28.2 过三点的圆-2024-2025学年九年级上册数学冲冠同步卷(冀教版)

冀教新版九年级上学期《28.2 过三点的圆》2024年同步练习卷 一．确定圆的条件（共10小题） 1．在同一平面内，过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 3．下列条件中，不能确定一个圆的是（　　） A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点 4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 5．下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦 C．弧是半圆 D．三点确定一个圆 6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 　 　． 8．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　 　． 9．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 10．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆． 二．三角形的外接圆与外心（共50小题） 11．如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF＝（　　） A．a：b：c B． C．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC 12．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 13．已知P是△ABC的外心，则P点一定是（　　） A．△ABC的三边的中垂线的交点 B．△ABC的三条内角平分线的交点 C．△ABC的三条高的交点 D．△ABC的三条中线的交点 14．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，⊙O的直径AD＝6，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0） 16．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说得对，且∠A的另一个值是115° B．淇淇说的不对，∠A就得65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D．两人都不对，∠A应有3个不同值 17．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形AOB，已知AO⊥BO，点E在OA上，且OE，CD垂直平分OB，动点P在线段CD上运动（不与点D重合），设△ODP的外心为I，则EI的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 18．如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，下列三角形中，外心不是点M的是（　　） A．△ABC B．△AEC C．△ACF D．△BCE 19．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（　　） A．O是△AEB的外心 B．O是△BEC的外心 C．O是△AEC的外心 D．O是△ADB的外心 20．如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、点C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 21．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 22．已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 23．边长为3cm、4cm、5cm的三角形的外接圆半径等于（　　）cm． A．1.5 B．2 C．2.5 D．2.4 24．如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是（　　） A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 25．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt△AB′C′，点B'在直线AC上，若BC＝1，则点C和△AB'C′外心之间的距离是（　　） A．1 B．1 C．2 D． 26．如图，已知点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝40°，∠C＝68°，则∠ADC的度数为（　　） A．52° B．58° C．60° D．62° 27．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（　　） A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心 C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心 28．如图，AH是△ABC的高，O是△ABC的外心，若AC＝24，AH＝18，OC＝13，则AB的长为（　　） A．13 B．15 C． D． 29．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OA，OB．若∠O与∠C互补，则线段AB的长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．6 30．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 31．如图，锐角三角形ABC中，点O为AB中点．甲、乙二人想在AC上找一点P，使得△ABP的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（　　） 甲的作法 过点B作与AC垂直的直线， 交AC于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 32．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 33．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝5，点E是AB边上一点（点E不与点 A，B重合），连接CE，线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接AD，DE，线段DE与AC边交于点F，有以下说法： Ⅰ．四边形AECD的面积总等于； Ⅱ．当时，△AED的外接圆半径为． 下列判断正确的是（　　） A．