第二章 实数 单元测试-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第二章 实数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（实数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．无理数的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．的立方根是（    ） A． B． C． D． 5．要使代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 6．若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．估计 的值在 （    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．实数a，b的数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 9．已知，，则有（    ） A． B． C． D． 10．观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．计算： ． 12．计算的结果为 ． 13．比较大小：8 ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 14．已知，，则 ． 15．若的整数部分是，小数部分是，则代数式 ． 16．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数共有 个． 17．我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 18．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，需要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．有一种巧妙算法如下： ①由，，能确定是两位数； ②由的个位上的数是，能确定的个位上的数； ③如果划去后面的三位得到数，而，，能确定的十位上的数． 已知是整数的立方，按照上述方法，的立方根是 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 20．计算： (1) (2) 21．已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的立方根． 22．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，，，，，，，，． (1)负数集合： ； (2)整数集合： ； (3)有理数集合： ； (4)无理数集合： ． 23．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？ 24．阅读下面的解答过程： 化简： 解：． 利用上述方法化简下列各式： (1)． (2)． 25．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)的有理化因式是______，分母有理化得______； (2)比较大小：______（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 26．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图1在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法； (3)求中边上的高与边上的高的积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（实数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．无理数的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：无理数的相反数是， 故选：A. 2．下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，此类题目要求理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．二次根式的定义：形如的式子是二次根式．关键是，根据定义可得答案． 【详解】解：A．不是二次根式，故本选项不符合题意． B． 是二次根式，故本选项符合题意． C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意． D．，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的识别．熟记定义，是解题的关键．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解．运用立方根的定义进行求解． 【详解】解：， 的立方根是， 故选：A 5．要使代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列式计算，即可作答． 【详解】解：要使代数式有意义 ∴ ∴ 故选：C 6．若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对题目中的二次根式化简，比较大小即可． 本题考查了二次根式的化简及估算，绝对值，比较实数大小． 【详解】解：由题可得，，， 由， 故选A． 7．估计 的值在 （    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算与无理数的估算，先根据分式的混合运算法则计算，得出结果，再根据无理数的估算即可得出取值范围． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 8．实数a，b的数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质．先根据数轴推出，进而得到，，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，， ∴ ， 故选：B． 9．已知，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，是解题关键．根据分母有理化，可化简a，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， 故选：B． 10．观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由此可知：， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查的是求解算术平方根，零次幂的含义，先计算算术平方根，零次幂，再合并即可． 【详解】解：； 故答案为： 12．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，同类二次根式的合并方法是把系数相加减，被开方式和根号不变． 【详解】解：． 故答案为：． 13．比较大小：8 ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】> 【分析】本题考查了实数大小比较：任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．利用平方法比较实数的大小是解决此题的关键． 通过比较8和的平方的大小可判断8和的大小． 【详解】解：∵， 而， ， 故答案为：． 14．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小数点就向右移动1位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15．若的整数部分是，小数部分是，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出的大致范围是解题的关键． 先估算出的范围，然后求得、的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， ． 故答案为：． 16．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴，整数的概念，根据数轴上点的特点，知墨迹盖住的范围有两部分，即大于而小于，大于而小于3，写出其中的整数即可． 【详解】解：根据数轴得∶墨迹盖住的整数共有，，，，和0，1，2，共7个． 故答案为∶7． 17．我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，实数新定义运算即二次根式的大小比较，先比较与，与的大小，再根据新定义列出式子，利用二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 18．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，需要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．有一种巧妙算法如下： ①由，，能确定是两位数； ②由的个位上的数是，能确定的个位上的数； ③如果划去后面的三位得到数，而，，能确定的十位上的数． 已知是整数的立方，按照上述方法，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．首先由，，确定是两位数，再由个位上的数是，确定个位上的数是，然后划去后面的三位得到，而，，由此确定十位上的数是，即可得出结果． 【详解】解：， ， 是两位数， 又只有个位上是7的数的立方的个位上的数是3， 的个位上的数是， 划去后面的三位得到，而，， 十位上的数是， 的值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了用算术平方根和立方根的定义求解方程，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）直接开平方求解即可； （2）将移到方程右边，两边同时乘以3，然后两边同时开立方，得到一个一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 当时， 当时， 或 （2） ， ， 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式， （1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）运算完全平方公式，平方差公式计算即可作答． 【详解】（1） ； （2） ． 21．已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概率，代数式求值： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程可求出a；根据立方根的定义可得，解方程即可求出b； （2）根据（1）所求结合平方根的概念求出x的值，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别为和， ∴， ∴； ∵的立方根是 ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴的立方根为3． 22．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，，，，，，，，． (1)负数集合： ； (2)整数集合： ； (3)有理数集合： ； (4)无理数集合： ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的分类．熟练掌握整数、非负数、分数及无理数的定义是解答此题的关键． （1）根据小于零的数为负数解答即可； （2）根据整数的定义解答即可； （3）根据有理数的定义解答即可； （4）根据无理数的定义解答即可． 【详解】（1）解：，， ∴负数集合： （2）解：整数集合： （3）解：有理数集合： （4）解：无理数集合： 23．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？ 【答案】(1) (2)经费不够用 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）用空白部分的面积乘以单价得出所需费用，再与经费比较即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为： ． 答：长方形的周长是． （2）由题意，知 ∵, ∴经费不够用． 24．阅读下面的解答过程： 化简： 解：． 利用上述方法化简下列各式： (1)． (2)． 【答案】(1)− (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质： （1）根据阅读中的方法解答，即可求解； （2）根据阅读中的方法解答，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 25．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)的有理化因式是______，分母有理化得______； (2)比较大小：______（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的应用，平方差公式，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）按照题干中的步骤进行有理化因式，分母有理化即可求解． （2）将和分母有理化，即可比较大小． （3）将原式分母有理化，化简就可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴分母有理化得， 故答案为：，； （2）解：∵，， 又， ∴， 故答案为：． （3）解：将分母有理化，可得 原式 ． 26．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图1在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法； (3)求中边上的高与边上的高的积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）代入“海伦秦九韶公式”计算即可； （2）过作于，设，则，利用勾股定理构建方程求出，即可； （3）由三角形的面积公式求出边的高，再由（2）可得，再求出乘积即可． 【详解】（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7， ． （2）解：过作于，设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：． 在中，， ； （3）解：设三角形中边上的高为 由（2）可知三角形中边上的高 所以三角形中与边上的高的积为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，勾股定理等知识，等积法，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$