相似三角形-2024-2025学年九年级上册数学冲冠同步卷(冀教版)

冀教新版九年级上学期《25.3 相似三角形》2024年同步练习卷 一．相似三角形的性质（共60小题） 1．如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A．0＜CP≤1 B．0＜CP≤2 C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜8 2．已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为5、12、13，△DEF的最短边长为25，则△DEF的最长边长为（　　） A．17 B．18 C．25 D．65 3．如图，已知△ABC∽△DEB，BE＝3，CE＝2，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，△ABC∽△DEF，其相似比为k，则一次函数y＝kx﹣2k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是（　　） A．0.5 B．4 C．2 D．1 5．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 6．如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（　　） A．E为AC的中点 B．DE∥BC或∠BDE+∠C＝180° C．∠ADE＝∠C D．DE是中位线或AD•AE＝AC•AB 7．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　） A．4 B．9 C．12 D．13.5 9．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（　　） A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9 10．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．：1 11．如图所示的两个三角形相似，则α与β的度数分别为（　　） A．α＝30°，β＝30° B．α＝105°，β＝30° C．α＝30°，β＝105° D．α＝105°，β＝45° 12．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 13．如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为（　　） A．3 B． C．3或 D．4或 14．△ABC是由△DEF的每条边都扩大到原来的2倍得到的，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 15．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 16．如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（　　） A．35° B．45° C．65° D．80° 17．已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（　　） A．18平方厘米 B．8平方厘米 C．27平方厘米 D．平方厘米 18．如图，在钝角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B止．动点E从点C出发到点A止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　） A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s 19．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则图中阴影部分面积为（　　） A．2 B． C． D． 20．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y，则y与x之间的函数图象是（　　） A． B． C． D． 21．一个三角形的三边分别为3，4，5，另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则这个三角形的边长不可能是（　　） A． B． C．9 D．10 22．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（　　） A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对 23．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝6：5，∠A＝α，∠B＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则一定成立的等式是（　　） A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为　 　． 25．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　 　． 26．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上运动，当点D从点B运动到点C时． （1）当BD＝1时，则CE＝　 　； （2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　 　． 27．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，△DBE∽△FEC，3DE＝CF．若S△ABC＝48，则阴影部分的面积为　 　． 28．如图，AB＝9，AC＝6，点M在AB上，且AM＝3，点N在AC上运动，连接MN，若△AMN与△ABC相似．则AN＝　 　． 29．已知△ABC的三边长之比是3：4：5，与其相似的△DEF的周长为18，则△DEF的面积为 　 　． 30．如图，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＝90°，CD＝2cm，AB＝4cm，点E在AD上滑动，若△DCE∽△ABE，且DE＝3cm，则BE的长为　 　． 31．如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：OD＝1：2，AC＝5，则BD的长为 　 　． 32．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6．若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB． （1）OA＝　 　，OB＝　 　； （2）连接OD，若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO，则此时点E的坐标为 　 　． 33．已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边之比为3：4：5．若△A′B′C′的最长边为20cm，则它的最短边长为　 　cm． 34．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点B向点C运动．当BD＝1时，则CE＝　 　；设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　 　． 