两种说法都正确 B．说法Ⅰ正确，说法Ⅱ不正确 C．说法Ⅰ不正确，说法Ⅱ正确 D．两种说法都不正确 34．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则△ABC的外接圆半径是 　 　． 35．如图，BC＝6，点A为平面上一动点，且∠BAC＝60°，点O为△ABC的外心，分别以AB、AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE、CD交于点P，则OP的最小值是　 　 36．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标为 　 　． 37．如图，△ABC外接圆的圆心坐标为 　 　． 38．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为　 　． 39．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为　 　． 40．图中△ABC外接圆的圆心坐标是　 　． 41．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则这个三角形的外接圆的半径是 　 　． 42．若直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其外接圆面积为　 　． 43．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝24，AC＝7，则△ABC的外接圆的半径为 　 　． 44．△ABC的三边分别为5cm、12cm、13cm，则△ABC的外接圆的半径是　 　． 45．如图，△ABC的顶点在格点上，则△ABC外接圆的圆心坐标是　 　． 46．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC的外心在△ABC的 　 　（填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为 　 　． 47．已知△ABC的一边长为10，另两边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是　 　． 48．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）． （1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是　 　，AE与BC的位置关系是　 　． （2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数； （3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值． 49．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，点D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，到达C点、B点后运动停止． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AB＝BE，求∠DAE的度数； 拓展：若△ABD的外心在其内部时，求∠BDA的取值范围． 50．如图，点O在直线l上，过点O作AO⊥l，AO＝3．P为直线l上一点，连接AP，在直线l右侧取点B，∠APB＝90°，且PA＝PB，过点B作BC⊥l交l于点C． （1）求证：△AOP≌△PCB； （2）若CO＝2，求BC的长； （3）连接AB，若点C为△ABP的外心，则OP＝　 　． 51．如图，∠A＝∠B＝30°，AB＝2，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α． （1）求证：△APM≌△BPN； （2）当α＝90°时，求PM的长； （3）当△PBN的外心不在这个三角形的外部时，请直接写出α的取值范围． 52．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动． （1）2秒时，△MCN的面积是　 　； （2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2； （3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm． 53．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径． （1）求证：△APE是等腰直角三角形； （2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值． 54．某市承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图所示，那么运动员公寓应建立在何处？ 55．如图，在△ABC中，AB＝CB＝3，∠ABC＝90°，点D为直线BC上一点，点E为AB延长线上一点，且BE＝BD，连接AE、DE、EC． （1）求证：△ABD≌△CBE； （2）若∠CAD＝15°，求∠BEC的度数． （3）若点P是△CAD的外心，当点D在直线BC的一个位置运动到另一个位置时，点P恰好在△ABC的内部，请直接写出点P走过的距离为　 　． 56．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）． （1）在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标； （2）判断△ABC的外接圆D与x轴、y轴的位置关系，并说明理由． 57．已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，∠A＝30°，求BC的长． 58．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小． 59．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）． （1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是 　 　，AE与BC的位置关系是 　 　． （2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数； （3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值 　 　． 60．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠C＝75°，求∠AEB的度数； （3）若∠AEC＝90°，当△AEC的外心在直线DE上时，CE＝2，求AE的长． 冀教新版九年级上学期《28.2 过三点的圆》2024年同步练习卷 参考答案与试题解析 一．确定圆的条件（共10小题） 1．