专题06 整式中规律题压轴六种题型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（苏科版2024）

专题06整式中规律题压轴六种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、单项式规律性问题 1 类型二、数字类规律探索 2 类型三、图形类规律探索 2 类型四、数列规律探索 3 类型五、等式规律探索 4 类型六、新定义规律探索 5 压轴能力测评（12题） 6 整式规律探索是数学中一种常见的题型，它要求通过观察、分析一系列整式（如多项式、单项式等）的变化规律，找出它们之间的共同特征或变化趋势，并据此预测或证明更一般的结论。以下是一些解题思路： 1. 仔细观察 ‌单项式‌：注意系数、指数（或次数）的变化规律。 ‌多项式‌：观察各项的系数、次数以及项数的变化规律。 2. 归纳猜想 根据观察到的规律，尝试归纳出一个一般性的结论或公式。 3. 验证猜想 使用数学归纳法或其他证明方法验证你的猜想。 4. 推广结论 5. 反思总结 类型一、单项式规律性问题 【典例1】按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】按一定规律排列的单项式：、、、、、……，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】观察下列单项式：x，，，，，…考虑他们的系数和次数，请写出第n个单项式： ． 【变式1-3】观察下列关于的单项式，探究其规律：，．．．按照上述规律，第2022个单项式是 ． 类型二、数字类规律探索 【典例2】按照如下几个数字.，给出第个数字是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】按一定的规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】一组按规律排列的数：，则第20个数是 ． 【变式2-3】观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ． 类型三、图形类规律探索 【典例3】如图，是由一些火柴棒搭成的图案：摆第1个图案用5根火柴，摆第2个图案用9根火柴，……按照这样的方式摆下去，摆第2022个图案需要用的火柴根数为（    ） A．8081 B．8086 C．8088 D．8089 【变式3-1】如图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图（2）：在分别连接图（2）中小三角形三边的中点得到图（3），…，按照上面方法继续下去，则第100个图形中共有（    ）个三角形    A．397 B．398 C．399 D．400 【变式3-2】红红按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图． 如果按照这个规律维续摆，第五幅图要用（ ）根小棒． A．23 B．31 C．35 D．45 【变式3-3】如图，画2个正方形能得到4个等腰直角三角形，画3个正方形能得到8个等腰直角三角形，画10个正方形能得到（    ）个等腰直角三角形． A．40 B．36 C．32 D．30 类型四、数列规律探索 【典例4】探索发现：；；；…根据你发现的规律，回答下列问题： (1) ， ；（写出式子，不必计算结果） (2)利用你发现的规律计算：． (3)． 【变式4-1】阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． ． 方法应用：试用“裂项—消项”法解下面各题： (1)； (2)． 【变式4-2】观察算式∶ ①；② ③；④ ；……．根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5 个算式∶ _________________； (2)写出第n个算式∶___________________； (3)计算∶ ． 【变式4-3】已知：，，，… (1)按照上面算式，你能猜出______； (2)利用上面的规律计算：的值． 类型五、等式规律探索 【典例5】阅读材料，按要求完成下列问题． 计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． 【变式5-1】已知：，观察下面各式： ，，∴； ，∴； ，，∴， ，，∴， …… 根据以上规律解答下列问题： (1)填空：________； (2)计算：； (3)拓展应用：求的值． 【变式5-2】观察算式：；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：（   ）； (2)用含n的等式表示上面的规律 ；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题：计算：． 类型六、新定义规律探索 【典例6】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是 ．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（    ） A． B．3 C． D．1 【变式6-1】是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是的“哈利数”是，已知是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于（    ） A． B． C． D．5 【变式6-2】规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1） ，…（2），，，，…，利用以上规律计算： ． 1．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第13代勾股树中正方形的个数为（    ） A．16382 B．16383 C．16384 D．16385 2．如图，三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，当时，三角数为1，当时，三角数为3，则当时，三角数为（    ） A．