35．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比等于　 　． 36．两个相似三角形的一组对应边长分别是9cm和5cm，它们的周长之差为56cm，那么其中较大的三角形的周长为　 　cm． 37．在直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出　 　条． 38．已知一个三角形的三边长分别是6、10、14，与其相似的三角形的最长边是28，则这个相似三角形的周长等于　 　． 39．如图，△ABC∽△DBA，若BD＝2，DC＝5，则AB＝　 　． 40．一根长为a（cm）的铁丝，首尾相接围成一个等边三角形．要将它按如图的方式向外等距扩1（cm）．得到新的等边三角形，则新的等边三角形的周长是　 　cm． 41．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是　 　． 42．如图，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则AD：　 　＝　 　：BC＝　 　：AB． 43．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90° AB＝3，AC＝4，点D是线段BC上一动点，若点D从点B开始向点C运动． （1）当BD＝2时，CE＝　 　； （2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　 　． 44．如图，已知点A（0，4），B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，若△AOP与△PBC相似，则点P的坐标为　 　． 45．已知，△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为，x，y（），△DEF的三边长分别，，，则x+y＝　 　． 46．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长． 47．如图，直线m，n相交于O，在直线m，n上分别取点A，B，使OA＝OB，分别过点A，B作直线n，m的垂线，垂足分别为C，D，直线AC与BD交于E，设∠AOB＝α（0°＜α＜180°，α≠90°）． （1）求证：AC＝BD； （2）小明说，不论α是锐角还是钝角，点O都在∠E的平分线上，你认为他说的有道理吗？并说明理由． （3）连接OE，当△COE与三角板的形状相同时，直接写出α的值． 48．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数． （2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系． 49．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC相似？试说明理由． 50．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB． （1）求∠APB的大小． （2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系． 51．如图，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，且DE＝4，BC＝12，AC＝8，求AD的长． 52．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，DE＝8，BC＝24，AD＝6，∠B＝70°，求AB的长和∠ADE的度数． 53．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5．动点P．Q分别从点B，C同时出发，点P以2cm/s的速度沿BC向点C移动，点Q以1cm/s的速度沿CA向点A移动．经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 54．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB，AC＝2，BE⊥AB于B，点D为射线BE上一点，连接AD，若△ABD与△ABC相似． （1）求AD的长； （2）请直接写出△ABD与△ABC的面积比． 55．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，则∠ACB＝　 　°． （2）如图，在△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 56．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1． （1）若c＝a1，求证：a＝kc； （2）若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明； （3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由． 57．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长． 58．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN． （1）若BM＝BN，求t的值； （2）若△MBN与△ABC相似，求t的值． 59．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线； （2）如图②，在△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 60．如图，已知，△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，AE＝4cm．求EC的长． 冀教新版九年级上学期《25.3 相似三角形》2024年同步练习卷 参考答案与试题解析 一．相似三角形的性质（共60小题） 1．如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A．0＜CP≤1 B．0＜CP≤2 C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜8 【答案】B 【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E，则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA， 此时0＜PC＜8； 如图所示，过P作∠BPF＝∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC， 此时0≤PC＜8； 如图所示，过P作∠CPG＝∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB， 当点G与点A重合时，CA2＝CP×CB，即42＝CP×8， ∴CP＝2， ∴此时，0＜CP≤2； 综上所述，CP长的取值范围是0＜CP≤2． 故选：B． 2．已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为5、12、13，△DEF的最短边长为25，则△DEF的最长边长为（　　） A．17 B．18 C．25 D．