专题03 角平分线压轴四大模型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题03角平分线压轴四大模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 2 类型二、角平分线和垂线构造等腰三角形 3 类型三、利用角平分线和平行线构造等腰三角形 4 类型四、利用角平分线的性质，在角两边截长补短 6 压轴能力测评（12题） 8 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。 结论：PB=PA。 【模型分析】 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型2 截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。 结论：△OPB≌△OPA。 【模型分析】 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型3 角平分线+平行线 如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形。 【模型分析】 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 模型4 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。 结论：△AOB是等腰三角形。 【模型分析】 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 【典例1】四边形中，平分，于，，求证：． 【变式1-1】如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，的平分线与的平分线相交于点，过点作于点．若，则两平行线与间的距离为 ． 【变式1-3】如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，求证：点P在的平分线上．    类型二、角平分线和垂线构造等腰三角形 【典例2】已知：如图，在等腰直角三角形中，，平分，过点作垂直且交延长线于点，求证：． 【变式2-1】如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为 ．    【变式2-2】如图所示，在中，是的平分线，，垂足为D．求证：．    【变式2-3】如图，在中，平分交于点于点．探究，之间的数量关系．    类型三 、利用角平分线和平行线构成等腰三角形 【典例3】如图，在中，平分，交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式3-1】如图，在中，D为的中点且，平分，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D．9 【变式3-2】如图，在中，分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交于点M，N． (1)证明：是等腰三角形； (2)与相等吗？对你的结论说明理由． 类型四、利用角平分线的性质，在角两边截长补短 【典例4】如图，是AD中点，平分． (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【变式4-1】综合与实践 问题初探 (1)如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点． 求证：＋；    方法迁移 (2)如图2，是的角平分线，．求证：＋；    问题拓展 (3)如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系．    【变式4-2】已知中，，、分别是角平分线．求证： (1)． (2)． 【变式4-3】我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号） ①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理 (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分， 求证：． 1．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为 cm2． 3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝ ． 4．如图，中，是角平分线，交于，交于，若，则 ． 5．如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点C作交的延长线于点E，若，则的长为 ．    6．如图，中，是中线，是角平分线，垂直于点F，，，则的长是 ．    7．如图，的角平分线交于点D，交于点E，若，，则 ． 8．如图，在四边形中，，E是的中点，的角平分线过点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，若，求证：． 9．如图中，、的角平分线交于点，过作交于，交于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 10．如图1，在中，，的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F． (1)写出图1中的等腰三角形； (2)猜想图1中与、有怎样的数量关系？并说明理由； (3)如图2，若中的平分线与三角形外平分线交于O，过O点作交于E，交于F．这时与、关系又如何？说明你的理由． 11．如图，在中，，，、分别在、上，并且、分别为、的角平分线．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 12．在中，． (1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，则线段，，之间的数量关系是______； (2)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明： (3)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03角平分线压轴四大模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 2 类型二、角平分线和垂线构造等腰三角形 6 类型三、利用角平分线和平行线构造等腰三角形 9 类型四、利用角平分线的性质，在角两边截长补短 13 压轴能力测评（12题） 21 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。 结论：PB=PA。 【模型分析】 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型2 截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。 结论：△OPB≌△OPA。 【模型分析】 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型3 角平分线+平行线 如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形。 【模型分析】 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 模型4 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。 结论：△AOB是等腰三角形。 【模型分析】 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 【典例1】四边形中，平分，于，，求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，根据题意，作，根据角平分线的性质可得，可证，可得，根据可得，可证，由此即可求证． 【详解】证明：如图所示，过点作于点， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于E，于F，连接， ∵O为与的平分线的交点，， ∴， ∴的面积的面积的面积的面积 ， 故选：B． 【变式1-2】如图，，的平分线与的平分线相交于点，过点作于点．