100 B．110 C．55 D．50 3．已知一列数：1，，3，，5，，7，，将这列数排成下列形式： 第1行1 第2行  3 第3行  5   第4行7    9   第5行11    13    15 …… 按照上述规律排下去，那么第10行从右边数第5个数为 ． 4．观察下列单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第2023个单项式是 ． 5．观察下面的点阵图规律，第7个点阵图中有( )个点． 6．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，按此规律，第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为 ． 7．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是 ．（用含的代数式表示） 8．用小棒按照如下方式摆图形． 摆第8个图形需要( )根小棒，摆第个图形需要( )根小棒． 9．按图中的方式来摆棋子，摆第五个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子． 10．观察用小木棒摆出的图形照这样摆n个一共需要 根小木棒． 11．已知，，，．若， ． 12．观察下列等式 ：， … ， 则 13．将全体正奇数按如图规律排列，在这样的排列下，数字2021排在第 行． 14．如图所示的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的三角形个数依次为：第一个图案中有1个，第二个图案中有3个，第三个图案中有9个，第四个图案中有27个，按此规律，第n个图案有 ． 15．探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 16．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第四个等式： ； (2)第n个等式为： ； (3)计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06整式中规律题压轴六种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、单项式规律性问题 1 类型二、数字类规律探索 3 类型三、图形类规律探索 4 类型四、数列规律探索 5 类型五、等式规律探索 10 类型六、新定义规律探索 13 压轴能力测评（15题） 15 整式规律探索是数学中一种常见的题型，它要求通过观察、分析一系列整式（如多项式、单项式等）的变化规律，找出它们之间的共同特征或变化趋势，并据此预测或证明更一般的结论。以下是一些解题思路： 1. 仔细观察 ‌单项式‌：注意系数、指数（或次数）的变化规律。 ‌多项式‌：观察各项的系数、次数以及项数的变化规律。 2. 归纳猜想 根据观察到的规律，尝试归纳出一个一般性的结论或公式。 3. 验证猜想 使用数学归纳法或其他证明方法验证你的猜想。 4. 推广结论 5. 反思总结 类型一、单项式规律性问题 【典例1】按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．分别从系数，字母的指数两个方面进行找规律． 【详解】解：，，，，，，， 第个为：； 故选：C 【变式1-1】按一定规律排列的单项式：、、、、、……，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，对于题中所给的单项式，按照符号、系数、字母部分来分别寻找规律即可得到答案，准确发现规律是解决问题的关键． 【详解】解：按一定规律排列的单项式：、、、、、……， 奇数项符号为负、偶数项符号为正，则符号满足的规律是； 除符号外，系数是正整数，则除符号外系数规律是； 字母是，指数为正整数，则字母规律是； 综上所述，第个单项式是， 故选：B． 【变式1-2】观察下列单项式：x，，，，，…考虑他们的系数和次数，请写出第n个单项式： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴第n个单项式：． 故答案为：． 【变式1-3】观察下列关于的单项式，探究其规律：，．．．按照上述规律，第2022个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式排列有关的规律探索，根据题意可得这一列单项式的次数为从1开始的连续的自然数，系数为从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， ……， 以此类推可知，这一列单项式的次数为从1开始的连续的自然数，系数为从1开始的连续的奇数， ∴第2022个单项式是， 故答案为：． 类型二、数字类规律探索 【典例2】按照如下几个数字.，给出第个数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，根据已知的数发现不变的部分和变化的部分，以及变化部分是按何种规律变化的是解题的关键．通常，需要将变化部分与序数联系到一起． 观察已知个分数可知，分子是连续的奇数，分母是序数的平方，据此可知第个数． 【详解】解：第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数为：， 故选：． 【变式2-1】按一定的规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，通过观察和分析数据可知：分子是定值1，分母的变化规律是：奇数项的分母为：，偶数项的分母为：．据此规律判断即可． 【详解】解：分子的规律：分子是常数1； 分母的规律：第1个数的分母为：， 第2个数的分母为：， 第3个数的分母为：， 第4个数的分母为：， 第5个数的分母为：， 第6个数的分母为：， 第7个数的分母为：， 以此类推可知第奇数项的分母为：， 第偶数项的分母为：， ∴第7个数是． 故选：D． 【变式2-2】一组按规律排列的数：，则第20个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，直接根据题意找出规律作答即可．