65 【答案】D 【解答】解：∵△ABC的最短边是5，最长边是13；△DEF的最短边是25， ∵△ABC∽△DEF， ∴相似比是5， ∴△DEF的最长边是13×5＝65． 故选：D． 3．如图，已知△ABC∽△DEB，BE＝3，CE＝2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵BE＝3，CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝5， ∵△ABC∽△DEB， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图所示，△ABC∽△DEF，其相似比为k，则一次函数y＝kx﹣2k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是（　　） A．0.5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，其相似比为k， ∴k， ∵一次函数y＝kx﹣2k的图象与两坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，﹣2k）， ∴一次函数y＝kx﹣2k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：2×2k＝2k＝1． 故选：D． 5．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【答案】B 【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4， ∴这两个三角形对应边的比为1：4， 故选：B． 6．如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（　　） A．E为AC的中点 B．DE∥BC或∠BDE+∠C＝180° C．∠ADE＝∠C D．DE是中位线或AD•AE＝AC•AB 【答案】B 【解答】解：A、∵△ADE与△ABC相似， ∴∠ADE＝∠B或∠ADE＝∠C， ∴当∠ADE＝∠C时，DE与BC不平行， ∴点E不一定为AC中点，故A错误； B、当△ADE∽△ABC时，∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC， 当△ADE∽△ACB时，∠ADE＝∠C， ∴∠BDE+∠C＝180°，故B正确； C、当△ADE∽△ABC时，∠ADE＝∠B，故C错误； D、当∠ADE＝∠C时，DE与BC不平行， ∴DE不一定是中位线， 当△ADE∽△ACB时，AD•AB＝AE•AC，故D错误； 故选：B． 7．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β， ∴，A错误； ∴，C错误； ∴，D正确； 不能得出，B错误； 故选：D． 8．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　） A．4 B．9 C．12 D．13.5 【答案】B 【解答】解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3． ∴， ∴当AB＝6时，DE＝9． 故选：B． 9．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（　　） A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9 【答案】A 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2， ∴对应高的比为：3：2． 故选：A． 10．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．：1 【答案】B 【解答】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2， ∴它们的面积比是：1：4． 故选：B． 11．如图所示的两个三角形相似，则α与β的度数分别为（　　） A．α＝30°，β＝30° B．α＝105°，β＝30° C．α＝30°，β＝105° D．α＝105°，β＝45° 【答案】B 【解答】解：∵两个三角形相似， ∴α＝105°，β＝30°， 故选：B． 12．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2， ∴，A正确； ∴，B错误； ∴，C错误； ∴OA：OC＝3：2，D错误； 故选：A． 13．如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为（　　） A．3 B． C．3或 D．4或 【答案】C 【解答】解：∵△DCE和△ABC相似，∠ACD＝∠ABC，AC＝6，AB＝4，CD＝2， ∴∠A＝∠DCE， ∴或， 即或 解得，CE＝3或CE 故选：C． 14．△ABC是由△DEF的每条边都扩大到原来的2倍得到的，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 【答案】D 【解答】解：∵△ABC是由△DEF的每条边都扩大到原来的2倍得到的， ∴△ABC与△DEF的相似比是2：1， ∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1． 故选：D． 15．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【答案】B 【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4， ∴它们的周长比是：1：4． 故选：B． 16．如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（　　） A．35° B．45° C．65° D．80° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°， ∴∠D＝180°﹣35°﹣80°＝65°． 故选：C． 17．已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（　　） A．18平方厘米 B．8平方厘米 C．27平方厘米 D．平方厘米 【答案】C 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是2：3， ∴两个相似三角形的面积比是4：9，又较小三角形的面积为12平方厘米， 那么较大三角形的面积为27平方厘米， 故选：C． 18．如图，在钝角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B止．动点E从点C出发到点A止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　） A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s 【答案】A 【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似， 则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t． ①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC． ∴AD：AB＝AE：AC， ∴t：6＝（12﹣2t）：12， ∴t＝3； ②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB． ∴AD：AC＝AE：AB， ∴t：12＝（12﹣2t）：6， ∴t＝4.8． 