若，则两平行线与间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，角平分线的性质，求平行线间的距离等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，交于点，交于点，根据平行线的性质可证得，由角平分线的性质可得，，进而可求得两平行线与间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ， ， ，即， 由此可知，即为两平行线与间的距离， 是的平分线， 且，， ， 是的平分线， 且，， ， ， 两平行线与间的距离是， 故答案为：． 【变式1-3】如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，求证：点P在的平分线上．    【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的判定定理“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”．过点分别向，作垂线，再根据，即可得出，由此可得出结论． 【详解】解：点在的平分线上． 理由：过点分别向，作垂线，   ，，，， ， 点是在的平分线上． 类型二、角平分线和垂线构造等腰三角形 【典例2】已知：如图，在等腰直角三角形中，，平分，过点作垂直且交延长线于点，求证：． 【答案】见解析. 【分析】首先延长，交于，证明FE=EC，其次利用对顶角以及平分证得进而利用等量替换证得. 【详解】解：证明：延长，交于. （已知） 又（已知） （等腰三角形三线合一） 即（已知图形） （垂直定义） 又（对顶角相等） （三角形内角和等于） 在与中 （全等三角形对应边相等） （已证） （等量代换） 【点睛】本题考查利用三角形全等证明线段见的数量关系，结合全等三角形的判定以及综合运用等腰三角形三线合一、垂直定义以及等量代换进行分析证明. 【变式2-1】如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为 ．    【答案】5 【分析】延长交于点D，先根据已知条件可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，，进一步可得的面积． 【详解】解：延长交于点D，如图所示，    ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴ 的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【变式2-2】如图所示，在中，是的平分线，，垂足为D．求证：．    【答案】详见解析 【分析】延长交于点F，是的角平分线且，得到，则，由三角形外角的性质得到，即可得到结论． 【详解】证明：如图所示，延长交于点F．    ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键． 【变式2-3】如图，在中，平分交于点于点．探究，之间的数量关系．    【答案】． 【分析】延长交于点，利用证明，推出，据此即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点．    平分， ． ， ． 在和中，， ． ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 类型三 、利用角平分线和平行线构成等腰三角形 【典例3】如图，在中，平分，交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）依据角平分线的定义以及等边对等角，即可得到，即可判定； （2）过作于，依据角平分线的性质，即可得到，再根据，即可得出得到长，进而得到的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， ； （2）解：如图，过作于， ，平分， ， ，， ， ， ． 【变式3-1】如图，在中，D为的中点且，平分，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查平行的性质，等边对等角，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据题意证明，即可得到答案． 【详解】解：如图， ， ， 又 平分， ∴， ， ， D为的中点， ． 故选：C． 【变式3-2】如图，在中，分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，先根据已知条件，证明，、，从而证明，，从而求出的周长即可． 【详解】解：分别是和的平分线 ， ， 的周长 ， 故选：D． 【变式3-3】如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交于点M，N． (1)证明：是等腰三角形； (2)与相等吗？对你的结论说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义： （1）根据等边对等角得到，再由角平分线的定义可得，进而推出，由此即可证明结论； （2）根据等边对等角和平行线的性质推出，得到，据此可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 类型四、利用角平分线的性质，在角两边截长补短 【典例4】如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 【变式4-1】综合与实践 问题初探 (1)如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点． 求证：＋；    方法迁移 (2)如图2，是的角平分线，．求证：＋；    问题拓展 (3)如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，证明，得出，，进而根据等腰三角形的性质得出，等量代换后即可得证； （2）在上截取，证明，则，结合已知条件可得，得出，，进而即可得出结论； （3）延长至，使得，连接，证明，得出，，设，根据三角形的外角的性质得出，进而可得，即可得出结论． 【详解】证明：是由沿着折叠得到的， ，， 在与中 ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取    是的平分线， ， 在与中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3） 如图所示，延长至，使得，连接，    ∵是的外角的平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴， 设， ∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理与外角的中，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式4-2】已知中，，、分别是角平分线．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据得，，，，再利用角平分线的性质得，进而可求证结论． （2）延长到，使得，连接，由（1）得：，，，，根据角平分线的性质可证，再根据三角形的外角的性质及等腰三角形的性质得，再利用证得，进而可证，再根据边的等量代换即可求证结论． 【详解】（1）证明：， ，，， 是平分线， ， ， ． （2）延长到，使得，连接，如图： 由（1）得：，，，， 是的角平分线， ， ，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、角平分线的性质、三角形内角和及三角形外角的性质，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【变式4-3】我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号） ①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理 (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分， 求证：． 