解题的关键是得到第n个数是． 【详解】解：， ， ， ……， 第n个数是， 第20个数是， 故答案为：． 【变式2-3】观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数字型规律的探究．2的个位数字为2；的个位数字为6；的个位数字为4；的个位数字为0；的个位数字为2；确定循环节为4，计算，确定末位数字即可． 【详解】解：2的个位数字为2； 的个位数字为6； 的个位数字为4； 的个位数字为0； 的个位数字为2； 所以循环节为4， 因为， 所以的末位数字是4． 故答案为：4． 类型三、图形类规律探索 【典例3】如图，是由一些火柴棒搭成的图案：摆第1个图案用5根火柴，摆第2个图案用9根火柴，……按照这样的方式摆下去，摆第2022个图案需要用的火柴根数为（    ） A．8081 B．8086 C．8088 D．8089 【答案】D 【分析】本题考查了图形变化的规律，解题关键是找到规律．根据所给图形总结规律求解即可． 【详解】解：摆第1个图案需要5根火柴棒，而， 摆第2个图案需要9根火柴棒，而， 摆第3个图案需要13根火柴棒，而， ……， ∴摆第n个图案需要根火柴棒， 故摆第2022个图案需要火柴棒根数为． 故选：D． 【变式3-1】如图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图（2）：在分别连接图（2）中小三角形三边的中点得到图（3），…，按照上面方法继续下去，则第100个图形中共有（    ）个三角形    A．397 B．398 C．399 D．400 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据前三个图形三角形的个数可得第n个图形有个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形有个三角形， 第2个图形有个三角形， 第3个图形有个三角形， ……， 以此类推，可知，第n个图形有个三角形， ∴第100个图形有个三角形， 故选：A． 【变式3-2】红红按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图． 如果按照这个规律维续摆，第五幅图要用（ ）根小棒． A．23 B．31 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律，能用含的代数式表示第幅图要用的小棒根数是解题的关键． 依次求出图形中小棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1幅图要用的小棒根数为：； 第2幅图要用的小棒根数为：； 第3幅图要用的小棒根数为：； 第4幅图要用的小棒根数为：； ， 所以第幅图要用的小棒根数为根， 当时， （根， 即第5幅图要用的小棒根数为31根． 故选：B． 【变式3-3】如图，画2个正方形能得到4个等腰直角三角形，画3个正方形能得到8个等腰直角三角形，画10个正方形能得到（    ）个等腰直角三角形． A．40 B．36 C．32 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意得到规律画个正方形得到个等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：根据题意，得： 画2个正方形能得到4个等腰直角三角形， 画3个正方形能得到8个等腰直角三角形， ……， 由此发现，画个正方形得到个等腰直角三角形， 所以画10个正方形能得到（个）等腰直角三角形． 故选：B 类型四、数列规律探索 【典例4】探索发现：；；；…根据你发现的规律，回答下列问题： (1) ， ；（写出式子，不必计算结果） (2)利用你发现的规律计算：． (3)． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】(1)观察已知等式即可得结果； (2)根据已知等式的计算过程进行计算即可得结果； (3)①结合（1）（2）的计算过程进行计算即可； 本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，． （2）解： ． （3）解： ． 【变式4-1】阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． ． 方法应用：试用“裂项—消项”法解下面各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算； （2）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】观察算式∶ ①；② ③；④ ；……．根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5 个算式∶ _________________； (2)写出第n个算式∶___________________； (3)计算∶ ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是发现算式中的规律并灵活运用． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用所给的等式的形式，把所求的式子进行整理，从而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：第个算式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：第个算式为：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式4-3】已知：，，，… (1)按照上面算式，你能猜出______； (2)利用上面的规律计算：的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据所给的等式的形式进行求解即可； （）利用所给的等式的形式，对各项进行拆分，从而可求解； 本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分析清楚所给的式子的特点，找到其规律． 