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A． 19．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则图中阴影部分面积为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N， ∵AC＝AB+BC＝4+6＝10， ∴AC＝CG， ∴∠CAG＝∠CGA， 又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°， ∴∠CGA＝30°， ∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°， ∴AG⊥GD， ∵∠BCF＝∠D＝60°， ∴CF∥DG， ∴△ACM∽△ADG， ∴MN⊥CF，， 即， 解得CM＝5， 所以，MF＝CF﹣CM＝6﹣5＝1， ∵∠F＝60°， ∴MNMF， ∴S△MNFMF•MN1， 即阴影部分面积为． 故选：B． 20．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y，则y与x之间的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：过点O分别作OF⊥AB于F，OE⊥BC于E， ∵∠POQ＝∠EOF＝90°， ∴∠NOF＝∠MOE， ∵∠NFO＝∠MEO＝90°， ∴△NOF∽△MOE， ∴， ∵AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y， ∴NF＝2﹣y，ME＝3﹣x，OF＝3，OE＝2， ∴， ∴yx， ∵0≤y≤4， ∴04， ∴， ∴yx（x）， 故选：C． 21．一个三角形的三边分别为3，4，5，另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则这个三角形的边长不可能是（　　） A． B． C．9 D．10 【答案】C 【解答】解：当边长为8的边长与三角形的三边分别为3，4，5，中边长为3的对应成比例时，则另两条边长分别为：，； 当与边长为4的对应成比例时，其另两条边长分别为：6，10； 当与边长为5的对应成比例是，其另两条边长分别为：，； 则这个三角形的边长不可能是9， 故选：C． 22．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（　　） A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对 【答案】A 【解答】解：∵∠A＝∠A， 分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C）， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∴， ∴DE＝12， ②∠ADE′＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE′∽△ABC， ∴， ∴， ∴DE′＝16， ∵AB＝9， ∴此时点E在AB的延长线上，不符合题意，舍去， 故选：A． 23．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝6：5，∠A＝α，∠B＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则一定成立的等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝6：5， ∴，α＝β，（）2，， 故选：D． 24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为　（，）或（4，3）　． 【答案】（，）或（4，3）． 【解答】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形， ∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上； ①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示： ∵PE⊥BO，CO⊥BO， ∴PE∥CO， ∴△PBE∽△CBO， ∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6）， ∴点P横坐标为4，OC＝6，BO＝8，BE＝4， ∵△PBE∽△CBO， ∴，即， 解得：PE＝3， ∴点P（4，3）； ②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P， 过点P作PE⊥BO于E，如图2所示： ∵CO⊥BO， ∴PE∥CO， ∴△PBE∽△CBO， ∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6）， ∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6， ∴BC10， ∴BP＝2， ∵△PBE∽△CBO， ∴，即：， 解得：PE，BE， ∴OE＝8， ∴点P（，）； 综上所述：点P的坐标为：（，）或（4，3）； 故答案为：（，）或（4，3）． 25．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　3秒或4.8秒　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似， 则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t． ①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC． ∴AD：AB＝AE：AC， ∴t：6＝（12﹣2t）：12， ∴t＝3； ②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB． ∴AD：AC＝AE：AB， ∴t：12＝（12﹣2t）：6， ∴t＝4.8． 故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 26．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上运动，当点D从点B运动到点C时． （1）当BD＝1时，则CE＝　　； （2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　4　． 【答案】（1）； （2）4． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△BAD∽△CAE， ∴， ∵BD＝1． ∴CE， 故答案为：； （2）∵△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵DP＝PE， ∴CPDE， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小， ∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°， ∴BC10， 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD， ∴DEAD＝8， ∴CP的最小值为8＝4， 故答案为：4． 