在同一平面内，过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【解答】解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆； 当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆； 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 【答案】D 【解答】解：根据垂径定理的推论，则 作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）． 故选：D． 3．下列条件中，不能确定一个圆的是（　　） A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点 【答案】C 【解答】解：A、已知圆心与半径能确定一个圆，不符合题意； B、已知直径能确定一个圆，不符合题意； C、平面上的三个已知点，不能确定一个圆，符合题意； D、已知三角形的三个顶点，能确定一个圆，不符合题意； 故选：C． 4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【答案】B 【解答】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长． 故选：B． 5．下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦 C．弧是半圆 D．三点确定一个圆 【答案】B 【解答】解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意； B、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意； C、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意． 故选：B． 6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 7．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 　（2，0）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，0）． 故答案为：（2，0） 8．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　（2，0）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上 ∴经过点A，B，C可以确定一个圆 ∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上 ∴设圆心坐标为M（2，m） 则点M在线段BC的垂直平分线上 ∴MB＝MC 由勾股定理得： ∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1 ∴m＝0 ∴圆心坐标为M（2，0） 故答案为：（2，0）． 9．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图． （2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm， 则根据勾股定理列方程： x2＝122+（x﹣8）2， 解得：x＝13． 答：圆的半径为13cm． 10．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设经过A，B两点的直线解析式为y＝kx+b， 由A（2，3），B（﹣3，﹣7）， 得， 解得． ∴经过A，B两点的直线解析式为y＝2x﹣1； 当x＝5时y＝2x﹣1＝2×5﹣1＝9≠11， 所以点C（5，11）不在直线AB上， 即A，B，C三点不在同一直线上， 因为“两点确定一条直线”， 所以A，B，C三点可以确定一个圆． 二．三角形的外接圆与外心（共50小题） 11．如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF＝（　　） A．a：b：c B． C．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC 【答案】C 【解答】解：设三角形的外接圆的半径是R． 连接OB，OC． ∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC． ∴∠BOD＝∠COD＝∠A 在直角△OBD中，OD＝OB•cos∠BOD＝R•cosA． 同理，OE＝R•cosB，OF＝R•cosC． ∴OD：OE：OF＝cosA：cosB：cosC． 故选：C． 12．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，点D是△ABC外心． 故选：A． 13．已知P是△ABC的外心，则P点一定是（　　） A．△ABC的三边的中垂线的交点 B．△ABC的三条内角平分线的交点 C．△ABC的三条高的交点 D．△ABC的三条中线的交点 【答案】A 【解答】解：三角形的外心是：三角形三边垂直平分线的交点． 故选：A． 14．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，⊙O的直径AD＝6，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：连接OB，如图， ∵AB＝BC， ∴， ∴OB⊥AC， ∴OB平分∠ABC， ∴∠ABO∠ABC120°＝60°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝60°， ∵AD为直径， ∴∠ABD＝90°， 在Rt△ABD中，ABAD＝3， ∴BDAB＝3． 故选：D． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0） 【答案】C 【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴作图得： ∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心， ∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）． 故选：C． 16．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说得对，且∠A的另一个值是115° B．淇淇说的不对，∠A就得65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D．两人都不对，∠A应有3个不同值 【答案】A 【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补． 故∠A′＝180°﹣65°＝115°． 