【详解】（1）解：原式 故答案为：； （2）解：原式 ． 类型五、等式规律探索 【典例5】阅读材料，按要求完成下列问题． 计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查等式的规律探索，有理数乘方运算，解题的关键是根据题意找到规律进行求解． （1）设，则，根据即可求出结果； （2）设，将等式两边同时乘以2，得，将以上两式相减得：，即可得出； （3）设，将等式两边同时乘以5得出，将以上两式相减得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得：， ∴； （2）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得： ， 即， ∴； （3）解：设， 将等式两边同时乘以5，得： ， 将以上两式相减，得： ， 则， 即， ∴． 【变式5-1】已知：，观察下面各式： ，，∴； ，∴； ，，∴， ，，∴， …… 根据以上规律解答下列问题： (1)填空：________； (2)计算：； (3)拓展应用：求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算： （1）根据已有等式，得到即可； （2）根据已有等式，推出； （3）利用（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； 故答案为： （2）解：； （3）解： ． 【变式5-2】观察算式：；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：（   ）； (2)用含n的等式表示上面的规律 ；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)9； (2)； (3)． 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，含乘方的有理数混合运算，代数式表示式，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键． （1）根据题干规律直接解题即可； （2）根据题干规律总结，即可找出规律为； （3）利用（2）中规律将原式变换为，即可推出中间项可全部约去，最后直接计算第一项和最后一项约分后剩下乘积的即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ， ， 依次类推， 可得规律为： ； （3）解： ， ． 类型六、新定义规律探索 【典例6】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，即可得出结果． 【详解】解： 故每三个数是一组循环数字， ∵， ∴； 故选C． 【变式6-1】是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是的“哈利数”是，已知是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ∴每四次运算结果循环出现， ∵， ∴， 故选：D． 【变式6-2】规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义，根据新定义的法则，进行求解即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故选B． 【变式6-3】符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1） ，…（2），，，，…，利用以上规律计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律探究，有理数混合运算，根据已知的运算发现规律并运用规律解答是解题的关键． 根据（1）得，根据（2）可得，结合公式计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ，… ∴， ∵， ， ， ，… ∴， ∴ ， 故答案为：． 1．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第13代勾股树中正方形的个数为（    ） A．16382 B．16383 C．16384 D．16385 【答案】B 【分析】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．由已知图形观察规律，即可得到第13代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， .....． ∴第13代勾股树中正方形有（个）， 故选：B． 2．如图，三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，当时，三角数为1，当时，三角数为3，则当时，三角数为（    ） A．100 B．110 C．55 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，解答本题的关键是根据题目中的图形，可以发现正三角数的变化情况，从而可以求得第10个图案中的三角数． 【详解】解：当时，三角数为1， 当时，三角数为， 当时，三角数为， 当时，三角数为， ， 当时，三角数为， 故选：C． 3．已知一列数：1，，3，，5，，7，，将这列数排成下列形式： 第1行1 第2行  3 第3行  5   第4行7    9   第5行11    13    15 …… 按照上述规律排下去，那么第10行从右边数第5个数为 ． 【答案】51 【分析】本题考查了规律型中得数字的变化类，设第行的第1个数的绝对值为，根据数列排列方式找出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“”，第行有个数，依此规律再结合数列中所有奇数为正，偶数为负即可得出结论． 【详解】解：设第行的第1个数的绝对值为， 观察，发现规律：，，，，，， ． ． 当时，， 第10行有10个数， 第10行从右边数第5个数即为第10行从左边数第6个数，则其的绝对值为：． 