27．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，△DBE∽△FEC，3DE＝CF．若S△ABC＝48，则阴影部分的面积为　18　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△DBE∽△FEC， ∴∠B＝∠FEC，∠C＝∠DEB， ∴DE∥AC，EF∥AD， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴DE＝AF． ∵3DE＝CF， ∴设DE＝x，则CF＝3x，AC＝4x． ∵DE∥AC， ∴△DBE∽△ABC， ∴（）2，即（）2，解得S△DBE＝3． ∵△DBE∽△FEC，3DE＝CF， ∴（）2，即（）2，解得S△FEC＝27， ∴S阴影＝S△ABC﹣S△DBE﹣S△FEC＝48﹣3﹣27＝18． 故答案为：18． 28．如图，AB＝9，AC＝6，点M在AB上，且AM＝3，点N在AC上运动，连接MN，若△AMN与△ABC相似．则AN＝　2或4.5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可知，AB＝9，AC＝6，AM＝3， ①若△AMN∽△ABC， 则， 即， 解得：AN＝2； ②若△AMN∽△ACB， 则， 即， 解得：AN＝4.5； 故AN＝2或4.5． 故答案为：2或4.5． 29．已知△ABC的三边长之比是3：4：5，与其相似的△DEF的周长为18，则△DEF的面积为 　13.5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据勾股定理逆定理，△DEF与△ABC均为直角三角形，设△DEF三边分别为3x，4x，5x则3x+4x+5x＝18，x三边长分别为：，6，，所以S△DEF613.5． 30．如图，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＝90°，CD＝2cm，AB＝4cm，点E在AD上滑动，若△DCE∽△ABE，且DE＝3cm，则BE的长为　2cm　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△DCE∽△ABE，CD＝2cm，AB＝4cm，DE＝3cm， ∴，即，解得AE＝3cm， 在Rt△ABE中，BE2cm． 故答案为：2cm． 31．如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：OD＝1：2，AC＝5，则BD的长为 　10　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△AOC∽△BOD， ∴，即， 解得，BD＝10， 故答案为：10． 32．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6．若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB． （1）OA＝　4　，OB＝　3　； （2）连接OD，若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO，则此时点E的坐标为 　（，0）或（，0）　． 【答案】4；3；（，0）或（，0）． 【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得，x1＝3，x2＝4， ∵OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB， ∴OA＝4，OB＝3， 故答案为：4，3； （2）如图所示，连接OD， 设点E的坐标为（m，0）， 则OE＝|m|， ∵△AOE∽△DAO， ∴，， ∴点E的坐标为或， 故答案为：或． 33．已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边之比为3：4：5．若△A′B′C′的最长边为20cm，则它的最短边长为　12　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设△A′B′C′的最短的边是x， 根据相似三角形的对应边的比相等， 得到x：20＝3：5， 解得：x＝12cm． 它的最短边长为12cm． 34．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点B向点C运动．当BD＝1时，则CE＝　　；设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　4　． 【答案】，4． 【解答】解：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，，℃ ∴△BAD∽△CAE， ∴， ∵BD＝1． ∴CE， ∵△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵DP＝PE， ∴CPDE， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小， ∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°， ∴BC10， 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD， ∴DEAD＝8， ∴CP的最小值为8＝4， 故答案为：，4． 35．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比等于　1：9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是1：3， ∴△ABC与△DEF的面积比等于12：32＝1：9． 故答案为1：9． 36．两个相似三角形的一组对应边长分别是9cm和5cm，它们的周长之差为56cm，那么其中较大的三角形的周长为　126　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵相似三角形的一组对应边长分别为9和5， ∴其相似比为9：5， 相似三角形的相似比等于对应周长的比， 可设较小的三角形的周长为5x，则另一三角形的周长为9x， 9x﹣5x＝56，解得x＝14， 所以较小三角形的周长为9x＝126， 故答案为126． 37．在直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出　4　条． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1）， ∴OA＝3，OB＝4，OC＝1，△AOB是直角三角形，当△AOB∽△DOC时，DC有两种情况， 当△AOB∽△COD时，CD分别在y轴的两侧，有两种情况，因而这样的直线一共可以作出4条． 38．已知一个三角形的三边长分别是6、10、14，与其相似的三角形的最长边是28，则这个相似三角形的周长等于　60　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设所求三角形的周长是x， ∵两个三角形相似， ∴， 解得x＝60． 故答案是60． 39．如图，△ABC∽△DBA，若BD＝2，DC＝5，则AB＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC∽△DBA， ∴， ∵BD＝2，BC＝BD+DC＝2+5＝7， ∴， ∴AB（负值舍去）． 