故选：A． 17．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形AOB，已知AO⊥BO，点E在OA上，且OE，CD垂直平分OB，动点P在线段CD上运动（不与点D重合），设△ODP的外心为I，则EI的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解答】解：连接CE、DE、OC， 在Rt△COD中，CD2， ∴OE＝CD， ∵CD∥OE，OE＝CD，AO⊥BO， ∴四边形EODC为矩形， ∴DE＝OC＝4， ∵△ODP是直角三角形， ∴△ODP的外心为I是OP的中点， ∴DIOP， 在△EID中，EI+ID≥DE， 当点P与点C重合时，EI+ID＝DE＝4，DIOP＝2， ∴EI的最小值为4﹣2＝2， 故选：B． 18．如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，下列三角形中，外心不是点M的是（　　） A．△ABC B．△AEC C．△ACF D．△BCE 【答案】C 【解答】解：连接FM，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点， ∴AM＝BM＝CM， ∴点M是△ABC的外心， ∵四边形AMEF是正方形， ∴AM＝EM， ∴AM＝ME＝CM， ∴点M是△AEC的外心，点M是△BCE的外心， ∵FMAM， ∴AM＝CM≠FM， ∴点M不是△ACF的外心， 故选：C． 19．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（　　） A．O是△AEB的外心 B．O是△BEC的外心 C．O是△AEC的外心 D．O是△ADB的外心 【答案】D 【解答】解：连接OB、OD、OA， ∵O为锐角三角形ABC的外心， ∴OA＝OC＝OB， ∵四边形OCDE为正方形， ∴OA＝OC＜OD， ∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD， ∴OA＝OE＝OC，即O是△BCE的外心， OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心， OA＝OC＝OE，即O是△ACE的外心， OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心， 故选：D． 20．如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、点C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【解答】解：连接AB、BC，如图， ∵A（0，3）、B（4，3）， ∴AB⊥y轴， ∴∠BAC＝90°， ∴BC为△ABC外接圆的直径， ∵AC＝3+1＝4，AB＝4， ∴BC4， ∴△ABC外接圆的半径为2． 故选：D． 21．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 【答案】D 【解答】解：由图可知，△ABC是锐角三角形， ∴△ABC的外心只能在其内部， 由此排除A选项和B选项， 由勾股定理得，BP＝CPPA， ∴排除C选项， 故选：D． 22．已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：连接OA，并作OD⊥AB于D，则： ∠OAD＝30°， OA， ∴OD， ∴AD， ∴AB＝3． 故选：B． 23．边长为3cm、4cm、5cm的三角形的外接圆半径等于（　　）cm． A．1.5 B．2 C．2.5 D．2.4 【答案】C 【解答】解：因为边长为3cm、4cm、5cm的三角形是直角三角形， 所以直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半， 三角形的外接圆半径等于2.5cm． 故选：C． 24．如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是（　　） A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 【答案】B 【解答】解：∵每个小三角形都是正三角形， ∴AM＝AN，MB＝BN， ∴AB⊥MN， ∴△ABC为直角三角形， ∵G是AN的中点，GE∥BC， ∴点E是△ABC斜边的中点， ∴△ABC的外心是斜边的中点，即点E， 故选：B． 25．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt△AB′C′，点B'在直线AC上，若BC＝1，则点C和△AB'C′外心之间的距离是（　　） A．1 B．1 C．2 D． 【答案】B 【解答】解：∵将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt△AB′C′，点B'在直线AC上， ∴∠C′AB′＝∠B′AB＝30°， ∵BC＝1， ∴AB＝AB′＝2， ∴AC， 设△AB'C′外心为点O，∠C′＝90°， ∴外心O在斜边AB′的中点， ∴AOAB′＝1， ∴OC1， 故选：B． 26．如图，已知点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝40°，∠C＝68°，则∠ADC的度数为（　　） A．52° B．58° C．60° D．62° 【答案】D 【解答】解：以O为圆心，OA长为半径画圆， ∵点O是△ABC的外心， ∴B，C，A三点共圆， 延长AD交圆与点E，连接CE， ∴∠ACE＝90°， ∵∠B＝40°，∠C＝68°， ∴∠E＝∠B＝40°，∠ECD＝90°﹣68°＝22°， ∴∠ADC＝40°+22°＝62°， 故选：D． 27．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（　　） A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心 C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心 【答案】D 【解答】解：连接OB、OD、OA， ∵O为锐角三角形ABC的外心， ∴OA＝OC＝OB， ∵四边形OCDE为正方形， ∴OA＝OC＜OD， ∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD， ∴OA＝OE≠OD，即O不是△AED的外心， OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心， OA＝OC＝OE，即O是△ACE的外心， OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心， 故选：D． 28．如图，AH是△ABC的高，O是△ABC的外心，若AC＝24，AH＝18，OC＝13，则AB的长为（　　） A．13 B．