又该数列中奇数为正，偶数为负， 第10行从右边数第5个数为51． 故答案为：51． 4．观察下列单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第2023个单项式是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第个单项式，然后即可得到第2023个单项式．本题考查了规律型数字的变化类、单项式，解决本题的关键是观察单项式后找到规律． 【详解】解：观察关于的单项式可知： ； ； ； 发现规律： 第个单项式为：， 所以第2023个单项式是： ． 故答案为：． 5．观察下面的点阵图规律，第7个点阵图中有( )个点． 【答案】24 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，通过观察前3个点阵图的点个数可知第n个点阵图有，据此求解即可． 【详解】解：第1个点阵图有个点， 第2个点阵图有个点， 第3个点阵图有个点， ……， 以此类推，可知，第n个点阵图有 ∴第7个点阵图有个点， 故答案为：24． 6．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，按此规律，第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为 ． 【答案】44 【分析】本题考查看图找规律，根据图形得到规律进行相加计算即可． 【详解】（个）， 故答案为：． 7．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，结合题意确定单项式变化规律是解题关键．由题意可知，奇数个数的系数为负，偶数个数的系数为正，系数的绝对值分别为序数的平方，次数为序数加1，即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，，，…， 则第个单项式是． 故答案为：． 8．用小棒按照如下方式摆图形． 摆第8个图形需要( )根小棒，摆第个图形需要( )根小棒． 【答案】 57 / 【分析】本题主要考查了图形规律探索，结合题意确定图形变化规律是解题关键．根据题意确定图形变化规律，即可确定摆第8个图形和摆第个图形所需要的小棒根数． 【详解】解：根据题意， 摆第1个图形需要根小棒， 摆第2个图形需要根小棒， 摆第3个图形需要根小棒， …… 则摆第8个图形需要根小棒， 所以，摆第个图形需要根小棒． 故答案为：57；． 9．按图中的方式来摆棋子，摆第五个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律问题，先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 摆第1个图案需要枚棋子，图案序号每增加1，就增加3枚棋子，所以摆第n个图案需要枚棋子，据此即可解答． 【详解】解：根据题干分析可得： 摆第1个图案需要枚棋子； 摆第2个图案需要枚棋子； 摆第3个图案需要枚棋子； 摆第4个图案需要枚棋子； 摆第五个图案需要枚棋子； …… 摆第n个图案需要根小棒， 故答案为：；． 10．观察用小木棒摆出的图形照这样摆n个一共需要 根小木棒． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化类问题，找到摆个需要根小木棒是解题的关键．根据题意求出摆个需要根小木棒，即可得到答案． 【详解】解：摆个需要根小木棒， 摆n个一共需要根， 故答案为：． 11．已知，，，．若， ． 【答案】109 【分析】本题主要考查数字规律，找到规律是解题的关键．根据题意找到规律即可得到答案． 【详解】解：通过题意可得：， ， ， 故答案为：． 12．观察下列等式 ：， … ， 则 【答案】3025 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵， … ， ∴ 故答案为：3025 13．将全体正奇数按如图规律排列，在这样的排列下，数字2021排在第 行． 【答案】32 【分析】本题考查了数的变化规律．先求出第行最后一个数的表达式，试求的取值，再判断2021在第几行即可． 【详解】解：观察数列可得， 第1行数的个数为1， 第2行数的个数为3， 第3行数的个数为5， ， 第行数的个数为， 则第1行到第行数，所有数的总数为， 第行数最后一个数为， 估算求的值：当时，，为正整数，则， 当时，， 当时，， 数字2021排在第32行． 故答案为：32． 14．如图所示的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的三角形个数依次为：第一个图案中有1个，第二个图案中有3个，第三个图案中有9个，第四个图案中有27个，按此规律，第n个图案有 ． 【答案】 【分析】找到图形的变化规律，用代数式表示出来即可．本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形变化的规律，利用规律求解． 【详解】解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， ， 按此规律，第个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：． 15．探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 16．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第四个等式： ； (2)第n个等式为： ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算： （1）根据已有等式，写出第四个等式即可； （2）根据已有等式，抽象概括出第n个等式即可； （3）利用（2）中规律，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，第四个等式为：； 故答案为：； （2）由题意，第n个等式为：； 故答案为：； （3） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$