故答案为． 40．一根长为a（cm）的铁丝，首尾相接围成一个等边三角形．要将它按如图的方式向外等距扩1（cm）．得到新的等边三角形，则新的等边三角形的周长是　a　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，在Rt△ABC中， ∵AC＝1，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴BC， ∴新的等边三角形的周长是（a+6）cm， 故答案为：a+6． 41．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是　或2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况： ①△B′FC∽△ABC时，， 又∵AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝BF， ∴， 解得BF； ②△B′CF∽△BCA时，， AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝CF，BF＝B′F， 而BF+FC＝4，即2BF＝4， 解得BF＝2． 故BF的长度是或2． 故答案为：或2． 42．如图，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则AD：　AC　＝　ED　：BC＝　AE　：AB． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△AED∽△ABC，∠1＝∠B， ∴AD：AC＝ED：BC＝AE：AB． 43．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90° AB＝3，AC＝4，点D是线段BC上一动点，若点D从点B开始向点C运动． （1）当BD＝2时，CE＝　　； （2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　2　． 【答案】（1）； （2）2． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴， ∵BD＝2． ∴CE， 故答案为：； （2）∵△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵DP＝PE， ∴CPDE， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小， ∵AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°， ∴BC5， 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD， ∴DEAD＝4， ∴CP的最小值为4＝2， 故答案为：2． 44．如图，已知点A（0，4），B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，若△AOP与△PBC相似，则点P的坐标为　（2，0）或（，0）　． 【答案】（2，0）或（，0）． 【解答】解：∵BC⊥x轴于点C， ∴∠AOP＝∠BCP＝90°， ∵点A（0，4），B（4，1）， ∴OA＝4，OC＝4，BC＝1， ∵△AOP与△PBC相似， ∴或， 即或， 解得：OP＝2或OP， ∴点P的坐标为（2，0）或（，0）， 故答案为：（2，0）或（，0）． 45．已知，△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为，x，y（），△DEF的三边长分别，，，则x+y＝　2　． 【答案】． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 46．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm， ∴BC3cm， 若△ABC∽△ADB，则， 即， 解得：ADcm； 若△ABC∽△BDA，则， 即， 解得：ADcm； AD的长为：cm或cm． 47．如图，直线m，n相交于O，在直线m，n上分别取点A，B，使OA＝OB，分别过点A，B作直线n，m的垂线，垂足分别为C，D，直线AC与BD交于E，设∠AOB＝α（0°＜α＜180°，α≠90°）． （1）求证：AC＝BD； （2）小明说，不论α是锐角还是钝角，点O都在∠E的平分线上，你认为他说的有道理吗？并说明理由． （3）连接OE，当△COE与三角板的形状相同时，直接写出α的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：∵分别过点A，B作直线n，m的垂线， ∴∠ACO＝∠BOD＝90°， 在△AOC与△BOD中，OA＝OB，∠AOC＝∠BOD，∠ACO＝∠BOD＝90°， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴AC＝BD； （2）由（1）可知△AOC≌△BOD， ∴OC＝OD， 又OC⊥AE，OD⊥BE， ∴点O在∠E的平分线上， ∵△AOC≌△BOD与α是锐角还是钝角没有关系． 因此，不论α是锐角还是钝角，点O都在∠E的平分线上； （3）如图，连接OE， ∵∠OCE＝∠ODE＝90°，∠OEC＝∠OED，OE＝OE， ∴△OCE≌△ODE（AAS）， ∴∠COE＝∠DOE， 当∠COE＝∠DOE＝60°时， ∴α＝∠COD＝120°， 当∠COE＝∠DOE＝30°时， ∴α＝∠COD＝60°， 综上所述，当△COE与三角板的形状相同时，α的值为60°或120°． 48．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数． （2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°． （2）结论：CDBD． 理由：∵△BCD∽△BAC， ∴， ∴， ∴CDBD． 49．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC相似？试说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设经过t秒两三角形相似， 则AP＝AB﹣BP＝8﹣2t，AQ＝4t， ①AP与AB是对应边时，∵△APQ与△ABC相似， ∴， 即， 解得t＝2， ②AP与AC是对应边时，∵△APQ与△ABC相似， ∴， 即， 解得t， 综上所述，经过或2秒钟，△APQ与△ABC相似． 50．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB． （1）求∠APB的大小． （2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝60°， ∴∠A+∠APC＝60°， ∵△ACP∽△PDB， ∴∠APC＝∠PBD， ∴∠A+∠B＝60°， ∴∠APB＝120°； （2）∵△ACP∽△PDB， ∴， ∴CD2＝AC•BD． 51．如图，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，且DE＝4，BC＝12，AC＝8，求AD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ADE∽△ACB， ∴， ∴， 解得：AD． 52．