15 C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，作直径AE，连接CE， ∴∠ACE＝90°， ∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝90°， ∴∠ACE＝∠AHB， ∵∠E＝∠B， ∴△ACE∽△AHB， ∴， ∴AB， ∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26， ∴AB． 则AB的长为． 故选：D． 29．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OA，OB．若∠O与∠C互补，则线段AB的长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．6 【答案】C 【解答】解：过点O作OD⊥AB于D， 则AD＝DBAB， 由圆周角定理得：∠AOB＝2∠BCA， ∵∠AOB与∠BCA互补， ∴∠AOB＝120°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝30°， ∴AD＝OA•cos∠OAD＝63， ∴AB＝6， 故选：C． 30．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【解答】解：由图可知，， ∴FA＝FB＝FC， ∴F点在AB，AC，BC三边的垂直平分线上， ∴点F是△ABC外心， 故选：C． 31．如图，锐角三角形ABC中，点O为AB中点．甲、乙二人想在AC上找一点P，使得△ABP的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（　　） 甲的作法 过点B作与AC垂直的直线， 交AC于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【解答】解：甲的作法， ∵BP⊥AC， ∴∠APB＝90°， ∵O是AB中点， ∴POAB， ∴PO＝AO＝BO， ∴O是△PAB的外心， ∴甲的作法正确． 乙的作法， 由作法知：OA＝OB＝OP， ∴O是△PAB的外心， ∴乙的作法正确． 故选：A． 32．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB， ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是△BCE的外心． 故选：D． 33．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝5，点E是AB边上一点（点E不与点 A，B重合），连接CE，线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接AD，DE，线段DE与AC边交于点F，有以下说法： Ⅰ．四边形AECD的面积总等于； Ⅱ．当时，△AED的外接圆半径为． 下列判断正确的是（　　） A．两种说法都正确 B．说法Ⅰ正确，说法Ⅱ不正确 C．说法Ⅰ不正确，说法Ⅱ正确 D．两种说法都不正确 【答案】A 【解答】解：（Ⅰ）在等腰直角△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝AC， ∵线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CD， ∴CE＝CD，∠ECD＝90°， ∴∠BCE＝∠ACD， 在△BCE与△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴四边形AECD的面积＝△ACB的面积BC•AC； （Ⅱ）∵∠ACB＝90°，BC＝AC＝5， ∴∠B＝BAC＝45， ∵△BCE≌△ACD， ∴∠CAD＝∠B＝45°，BE＝AD， ∴∠EAD＝90°， ∵BC＝AC＝5， ∴AB＝5， ∵BE＝AD， ∴AE＝4， ∴DE， ∴△AED的外接圆半径为， 故选：A． 34．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则△ABC的外接圆半径是 　2.5　． 【答案】.2.5 【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O， ∵∠C＝90°， ∴AB是⊙O直径， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴AB2＝42+32， ∴AB＝5， ∴△ABC的外接圆半径是：rAB＝2.5， 故答案为：2.5． 35．如图，BC＝6，点A为平面上一动点，且∠BAC＝60°，点O为△ABC的外心，分别以AB、AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE、CD交于点P，则OP的最小值是　3　 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABD与△ACE是等腰直角三角形， ∴∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△DAC与△BAE中，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，AC＝AE， ∴△DAC≌△BAE， ∴∠ADC＝∠ABE， ∴∠PDB+∠PBD＝90°， ∴∠DPB＝90°， ∴P在以BC为直径的圆上， ∵△ABC的外心为O，∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°， 如图，当PO⊥BC时，OP的值最小， ∵BC＝6， ∴BH＝CH＝3， ∴OH，PH＝3， ∴OP＝3． 故答案为：3． 36．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标为 　（1，﹣2）　． 【答案】（1，﹣2）． 【解答】解：如图，根据网格作AB，BC的垂直平分线，两条线交于点D， ∴点D（1，﹣2）是△ABC的外心， ∴△ABC的外心的坐标为（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）． 37．如图，△ABC外接圆的圆心坐标为 　（2，﹣1）　． 【答案】（2，﹣1）． 【解答】解：如图：外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点， ∵垂直平分线的交点坐标为（2，﹣1）， ∴△ABC外接圆的圆心坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 38．