【答案】(1)③ (2)，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到，推出，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 本题考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为 cm2． 【答案】4.5 【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出，代入求出即可． 【详解】 解：延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=∠EPB=90°， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP=PE， ∴ ∴ cm2， 故答案为4.5． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝ ． 【答案】2 【分析】根据题意延长BA、CE相交于点F，利用“角边角”证明△BCE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=EF，根据等角的余角相等求出∠ABD=∠ACF，然后利用“角边角”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，然后求解即可． 【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△BCE和△BFE中， ， ∴△BCE≌△BFE（ASA）， ∴CE=EF， ∵∠BAC=90°，CE⊥BD， ∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°， ∴∠ABD=∠ACF， 在△ABD和△ACF中， ， ∴△ABD≌△ACF（ASA）， ∴BD=CF， ∵CF=CE+EF=2CE， ∴BD=2CE=4， ∴CE=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质和等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形并得到与BD相等的线段CF． 4．如图，中，是角平分线，交于，交于，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ， 是等腰三角形 ， ， ． 故答案为： 5．如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点C作交的延长线于点E，若，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．延长交的延长线于点F，证，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，中，是中线，是角平分线，垂直于点F，，，则的长是 ．    【答案】2 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质．延长交于点G，证明，从而可得是等腰三角形，，点F是中点，判断出是的中位线，继而可得出答案． 【详解】解：延长交于点G，    ∵平分， ∴， ∵垂直， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 又∵点D是中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：2． 7．如图，的角平分线交于点D，交于点E，若，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，根据角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，推出，得到，即可得到答案，熟练掌握平行线的性质求出是解此题的关键． 【详解】解：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， 故答案为：9． 8．如图，在四边形中，，E是的中点，的角平分线过点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质．掌握相关性质是解题的关键． （1）证明，即可； （2）过点E作于点M，角平分线的性质得到，平行加角平分线，得到，进而得到，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵E是CD的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）如图，过点E作于点M， ∵，， ∴， 即． ∵是的角平分线且， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， 且， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 9．如图中，、的角平分线交于点，过作交于，交于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，等角对等边； （1）根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，进而根据三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，则，，根据等角对等边可得，，进而即可得出结论． 【详解】（1）∵， ∴ ∵、的平分线交于点 ∴， ∴ ∴ （2）∵、的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 10．如图1，在中，，的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F． (1)写出图1中的等腰三角形； (2)猜想图1中与、有怎样的数量关系？并说明理由； (3)如图2，若中的平分线与三角形外平分线交于O，过O点作交于E，交于F．这时与、关系又如何？说明你的理由． 【答案】(1)、 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用角平分线的性质与平行线的性质证明、是等腰三角形即可； （2）在（1）中有：，，即可得； （3）利用角平分线的性质与平行线的性质证明、是等腰三角形，进而即可得到结论． 【详解】（1）平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 则等腰三角形有：、； （2），理由如下： 在（1）中有：，， ， ， 故答案为：； （3）， 理由是：平分， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，利用图形找到角与边的关系是解题的关键． 11．如图，在中，，，、分别在、上，并且、分别为、的角平分线．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由三角形的内角和就可以得出，再由角平分线就可以得出，就有而得出结论； （2）延长至M，使得，连接，根据条件就可以得出，进而证明就可以得出结论． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ． ，且，， ∴， ， ， ， 为等腰三角形； （2）证明：延长至M，使得，连接，    ， 中，， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 12．在中，． (1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，则线段，，之间的数量关系是______； (2)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明： (3)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证，则可得，，又由，，所以，即，易证，则可求得； （2）由，则可得，，又由，，所以，即，易证，则可求得； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ，，， 又，， ， ， ， ， 即； （2）证明：，理由为： 在上截取，连接，如图②所示， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 则； （3）证明：，理由为： 在上截取，连接，如图③所示， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$