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，DE＝8，BC＝24，AD＝6，∠B＝70°，求AB的长和∠ADE的度数． 【答案】AB＝18，∠ADE＝70°． 【解答】解：∵△ADE∽△ABC， ∴，∠B＝∠ADE＝70° ∵AD＝6，DE＝8，BC＝24， ∴， ∴AB＝18， ∴AB＝18，∠ADE＝70°． 53．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5．动点P．Q分别从点B，C同时出发，点P以2cm/s的速度沿BC向点C移动，点Q以1cm/s的速度沿CA向点A移动．经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】经过秒或秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5． 设AC＝3x cm，则AB＝5x cm．在Rt△ABC中有AB2＝AC2+BC2， ∴（5x）2＝（3x）2+82， 解得 x＝2， 则AC＝10cm，AB＝6cm． 设经过t秒，以C，P，Q为顶点的 三角形与△ABC相似． 由题意可得，PC＝（8﹣2t）cm，QC＝t cm． 若△ABC∽△QPC，则， 即， 解得； 若△ABC∽△PQC，则， 即， 解得． 综上所述，经过秒或秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 54．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB，AC＝2，BE⊥AB于B，点D为射线BE上一点，连接AD，若△ABD与△ABC相似． （1）求AD的长； （2）请直接写出△ABD与△ABC的面积比． 【答案】（1）3或3； （2）或3． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB，AC＝2， ∴BC， 当△ABD∽△ACB时，，即， 解得：AD＝3； 当△ABD∽△BCA时，，即， 解得：AD＝3； （2）当△ABD∽△ACB时，面积比＝（）2； 当△ABD∽△BCA时，面积比＝（）2＝3， 则△ABD与△ABC的面积比为或3． 55．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，则∠ACB＝　96　°． （2）如图，在△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当AD＝CD时，如图3，∠ACD＝∠A＝48°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°． 故答案为：96； （2）由已知AC＝AD＝2， ∵△BCD∽△BAC， ∴，设BD＝x， ∴（）2＝x（x+2）， ∵x＞0， ∴x1， ∵△BCD∽△BAC， ∴， ∴CD2． 答：完美分割线CD的长为． 56．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1． （1）若c＝a1，求证：a＝kc； （2）若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明； （3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1）， ∴k，a＝ka1； 又∵c＝a1， ∴a＝kc； （2）解：取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2； 此时2， ∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1； （3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下： 若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1； 又∵b＝a1，c＝b1， ∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c； ∴b＝2c； ∴b+c＝2c+c＜4c，4c＝a，b+c＜a，而应该是b+c＞a； 故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k＝2． 57．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°． ∵AD∥BC， ∴∠A＝180°﹣∠B＝90°， ∴∠PAD＝∠PBC＝90°．　 AB＝8，AD＝3，BC＝4， 设AP的长为x，则BP长为8﹣x． 若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况： ①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4， 解得x； ②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x）， 解得x＝2或x＝6． 所以AP 或AP＝2或AP＝6． 58．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN． （1）若BM＝BN，求t的值； （2）若△MBN与△ABC相似，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝10，BC＝5． 由题意知：BM＝2t，CNt， ∴BN＝5t， ∵BM＝BN， ∴2t＝5t， 解得：t1015． （2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时， 则，即 ， 解得：t． ②当△NBM∽△ABC时， 则，即， 解得：t． 综上所述：当t或t时，△MBN与△ABC相似． 59．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线； （2）如图②，在△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°， ∴△ABC不是等腰三角形， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A＝40°， ∴△ACD是等腰三角形， ∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC ∴△BCD∽△BAC， ∴CD是△BAC的完美分割线； （2）∵△BCD∽△BAC， ∴， ∵AC＝AD＝2，BC， 设BD＝x，则AB＝2+x， ∴， 解得x＝﹣1±， ∵x＞0，∴BD＝x＝﹣1， ∵△BCD∽△BAC， ∴， ∵AC＝2，BC，BD＝﹣1 ∴CD． 60．如图，已知，△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，AE＝4cm．求EC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ADE∽△ABC， ∴． 又AD：AB＝1：3，AE＝4cm， ∴． ∴AC＝12（cm）． ∴EC＝AC﹣AE＝12﹣4＝8（cm）． 因此，EC的长为8cm． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/2 13:57:03；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 学科网（北京）股份有限公司 $$