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为　（6，6）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： ∵⊙M是△ABC的外接圆， ∴点M在AB、BC的垂直平分线上， ∴BN＝CN， ∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）， ∴OA＝OB＝4，OC＝8， ∴BC＝4， ∴BN＝2， ∴ON＝OB+BN＝6， ∵∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∵OM⊥AB， ∴∠MON＝45°， ∴△OMN是等腰直角三角形， ∴MN＝ON＝6， ∴点M的坐标为（6，6）； 故答案为：（6，6）． 39．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为　（6，2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设圆心坐标为（x，y）； 依题意得， A（4，6），B（2，4），C（2，0） 则有 ， 即（4﹣x）2+（6﹣y）2＝（2﹣x）2+（4﹣y）2＝（2﹣x）2+y2， 化简后得x＝6，y＝2， 因此圆心坐标为（6，2）． 40．图中△ABC外接圆的圆心坐标是　（5，2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设圆心坐标为（x，y）； 依题意得：A（3，6）、B（1，4）、C（1，0）， 则有：； 即（3﹣x）2+（6﹣y）2＝（1﹣x）2+（4﹣y）2＝（1﹣x）2+y2， 化简后得：x＝5，y＝2； 因此圆心坐标为：（5，2）． 41．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则这个三角形的外接圆的半径是 　2.5　． 【答案】2.5． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴BA5， △ABC的外接圆的圆心在其斜边AB的中点处， ∴其外接圆的半径为2.5． 故答案为：2.5． 42．若直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其外接圆面积为　25π　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵直角边长分别为6和8， ∴斜边是10， ∴这个直角三角形的外接圆的半径为5， ∴其外接圆面积＝25π． 故答案为：25π． 43．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝24，AC＝7，则△ABC的外接圆的半径为 　12.5　． 【答案】12.5． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴AB是⊙O直径， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴AB2＝72+242， ∴AB＝25（负值舍去）， ∴△ABC的外接圆半径是：rAB＝12.5， 故答案为：12.5． 44．△ABC的三边分别为5cm、12cm、13cm，则△ABC的外接圆的半径是　6.5cm　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵52+122＝132， ∴△ABC是直角三角形， 则△ABC外接圆半径是斜边的一半，即为6.5cm； 故答案为：6.5cm． 45．如图，△ABC的顶点在格点上，则△ABC外接圆的圆心坐标是　（1，2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图象可知B（5，4），C（5，0）， 根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y＝2， 设D（a，2）， 根据勾股定理得：DA＝DC， （5﹣a）2+22＝42+（3﹣a）2 解得：a＝1， ∴D（1，2）． 故答案为：（1，2）． 46．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC的外心在△ABC的 　边上　（填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为 　2.5　． 【答案】边上，2.5． 【解答】解：△ABC的外心在△ABC的斜边上， ∵∠C＝90°， ∴AB为直径， ∵AC＝4，BC＝3， ∴， ∴半径为：． 故答案为：边上，2.5． 47．已知△ABC的一边长为10，另两边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是　5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：解方程x2﹣14x+48＝0得：x1＝6，x2＝8， 即△ABC的三边长为AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝100， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴∠C＝90° ∵若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖， 则该圆形纸片正好是△ABC的外接圆， ∴△ABC的外接圆的半径是AB＝5， 故答案为：5． 48．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）． （1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是　垂直　，AE与BC的位置关系是　平行　． （2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数； （3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值． 【答案】（1）垂直，平行； （2）90°； （3）90°或270°． 【解答】解：（1）如图，设AC与DE交于点H， 在等腰直角△ABC和△ADE中， ∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°， ∵DE⊥AC， ∴∠DAH＝∠EAH∠DAE＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°， ∴∠BAD＝∠DAH， ∴AD⊥BC， ∵∠EAH＝∠C＝45°， ∴AE∥BC， 故答案为：垂直，平行； （2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°， 在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°； （3）如图， 因为△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形， 所以旋转角为90°或270°． 49．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，点D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，到达C点、B点后运动停止． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AB＝BE，求∠DAE的度数； 拓展：若△ABD的外心在其内部时，求∠BDA的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵点D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，到达C点、B点后运动停止， ∴BD＝CE， ∴BC﹣BD＝BC﹣CE，即BE＝CD， ∵∠B＝∠C＝40°， ∴AB＝AC， 在△ABE和△ACD中，， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）解：∵∠B＝∠C＝40°，AB＝BE， ∴∠BEA＝∠EAB（180°﹣40°）＝70°， 由（1）得：AB＝AC，△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD， ∴AC＝CD， ∴∠ADC＝∠DAC（180°﹣40°）＝70°， ∴∠DAE＝180°﹣∠ADC﹣∠BEA＝180°﹣70°﹣70°＝40°； 拓展： 解：若△ABD的外心在其内部时，则△ABD是锐角三角形． ∴∠BAD＝140°﹣∠BDA＜90°． ∴∠BDA＞50°， 又∵∠BDA＜90°， ∴50°＜∠BDA＜90°． 50．如图，点O在直线l上，过点O作AO⊥l，AO＝3．P为直线l上一点，连接AP，在直线l右侧取点B，∠APB＝90°，且PA＝PB，过点B作BC⊥l交l于点C． （1）求证：△AOP≌△PCB； （2）若CO＝2，求BC的长； （3）连接AB，若点C为△ABP的外心，则OP＝　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：∵∠APB＝90°， ∴∠APC+∠BPC＝90° ∵AO⊥l，BC⊥l， ∴∠AOC＝∠BCP＝90°， ∴∠OAC+∠APC＝90°， ∴∠OAC＝∠BPC， 在△AOP和△PCB中， ∴△AOP≌△PCB（AAS）； （2）∵△AOP≌△PCB（AAS） ∴AO＝PC＝3，OP＝BC， ∴BC＝OP＝OC+CP＝3+2＝5； ∴BC的长为5． （3）若点C为△ABP的外心，则点C位于斜边中点，又已知BC⊥l，故点C与点O重合，如图所示： ∵AP＝BP， ∴△APB为等腰直角三角形， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵AO⊥l， ∴△AOP为等腰直角三角形， ∴OP＝AO， ∵AO＝3， ∴OP＝3， 故答案为：3． 51．如图，∠A＝∠B＝30°，AB＝2，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α． （1）求证：△APM≌△BPN； （2）当α＝90°时，求PM的长； （3）当△PBN的外心不在这个三角形的外部时，请直接写出α的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵P为AB的中点， ∴PA＝PB， 在△AMP和△BNP中 ， ∴△APM≌△BPN（ASA） （2）∵α＝90°， ∴∠BPN＝90°＝∠APM，且∠A＝30°， ∴APPM， ∴PM＝1； （3）∵△PBN的外心不在这个三角形的外部， ∴△BPN的外心在该三角形的内部或在边上， ∴△BPN是锐角三角形或直角三角形， ∵∠B＝30°， ∴60°≤∠BPN≤90°，即60°≤α≤90°． 52．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动． （1）2秒时，△MCN的面积是　4cm2　； （2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2； （3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm． 【答案】（1）4cm2； （2）1秒或3秒； （3）不能． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AC8， 根据题意得，AN＝4，CM＝2， ∴CN＝4， ∴S△CMN4×2＝4（cm2）； 故答案为4cm2； （2）设经过x秒， 根据题意得，（8﹣2x）•x＝3， 解得x1＝1，x2＝3； 即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2； （3）∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°， ∴MN为△MCN外接圆的直径， 假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm， 设M点运动的时间为t秒，则NC＝8﹣2t，CM＝t， 根据题意得，（8﹣2t）2+t2＝（2）2， 整理得5t2﹣32t+52＝0， ∵△＝（﹣32）2﹣4×5×52＝﹣16＜0， ∴原方程没有实数解， ∴△MCN外接圆的半径不能是cm． 53．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径． （1）求证：△APE是等腰直角三角形； （2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠C＝∠ABC＝45°， ∴∠AEP＝∠ABP＝45°， ∵PE是直径， ∴∠PAE＝90°， ∴∠APE＝∠AEP＝45°， ∴AP＝AE， ∴△PAE是等腰直角三角形． （2）∵AC＝AB．AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°， ∴∠CAP＝∠BAE， ∴△CAP≌△BAE， ∴∠ACP＝∠ABE＝45°，PC＝EB， ∴∠PBE＝∠ABC+∠ABE＝90°， ∴PB2+PC2＝PB2+BE2＝PE2＝22＝4． 54．某市承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图所示，那么运动员公寓应建立在何处？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AB，AC 分别做AB，AC的垂直平分线MN，FD 两垂线的交点G，就是三角形的外心， ∴G到A，B，C的距离相等 故：运动员公寓应建立在G处． 55．如图，在△ABC中，AB＝CB＝3，∠ABC＝90°，点D为直线BC上一点，点E为AB延长线上一点，且BE＝BD，连接AE、DE、EC． （1）求证：△ABD≌△CBE； （2）若∠CAD＝15°，求∠BEC的度数． （3）若点P是△CAD的外心，当点D在直线BC的一个位置运动到另一个位置时，点P恰好在△ABC的内部，请直接写出点P走过的距离为　　． 【答案】． 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠CBE＝90°， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）； （2）若点D在线段BC上时， ∵AB＝CB，∠ABC＝90°＝∠EBD，BE＝BD， ∴∠CAB＝45°＝∠ACB＝∠BDE＝∠DEB， ∵∠CAD＝15°， ∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB＝60°， ∵△ABD≌△CBE， ∴∠ADB＝∠BEC＝60°， 若点D在BC延长线上时，如图2， ∵△ABD≌△CBE， ∴∠BEC＝∠ADB＝∠ACB﹣∠CAD＝45°﹣15°＝30°， 综上所述：∠BEC的度数为60°或30°； （3）∵点P是△CAD的外心， ∴点P在线段AC的垂直平分线上随点D的运动而运动， 如图2，过点B作BF⊥AC于点F， ∵点P恰好在△ABC的内部， ∴BF即为所求的点P的运动路径，且BFAC， ∵AC3， ∴BF． 故答案为：． 56．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）． （1）在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标； （2）判断△ABC的外接圆D与x轴、y轴的位置关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△ABC的外心D点的坐标为（3，2）； （2）△ABC的外接圆D与x轴相交，与y轴相离， 理由：∵由题意可知△ABC为直角三角形，AB＝2，CB＝4， ∴斜边即为外接圆的直径， 半径等于AC． 又∵外心坐标为（3，2）， ∴外心D到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ∵2，3， ∴△ABC的外接圆D与x轴相交，与y轴相离． 57．已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，∠A＝30°，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作直径CD，连接BD． ∵CD是直径， ∴∠CBD＝90°． 又∠D＝∠A＝30°，CD＝4， ∴BC＝2， 答：BC的长为2． 58．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）67.5°或72°． 【解答】解（1）连接OA并延长AO交BC于E， ∵AB＝AC， ∴弧AB＝弧AC， ∵AE过圆心O， ∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦）， ∴AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAE， ∴∠BAC＝2∠ABD； （2）设∠ABD＝x， 由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x， ∴∠BDC＝3x， △BCD是等腰三角形， ①若BD＝BC， 则∠C＝∠BDC＝3x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴3x+3x+2x＝180°， 解得x＝22.5°， ∴∠BCD＝3x＝67.5°， ②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x， ∴∠ABC＝∠ACB＝4x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴4x+4x+2x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠BCD＝4x＝72°， 综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°． 59．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）． （1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是 　垂直　，AE与BC的位置关系是 　平行　． （2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数； （3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值 　90°或270°　． 【答案】（1）垂直，平行； （2）90°； （3）90°或270°． 【解答】解：（1）如图，设AC与DE交于点H， 在等腰直角△ABC和△ADE中， ∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°， ∵DE⊥AC， ∴∠DAH＝∠EAH∠DAE＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°， ∴∠BAD＝∠DAH， ∴AD⊥BC， ∵∠EAH＝∠C＝45°， ∴AE∥BC， 故答案为：垂直，平行； （2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°， 在等腰直角△ABC和等腰直角△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°； （3）如图， 因为△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形， 所以旋转角为90°或270°． 故答案为：90°或270°． 60．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠C＝75°，求∠AEB的度数； （3）若∠AEC＝90°，当△AEC的外心在直线DE上时，CE＝2，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵∠ADE＝∠1+∠DCE＝∠2+∠BDE，且∠1＝∠2， ∴∠DCE＝∠BDE，且∠A＝∠B，AE＝BE， ∴△AEC≌△BED（AAS） （2）∵△AEC≌△BED， ∴DE＝EC，∠BED＝∠AEC， ∴∠EDC＝∠C＝75°， ∴∠1＝180°﹣2×75°＝30°， ∵∠BED＝∠AEC， ∴∠AEB＝∠1＝30°； （3）∵∠AEC＝90°， ∴△AEC的外心是斜边AC的中点， ∵△AEC的外心在直线DE上， ∴点D是AC的中点， ∴AD＝CD＝DE， 又∵DE＝EC， ∴CD＝EC＝DE， ∴△ECD是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∴AEEC＝2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/2 14:04:53；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 学科网（北京）股份有限公司 $$